勒贝格积分与黎曼积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较
449 陈佳龙 908 王珏 194 杜腾飞
关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.
正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R积分创立于19世纪中叶，近半个
世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。

其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。

事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。

基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的范畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究范围也由R 上有界闭区间延伸到了整个
N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。

这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。

为更好地说明L 积
分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。

R 积分是这样定义的： 定义 设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点
b x x x x a n =<<<<=K 210
将区间[]b a ,分成n 个小区间。

令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k n
k x ∆=≤≤1max λ。

在每个小区间
[]k k x x ,1-上任取一点()k k k k x x ≤≤-ξξ1，并
且作和
()k n
k k x f ∆=∑=1
ξσ.
如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，
即 (),lim lim 1
I x f k n
k k =∆=∑=→→ξσλλ则称
此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作
()dx x f I b
a
⎰=，
关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。

最后定义有界函数的上下勒贝格积分。

若上下积分相等，则称函数勒贝格可积。

就本文所列举的的两种定义而言，其中第一种定义模式仿照了黎曼积分的定义，而第二种以测度为基础，先定义简单函数的积分，进而定义一般函数的积分，此种方式也适用于一般测度空间上的积分。

在后面的相关论述中我们将主要选取第二种方式。

定义1：设勒贝格可测集E 的勒贝格测度有限(()∞<E L ).设f 是E 上有界可测函数(
()M x f <)。

任取分点
.-10M y y y M n =<<<=Λ令
{},
1;m ax 1n i y y y i i ≤≤-=∆-
(){}
i i i y x f y x E <≤=-1;
任取[).,1i i y y -∈ξ
若当0→∆y 时，和
()i
n
i i
E L ∑=1
ξ存在极限A ，则称A 是()x f 在E 上
的勒贝格积分，简称L 积分，记为
⎰E
fdx
由此可以看出与黎曼积分不同勒贝格
积分是划分值域而不是划分定义域来求和的。

显然与黎曼函数不同，由于黎曼积分要求小区间的长度而勒贝格积分要求定义域的测度，故对定义在定义在多维有界可测集上的广义实函数这样定义其积分就显得自然流畅,而黎曼积分只能对“ 标准”的实函数定义积分。

第二种定义方式是基于勒贝格测度论与勒贝格函数论，先定义有界可测集上简单函数的勒贝格积分，进而定义一般可测函数的L 积分，最后定义无限可测集上的可测函数的勒贝格积分。

此种定义，借助测度的性质及勒贝格可测函数的性质，对勒贝格积分性质的讨论自然流畅。

定义 有界可测集E 上简单函数L 积分定义为，设E 上简单函数()x ϕ有表示
()()
x y x n
k e k k
∑==1
χϕ 其中()k k y E e ==ϕ等为互不相交的可测集，称和k n
k k me y ∑=1为简单函数()x ϕ在E 上
的积分，并记为
()∑⎰==n
k k
k
E
me
y dm x 1
ϕ
有时可以简写成⎰E
dm ϕ。

对于以上定义，我们可以把记号中的dm
换成
dx 是允许的，从以上简单函数L 积
分的定义可以看出当()x ϕ为一个常数c 时，其积分值为c 倍的可测集E 的测度。

而当c 为1时，该积分值为可测集E 的测度。

另外还应注意，简单函数积分同函数表示式无关，即
()∑∑⎰==j
j
j
k
k
k
E
mE
c me y dm x ϕ
在叙述一般函数L 积分定义之前，有必要先对简单函数L 积分的一些性质进行描述。

（i ）如果简单函数的正部与负部分别为
()x +ϕ与()x -ϕ，则有
()()()dm
x dm x dm x E
E
E
⎰⎰⎰-
+
-=ϕϕϕ
简单函数的L 积分具有线性可加性
（ii ）设1ϕ，2ϕ是E 上简单函数，1a ，2a 是
常数，则有
()()()()(
a dm x a dm x a x a E
E
E
⎰⎰⎰+=+2
2
1
1
2
21
1ϕϕϕϕ
（iii ）设ϕ是E 上简单函数，21E E E ⋃=，
1E ，2E 为互不相交的可测集，则
()()()dm x dm x dm x E E E
⎰⎰⎰+=2
1
ϕϕϕ
对于以上简单函数L 积分的性质我们可以类比定义在闭区间[]b a ,上的连续函数()x f 的黎曼积分的线性性质。

我们知道，勒贝格可测集E 上的可测函数
均可由E 上的简单函数列逼近，那么，自然会问，E 上的可测函数的勒贝格积分与简单函数的勒贝格积分是何种关系。

事实上，我们可以通过简单函数的L 积分来定义有界可测集合E 上的可测函数的勒贝格积分 定义：设()x f 是有界可测集E 上的可测函数，对于()0≥x f 的情形，取简单函数()x ϕ满足()()()E x x f x ∈≤≤ϕ0，令ϕ变动，定义()x f 在E 上的L 积分为
()()()dm x dm x f E
f x E
⎰⎰
≤≤=ϕϕ0sup
此式右边非负数或∞.如果此量为有限，则称
()x f 在E 上L 可积。

否则只说()x f 在E 上的
积分为∞（即此时称函数在可测集E 上不可积）.对于更一般的可测函数()x f ，当dm
f E
⎰+与dm f E
⎰-不同时为∞时，定义()x f 在E 上的
积分为
()()()dm
x f dm x f dm x f E
E
E
⎰⎰⎰-
+
-=.
当此右式两项均有限时，也只有在此时积分是有限的，我们称f 在E 上可积，记作E L f ∈或简记为L f ∈.当右边两项均不可积时，原积分无意义.即，积分不存在.当右边两项有
一项不可积分时，我们称函数不可积. 以上便是可测函数在有界可测集E 上的勒贝格积分的定义的第二种处理方式。

我们有必要强调，我们只考虑对定义在可测集E 上的勒贝格可测函数定义勒贝格积分。

事实上，在上面的所有论述中，我们都是假定可测集E 是有界的。

事实上，对于无界可测集上的可测函数亦是可以定义其勒贝格积分的.其处理方式是将定义在有界可测集上的简单函数推广到无界。

对比黎曼积分，我们可以将有界区间推广为无界，即无穷积分 。

最后关于L 积分的定义，我们可以借助可测集E 的示性函数将L 积分的定义推广到整个N R 空间。

我们还应指出，对于非负函数f 的L 积分表现
为n+1维测度。

这与非负函数的黎曼积分表
下表为面积是相近的。

其实上，对于一维非负函数的L 积分也表现为“面积”
对比定义在闭区间上函数黎曼积分的定义，其方式上是不同.当然，最根本的不同是其处理的问题不同且 L 积分的定义更加广泛。

我们知道，可测集E 上的连续函数都是可测的，且黎曼积分处理的均为一维区间上的函数，即定义在Borel 集的一个子集类上的函数，由于Borel 集是可测的，所以对于黎曼积分的问题我们都可以试图用勒贝格积分去考虑。

二，勒贝格可积函数类与黎曼可积函数类 对于黎曼可积函数的判定，我们有上和，下和，的概念。

并且有振幅的概念，即函数黎曼可积的充要条件是0→∆∑λ
ωi i x .我
们知道闭区间上的连续函数是黎曼可积的.
这样就确定了一大类黎曼可积函数。

并且我们还有闭区间上的单调有界函数是黎曼可积的，闭区间上间断点不多的函数是黎曼可积的。

以及黎曼可积函数的必要条件即函数必须是有界的，这样又排除了一类黎曼不可积函数。

我们知道，可测集上的连续函数是可测的，并且几乎处处有限的可测函数基本上是连续函数。

那么我们自然会问，定义在可测集上的连续函数是否是L 可积的？是不是R 可积了就一定L 可积，如果不是，那么L 可基函数与R 可积函数类之间有何关系呢？是否某一类函数一定是L 可积的，或者那一类函数一定是L 不可积的呢？最后既然勒贝格可测函数可用连续函数逼近，那么勒贝格可积函数是不是能用连续函数逼近呢？对与上述问题的回答，将在该部分该部分做出论述。

1）有界可测函数必勒贝格可积. 2）勒贝格可积函数必几乎处处有限. 注释：上述可测函数定义在有界可测集E 上。

3）定理1 设()x f 是[]b a ,上的 勒贝格可积函数，则对任何正数ε，有[]b a ,上的连续函数()x g ，使
()()[]
ε<-⎰dm x g x f b
a ,
4）定理2 定义在有限区间上的函数若为
R 可积，则必L 可积分，且积分相等. 注释:上述四条回答了最初的提问，即勒贝格可积函数与黎曼可积函数之间的关系，其中就“4）”，可以做补充，即“函数在[]b a ,上R 可积的充要条件是函数在[]b a ,上地不连续点所成之集测度为0”.可以看出，若不考虑反常积分，则黎曼可积的函数是勒贝格可积的。

并且可以看出，定义在 区间上的勒贝格可积函数是可以用连续函数来平均逼近的。

对比几乎处处有限的函数可用连续函数逼近，此处的条件明显加强了 。

事实上勒贝格可积函数必是几乎处处有限的，则在区间上的L 可积函数必是几乎处处有限的，那么此处将可测 函数限制在了闭区间上，而不是多维闭区间或者是有界 可测集E 上，虽不太完美，但也很漂亮。

5）若0=mE ，则E 上的任何函数()x f 都是L 可积的，并且积分等于0
注释：我们知道，定义在零侧集上的函数均可测，而上述定理告诉我们零侧集上勒贝格积分的性质，两者统一来看，是非常漂亮的结论，此结论也告诉我们一个重要事实:在一个测度为零的集合上改变函数的值，既不影响函数的可积性，也不敢变其积分值.
三：勒贝格积分与黎曼积分性质的比较。

比较完勒贝格积分与黎曼积分的定
义与函数类之后，最后我们对勒贝格积分与黎曼积分的性质进行比较.该部分的论述将分两部分进行，其中第一部分就函数而言，第二部分就函数列而言.其中对可测函数列的勒贝格积分的讨论中，我们会与一致收敛的函数项级数的相关性质进行比较.事实上对积分性质的比较，应该就特殊函数与特殊可测集进行更加细致的讨论，如有关可测集示性函数的L 积分的相关性质及Cantor 集上可测函数勒贝格积分的性质进行论述。

然而由于时间原因，此部分内容无法进行细致学习与论述，实感遗憾。

❶about function 1.勒贝格积分的线性性质：
定理3 设()x f 在E 上勒贝格可积，则对任何实数c,c ()x f 也可积，且
()()dm x f c dm x f c E
E
⎰⎰=.
定理4 设f ，g 在E 上均L 可积，则
g f +也可积，且
()⎰⎰⎰+=+E
E
E
gdm fdm dm g f
注释：上述定理中可测集E 并不限定在有限，
也可无限.对比黎曼积分，也有与之等价的性质.
2.与几乎处处有关的性质:
定理5 设f ，g 在有界可测集E 上均勒贝格可积，且()x g x f ≤)(，则
⎰⎰≤E
E
gdm fdm
定理6 若()()x g x f =于有界可测集E ，
()x g 在E 上可积，则()x f 也在E 上可积.且，
()()dm x g dm x f E
E
⎰⎰=.
注释：上述定理中E 可以为无限可测集.对于黎曼积分，也有与之等价的性质.事实上，上述定理中的条件均可以减弱.即“若
()x g x f ≤)( e a .于E ，则⎰⎰≤E
E
gdm fdm ”“若
()()x g x f =e a .于E 上，()x g 在E 上可积，则()x f 也在E 上可积.且，()()dm x g dm x f E
E
⎰⎰=”.
关于定理5,有一推论
推论1 设()x f 是有界可测集E 上的可测函数，()B x f A ≤≤,则
()BmE dm x f AmE E
≤≤⎰
注释：由于有界可测函数是勒贝格可积的，再对比定理5，该推论显然是成立的。

事实上，当()C x f ≡时，()CmE dm x f E
=⎰.当
mE =0时，()0=⎰E
dm x f .
（错误推断）设()x f ，()x g 都是E
上的可测函数，∞
<mE （E 也可取无界），()x g
可积,且 ()()x g x f ≤ e a . 于E,()x f 一定可积.
注释：对于上述错误推断，加强条件，则可得到如下性质.
定理8 若()x f 在E 上可测，()x g 在E 上勒贝格可积分，且()0≥x g ，()()x g x f ≤,则
()x f 在E 上可积.
3. 有些性质是勒贝格积分特有的，有些黎曼积分的性质，勒贝格积分却不一定有. 定理9 （勒贝格积分的绝对可积性）()x f 在有界可测集E 上勒贝格可积的充要条件是
()x f 在E 上可积
注释：事实上，E 可以是无界的，并且
我们还有以下性质
()()dm x f dm x f E
E
⎰⎰
≤
对比黎曼积分，此性质是不成立的.我们可以说，f 黎曼可积则f 黎曼可积，但是
f 黎曼可积推不出f 黎曼可积.如
()[][]⎩
⎨⎧∈-∈=1,011,01I I c Q x Q x x f
此函数显然黎曼不可积，而()1=x f ，
[]1,0∈x 显然是黎曼可积的.
定理10 ()x f 为E 上的勒贝格可积函数，则()x f 2在E 上不一定L 可积分. 注释：对比黎曼积分，()x f 黎曼可积，则可推出()x f 2是黎曼可积的. 我们构造下列函数
()(]01,00
2
1=∈⎪⎩⎪
⎨⎧=x x x f 该函数是L 可积的，然而()x f 2L 不可积. 4 勒贝格积分的其他性质
定理11（唯一性定理）设f 在有限可测
集E 上勒贝格可积，则0=⎰dm f E
的充要条件
是f 在E 上几乎处处为零.
注释：该定理中E 可以为无限，该定理有下列推论
推论2 若()0≥x f ，(),0=⎰dm x f E
则
()e a x f .0，=于E.
定理12（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的勒贝格可积函数，k
n
k k E E E ,1Y ==等均可测且两两互不相交，则有
()()()()dm
x f dm x f dm x f dm x f n
E E E E
⎰⎰⎰⎰+++=Λ2
1
注释：此定理可以中E 可以为无限.此性质可以对比黎曼积分的如下性质，即“在区间[]b a ,上黎曼可积的函数()x f ，有
()()()()dx x f dx x f dx x f dx x f b
n
d
c
c
a
b
a
⎰⎰⎰⎰++=Λ
其中任意c,d,...n 属于[]b a ,.事实上对于一维无界区间而言黎曼积分的该性质亦
是成立的.
定理13，（σ/完全可加性）设()x f 是有界可测集E 上的勒贝格可积函数，
j i k k E E E E ,,1Y ∞
==等均可测且两两互不相交，则
有
()()()()K K dm x f dm x f dm x f dm x f n
E E E E
⎰⎰⎰⎰++=2
1
注释：该定理中E 可为无界可测集， 定理14（绝对连续性）设()x f 在有界可测集E 上L 可积，则对任意ε，有0>δ，使当)(E e me ⊂<δ时就有
()ε
<⎰dm x f e
注释：此定理中E 可以是无界.此定理若将积分看成更高阶维空间的测度，则即n 维空间任意小的空间都对应与n+1维任意小的空间.若将积分看成原函数，则原函数是绝
对连续的，对应黎曼积分有性质“设
()x f 在[]b a ,上黎曼可积，则对任意[]b a x ,∈，
()()dx x f x F x
a ⎰=是x 的连续函数”.
❷ about function column
定理 15 设()x f 是有界可测集E 上的非负的勒贝格可积函数，(){}N n n x f ∈是满足条件
()()Λ≤≤≤x f x f 210；()()()E x x f x f n n ∈=∞
→lim
的简单函数列，则
()()dm x f dm x f E
n n E
⎰⎰∞
→=lim
注释：此定理中E 可以是无界，且若()x f 勒贝格积分存在，此定理也是成立的，收敛与L
可积函数的简单渐升函数列积分符与极限符号是可交换的.即
()()dm x f dm x f E
n n n
E n ⎰⎰∞
→∞
→=lim lim
对比黎曼积分的性质，函数项级数一致收敛，则部分和函数的极限号与积分号方可交换，
可见，勒贝格积分要方便很多.
定理 16 （勒维定理）设可测集E 上可测函数列(){}x f n 满足下面条件：
()()Λ≤≤≤x f x f 210；
()()()E x x f x f n n ∈=∞
→lim
则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分：
()()dm x f dm x f E
n n n
E n ⎰⎰∞
→∞
→=lim lim
注释：显然该定理更具朴实意义，即收敛的可测函数列的积分符与极限符号可交换.该
定理是勒贝格积分的重要极限定理之一，也是勒贝格积分论的核心定理之一，其应用非常广泛.与函数项级数的相关定理对比，可看出勒贝格积分在对收敛的要求上明显宽松很多，这也便是勒贝格积分教黎曼积分更加优越的原因之一了.
定理（法杜定理）设()x f n 是可测集E 上的非
负可测函数列，则
()()dm x f dm x f E
n n n
E n ⎰⎰∞
→∞
→≤lim lim
注释：该定理便是勒贝格积分的又一重要极限定理，也称法图定理，较勒维定理，该定理有明显放松了，即不要求函数列收敛，只要求其可测.
参考文献：《实变函数与泛函分析概要》第四版 郑维行 王声望 高等教育出版社
《实变函数论》第二版 周民强 北京大学出版社 《实变函数论的典型问题与方法》 张喜堂 华中师范大学出版社
《数学分析》 北大数学系编 高等教育出版社 《数学分析》 复旦数学系 编 高等教育出版社
《中华百科全书，数学》。