高中数学学案：向量的数量积

高中数学学案：向量的数量积

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2. 掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算.

3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直.

1. 阅读：必修4第83～88页.

2. 解悟：①数量积的定义；②向量b 在向量a 方向上的投影；③两个向量夹角的范围；④重解第87页例4,体会解题的方法和规范.

3. 践习：在教材空白处,完成第89～90页习题12～18题.

基础诊断

1. 判断下列各题正确与否： (1) 0·a ＝0.( ) (2) 0·a ＝0.( √ )

(3) 若a ≠0,a·b ＝a·c,则b ＝c.( )

(4) 若a·b ＝a·c,则b ≠c,当且仅当a ＝0时成立.( )

(5) (a·b)·c ＝a·(b·c),对任意a,b,c 向量都成立.( ) (6) 对任意向量a,有a 2＝|a|2.( √ )

【分析与点评】 (1)(2) 实数与向量的乘积是一个向量,向量与向量的数量积是一个实数；(3) 向量不能进行除法运算；(4) 当a ⊥(b －c)时也成立；(5) 向量间的乘法不具有结合律.

2. 已知A(2,1),B(4,2),C(0,1),则AB

→·AC →＝ －4 .

解析：由题意得AB

→＝(2,1),AC →＝(－2,0),所以AB →·AC →＝(2,1)·(－2,0)＝－4.

3. 已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC ＝60°,则BD

→·CD →＝ 32

a 2 .

解析：由题意得,|BA

→|2＝a 2,BA →·BC →＝a ×a ×cos 60°＝12

a 2,所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA →＝|BA →

|2＋BC

→·BA →＝a 2＋12a 2＝32

a 2. 4. 已知|a|＝2,|b|＝4,且(a ＋b)⊥a,则向量a 与

b 的夹角为 2π

3 .

解析：由题意得(a ＋b)·a ＝0,即a 2＋a·b ＝0,所以a·b ＝－|a|2＝－4.设a 与b 的夹角为θ,所以

cos θ＝a·b |a||b|＝－42×4

＝－12,所以θ＝2π

3.

范例导航

考向❶ 通过定义求平面向量的数量积 例1 已知|a|＝2,|b|＝1,a 与b 的夹角为135°.

(1) 求(a ＋b)·(2a －b)的值； (2) 若k 为实数,求|a ＋k b|的最小值.

解析：(1) 由题意得a·b ＝|a||b|cos 135°＝－1,(a ＋b)·(2a －b)＝2a 2－b 2＋a·b ＝4－1－1＝2.

(2) |a ＋k b|2＝|a|2＋k 2|b|2＋2k a·b ＝k 2－2k ＋2＝(k －1)2＋1. 当k ＝1时,|a ＋k b|2的最小值为1,即|a ＋k b|的最小值为1.

已知向量a 、b 满足||b ＝1,且a 与b －a 的夹角为2π3,则|a|的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥0，

3 . 解析：在△ABC 中,设AB →＝a,AC →＝b.因为b －a ＝AC →－AB →＝BC →,a 与b －a 的夹角为120°,所以

∠ABC ＝60°.因为|AC

→|＝|b|＝1,所以|a|sin C ＝|b|sin 60°,所以|a|＝233sin C ≤233,所以|a|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233. 考向❷ 通过“基底法”求平面向量的数量积

例2 如图,在△ABC 中,已知AB ＝4,AC ＝6,∠BAC ＝60°,点D,E 分别在边AB,AC 上,且AB →＝

2AD

→,AC →＝3AE →,F 为DE 的中点,求BF →·DE →的值.

解析：DE

→＝AE →－AD →＝13AC →－12AB →,

BF →＝DF →－DB →

＝12DE →－12AB →＝16AC →－34AB →, 所以BF

→·DE →＝(16AC →－34AB →)·(13AC →－12AB →) ＝118|AC →|2－13AC →·AB →＋38|AB →|2

＝2－4＋6＝4.

在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,OA ＝3,OC ＝5. 若AB

→·AD →＝－7,则BC →·DC →＝ 9 .

解析：因为O 为BD 的中点,所以OB →＋OD →＝0.因为AB →·AD →＝－7,所以(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)

＝|AO

→|2＋AO →·OD →＋OB →·AO →＋OB →·OD →＝|AO →|2＋AO →·(OD →＋OB →)－|OB →|2＝|AO →|2－|OB →|2＝－7,即32－|OB

→|2＝－7,所以|OB →|2＝16,所以|OB →|＝|OD →|＝4,所以BC →·DC →＝(BO →＋OC →)·(DO →＋OC →)＝BO →·DO →＋BO

→·OC →＋OC →·DO →＋|OC →|2＝－|BO →|2＋OC →·(BO →＋DO →)＋|OC →|2＝－16＋52＝9,故BC →·DC →的值为9. 考向❸ 通过建系法求平面向量的数量积

例3 在矩形ABCD 中,边长AB ＝2,AD ＝1,若M,N 分别是边BC,CD 上的点,且BM BC ＝CN

CD ,则AM

→·AN →的取值范围是 [1,4] . 解析：以AB 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,所以点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).设点M 的坐标为(2,y),点N 的坐标为(x,1).因为

BM BC ＝CN

CD

,所以y ＝2－x 2,所以AN

→＝(x,1),AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2－x 2,所以AM →·AN →＝⎝

⎛⎭⎪⎫2，2－x 2·(x,1)＝3x 2＋1,0≤x ≤2,所以1≤3x 2＋1≤4,即AM

→·AN →∈[1,4].

在Rt △ABC 中,CA ＝CB ＝3,M,N 是斜边AB 上的两个动点,且MN ＝2,则CM →·CN →的取值范

围是 [4,6] .

解析：以C 为坐标原点,CA 所在的直线为x 轴,CB 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则点A(3,0),B(0,3),所以直线AB 的方程为x 3＋y

3＝1,即y ＝－x ＋3.设点N(a,3－a),M(b,3－b),且0≤a ≤3,0≤b ≤3.不妨设a>b,因为MN ＝2,所以(a －b)2＋(3－a －3＋b)2＝2,所以a －b ＝1,所