第二章 随机信号及其统计描述
合集下载
第2章随机信号及其统计描述
2.1.1 随机过程的概念 随机实验：符合下面三个条件的实验 1. 在相同条件下可以重复进行。 2. 所有出现的结果，事先是已知的。 3. 实验之前出现的结果未知 随机变量：将随机实验的结果用一个变量来表 示，如果变量的取值是不确定的（以某个概率 取某个值），则这种变量称为随机变量。
5
举例：随机过程 以N台性能完全相同，而且工作条件也完全一致的 接收机输出端的噪声电压波形为例，随机过程表示为
[ x1 mx (t1 )][x2 mx (t2 )] f x ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
自协方差函数描述了随机过程在任意两个时 刻起伏值之间的平均相关度。
21
设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个 不同时刻t1,t2的取值分别为X(t1)和Y(t1)，其互协 方差函数定义为：
将上式应用于二维概率分布函数，且令△t=-t1,并设 = t2 – t1，得到：
f x ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f x ( x1 , x2 ; t1 t1 , t2 t1 ) f x ( x1 , x2 ;0, ) f x ( x1 , x2 ; )
性质：二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关，与
31
3
2、通信系统中传输的信号、噪声均为随机信号。 随机信号的不可预测性为所携带的信息，它 是有用的，而噪声的不可预测性是对信号的干扰， 是有害的。两者都不可预测，但均服从一定统计规 律，需用概率论方法进行分析。二者统计特性不同， 可从噪声中提取信号。 3、通信系统中的噪声为随机噪声，简称噪声。
4
2.1t1 ) x1
称为随机过程的一维概率分布函数。
•如果存在
5
举例：随机过程 以N台性能完全相同，而且工作条件也完全一致的 接收机输出端的噪声电压波形为例，随机过程表示为
[ x1 mx (t1 )][x2 mx (t2 )] f x ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
自协方差函数描述了随机过程在任意两个时 刻起伏值之间的平均相关度。
21
设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个 不同时刻t1,t2的取值分别为X(t1)和Y(t1)，其互协 方差函数定义为：
将上式应用于二维概率分布函数，且令△t=-t1,并设 = t2 – t1，得到：
f x ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f x ( x1 , x2 ; t1 t1 , t2 t1 ) f x ( x1 , x2 ;0, ) f x ( x1 , x2 ; )
性质：二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关，与
31
3
2、通信系统中传输的信号、噪声均为随机信号。 随机信号的不可预测性为所携带的信息，它 是有用的，而噪声的不可预测性是对信号的干扰， 是有害的。两者都不可预测，但均服从一定统计规 律，需用概率论方法进行分析。二者统计特性不同， 可从噪声中提取信号。 3、通信系统中的噪声为随机噪声，简称噪声。
4
2.1t1 ) x1
称为随机过程的一维概率分布函数。
•如果存在
二章节随机信号分析
R(0) R( ) 10
（4）R() E 2[ (t)] (t)的直流功率
（5）R(0) R() 2 (t)的交流功率
任意确定功率信号f（t），功率谱密度
P S
(
)
PS ( )
lim T
F ( ) 2 T T
F ( ) T
是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数
随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计
协方差函数与相关函数
用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量 的统计相关特性
协方差
B（t1，t2）=E{[
(t1
)-a（t1）][
(t 2
)
-a（t2）]}
=
[
x1
a(t1
)][
x 2
a(t )] 2
f (x , x ;t ,t )dx dx
2 1 212
12
5
相关函数
R（t1，t2）=E[
(t 1
n12
n12
n
x x x
f (x , x ,x ;t ,t ,,t )
n12
n12
n
12
n
n越大，Fn，fn描述 (t) 的统计特性就越充分
4
数学期望与方差
E[ (t)]=
xf1
( x, t
)dx
a(t )
D[ (t)]=E{ (t) -E[ (t)] }2
=E[ (t) ]2-[E (t) ]2 = 2 (t)
f（x）在(, a)单调上升， (a, )单调下降
x 或 x
f (x) 0
f
( x)dx
1
且有
a
f
( x)dx
（4）R() E 2[ (t)] (t)的直流功率
（5）R(0) R() 2 (t)的交流功率
任意确定功率信号f（t），功率谱密度
P S
(
)
PS ( )
lim T
F ( ) 2 T T
F ( ) T
是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数
随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计
协方差函数与相关函数
用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量 的统计相关特性
协方差
B（t1，t2）=E{[
(t1
)-a（t1）][
(t 2
)
-a（t2）]}
=
[
x1
a(t1
)][
x 2
a(t )] 2
f (x , x ;t ,t )dx dx
2 1 212
12
5
相关函数
R（t1，t2）=E[
(t 1
n12
n12
n
x x x
f (x , x ,x ;t ,t ,,t )
n12
n12
n
12
n
n越大，Fn，fn描述 (t) 的统计特性就越充分
4
数学期望与方差
E[ (t)]=
xf1
( x, t
)dx
a(t )
D[ (t)]=E{ (t) -E[ (t)] }2
=E[ (t) ]2-[E (t) ]2 = 2 (t)
f（x）在(, a)单调上升， (a, )单调下降
x 或 x
f (x) 0
f
( x)dx
1
且有
a
f
( x)dx
电子科技大学随机信号分析课件 第2章 随机信号
24
自相关函数描述的是随机信号任意两个时刻 的状态之间的内在联系。
R(t1 , t2 ) E X (t1 ) X (t2 )
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2
4、自协方差函数和相关系数函数 自协方差函数是随机信号任意两个时刻的随机 变量的二阶混合中心矩。反映了任意两时刻 的起伏值之间的相关程度。
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t ) 在任意 t T 时刻的取值 X (t ) 是一维随机变量。概率 PX (t ) x 是取值 x ，时 刻 t 的函数，记做
F ( x; t ) PX (t ) x
称为随机信号 X (t ) 的一维概率分布函数。 若有F ( x; t ) 偏导数存在，则有
p 0.5 p 0.5
p 0.5 p 0.5
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 cos(500 t2 ))
0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 sin(500 t2 ))
物理意义：描述了所有样 本函数在各个时刻的摆动 中心。
21
2、均方值函数和方差函数 随机信号X(t)在任一时刻t的取值是一个随 机变量X(t)。 X(t)的二阶原点矩称为随机信号 的均方值函数；二阶中心矩称为随机信号的方 差函数。
2 X (t ) VarX (t ) E( X (t ) X (t ))2
19
基本数字特征
随机变量的矩函数是确定值；随机信号的矩函 数是确定性时间函数。
随机信号分析第2章--随机信号
18
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
第 2 章 随机信号的描述与分析汇总
Cx (t1, t2 ) Rx (t1, t2 ) x (t1 ) x (t2 )
随机过程的二维数字特征
自协方差函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性
Cx (t1,t2 ) ˆ E{[x(t1) x (t1 )][x(t2 ) x (t2 )]} Cov{x(t1.t2 )}
a
E{ (t)} xf (x)dx a(t)
2 [ (t) a(t)]2 f (x) dx
D(x)
[x a(t)]2 f (x)dx
a
x2
x3 a
dx
a2
a 2a 6a 3
a
2.2 平稳随机过程
定义 对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率
[x1 x (t1 )][x2 x (t2 )]p2 (x1, x2 ;t1,t2 )dx1dx2
自相关函数
Rx (t1,t2 ) ˆ E{x(t1)x(t2 )} x1x2 p2 (x1, x2 ;t1,t2 )dx1dx2
二者关系为
Cx (t1, t2 ) Rx (t1, t2 ) x (t1 ) x (t2 )
如果
(b) R ( ) R (0)R (0)
(c)
R
(
)
1 2
[R
(0)
R
(0)]
R ( ) 0 表示两个随机过程是不相关（正交的随机过程）
பைடு நூலகம்
[例]
试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差。
1
f
(x)
2a
a xa
解：
E(x)
0
xf (x)dx
a
第二章 随机信号与随机过程
2.2 随机信号的统计描述
随机信号是样本和时间的函数。当t固定时，随机信号 简化为随机变量。
分布函数
F[ X (t j ), t j ] p{x(t j ) x j}
分布密度
f
[ x(t j ), t j ]
F x
t tj
选择N个时刻的值，则有联合分布函数
Fn[x(t1), t1; x(t2 ), t2; x(tn ), tn ]
（3）功率谱函数的性质
Sx (w) 0
Sx (w) Sx (w) 对于实平稳随机过程
Rx (0)
1
2
Sx (w)dw
E[x2 ]
(1)随机常数 （2）随机斜坡
2.7 常用的随机信号
.
x(t) 0
.
x(t) a, a为随机常数
（3）随机正弦 x(t) Asin(wt ), A，w, 中至少有两个随机变量
如果x(t)有一个周期性的分量，则Rn ( )也有一个周期性分量，且周期相同。 即x(t) x(t ),则Rx (t) Rx (t )
（2）互相关函数的性质
Rxy (0) Ryx(0)
Rxy ( ) Ryx ( )
1
Rxy (0) Rx (0)Ry (0) 2
设x.y相互独立 Rxy ( ) Ryx ( ) mxmy
总集：DX (t) E[ X (t) E(X )]2
1T
2
时间：E[(x
x)]t
lim
T
2T
(x
T
x)
dt
（4）自相关函数（在不同时刻的相关性）
Rx (t1,t2 ) E[x(t1), x(t2 )] dx1 x(t1)x(t2 ) f [x(t1),t1; x(t2 ),t2 ]dx2
第 2 章 随机信号的描述与分析
自相关函数的意义 平稳随机过程的统计特性（如数字特征等）可通过自相关 函数来描述； 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。 自相关函数主要性质 R(0)为ξ(t)的平均功率 R(τ)为偶函数 R(0)为R(τ)的上界 R(∞)为ξ(t)的直流功率 R(0)-R(∞)为ξ(t)的交流功率(方差)
其中:
ak E[ (tk )]
k2 E[ (tk ) ak ]2
高斯过程的特点 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差 和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此对于高斯过 程，只要研究它的数字特征就可以了。
如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数 只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也 与时间起点无关，故它也是严平稳的。
平均功率谱推广到随机过程，有：
平稳随机过程的频谱特性
确定信号f(t)的自相关函数与其功率谱密度之间有确定的傅立 叶变换关系。 • 平稳随机过程ξ(t)的自相关函数与其功率谱密度之间也互为傅 立叶变换关系。
P ( ) R ( )e j d
1 R ( ) 2
上式也称之为维纳-辛钦定理。
2. 随机过程的数字特征
随机过程的一维数字特征 数学期望 反映了随机过程取值的集中位置（均值）
设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机过程ξ(t)的取值xi的概率，则其数学期望为：
E t xi Pxi at
i 1
k
对于连续随机变量X，设f (x)为其概率密度函数，则其数学期望为：
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
推论
平稳随机过程的一维概率密度与时间无关； 二维概率密度只与时间间隔τ有关； 数学期望和方差均与时间无关； 它的自相关函数只与时间间隔τ有关。
第2章 随机信号及其时域统计特性
③可在噪声的自相关函数中发现隐藏的周期分量，从
而判断机器是否异常。
41
自相关分析诊断的实例
汽车车身振动信号
x (t )
t
(a)
R x ( )
0
(b )
0.15s
42
自相关分析诊断的实例
自相关分析识别车床变速箱运行状态， 确定存在缺陷轴的位置
R x( ) R x( )
0
0
( a ) 正常状态变速箱噪声信号的自相关函数 ( b ) 异常状态变速箱噪声信号的自相关函数
1. 一维概率分布函数与一维概率密度函数
随机信号X(t)在任意ti T的取值X(ti)是一维随机 变量。记为Fx(xi；ti)=P{X(ti)≤xi}为随机信号 X(t)的 一维概率分布函数。
若 FX ( x, t ) 的偏导数存在，则有
FX ( xi , ti ) 一维概率密度函数 f X ( xi , ti ) xi
23
4. 概率分布函数和概率密度函数的性质 定义 取值范围： 单调递增性
概率分布与概率密度之间的关系：
随机序列
24
25
概率密度函数与概率分布函数的应用
5V 幅值
产品质量控制(生产 设备的工作稳定性) 图(a)：一批零件的 加工尺寸 图 (b)、图 (c)可判 断加工过程的质量 高低，进而可评价 或判断机床工具是 否应该调整
31
2. 均方值（二阶原点矩）和方差 （二阶中心矩）
均方值：E[ X (t )] x 2 f X ( x; t )dx
2
方差： (t ) E[( X (t ) mX (t )) ] [ X (t ) mX (t )]2 f X ( x; t )dx
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第2章
一维概率分布函数为
FX(x; t)=P［X(t)≤x］ 一维概率密度函数为
（2-3）
fX
( x; t )
FX (x;t) x
（2-4）
第二章 随机信号的基本概念
与随机变量不同的是， 随机信号的一维概率分布或概率 密度函数不仅是状态x的函数， 也是时间t的函数。 图2-9给 出了一维概率密度函数示意图。
计算二元变换的雅可比行列式
g1 J = a
g2 a
g1 1
g2
=
cos 0t1+ cos 0t2 +
a a
cos cos
0t1 0t2
+ +
1
=
a
sin
1
0
t1
t2
第二章 随机信号的基本概念
1
a2
fX x1,x2;t1,t2
fA (a, )
J
2π
2
sin
0
t1
t2
exp
2
2
第二章 随机信号的基本概念
图2-5 脉冲信号发生器的典型波形
第二章 随机信号的基本概念
（3） 连续型随机信号(时间连续、 状态连续)。 例如随机正弦信号X(t)=acos(ωt+θ)， 式中a, ω, θ 部分或全部是随机变量。 图2-6示出了它在某个变量是随机 变量、 其他两个为常数时的典型波形。
y
mY
2
2 Y
2
第二章 随机信号的基本概念
在t=t1时刻， X(t1)是一个随机变量， 令 X1=X(t1)=Ycosω0t1， 根据一维随机变量函数的变换， 需求 出反函数及其导数：
Y X1 ,
cos 0t1
05 第二章 随机信号描述
C xy E x t x y t y
(2.147)
1 T lim x t x y t x dt T T 0 R xy x y
式中
1 T R xy lim x t y t dt T T 0
1 xy 1
(2.143)
式中 x、 y分别为 x 、y 的标准偏差，而 x 和 y 2 的方差 x 和 2 则分别为
y
E x x
2 x
2
E y y
2 y
2
§2.5.3 相关分析
利用柯西—许瓦兹不等式
北京工业大学机电学院
-样本记录：在有限时间区间上的样本函数。
--
随机过程：同一试验条件下的全部样本函
数的集（总体），记为 {x(t )}
xt x1 t , x2 t ,, xi t ,
(2.121)
§2.5.1 概述
★随机过程常用的统计特征参数：
北京工业大学机电学院
---均值、均方值、方差、概率密度函数、概 率分布函数和功率谱密度函数等。
(b) 当 xy 1时，也是理想的线形相关，但直线斜率为负； (c) 当 xy 0 时，( xi x ) 与 ( yi y ) 的正积之和等于其 负积之和，因而其平均积 xy 为0，表示 x 、 y 之间完全不
相关。
§2.5.3 相关分析
北京工业大学机电学院
2. 互相关函数与自相关函数 对于各态历经过程，可定义时间变量 x(t ) 与 y(t ) 的互协方差函数为
E x x y y E x x E y y
(2.147)
1 T lim x t x y t x dt T T 0 R xy x y
式中
1 T R xy lim x t y t dt T T 0
1 xy 1
(2.143)
式中 x、 y分别为 x 、y 的标准偏差，而 x 和 y 2 的方差 x 和 2 则分别为
y
E x x
2 x
2
E y y
2 y
2
§2.5.3 相关分析
利用柯西—许瓦兹不等式
北京工业大学机电学院
-样本记录：在有限时间区间上的样本函数。
--
随机过程：同一试验条件下的全部样本函
数的集（总体），记为 {x(t )}
xt x1 t , x2 t ,, xi t ,
(2.121)
§2.5.1 概述
★随机过程常用的统计特征参数：
北京工业大学机电学院
---均值、均方值、方差、概率密度函数、概 率分布函数和功率谱密度函数等。
(b) 当 xy 1时，也是理想的线形相关，但直线斜率为负； (c) 当 xy 0 时，( xi x ) 与 ( yi y ) 的正积之和等于其 负积之和，因而其平均积 xy 为0，表示 x 、 y 之间完全不
相关。
§2.5.3 相关分析
北京工业大学机电学院
2. 互相关函数与自相关函数 对于各态历经过程，可定义时间变量 x(t ) 与 y(t ) 的互协方差函数为
E x x y y E x x E y y
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
2014年信号检测与估计2章参考答案_ls
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττe R X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E 所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。
第二章 随机信号
一维高斯分布（正态分布） 一维高斯分布（正态分布）是常见的一种重要的概 率分布。在各个时刻对应的随机变量均符合一维高 率分布。 斯分布的随机过程称为高斯随机过程。 斯分布的随机过程称为高斯随机过程。通信电路中 的多是噪声满足此条件。 的多是噪声满足此条件。若改噪声在系统的作用频 域内保持均匀的功率谱密度，则可近似看做白噪声， 域内保持均匀的功率谱密度，则可近似看做白噪声， 称为高斯白噪声。 称为高斯白噪声。
s(t)=A(t)cos[ωct+φ(t)+θ]
同相分量和正交分量： 同相分量和正交分量：
如图所示为s(t)的同相分量和异相分量的提取模型。 的同相分量和异相分量的提取模型。 如图所示为 的同相分量和异相分量的提取模型
本章小结
随机变量是指取值按照某种概率，具有不确定性的变量。 随机变量是指取值按照某种概率，具有不确定性的变量。随 机变量的重要统计特征有均值、方差、协方差、 机变量的重要统计特征有均值、方差、协方差、相关函数和 自相关函数。 自相关函数。 如果一个信号在各个时刻取值不是确定值而是服从某种概率 分配，则该信号称为随机信号（随机过程）。 ）。随机过程可以 分配，则该信号称为随机信号（随机过程）。随机过程可以 看做一些列随机变量的有机组合。 看做一些列随机变量的有机组合。 随机过程的均值、方差是关于时间的确定函数。随机过程的 随机过程的均值、方差是关于时间的确定函数。 自协方差和自相关函数是关于两个时间点的函数。 自协方差和自相关函数是关于两个时间点的函数。
2.1.3 随机变量的数字特征
1. 统计均值 随机变量在统计上的平均值
其中， 是离散变量的情况， 其中，对X是离散变量的情况，还有 是离散变量的情况
2. 方差 或
3. 标准差 4. 二维随机变量 的协方差 二维随机变量XY的协方差
随机信号分析第二章
2
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
《随机过程概论》第2章 随机信号的基本概念
2018-9-20
信息与通信学院
随机过程概论
11
2.1 随机信号的定义及其分类
1
x1 (t , 1 )
0 -1 0 1 10 20 30 40 50 60 70 80
x2 (t , 2 )
x3 (t , 3 )
0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
xf X ( x ; t ) dx
一 般 性 ,m X (t ) E { X ( t )}
X (t )
X (t1 )
X (t2 )
mX (t1 )
mX (t2 )
X (ti )
X (tn )
mX (ti )
t
mX (t )
o
t1
t2
ti
tn
2018-9-20
tn
t
■随机信号X(t)在任意两个固定时刻t1,t2属于时间轴，其 属于时间轴，其X(t1), X(t2)是t1,t2时刻所对应的二维随机变量，其二维联合分布和密度函 时刻所对应的二维随机变量，其二维联合分布和密度函 数为：
FX x1 ,x2 ;t1 ,t2 =P X (t1 ) x1 ,X (t2 ) x2
2018-9-20
信息与通信学院
随机过程概论
6
2.1 随机信号的定义及其分类 • 二维随机变量的引入
2018-9-20
信息与通信学院
随机过程概论
7
2.1 随机信号的定义及其分类 • 三维随机变量的引入
2018-9-20
信息与通信学院
随机过程概论
11
2.1 随机信号的定义及其分类
1
x1 (t , 1 )
0 -1 0 1 10 20 30 40 50 60 70 80
x2 (t , 2 )
x3 (t , 3 )
0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
xf X ( x ; t ) dx
一 般 性 ,m X (t ) E { X ( t )}
X (t )
X (t1 )
X (t2 )
mX (t1 )
mX (t2 )
X (ti )
X (tn )
mX (ti )
t
mX (t )
o
t1
t2
ti
tn
2018-9-20
tn
t
■随机信号X(t)在任意两个固定时刻t1,t2属于时间轴，其 属于时间轴，其X(t1), X(t2)是t1,t2时刻所对应的二维随机变量，其二维联合分布和密度函 时刻所对应的二维随机变量，其二维联合分布和密度函 数为：
FX x1 ,x2 ;t1 ,t2 =P X (t1 ) x1 ,X (t2 ) x2
2018-9-20
信息与通信学院
随机过程概论
6
2.1 随机信号的定义及其分类 • 二维随机变量的引入
2018-9-20
信息与通信学院
随机过程概论
7
2.1 随机信号的定义及其分类 • 三维随机变量的引入
2018-9-20
第二章 随机过程
• 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。 • 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
第二章 随机信号及其统计描述
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
一维概率分布函数和一维概率密度函数给出了 随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随 机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不 能反映出随机过程各个时刻的内在联系。
6
1．随机过程的概率分布2
随机过程 X (t ) 的二维概率分布函数
描述了两个随机过程起伏值之间的统计 关联特性。
12
2.1.3 随机过程的平稳性与各态历经性
1. 随机过程的平稳性 随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程 两大类，严格地讲，所有随机过程都是非平稳 的，而电子技术中遇到的随机过程大多数是接 近平稳的。 平稳随机过程的分析要比非平稳随机过程的分 析容易得多，所以在电子技术中常把一些随机 过程近似看作平稳随机过程，以便于分析。
t2 t1
则称随机过程是宽平稳随机过程（或广 义平稳随机过程）。
19
（3）广义平稳相依随机过程
当同时考虑两个广义平稳随机过程 X (t ) 和Y (t ) 时，若它们的互相关函数仅是时间 间隔 的函数，即
R XY (t1 , t 2 ) E X (t1 )Y (t 2 ) R XY ( ),
1
2.1随机过程
随机过程是随机变量概念的扩展。 如接收机的噪声电压就是随时间而随 机变化的。这种随时间而变化的随机变 量就是随机过程。
2
t
t
图2.1 接收机输出的噪声电压波形
…
t
3
2.1.1 随机过程的概念
定义1：设随机试验E的样本空间为S {e} 对其中每一个元素 ei i 1， ） 都以某 （ 2， 种法则确定一个样本函数 x(t，ei ) ，由 全部元素 {e} 所确定的一簇样本函数 X (t，e) 称为随机过程，简记为 X (t ) 。 定义2：设有一个随机过程 X (t ) ，若对 ti 2， X 于每一个固定的时刻 （i 1， ） ， (ti ) 是一个随机变量，则 X (t ) 称为随机过程。
一维概率分布函数和一维概率密度函数给出了 随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随 机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不 能反映出随机过程各个时刻的内在联系。
6
1．随机过程的概率分布2
随机过程 X (t ) 的二维概率分布函数
描述了两个随机过程起伏值之间的统计 关联特性。
12
2.1.3 随机过程的平稳性与各态历经性
1. 随机过程的平稳性 随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程 两大类，严格地讲，所有随机过程都是非平稳 的，而电子技术中遇到的随机过程大多数是接 近平稳的。 平稳随机过程的分析要比非平稳随机过程的分 析容易得多，所以在电子技术中常把一些随机 过程近似看作平稳随机过程，以便于分析。
t2 t1
则称随机过程是宽平稳随机过程（或广 义平稳随机过程）。
19
（3）广义平稳相依随机过程
当同时考虑两个广义平稳随机过程 X (t ) 和Y (t ) 时，若它们的互相关函数仅是时间 间隔 的函数，即
R XY (t1 , t 2 ) E X (t1 )Y (t 2 ) R XY ( ),
1
2.1随机过程
随机过程是随机变量概念的扩展。 如接收机的噪声电压就是随时间而随 机变化的。这种随时间而变化的随机变 量就是随机过程。
2
t
t
图2.1 接收机输出的噪声电压波形
…
t
3
2.1.1 随机过程的概念
定义1：设随机试验E的样本空间为S {e} 对其中每一个元素 ei i 1， ） 都以某 （ 2， 种法则确定一个样本函数 x(t，ei ) ，由 全部元素 {e} 所确定的一簇样本函数 X (t，e) 称为随机过程，简记为 X (t ) 。 定义2：设有一个随机过程 X (t ) ，若对 ti 2， X 于每一个固定的时刻 （i 1， ） ， (ti ) 是一个随机变量，则 X (t ) 称为随机过程。
第二章 随机信号的数学描述
第二章 随机信号的数学描述
第一节 概率论基础
一、概率 1. 随机试验
可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果
2.样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为
3.样本点(or基本事件) 常记为 ， = {}
分布函数与密度函数的几何意义
f ( x) F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若 X 的 d.f. 为 1 , a xb f ( x ) b a 0, 其他
则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作
n元随机变量的联合分布
f ( X) 1 (2 ) C X
n 2 1 2
1 exp ( X-E X )' C X1( X-E X ) 2
对于正态分布，当一次矩、二次矩确定后，分布便确定
第二节 随机过程（信号）
随机信号在不同时刻是取 值不同的随机变量，但它们的 分布遵循概率密度函数。
条件概率
P ( A a, B b) P( B b / A a) P( A a)
统计独立事件
P ( A a, B b) P ( A a ) P ( B b)
2. 联合矩
E ( X E ( X )) (Y E (Y )) —— X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
na lim P( A a) N N
条件概率
nab lim P( B b / A a) N n a
第一节 概率论基础
一、概率 1. 随机试验
可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果
2.样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为
3.样本点(or基本事件) 常记为 ， = {}
分布函数与密度函数的几何意义
f ( x) F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若 X 的 d.f. 为 1 , a xb f ( x ) b a 0, 其他
则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作
n元随机变量的联合分布
f ( X) 1 (2 ) C X
n 2 1 2
1 exp ( X-E X )' C X1( X-E X ) 2
对于正态分布，当一次矩、二次矩确定后，分布便确定
第二节 随机过程（信号）
随机信号在不同时刻是取 值不同的随机变量，但它们的 分布遵循概率密度函数。
条件概率
P ( A a, B b) P( B b / A a) P( A a)
统计独立事件
P ( A a, B b) P ( A a ) P ( B b)
2. 联合矩
E ( X E ( X )) (Y E (Y )) —— X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
na lim P( A a) N N
条件概率
nab lim P( B b / A a) N n a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 随机信号及其统计描述
本章简要阐述了随机过程的基本概 念、统计描述方法，介绍了高斯噪声和 白噪声及其统计特性。
1
2.1随机过程
随机过程是随机变量概念的扩展。 如接收机的噪声电压就是随时间而随 机变化的。这种随时间而变化的随机变 量就是随机过程。
2
t
t
图2.1 接收机输出的噪声电压波形
…
t
t 2 t1
称这两个随机过程是联合广义平稳随机 过程。
20
（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 1
性质1：自相关函数是偶函数，即
RX ( ) RX ( )
性质2：在 0 时有最大值，即
RX (0) RX ( )
21
（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 2
图2.2 平稳随机过程的自相关函数和自协方差函数
23
2．随机过程的各态历经性 1
设平稳随机过程 X (t )，它的时间均值定义 为 1 T mx lim T x(t )dt T 2T x 其中，(t )为随机过程 X (t ) 的任一样本。 时间相关函数定义为
1 T Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T 2T T
性质3：随机过程 X (t ) 满足条件 X (t ) X (t T， ) 则称它为周期为T的周期性随机过程，周期性 随机过程的自相关函数同样具有周期性，即
RX ( ) RX ( T )
性质4：如果随机过程 X (t ) 不含周期分量，那 么 2 lim R X ( ) m X
严格平稳随机过程的自相关函数也是与 时刻 t1 和 t 2 无关，仅为时间间隔 的函 数。
18
（2）宽平稳随机过程
X 定义：若随机过程是二阶矩过程， (t )的数 学期望是与时间无关的常量，而自相关 函数仅与时间间隔 有关，即
mX (t ) mX
RX (t1 , t2 ) RX ( )
3
2.1.1 随机过程的概念
定义1：设随机试验E的样本空间为S {e} 对其中每一个元素 ei i 1， ） 都以某 （ 2， 种法则确定一个样本函数 x(t，ei ) ，由 全部元素 {e} 所确定的一簇样本函数 X (t，e) 称为随机过程，简记为 X (t ) 。 定义2：设有一个随机过程 X (t ) ，若对 ti 2， X 于每一个固定的时刻 （i 1， ） ， (ti ) 是一个随机变量，则 X (t ) 称为随机过程。
4
2.1.2 随机过程的统计描述
用统计特性描述随机过程的方法分为两 大类:
一类是多维概率密度函数和分布函数的描述 方法； 另一类是随机过程的数字特征。
5
1．随机过程的概率分布 1
随机过程 X (t ) 的一维概率分布函数 FX ( x1 , t1 ) PX (t1 ) x1 随机过程 X (t )的一维概率密度函数
自相关函数描述了随机过程在任意两个不同时刻取 值之间的相关程度。 互相关函数
RXY (t1 , t2 ) EX (t1 )Y (t2 )
x1 y2 f XY ( x1 , y2 , t1 , t2 )dx1dy2
互相关函数描述了两个随机过程之间的统计关联特 性。
24
2．随机过程的各态历经性 2
定义：设 X (t )是一个平稳随机过程， （1）如果时间均值依概率1等于集合平均，即
mx m X
P
则称 X (t )的均值具有各态历经性（也叫遍历性）。 （2）如果时间相关函数依概率1等于集合相关函数， P 即 Rx ( ) R X ( ) 则称 X (t )的相关函数具有各态历经性。 （3）如果平稳随机过程的均值和自相关函数都具有各 态历经性，则称为广义各态历经过程。
2 X 2 2
它描述了随机ຫໍສະໝຸດ 程的诸样本相对于数学期望 的平均偏离程度。
9
2．随机过程的数字特征 2
3．相关函数 自相关函数
RX (t1 , t2 ) EX (t1 ) X (t2 )
x1 x2 f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
27
1.独立性1
定义：如果X (t ) 和Y (t )任意n+m维联合概 率密度函数满足
f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t 2 ,t n ) fY ( y1 , y2 , ym , t1 , t 2 ,t m )
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
一维概率分布函数和一维概率密度函数给出了 随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随 机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不 能反映出随机过程各个时刻的内在联系。
6
1．随机过程的概率分布2
随机过程 X (t ) 的二维概率分布函数
13
（1）严格平稳随机过程 1
定义：如果随机过程 X (t ) 的任意n维分布不随 时间起点的不同而变化，即当时间平移任意常 数 t 时，其n维概率密度不变化，则称 X (t ) 是 严格平稳的随机过程（或狭义平稳随机过程）。 应满足下述关系式：
f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 t , t2 t ,, tn t ) f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 ,, tn )
10
2．随机过程的数字特征 3
4．协方差函数 自协方差函数
C X (t1 , t2 ) EX (t1 ) mX (t1 )X (t2 ) mX (t2 )
x m
1
X
(t1 )x2 mX (t2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
25
2．随机过程的各态历经性 3
用数学语言来说，随机过程的各态历经性就是 关于（充分长的）时间的均值依概率收敛于集 合均值。具有各态历经性的随机过程就称之为 各态历经过程。 各态历经性的物理意义是指随机过程的任一样 本在足够长的时间内，都先后经历了这个随机 过程的各种可能的状态，即每个样本都可以作 为有充分代表性的典型样本。
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
随机过程 X (t )的二维概率密度函数
FX ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) x1x2
二维概率分布函数和二维概率密度函数比一维 包含了更多的信息，可以描述随机过程在任两 个时刻取值之间的关联。但它还是不能完整的 反映出随机过程的全部信息。
16
（1）严格平稳随机过程4
应用于二维概率密度函数
t t1
t2 t1
f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ,0, )
严格平稳随机过程的二维概率密度函数 仅与时间间隔 有关，而与时刻 t1 和 t 2 无关，故可简记为 f X ( x1 , x2 , )
22
（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 3 性质5： R (0) EX (t ) m
2 X 2 X 2 X
2 性质6 ： RX ( ) C X ( ) mX
RX ( )
2 2 X mX
C X ( )
2 X 2 mX
0 （a）
0
（b）
2 X (t ) E X (t ) m X (t )2
x m X (t )2 f X ( x, t )dx
2 [ x m X ]2 f X ( x ) dx X
严格平稳随机过程的数学期望和方差也 都是与时间无关的常量。
表示随机过程在任意两个时刻起伏值之间的 平均相关程度。
11
2．随机过程的数字特征 4
互协方差函数
C XY (t1 , t2 ) EX (t1 ) mX (t1 )Y (t2 ) mY (t2 )
x m
1
X
(t1 ) y2 mY (t2 ) f XY ( x1 , y2 , t1 , t2 )dx1dy2
n+m维联合概率密度函数定义为
f XY ( x1 , x2 ,, xn , y1 , y2 , , ym , t1 , t 2 , t n , t1 , t 2 , t m ) FXY ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , ym , t1 , t 2 , t n , t1 , t 2 , t m ) x1x2 xn y1y2 ym
26
2.1.4 随机过程的独立性、相关性和正交性
X (t )和Y (t )的n+m维联合概率分布函数定义
为
FXY ( x1 , x2 ,, xn , y1 , y2 , ym , t1 , t2 ,tn , t1, t2 ,tm ) PX (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn , Y (t1 ) y1 , Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym
n值越大，用随机过程的n维概率分布函数和n 维概率密度函数来描述随机过程的统计特性也 就越完善
8
本章简要阐述了随机过程的基本概 念、统计描述方法，介绍了高斯噪声和 白噪声及其统计特性。
1
2.1随机过程
随机过程是随机变量概念的扩展。 如接收机的噪声电压就是随时间而随 机变化的。这种随时间而变化的随机变 量就是随机过程。
2
t
t
图2.1 接收机输出的噪声电压波形
…
t
t 2 t1
称这两个随机过程是联合广义平稳随机 过程。
20
（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 1
性质1：自相关函数是偶函数，即
RX ( ) RX ( )
性质2：在 0 时有最大值，即
RX (0) RX ( )
21
（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 2
图2.2 平稳随机过程的自相关函数和自协方差函数
23
2．随机过程的各态历经性 1
设平稳随机过程 X (t )，它的时间均值定义 为 1 T mx lim T x(t )dt T 2T x 其中，(t )为随机过程 X (t ) 的任一样本。 时间相关函数定义为
1 T Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T 2T T
性质3：随机过程 X (t ) 满足条件 X (t ) X (t T， ) 则称它为周期为T的周期性随机过程，周期性 随机过程的自相关函数同样具有周期性，即
RX ( ) RX ( T )
性质4：如果随机过程 X (t ) 不含周期分量，那 么 2 lim R X ( ) m X
严格平稳随机过程的自相关函数也是与 时刻 t1 和 t 2 无关，仅为时间间隔 的函 数。
18
（2）宽平稳随机过程
X 定义：若随机过程是二阶矩过程， (t )的数 学期望是与时间无关的常量，而自相关 函数仅与时间间隔 有关，即
mX (t ) mX
RX (t1 , t2 ) RX ( )
3
2.1.1 随机过程的概念
定义1：设随机试验E的样本空间为S {e} 对其中每一个元素 ei i 1， ） 都以某 （ 2， 种法则确定一个样本函数 x(t，ei ) ，由 全部元素 {e} 所确定的一簇样本函数 X (t，e) 称为随机过程，简记为 X (t ) 。 定义2：设有一个随机过程 X (t ) ，若对 ti 2， X 于每一个固定的时刻 （i 1， ） ， (ti ) 是一个随机变量，则 X (t ) 称为随机过程。
4
2.1.2 随机过程的统计描述
用统计特性描述随机过程的方法分为两 大类:
一类是多维概率密度函数和分布函数的描述 方法； 另一类是随机过程的数字特征。
5
1．随机过程的概率分布 1
随机过程 X (t ) 的一维概率分布函数 FX ( x1 , t1 ) PX (t1 ) x1 随机过程 X (t )的一维概率密度函数
自相关函数描述了随机过程在任意两个不同时刻取 值之间的相关程度。 互相关函数
RXY (t1 , t2 ) EX (t1 )Y (t2 )
x1 y2 f XY ( x1 , y2 , t1 , t2 )dx1dy2
互相关函数描述了两个随机过程之间的统计关联特 性。
24
2．随机过程的各态历经性 2
定义：设 X (t )是一个平稳随机过程， （1）如果时间均值依概率1等于集合平均，即
mx m X
P
则称 X (t )的均值具有各态历经性（也叫遍历性）。 （2）如果时间相关函数依概率1等于集合相关函数， P 即 Rx ( ) R X ( ) 则称 X (t )的相关函数具有各态历经性。 （3）如果平稳随机过程的均值和自相关函数都具有各 态历经性，则称为广义各态历经过程。
2 X 2 2
它描述了随机ຫໍສະໝຸດ 程的诸样本相对于数学期望 的平均偏离程度。
9
2．随机过程的数字特征 2
3．相关函数 自相关函数
RX (t1 , t2 ) EX (t1 ) X (t2 )
x1 x2 f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
27
1.独立性1
定义：如果X (t ) 和Y (t )任意n+m维联合概 率密度函数满足
f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t 2 ,t n ) fY ( y1 , y2 , ym , t1 , t 2 ,t m )
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
一维概率分布函数和一维概率密度函数给出了 随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随 机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不 能反映出随机过程各个时刻的内在联系。
6
1．随机过程的概率分布2
随机过程 X (t ) 的二维概率分布函数
13
（1）严格平稳随机过程 1
定义：如果随机过程 X (t ) 的任意n维分布不随 时间起点的不同而变化，即当时间平移任意常 数 t 时，其n维概率密度不变化，则称 X (t ) 是 严格平稳的随机过程（或狭义平稳随机过程）。 应满足下述关系式：
f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 t , t2 t ,, tn t ) f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 ,, tn )
10
2．随机过程的数字特征 3
4．协方差函数 自协方差函数
C X (t1 , t2 ) EX (t1 ) mX (t1 )X (t2 ) mX (t2 )
x m
1
X
(t1 )x2 mX (t2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
25
2．随机过程的各态历经性 3
用数学语言来说，随机过程的各态历经性就是 关于（充分长的）时间的均值依概率收敛于集 合均值。具有各态历经性的随机过程就称之为 各态历经过程。 各态历经性的物理意义是指随机过程的任一样 本在足够长的时间内，都先后经历了这个随机 过程的各种可能的状态，即每个样本都可以作 为有充分代表性的典型样本。
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
随机过程 X (t )的二维概率密度函数
FX ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) x1x2
二维概率分布函数和二维概率密度函数比一维 包含了更多的信息，可以描述随机过程在任两 个时刻取值之间的关联。但它还是不能完整的 反映出随机过程的全部信息。
16
（1）严格平稳随机过程4
应用于二维概率密度函数
t t1
t2 t1
f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ,0, )
严格平稳随机过程的二维概率密度函数 仅与时间间隔 有关，而与时刻 t1 和 t 2 无关，故可简记为 f X ( x1 , x2 , )
22
（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 3 性质5： R (0) EX (t ) m
2 X 2 X 2 X
2 性质6 ： RX ( ) C X ( ) mX
RX ( )
2 2 X mX
C X ( )
2 X 2 mX
0 （a）
0
（b）
2 X (t ) E X (t ) m X (t )2
x m X (t )2 f X ( x, t )dx
2 [ x m X ]2 f X ( x ) dx X
严格平稳随机过程的数学期望和方差也 都是与时间无关的常量。
表示随机过程在任意两个时刻起伏值之间的 平均相关程度。
11
2．随机过程的数字特征 4
互协方差函数
C XY (t1 , t2 ) EX (t1 ) mX (t1 )Y (t2 ) mY (t2 )
x m
1
X
(t1 ) y2 mY (t2 ) f XY ( x1 , y2 , t1 , t2 )dx1dy2
n+m维联合概率密度函数定义为
f XY ( x1 , x2 ,, xn , y1 , y2 , , ym , t1 , t 2 , t n , t1 , t 2 , t m ) FXY ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , ym , t1 , t 2 , t n , t1 , t 2 , t m ) x1x2 xn y1y2 ym
26
2.1.4 随机过程的独立性、相关性和正交性
X (t )和Y (t )的n+m维联合概率分布函数定义
为
FXY ( x1 , x2 ,, xn , y1 , y2 , ym , t1 , t2 ,tn , t1, t2 ,tm ) PX (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn , Y (t1 ) y1 , Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym
n值越大，用随机过程的n维概率分布函数和n 维概率密度函数来描述随机过程的统计特性也 就越完善
8