第5章实验四Lagrange插值多项式

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第5章实验四Lagrange 插值多项式

实验目的：理解Lagrange 插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange 插值多项

式的公式及源代码，并能根据所给条件求出Lagrange 插值多项式，理解龙格现象。

5.1 Lagrange 插值多项式 Lagrange 插值多项式的表达式： 1,,2,1,)

()()(,

)()(1

11

1+=--==∏

∑+≠=+=n i x x x x x l x l y x L n i

j j j i j i n i i i 。

其中)(x l i 被称为插值基函数，实际上是一个n 次多项式。)(x l i 的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。

5.2 Lagrange 插值多项式源代码I

% 功能：对一组数据做Lagrange 插值 % 调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi) % x,y 数组形式的数据表 % xi:待计算y 值的横坐标数组 % yi 用Lagrange 插值算出的y 值数组 function fi=Lagran_(x,f,xi) fi=zeros(size(xi)); np1=length(f); for i=1:np1

z=ones(size(xi)); for j=1:np1

if i~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));end end

fi=fi+z*f(i); end return

例5.1 已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写出这4个数据点的Lagrange 插值公式，并计算出横坐标xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标。

解：4个数据点的Lagrange 插值公式为：

)

9.36.1(*)7.26.5(*)6.16.5()

9.3(*)7.2)(6.1(*

94.2)

6.59.3(*)

7.29.3(*)6.19.3()

6.5(*)

7.2(*)6.1(*9.3)

6.5

7.2(*)9.37.2(*)6.17.2()

6.5(*)9.3(*)6.1(*22.4)

6.56.1(*)9.36.1(*)

7.26.1()

6.5(*)9.3(*)

7.2(*

3.3)(3------+

------+

------=x x x x x x x x x x x x x L

清单5.1 clear

x=[1.6, 2.7, 3.9, 5.6]; y=[3.3, 1.22, 5.61, 2.94]； xi=[2.101,4.234]; yi=Lagran_(x,y,xi); xx=1.5:0.05:6.5; yy=Lagran_(x,y,xx); plot(xx,yy,x,y,'o')

其结果为：

yi =

1.0596 6.6457

x

g (x ):-, d a t a p o i n t s :o

图5.1 插值多项式曲线图

5.3 Lagrange插值多项式源代码II

% 输入：x是插值节点横坐标向量；y是插值节点对应纵坐标向量。

% 输出：C是拉格朗日插值多项式的系数矩阵；L是插值基函数系数矩阵。

function [C,L]=lagran(x,y)

w=length(x);

n=w-1;

L=zeros(w,w);

for k=1:n+1

V=1;

for j=1:n+1

if k~=j

V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));

end

L(k,:)=V;

end

C=y*L

程序中使用了命令poly和conv。poly命令创建一个向量，其项为以多项式的系数，该多项式具有给定的根。conv命令生成一个向量，其项为多项式系数，该多项式是另外两个多项式的乘积。例如：找出两个一次多项式p(x)和q(x)的乘积，它们的根为3和5。

>> p=poly(3)

p=

1-3

>> q=poly(5)

q=

1-5

>> conv(p,q)

ans=

1 -8 15

例5.2 用Lagrange 插值多项式源代码II ，对4对数据（1.6，3.3），

（2.7，4.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94），写出这4个数据点的Lagrange 插值公式，并计算出横坐标组xi=[2.101,4.234]时对

应的纵坐标值。