多元连续函数的性质

毕业论文题目：多元连续函数的性质学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学毕业年限：2012.6学生姓名：马骥学号：200871010428指导教师：张春霞多元连续函数的性质马骥（西北师范大学 数学与信息科学学院,甘肃 兰州 730070）内容摘要:本文通过将一元连续函数在闭区间上的性质和二元连续函数在有界闭区域上的性质推广到多元连续函数的性质. 我们一般可把区域分为有界区域和无界区域．本文分别探讨了多元连续函数在有界区域和无界区域上的性质，并得出一系列的结论．对于有界区域D ，对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在，则函数f 在D 上有界，取得最大、最小值，一致连续．对于无界区域D ，如果存在0r >,对任意P D ∈，P r >时，有()f P M ≤，则f 在D 上有界；若lim ()P f P →∞=+∞，则取得最小值；若lim ()P f P →∞=-∞，则取得最大值．本文分别运用了区域的道路连通性和有界闭区域完全覆盖原理两种方法证明了零点存在性定理，然后用零点存在性定理证明多元连续函数的介值性． 关键词:有界区域；无界区域；有界性；最值性；介值性；一致连续性Properties of the Multivariate Continuous FunctionAbstract ：This paper popularize the properties of the continuous function of one variable or two variables onclosed interval with bound to the multivariate continuous function. Generally, the domain can be divided into two kinds: the bounded domain and the unbounded domain. This paper discusses the properties of the multivariate continuous function on the bounded domain or the unbounded domain and draws a series of conclusions. On bounded domain D , for any 0P D∈, any{}n P D ⊂,if lim ()n n f P →∞existswhile 0n P P →,then function f is bounded and uniformly continuous , and exist maximum and minimum value . On unbounded domain D , there is 0r > and for any P D ∈, P r > ,if ()f P M ≤,then the function f is bounded; if lim ()P f P →∞=+∞, then the function f can get the minimum value; iflim ()P f P →∞=-∞, the function f will get the maximum value. This paper applies road connectivity andcomplete coverage theorem on closed domain with bound respectively to proof of zero point theorem, then applies zero point theorem to proof of intermediate value theorem of the multivariate continuous function.Keywords ：Bounded domain ；unbounded domain ；boundedness ；maximum and minimum value ；intermediate-value property ；uniformly continuous一 引言连续函数的性质在函数的研究中具有很重要的意义和广泛的应用价值.在文献[1]中，利用闭区间上一元连续函数的性质推广到有界闭区域2D R ⊂上二元连续函数的性质，在文献[2]中研究了在有界闭区域n D R ⊂上连续函数:mf D R →的性质.在文献[3] [4] [5]中，也探讨了从闭区间到一般区间附加一定条件下连续函数的有界性、取得最大值和最小值性、介值性以及一致连续性问题.但在实际运用过程中，我们经常接触到的不仅仅是区间，还有区域，因此，本文研究了在区域n D R ⊂上连续函数:f D R →的性质，并得出一系列的结论，为连续函数的性质在实际中更广泛地应用提供了一定的理论依据.一般地，我们可以把9种形式的区间分为三类：①闭区间[],a b ；②开区间(),a b ，(),a +∞，(),b -∞，(),-∞+∞；③半开半闭区间[),a b ，(],a b ，[),a +∞，(],b -∞.同样地，我们也可以把区域分为：①有界闭区域；②有界开区域；③无界区域.例如，{}(,)|,S x y a x b c y d =≤≤≤≤为有界闭区域，{}222(,)|5C x y x y =+<为有界开区域，{}(,)|,D x y x y =-∞<<-∞+∞<<+∞为无界区域.由于在有界闭区域上连续函数的性质，在诸多数学分析教材中已有研究，因此，本文主要研究在有界区域和无界区域上多元连续函数的性质.二 预备知识文中用D 表示D 的闭包，0D 表示D 的内部，D ∂表示D 的边界，dD D （）表示的直径，P 表示点P 到原点的距离, 1D D -表示集合1D 在集合D 中的余集.定义1[1] 设D 是开集，如果对于D 内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于D ，则称D 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界一起，称为闭区域.定义2[2] 设n D R ⊂，若对任意x y D ∈，，存在()[]()0,1,n t C R α∈，使得对任意[]0,1t ∈有()t D α∈且()0x α=，()1y α=，则称D 是道路连通的，其中()t α叫做D 中的一条道路，()0α和()1α分别称为该道路的起点和终点.定义3 设D 是一个区域.如果对于任何两点x ，y ，存在着D 中的一条从x 到y 的道路，我们则称D 是一个道路连通区域.引理1[1]（完全覆盖） 有界闭区域D 的任意一个完全覆盖都包含D 的一个分割，即存在D 的闭子区域12n D D D ，，，，使得{}|1i D i n C ≤≤⊂，i D D ni=1=且任意1i ≤，j n ≤，当i j ≠时，i j d D D （）=0，其中i j d D D （）表示i j D D 的直径.引理2[2] 设n D R ⊂为一有界闭集，若:m f D R →为D 上的连续函数，则()m f D R ⊂必定也是一个有界闭集.引理3[2] 设n D R ⊂为一有界闭集，若:m f D R →为D 上的连续函数，则f 在D 上必定一致连续.即对于任给的0ε>，存在只依赖于ε的0δ>，只要''',x x D ∈，且满足'"x x δ-<，就有'"()()f x f x ε-<.引理4[6](Bolzano-Weierstrass 引理) 设{}n P 是n R 中的有界序列，则它必有收敛的子序列.在引理2，引理3中，当1m =时我们可以很容易得到以下推论.推论1 设在有界闭区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则函数f 在D 上有界.推论2 设在有界闭区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则函数f 在D 上能取得最大值与最小值.推论3 设在有界闭区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则函数f 在D 上一致连续.三 多元连续函数的性质定理1 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，且对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在，则函数f 在D 上有界. 证明 定义:F D R →如下：当P D ∈时，定义()()F P f P =．当P D ∈∂时,定义()()lim n n F P f P →∞=,其中n P P →，n P D ∈．事实上，对D 中任意两个趋于0P 的点列{}n P ，{}n Q ，则0lim lim n n n n PQ P →∞→∞==．设{}{}1122,,,,,,,n n n R Q P Q P Q P =，则{}n R D ⊂，0n R P →，lim ()n n f R →∞存在．由于lim ()n n f R →∞存在，故lim ()lim ()lim ()n n n n n n f P f Q f R →∞→∞→∞==．所以，F 的定义有意义.下面证明函数:F D R →连续.即对任意一点0P D ∈,任意{}0,n n PD P P ⊂→时,有 0lim ()()n n F P F P →∞=.1．当0P D ∈时，取0n P P →.当n 充分大时，n P D ∈，则n n F P f P （）=（）.所以00lim ()lim ()()()n n n n F P f P f P F P →∞→∞===.2．当0P D ∈∂时, 对任意{}n P D ⊂，0n PP →，构造一点列{}'n P D ⊂，使得'1n n P P n-<，'1()()n n F P F P n-<.找{}'n P 的方法如下： ① 当n P D ∈时,取'n n P P =.② 当n P D ∈∂时,存在一点列{}m Q D ⊂,m n Q P →,且lim ()()m n m f Q F P →∞=.即存在0M >,m M >,1m n Q P n -<，1()()m n f Q F P n-<.此时取'1n M P Q +=,因为'n P D ∈,故''()()n n F P f P =.所以，'0lim lim n n n n P P P →∞→∞==，由于'n P D ∈，由定理条件知，'lim ()n n f P →∞存在．故有''lim ()lim ()lim ()n n n n n n F P f P F P →∞→∞→∞==．由F 的定义知：'0()lim ()lim ()n n n n F P f P F P →∞→∞==．从而:F D R →连续.由于有界闭区域D 是紧致空间，而连续函数在紧致空间上有界，故F 在有界闭区域D 上有界，从而F 在D 上有界，而在D 上F f =，故f 在D 上有界.定理2 设在无界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，如果存在0r >,对任意P D ∈，P r>时，有()f P M ≤，则函数f 在D 上有界.证明 设()1,D D B O r =，则1D 为有界闭集．已知f 在D 上连续，则f 在1D 上连续，而1D 为有界闭区域,由推论1可知f 在1D 上有界.即对任意0N >，对任意1P D ∈，有()f P N <.由定理条件知，对任意1P D D ∈-,有()f P M ≤. 于是 ,存在{}0max ,M N M=，对任意P D ∈，有0()f P M ≤.所以，函数f 在区域D 上有界.定理 3 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈，对任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在；且存在Q D ∈，对任意P D ∈∂，有()l i m n n P Pf Q f P →≥（），则函数f 在D 内能取得最大值.证明 将函数f 在闭区域D 上作连续延拓，令lim ()n n F P f P →∞（）=，其中{}n P D ⊂，n P P →，P D ∈.由定理1的证明过程可知，函数()F P 在D D D =∂上连续，由()F P 在有界闭区域D 上连续可知，F 在有界闭区域D 上有最大值，从而()F P 在D 上取得最大值.设F 在D 上的最大值为0()F P ，0P D ∈，则对任意P D ∈，有0()()()F P f P F P =≤.若0P D ∈,则00()()F P f P =,显然()0f P 为f 在D 内的最大值. 若0P D ∈∂,则存在{}0,n n P D P P ⊂→，则有()0lim ()n n F P f P f Q →∞≤（）=.故对任意P D ∈,都有()()()0F P F P f Q ≤≤，所以()f Q 为f 在D 内的最大值.定理4 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在；且存在Q D ∈，对任意,lim n n P PP D f Q f P →∈∂≤有（）（），则函数f 在D 内能取得最小值.证明方法同理与定理3.定理5 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈∂，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，有lim ()n n f P →∞=+∞，则函数f 在D 内能取得最小值.证明 先证f 有下界.若f 无下界，则存在{}n P D ⊂，使lim ()n n f P →∞=-∞.因为{}n P 有界，故存在收敛子序列{}k n P ，满足0k n P P →，且lim ()k n n f P →∞=-∞.若0P D ∈，则()0lim ()k n n f P f P →∞=，这与lim ()k n n f P →∞=-∞矛盾.若0P D ∈∂，则lim ()k n n f P →∞=+∞，这与lim ()k n n f P →∞=-∞矛盾.故f 有下界.现设()inf m f D =，可证存在点Q D ∈，使()f Q m =.如果不然，对任意点P D ∈，都有()0f P m ->.可设()()1F P f P m=-.定义:G D R →如下：()()0.F P P DG P P D ∈⎧⎪=⎨∈∂⎪⎩，，， 则:G D R →连续（证明方法同定理1证明过程中:F D R →连续的证明）.又因f 在D 上不能达到下确界m ，所以存在点列{}'n P D ⊂，使'lim ()n n f P m →∞=.因为{}'n P 有界，故存在收敛子序列{}'k n P ，满足'k n P P →，P D ∈，由于G 在D 上连续，得()()'lim k n k G P G P →∞=.因为'k n P D ∈，由G 的定义，得()()()'''1lim lim limk k kn n k k n n G P F P f Pm→∞→∞→∞===+∞-.这与前面()()'lim k n k G P G P →∞=相矛盾.从而证得函数f 在D 内能取得最小值.定理6 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈∂，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，有lim ()n n f P →∞=-∞，则函数f 在D 内能取得最大值.证明 令()()g P f P =-，则lim ()lim ()n n n n g P f P →∞→∞=-=+∞，根据定理5可知，g 在D 内能取得最小值，则f 在D 内能取得最大值.定理7 设在无界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，如果lim ()P f P →∞=+∞，则函数f 在D 上取得最小值.证明 因为lim ()P f P →∞=+∞,所以任取1P D ∈,对常数1()f P ,存在0r >，当P r >时，有1()()f P f P >.设()1,D DB O r =，则1D 为有界闭集．由于f 在D 上连续,则f 在1D 上连续,而1D 为有界闭区域,所以f 在1D 上必取得最小值,设为2()f P ，对任意1P D ∈,有2()()f P f P ≥.综上所述,取{}012()min (),()f P f P f P =,对任意P D ∈,有0()()f P f P ≥,其中当12()()f P f P ≥时,02P P D =∈；当12()()f P f P ≤时,01P P D =∈.定理8 设在无界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，如果lim ()P f P →∞=-∞，则函数f 在D 上取得最大值.证明 令()()g P f P =-，则lim ()lim ()P P g P f P →∞→∞=-=+∞，根据定理7可知，g 在D 内能取得最小值，则f 在D 内能取得最大值.定理9（零点存在性定理）[2] 设函数f 在道路连通区域D 上连续，且在D 的两点1P 和2P 上的值异号，即12()()0f P f P <，则在D 内连接1P和2P 的一条道路上，一定存在点00,()0P D f P ∈=使得.证明（方法一） 由于区域D 具有道路连通性，故D 中存在一条从1P 2到P 的道路，设[]12:0,1,(0),(1),n g D R g P g P →⊂==且有由于f 在区域D 上连续，由复合映射的连续性可知，[]:0,1f g R →也是连续的，记[]()(),0,1h t f g t t =∈，则有12(0)(1)((0))((1))((0))((1))()()0h h f g f g f g f g f P f P ===<.由一元函数的零点存在性定理知，存在[]000,1,()0t h t ∈=使得.即 ()000()(())0h t fg t f g t === .令00000(),,()0,g t P P D f P P D =∈=∈则有.从而定理得证.方法二（反证法） 假设在D 上不存在点0P ，使得0()0f P =，则对任意00,()0P D f P ∈≠.由连续函数的保号性，存在000()0,(;())P P U P P δδ>∈使得时，0()()f P f P 与同号.设'D 为D 的连通闭子集，且'12P P D ∈,，令C =﹛'E D ⊂|E 是'D 的闭子区域且是某个00(;())U P P δ的子集﹜，则C 是'D 的一个完全覆盖.由完全覆盖引理，C 包含'D 的一个分割12n D D D ，，，，而i D 与1i D +12,1i n =-（,,）有公共界点.由于在i D 12,1i n =-（,,）上()f P 不变号，故若在1D 上()0f P >，便可由1D 与2D 有公共界点推出在2D 上有()0f P >，由此依次可推出在所有的i D 12,1i n =-（,,）上都有()0f P >.从而1()0f P >，2()0f P >，则12()()0f P f P >.这与定理条件的12()()0f P f P <矛盾.从而定理得证.定理10（介值性定理）[2] 设函数f 在道路连通区域D 上连续，若12P P ,为D 内任意两点，且12()()f P f P <，则对任何满足不等式12()()f P u f P <<的实数u ，必存在点00,()P D f P u ∈=使得.证明 令()()F P f P u =-，则()F P 在区域D 上连续，且1122()()0,()()0F P f P u F P f P u =-<=->，根据定理9，在区域D 必存在点0P ，使得00()()0F P f P u =-=，即,有0()f P u = .定理得证.定理11[1] 设在区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则f D （)必定是一个区间. 证明 在区域D 上任取两点12P P ,，且12()()f P f P <，根据定理10知，存在0P D ∈，使得0()f P u =，满足12()()f P u f P <<.于是,[]12()(),()f D f P f P ⊃.所以，f D （)是一个区间. 定理12 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在，则函数f 在D 上一致连续.证明（方法一） 将函数f 在闭区域D 上作连续延拓，令lim ()n n F P f P →∞（）=，其中{},n n P D P P ⊂→，P D ∈.由定理1的证明过程可知，函数()F P 在D D D =∂上连续，则由推论3可知，F 在有界闭区域D 上一致连续，从而F 在D 上一致连续，由于P D ∈时，()()F P f P =，因此函数f 在区域D 上一致连续.（方法二） 假设f 在D 上不一致连续，则存在00ε>，对于任意小的1n，总有相应的n P ，n Q D ∈，虽然()1,n n P Q nρ<，但仍有()()0n n f P f Q ε-≥. 由于D 为有界区域,因此存在收敛子列{}{}k n n P P ⊂,并设0lim k n k P P D →∞=∈.同样地,我们可以在{}n Q 中取得收敛子列{}kn Q ,则因()10,0,k k n n kP Q k n ρ≤<→→∞, 所以有0lim lim k k n n k k Q P P →∞→∞==.设{}{}112233,,,,,,kn n n n n n n R P QP Q P Q =,则0lim lim lim k k k n n n k k k R Q P P →∞→∞→∞===.又因为{}k n R ,{}k n P ,{}k n Q D ⊂,且0lim lim lim k k k n n n k k k R Q P P →∞→∞→∞===,()lim k n k f R →∞,()lim k n k f Q →∞,()lim k n k f P →∞都存在,所以有()()()lim lim lim k k k n n n k k k f R f Q f P →∞→∞→∞==,则有()()()()lim lim lim 0k k k k n n n n k k k f P f Q f P f Q →∞→∞→∞-=-=.这与()()00k k n n f P f Q ε-≥>相矛盾.所以f 在D 上一致连续.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第三版，北京：人民教育出版社，2001.6.[2]毛羽辉.数学分析选论[M].第一版，北京：科学出版社，2003.9.[3]龚国勇.开区间与无穷区间内连续函数的性质[J].玉林师范高等专科学校学报(自然科学).2000，21（3）：1—3.[4]邹慧超.一般区间上连续函数的性质[J].烟台师范学院报(自然科学).2002，18（4）：241—246.[5]夏丹,夏军.闭区间上连续函数的性质推广[J].广西右江民族师专学报.2005，18（6）：13—14.[6]黄玉民，李成章.数学分析（下册）[M].第一版，北京：科学出版社，1999.5.[7]张国才.闭区域上连续函数的性质的证明[J].锦州师范学院报.2000，21（3）：61—62.[8]吴国民.连续函数性质的推广一例[J].孝感教院学报.1999，7（1）：47—49.说明：1.成绩评定均采用五级分制,即优、良、中、及格、不及格.2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等.。