第14章 压杆稳定

14.2 理想压杆临界力的计算 所谓理想压杆指的是中心受压直杆。因为对于实际的压杆，导致其 弯曲的因素有很多，比如，压杆材料本身存在的不均匀性，压杆在 制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压杆上外力的合力 作用线也不可能毫无偏差地与杆轴线相重合等。这些因素都可能使 压杆在外力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形 。但在对压杆的承载能力进行理论研究时，通常将压杆抽象为由均 质材料制成的中心受压直杆的力学模型，即理想压杆。因此“失稳 ”临界力的概念都是针对这一力学模型而言的。 14.2.1 两端铰支细长压杆的临界力
Fcr k2 EI
sin kl 0 (h) kl n ( n 1,3,5, ) Fcr kl l 其最小非零解是 n=1的解 (i) EI 即得 2 EI Fcr 2 （14-1) l 式(14-1)即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力 Fcr的计算公 式。由于式(14-1)最早是由欧拉( L.Enlen)导出的，所以称为欧 拉公式。 将式(i)代入式(f)得 w A sin x (j)
第二篇 材料力学
第14章 压杆稳定
第14章 压 杆 稳 定 14.1压杆稳定的概念 在前面几章中讨论了杆件的强度和刚度问题。在工程实际中，杆件 除了由于强度、刚度不够而不能正常工作外，还有一种破坏形式就 是失稳。什么叫失稳呢？在实际结构中，对于受压的细长直杆，在 轴向压力并不太大的情况下，杆横截面上的应力远小于压缩强度极 限，会突然发生弯曲而丧失其工作能力。因此，细长杆受压时，其 轴线不能维持原有直线形式的平衡状态而突然变弯这一现象称为丧 失稳定，或称失稳。杆件失稳不仅使压杆本身失去了承载能力，而 且对整个结构会因局部构件的失稳而导致整个结构的破坏。因此， 对于轴向受压杆件，除应考虑强度与刚度问题外，还应考虑其稳定 性问题。所谓稳定性指的是平衡状态的稳定性，亦即物体保持其当 前平衡状态的能力。

2 EI Fcr ( l ) 2(14-4) l 称为压杆的相当长度。 式中 称为长度系数， 不同杆端约束情况下长度系数的值见表14.1。值得指出，表中给 出的都是理想约束情况。实际工程问题中，杆端约束多种多样，要 根据具体实际约束的性质和相关设计规范选定 值的大小。 表14.1 不同杆端约束情况下的长度系数

支承情况
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两端铰支
一端固定另 端铰支 Fcr
两端固定
一端固定另 端自由 Fcr
两端固定 但可沿横 向相对移动 Fcr
Fcr
Fcr
l
l
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
B
B
B D
0.7l
0.5l
l
l
2l
l
C
C A A A
C －挠曲线拐点
临界力 Fcr 欧拉公式 长度因数 μ Fcr = πEI 2 l Fcr ≈ π2 EI 2 （0.7l）
cr 式两端均除以 EI，并令 k 2 ，经整理得 EI k 2 w k 2 w (c) 上式为二阶常系数非齐次微分方程，其通解为 w A sin kx B cos kx (d) 其一阶导数为 w Ak cos kx Bk sin kx (e) 上式中的 A、 B、 K可由挠曲线的边界条件确定。
l
v
x
A
y Fcr
A Me
y
(a)
(b)

将上述条件代入式(d)、(e)，得
由上面4个方程，解出 sin kl 0 满足上式的最小非零解为 kl 2 或 k 2 。于是得 l 2 EI Fcr k 2 EI (0.5l ) 2 (14-3) 这就是两端固定细长压杆临界力的欧拉公式。

(d) 式(d)为二阶常系数线性微分方程，其通解为 w A sin kx B cos kx (e) 式中 A、 B 和 K三个待定常数可用挠曲线的边界条件确定。 边界条件： 当 时x=0， w=0，代入式(e)，得 。式(e)为 (f) w A sin kx 当 时x=l， w=0 ，代入式(f)，得 A sin kl 0 (g) 满足式(g)的条件是 A=0，或者 sin kl 0 。若 A=0 ，由式 (f)可见 w=0 ，与题意(轴线呈微弯状态)不符。因此，只有
图14.1 压杆的稳定性
工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。
14.2 理想压杆临界力的计算
cr
I A ，称为压杆横截面对中性轴
(14-6)
称为压杆的长细比或柔度。其值越大， cr 就越小，即压杆越容 易失稳。 则式(14-5)可写成 2 E cr 2 (14-7) 式(14-7)称为临界应力的欧拉公式。
14.3.2 欧拉公式的适用范围
在前面推导临界力的欧拉公式过程中，使用了挠曲线近似微分方程 。而挠曲线近似微分方程的适用条件是小变形、线弹性范围内。因 此，欧拉公式(14-7)只适用于小变形且临界应力不超过材料比例 cr ≤ p 极限 p ，亦即 2 E ≤ p ( 14-8) 将式(14-7)代入上式，得 2 E ≥ p 或写成 式中，p为能够应用欧拉公式的压杆柔度的界限值。通常称 ≥ p 的压杆为大柔度压杆，或细长压杆。而当压杆的柔度 p 时 ，就不能应用欧拉公式。
Fcr ，经整理得 EI M w k 2 w e (c) EI 此微分方程式的通解为 M w A sin kx B cos kx (d) Fcr
2 两边同除 EI，并令 k
图14.4 两端固定的压杆
x Fcr B x B Fcr Me
的一阶导数为 w Ak cos kx Bk sin kx (e) 边界条件为： 当 时当 x=0时,w=0， w’=0 。 当 x=l时,w=0,w’=0 ，有 A=0。
现以两端铰支，长度为 l 的等截面细长中心受压(如图14.2(a)所 示)为例，推导其临界力的计算公式。假设压杆在临界力作用下轴 线呈微弯状态维持平衡 (如图14.2(b))。 此时，压杆任意 x截面沿 y方向的 挠度为 w该截面上的弯矩为
图14.2 两端铰支的压杆
M ( x) Fcr w (a) 弯矩的正、负号按第11章中的规定，挠度 w 以沿y 轴正值方向为 正。 将弯矩方程 M ( x ) 代入式(14-1b)，可得挠曲线的近似微分方程 为 EIw M ( x) Fcr w (b) 其中， I为压杆横截面的最小形心主惯性矩。 将上式两端均除以 EI，并令 Fcr k 2 (c) EI 则式(b)可写成如下形式
如图14.1所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果 是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持 直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯 曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于 稳定的平衡状态(如图14.1(a)所示)。当轴向压力达到某一值时 ，加干扰力杆件变弯，而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡， 不再恢复到原来的直线状态(如图14.1(b)所示)，说明压杆处于 不稳定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并超过一定值 时，压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态 下平衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用 Fcr 表示。它 是压杆保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一个具体的压杆( 材料、尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力 Fcr 是一个确定的 数值。压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受 的实际压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的 平衡状态是稳定的还是不稳定的。
根据杆端约束情况，杆在临界力 作用下的挠曲线形状如图 14.3 Fcr 所示，最大挠度 发生在杆的自由端。由临界力引起的杆任意 x 截面上的弯矩为 M ( x) Fcr ( w) (a) 式中， w为 x截面处杆的挠度。将式(a)代入杆的挠曲线近似微分 方程，即得 (b) EIw M x Fcr ( w) 上
由此得
(g)
cos kl 0 (h)
从而得
kl
n (n 1,3,5, ) (i) 2
其最小非零解为 n=1 的解，即 kl 。于是该压杆临界力 Fcr 2 的欧拉公式为 2 EI Fcr (2l ) 2 (9-2) 将 代入式(f)，即得此压杆的挠曲线方程为 x w (1 cos
C －D 挠曲 线拐点
Fcr = π2 EI 2 （0.5l） Fcr = π2 EI 2 （2l）
C －挠曲线拐点
π2EI 2 l
Fcr =
μ=1
μ≈0.7
μ=0.5
μ=2
l /2
μ=1
l
14.3 欧拉公式的适用范围
14.3.1 临界应力和柔度 当压杆受临界力 作用而在直线平衡形式下维持不稳定平衡时，横 截面上的压应力可按公式 F 计算。于是，各种支承情况 A 下压杆横截面上的应力为 Fcr 2 E I 2 E cr 2 A ( l ) A ( l i ) 2 (14-5) 式中， 称为临界应力， i 的惯性半径。 令 l i
l
将边界条件 x l
， w ( 为挠曲线中点挠度)代入式(j)，
得 将上式代入式(j)可得挠曲线方程为 w sin x (k) l 即挠曲线为半波正弦曲线。
2 A sin 2
14.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的 临界力
cos kl 1
Me B 0 Fcr (f) Ak 0 Me A sin kl B cos kl 0 Fcr Ak cos kl Bk sin kl 0
14.2.4 细长压杆的临界力公式
比较上述3种典型压杆的欧拉公式，可以看出，3个公式的形式都 一样；临界力与 成正比，与 成反比，只相差一个系数。显然，此 系数与约束形式有关。于是，临界力的表达式可统一写为
14.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力 如图14.3所示，一下端固定、上端自由并在自 由端受轴向压力作用的等直细长压杆。杆长为 l， 在临界力作用下，杆失稳时假定可能在xy 平面内 维持微弯状态下的平衡，其弯曲刚度为 EI， 现推导其临界力。
图14.3 一端固定，一端自由的压杆
F

当 x=0时,w=0， 有 B 。 当 x=0时,w’=0 ，有 A=0。 将 A、B 值代入式(d)得 w (1 cos kx) (f) 再将边界条件 x l , w ， 代入式(f)，即得
(1 cos kl )
式中， 为杆自由端的微小挠度，其值不定。
2l
)
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力 如图14.4(a)所示，两端固定的压杆，当轴向力达到临界力 Fcr 时 ，杆处于微弯平衡状态。由于对称性，可设杆两端的约束力偶矩均 为 M，则杆的受力情况如图14.4(a)所示。将杆从 x截面截开， 并考虑下半部分的静力平衡(如图14.4(b)所示)，可得到 x截面 处的弯矩为 M ( x) Fcr w M e (a) 代入挠曲线近似微分方程，得 EIw ( Fcr w M e ) (b)