例析数形结合思想在一次函数中的应用

例析数形结合思想在一次函数中的应用

宁波市曙光中学陈怡颖

数与形，是两个最古老，最基本的研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。数形结合，就是把问题的数量关系转化为图形的性质，把图形性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。它主要有两个方面：以“数”解“形”，以“形”助“数”。

一次函数是初中数学的一个重点，数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。本文结合教学实践，谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。

一、以“数”解“形”——把复杂的过程简单化

函数图象形象地展示了函数的性质，为我们研究数量关系提供了“形”的基础，因此在这类一次函数的问题中，我们应抓住特殊的点，及其所表示的实际意义，从而把复杂的过程简单化，把几何的问题代数化。

例1，如图所示，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是（）

A.12.5

B.25

C.12.5a

D.25a

分析：此题初看比较复杂，从几何的角度解题，首先想

到的是平移，但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全

等的，无法通过平移转移到同一个三角形中；如果把图中8

条直线15个交点坐标都求出来，计算量太大，不可行。但仔

细分析可以发现，这些梯形的顶点都在一次函数图象上，因此

它们满足函数解析式，而这三个一次函数解析式又是有联系

的，以最右边的阴影部分梯形为例，虽然它与下面的空白部分

梯形并不全等，但它们的上底都是4，下底都是5，可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定，梯形的高为1，因此它们的面积是相等的。其余阴影部分的面积亦同理可得。因此这里阴影部分的面积就是，直线y=ax，y=（a+1）x，x=5所围成的三角形面积。

⨯

+

-

=

÷

（，故选A。

S）

a

⨯

∴a

5

2

12

5.

÷

5

5=

2

5

1

解此题的关键在于，把不规则的图形转化为规则的图形，光从“形”的角度无法从平移实现，那么就要借助“数”，通过一次函数图象上的点满足解析式，以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。

例2，如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，并且交x 轴于点C，交y轴于点D．

（1）求一次函数解析式；

（2）求线段CD的长；

（3）求∠AOB的度数。

分析：（1）是基础题，根据两点确定一条直线，

用待定系数法把A，B两点代入即可得函数解析式。（2）

要求CD的长，可根据C，D两点的坐标所表示的几何

意义得到线段OD，OC的长度，通过解直角三角形来解

决。在（3）中，△AOB是个钝角三角形，直接求∠AOB

的度数比较复杂，可以转化为求它的补角。且题中各点的坐标已知，可以用坐标的几何意义

求线段的长度，由勾股定理的逆定理将边的条件转化为角的条件。

解：（1）把A （-2，-1），B （1，3）代入y=kx+b ，得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=+-3534,312b k b k b k 解得 3

534+=∴x y （2）令x=0,y=35,)3

5,0(D ∴ 令y=0,x=4

5-,)0,45(-∴C 由勾股定理可得，CD=12

2522=+OD OC （3）取点A 关于原点的对称点E （2,1），则点A ，O ，E 在同一直线上，

由勾股定理可得，OE=5，BE=5，OB=10

222BE OE OB +=

∴△EOB 是等腰直角三角形

∴∠BOE=45°，∠AOB=135°。

此题难度在于第（3）小题，当面对这样一个不规则的三角形的时候，求角度，“形”的角度显得一筹莫展，此时如果能用好平面直角坐标系这个大环境，熟知点的横纵坐标所表示的几何意义，用“数”的途径求得边长，再通过勾股定理这座桥梁，求出角的度数。

总结：在一次函数中，沟通“数”与“形”的就是图象，根据图象上的点坐标满足解析式，找到横纵坐标之间的联系，过点向坐标轴作垂线，坐标又能应用于构造直角三角形，易求线段的长度，图形的面积等几何量，从而将不规则的图形、难求的数量关系转化成规则的、易求的，将复杂的过程简单化。

二、 以“形”助“数”——把抽象的问题具体化

很多问题，仅从代数角度考虑，很难入手，如果借助图象的直观性将抽象的数学概念、复杂的数量关系具体化，形象化，给人以直观的感受，那么很多难题都将迎刃而解。在数学学习过程中，通过以“形”助“数”，突出图的形象思维，促进形象思维和抽象思维的有机结合，往往会收到事半功倍的效果。

例3，如图，直线l 1﹕y=x+1与直线l 2﹕y=mx+n 相交于点P （a ，2），则关于x 的不等式x+1≥mx+n 的解为_______

分析：由两直线相交于点P ，可得，a=1，但直线l 2﹕y=mx+n

上已知的点只有一个，无法确定其解析式，因此无法从解不等式

的方向解此题。我们需要充分利用一次函数图象的性质，观察不

等式，可以发现，不等式的左边，x+1，恰好是直线l 1的函数值，

即直线l 1上点的纵坐标；不等式的右边，mx+n ，是直线l 2的函

数值，即直线l 2上点的纵坐标；因此，原不等式的解，就是去寻

找能使l 1的纵坐标大于等于l 2的纵坐标的点所对应的横坐标。

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