流体静力学基本方程

流体静力学基本方程 一、静止液体中的压强分布规律

重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g 代入 Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ (压强p 的全微分方程)

得：dp ＝ρ（-g ）dz ＝-γdz

积分得： p=-γz +c

即： 常数=+γp

z 流体静力学基本方程

对1、2两点： γγ2211p z p z +=+

结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。

2）自由表面下深度h 相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。

3）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。

p 2=p 1+γΔh

4）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。

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二、静止液体中的压强计算

自由液面处某点坐标为z 0，压强为p 0；液体中任意点的坐标为z ，

压强为p ，则：

γγ0

0p z p

z +=+

∴坐标为z 的任意点的压强 ：p ＝p 0＋γ（z 0－z ） 或 p ＝p 0＋γh

三、静止液体中的等压面 静止液体中质量力――重力，等压面垂直于质量力， ∴静止液体中的等压面必为水平面 算一算： 1. 如图所示的密闭容器中，液面压强p 0＝9.8kPa ，A 点压强为49kPa ，

则B 点压强为39.2kPa ,在液面下的深度为3m 。

四、绝对压强、相对压强和真空度的概念

1.绝对压强（absolute pressure ）：是以绝对真空状态下的压强（绝

对零压强）为起点基准计量的压强。

一般 p ＝p a +γh

2. 相对压强（relative pressure ）：又称“表压强”，是以当时当地大气压强为起点而计算的压强。可“＋”可“– ”，也可为“0”。

p '＝p-p a

3.真空度（Vacuum ）：指某点绝对压强小于一个大气压p a 时，其小于大气压强p a 的数值。

真空度p v ＝p a －p

注意：计算时若无特殊说明，均采用相对压强计算。

问题：流体能否达到绝对真空状态？若不能，则最大真空度为多少？

不能，最大真空度等于大气压强与汽化压强的差值。

问题：露天水池水深5m 处的相对压强为：49kPa

A. 5kPa ；

B. 49kPa ；

C. 147kPa ；

D. 205kPa 。

例1 求淡水自由表面下2m 深处的绝对压强和相对压强。

解： 绝对压强： p ＝p 0＋ρgh ＝p a ＋ρgh ＝101325 N/m 2＋9800×2 N/m 2

绝对压强基准

绝对真空p ＝0 相对压强基准

大气压强p a

压强

p 1

p ' p 2 p v

p a

p

p>p a

＝120925 N/m 2＝1.193标准大气压

相对压强：p '＝p －p a ＝ρgh ＝9800×2N/m 2 ＝19600 N/m 2

＝0.193标准大气压 例2 如图，h v =2m 时，求封闭容器A 中的真空度。 解：设封闭容器内的绝对压强为p ，真空度为p v 。

则：p ＝p a －ρgh v

根据真空度定义：p v ＝p a － p

＝p a －（ p a －ρgh v ）＝ρgh v ＝9800×2N/m 2＝19600 N/m 2

问题：某点的真空度为65000 Pa ，当地大气压为0.1MPa ，该点的绝对压强为： C

A. 65000P a ；

B. 55000P a ；

C. 35000P a ；

D. 165000P a 。

问题： 绝对压强p 与相对压强p ’ 、真空度p v 、当地大气压p a 之间的关系是： C

A. p =p'+p v ；

B. p'=p +p a

C. p v = p a -p

D. p'= p a - p

五、流体静力学基本方程的几何意义与能量意义

常数=+γp

z

位置水头z ：任一点在基准面0-0以上的位置高度。表示单位重量液体对基准面O －O 的

位能——比位能。

测压管高度 p '/γ：表示某点液体在相对压强p ’作用下能够上升的高度。

——相对压强高度

静压高度p/γ：表示某点液体在绝对压强p 作用下能够上升的高度。

——绝对压强高度

压强水头——比压能（单位重量液体所具有的压力能）

测压管水头（ z +p '/γ）：位置水头与测压管高度之和。

单位重量流体的总势能。

静压水头（z ＋p/γ）:位置水头与静压高度之和。

比势能：比位能与比压能之和。

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几何意义与能量意义：同一静止液体内各点，比位能与比压能可以互相转化，比势能保持不变。

问题1：仅在重力作用下,静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为 B ？ 静压水头面 A B Z A p'A /γ Z B p B /γ 测压管水头面 p a /γ O

O

A. 随深度增加而增加； C. 随深度增加而减少；

B. 常数； D. 不确定。

问题2：试问图示中A、 B、 C、 D点的测压管高度，测压管水头。（D点闸门关闭，以D点所在的水平面为基准面）

A:测压管高度0m，测压管水头6m

B:测压管高度2m，测压管水头6m

C:测压管高度3m，测压管水头6m

D:测压管高度6m，测压管水头6m

例：试标出图示盛液容器内A. B和C三点的位置水头、压强水

头和测压管水头。以图示O—O为基准面。

解：压强水头为相对压强的液柱高度，即测压管高度；位置

水头为液体质点至基准面的位置高度。

显然，A点压强水头p A/ρg，位置水头z A和测压管水头

（z A+p A/ρg），如图所示。

在静止液体内部任意质点的测压管水头均相等,即z A+p A/ρg=c。因此，以A点的测压管水头为依据，B点的位置水头z B和压强水头p B/ρg即可以确定（如图所示)。

至于C点，因为位于测压管水头之上，其相对压强为负值，即p C< p a。

故该点的压强水头为-p Cv/ρg，位置水头为z C，如图所示。

复习题（判断题）

1、静水压强是既有大小又有方向的矢量。对

2、一个工程大气压等于98kPa,相当于10m水柱的压强。对

3、如果某点的相对压强为负值，则说明该处发生了真空。对

4、容器中两种不同液体的分界面是水平面，但不一定是等压面。错

5、静水内任意一点的静水压强均相等。错

6、静止液体的自由表面是一个水平面，也是等压面。对

思考题

1.什么是等压面？等压面的条件是什么？