高中数学学案：向量的数量积
高中数学向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4学案
高中数学向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4学案一、学习目标：1.掌握向量数量积的坐标运算和度量公式。
2.能够应用向量数量积的坐标运算和度量公式解决相关问题。
二、学习内容：1.向量数量积的坐标运算（1）向量的数量积定义（2）向量数量积的坐标运算方法2.向量数量积的度量公式（1）向量的模长（2）向量数量积的几何意义（3）向量数量积的度量公式三、学习步骤：1.引入向量数量积的概念，以例题引导学生体会向量数量积的几何意义。
2.介绍向量数量积的坐标运算方法，并通过例题进行引导。
3.根据向量数量积的坐标运算方法，完成一些练习题，巩固所学知识。
4.引入向量的模长，介绍向量数量积的几何意义，并推导出向量数量积的度量公式。
5.通过例题演示，让学生掌握向量数量积的度量公式的应用方法。
6.给学生提供一些练习题，让他们独立思考并解决问题。
7.给学生布置相关作业，检测他们对所学知识的掌握情况。
四、学习要点：1.向量数量积的定义和几何意义。
2.向量数量积的坐标运算方法。
3.向量的模长和向量数量积的度量公式。
五、学习方法：1.多思考，多举例。
2.注重讲解和实践相结合。
3.合作探究、归纳总结。
六、学习反思：在本学案中，我们学习了高中数学《向量数量积的坐标运算与度量公式》这部分内容。
通过学习，我们掌握了向量数量积的坐标运算和度量公式，能够应用它们解决相关问题。
学案中，我们通过例题引导学生体会向量数量积的几何意义，介绍了向量数量积的坐标运算方法，并通过练习题让学生巩固所学知识。
我们还引入了向量的模长，推导出向量数量积的度量公式，并通过例题演示了它们的应用方法。
最后，给学生布置了相关作业，检测他们对所学知识的掌握情况。
通过本学案的学习，我们掌握了向量数量积的坐标运算和度量公式，提高了解决相关问题的能力。
高中数学备课教案向量的数量积与向量积的几何应用
高中数学备课教案向量的数量积与向量积的几何应用高中数学备课教案：向量的数量积与向量积的几何应用引言：本课教学的目标是让学生能够准确理解向量的数量积和向量积的概念，并能够灵活运用于解决几何问题。
本教案将从以下三个方面展开：一、向量的数量积的定义及性质；二、向量的数量积的几何应用；三、向量的向量积的定义及性质。
一、向量的数量积的定义及性质：1. 向量的数量积的定义：向量的数量积又称点乘，表示为 $\vec{a}·\vec{b}$ ，其定义为$\vec{a}·\vec{b}=|\vec{a}|·|\vec{b}|·cosθ$ ，其中 $|\vec{a}|$ 和$|\vec{b}|$ 分别为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模长，$θ$ 为$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角。
2. 向量的数量积的性质：性质1：$\vec{a}·\vec{b}=\vec{b}·\vec{a}$ ，即数量积具有交换律。
性质2：$\vec{a}·(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}·\vec{b}+\vec{a}·\vec{c}$ ，即数量积具有分配律。
性质3：若 $\vec{a}·\vec{b}=0$ ，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 互相垂直。
二、向量的数量积的几何应用：1. 向量的数量积和向量的夹角：根据向量的数量积的定义，可以推导出 $\vec{a}·\vec{b}=0$ 的充分必要条件是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 互相垂直。
利用这一性质，可以解决诸如判断两个向量是否垂直、确定两个向量夹角大小等问题。
2. 向量的数量积和平行四边形面积：设两个向量 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 的夹角为$θ$ ，则平行四边形的面积$S=|\vec{a}×\vec{b}|=|\vec{a}|·|\vec{b}|·sinθ$ 。
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思一. 教学目标1.理解向量数量积的定义2.掌握向量数量积的运算法则3.能够应用向量数量积的运算法则解决实际问题二. 教学内容1.向量数量积的定义2.向量数量积的运算法则3.向量数量积的应用三. 教学过程及方法1.教学方法：讲解与实验结合2.教学过程：1. 向量数量积的定义向量数量积是指将两个向量相乘后所得到的一个数，用符号 $a \\cdot b$ 表示。
向量数量积的计算公式为 $a \\cdot b=|a| \\cdot |b| \\cdot \\cos \\theta$，其中|a|,|b|分别表示向量a,b的模，$\\theta$ 表示a与b之间夹角。
2. 向量数量积的运算法则(1) 交换律对于任意向量a,b，都有 $a \\cdot b=b \\cdot a$。
(2) 结合律对于任意向量a,b,c，都有 $(a \\cdot b) \\cdot c=a\\cdot(b \\cdot c)$。
(3) 分配律对于任意向量a,b,c，都有 $a \\cdot(b+c)=a \\cdot b+a \\cdot c$。
3. 向量数量积的应用应用向量数量积的运算法则可以解决很多实际问题，例如：例1：已知 $\\vec a =(-1,2)$， $\\vec b=(3,4)$，求 $\\vec a \\cdot \\vec b$。
解：利用向量数量积的计算公式，有$$ \\vec a \\cdot \\vec b = | \\vec a | \\cdot |\\vec b | \\cdot \\cos \\theta $$其中 $\\theta$ 为 $\\vec a$ 与 $\\vec b$ 之间的夹角。
由向量的数量积公式可得$$ \\vec a \\cdot \\vec b = (-1) \\cdot 3 + 2\\cdot 4=5 $$所以 $\\vec a \\cdot \\vec b=5$。
高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标
高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标引言：向量是数学中的重要概念，在高中数学课程中有着广泛的应用。
本教学备课教案将重点介绍向量的数量积与向量的坐标，并通过实例演示其应用。
通过本教案的学习，学生将能够更好地理解向量的数量积与坐标，提高解题能力。
一、向量的数量积（内积）1. 数量积的定义数量积又称为内积，是向量运算中的一种。
对于向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别代表向量a和b的模，θ表示夹角。
2. 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c- 数量积与夹角的关系：a·b = |a|·|b|·cosθ3. 数量积的计算方法（以二维向量为例）假设向量a的坐标为(a1, a2)，向量b的坐标为(b1, b2)，则a·b =a1·b1 + a2·b2。
4. 应用实例：计算向量的夹角通过计算向量a和向量b的数量积以及向量的模，可以求得夹角的余弦值。
再结合反余弦函数，即可计算出夹角的大小。
二、向量的坐标1. 坐标系的建立在平面几何中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述点和向量的位置。
横轴称为x轴，纵轴称为y轴，两轴相交的点为原点O。
2. 向量的坐标表示向量的坐标表示方式是通过向量的起点和终点坐标之差来确定。
以向量AB为例，向量AB的坐标表示为向量OA与向量OB的坐标差，即(Bx-Ax, By-Ay)。
3. 坐标表示与数量积的关系向量的数量积可以通过向量的坐标表示来求解。
对于向量a和向量b，它们的数量积a·b可以表示为a·b = a1·b1 + a2·b2。
4. 应用实例：向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
向量数量积的概念(第一课时)-教案
向量数量积的概念（第一课时）教案物理情境：我们在物理课中学习过，物体受到力的作用，并在力的作用方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功.如图向量平移到同一个起点，下面给出两个向量夹角的定义.1. 两个向量夹角的定义定义：给定两个非零向量a和b，在平面内任选一点O ，作OA=a，OB=b，则称],0[π内的AOB∠为向量a和b的夹角，记作〈a，b〉.图3根据定义我们来判断图3向量a与向量b、向量c、向量d、向量e的夹角的大小，由图3可知向量a与b方向向相同，选一点O，作,a=,0[πOA，b=OB，则闭区间]内的∠AOB的取值为零，则向量a与b夹角大小的为零，当然有夹角的定义可知，若向量a与b夹角大小的为零，也可判断这两个向量是方向相同.接下来我们来判断向量a与向量c的夹角，向量a与向量c方向相反，我们作则闭区间OD,d=的取值为π，当然有夹角的定义可4a与d断这两个向量关系的是不共线，并且这两OE则闭区间,e=的取值为π，向量2，则称向量a与向量所以当两个向量的夹角为3.由已知可得cos π4cos 3a b a b a b b b ⋅=|| ||〈〉16=⨯|| ||=2.，在应用向量数量积的定义进行计算时，这个定义式中出现了四个量，分别是向量的数量积、向量a 的模长、向量b 的模长以及向量夹角余弦值，这四个量，当我们知道其中三个，可根据此式列出未知那个量的方程，也就是知三求一。
在应用定义时，注意a b ⋅是由向量a的模长，向量b 的模长以及两个向量夹角余弦值这三个数量的乘积得到，平面向量的数量积是两个向量之间的一种“乘法”运算，运算结果是一个数量，而不是向量，这与之前所学的向量的线性运算的结果仍是向量不同；平面向量在书写时，向量a 与b 之间用实心圆点“· ”连接，不能用实数的乘法运算符号“×”乘号.那么两个非零向量的数量积是一个实数，当090θ︒︒≤<时，cos ,0a b >，0a b ⋅>；当90θ︒=时，cos ,0a b =，0a b ⋅=；当90180θ︒︒<≤时，cos ,0a b <，0a b ⋅<.两个非零向量的数量积和功一样，可以为正数、可以为零、也可以为负数，符号由两个向量夹角决定.0,||4|360..==︒⋅<=∠⋅若，|，，求BA BC AB BC ABC AB BC）思路分析：试判断△ABC 的形状；要判断三角形在△ABC 形状，需要判断出三角形中最大内角的范围，根据条件向量BA 与向量BC 数量积为负数，找到其与三角形内角的关系，由向量数量积的定义可知，那就需要找到向量BA 与向量BC 的夹角与三角形△ABC 的内角的关系，由图可知，向量BA 与向量BC 的夹角与∠B 相等，这样就可以根据数量积的符号，得到∠B 的范围，来看解题步骤.解：cos 0πcos 0π2⋅∠∠=||||〈〉<〈〉<<〈〉<〈〉=由， ，可得， ，所以， ，因， ，所以BA BC BA BC BA BC BA BC BA BC BA BC B B所以△ABC 是钝角三角形.（2）思路分析：例2的第二问要求⋅AB BC ，由数量积的为钝角，cos ⋅=||||〈〉， AB BC AB BC AB BC ,结合已知条件向量AB 和BC 的模长，只需找出〉， AB BC 与三角形内角∠ABC 的大小关系，因为这两个向量此时是首尾相接，需要把AB 平移到以BD ，〉， AB BC 的夹角就是∠与∠ABC 的关系是互补的，这样我们就可以根据向cos cos12014362︒︒︒〈〉=180-∠=120⋅=||||〈〉=|||| =⨯⨯- - = ， ，， （）AB BC ABC AB BC AB BC AB BC AB BC本节课我们研究向量数量积的路径的性质，并了解每条性质的作用.六、作业1.||||4||||16.a b a b a ba b a b a b︒⋅⋅1=8=〈〉=602=-8=〈〉（），，，，；（），，，已知求已知求解：（1）由已知可得||||cos4cos6a b a b a b︒⋅=〈〉=8⨯⨯0=16，.（2）由已知可得||||coscos1cos23a b a b a ba ba ba b⋅=〈〉-8=16⨯〈〉〈〉=-2π〈〉=，，，，.所以所以2. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，求⋅AB CA解：因为△ABC中是边长为2的等边三角形，对本节课所学知识进行巩固练习.|||2|||cos|||cos120122 2.2=︒︒︒︒∠=60==〈〉=180-∠=120⋅=〈〉==⨯⨯--所以，|，由，，|，|（）BAC AB CAAB CA BACAB CA AB CA AB CAAB CA所。
高中数学备课教案向量的数量积与向量积的计算
高中数学备课教案向量的数量积与向量积的计算高中数学备课教案向量的数量积与向量积的计算一、引言在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅具有大小、方向，还可以进行数量积与向量积的计算。
本教案将详细介绍向量的数量积以及向量积的计算方法和应用。
二、向量的数量积1. 定义向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
向量a与向量b的数量积表示为a·b。
2. 计算方法向量a=(a₁, a₂, a₃)和向量b=(b₁, b₂, b₃)的数量积计算公式为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃3. 性质- 数量积满足交换律：a·b = b·a- 数量积满足分配律：(ka)·b = k(a·b)这些性质可以简化计算和推导过程。
4. 应用- 判断向量的垂直或平行关系：若a·b=0，则向量a与向量b垂直；若a·b≠0，则向量a与向量b不垂直。
- 计算向量的模长：|a| = √(a·a)，其中a·a表示向量a与自身的数量积。
- 计算夹角余弦值：cosθ = a·b / (|a| |b|)，其中θ表示向量a与向量b 的夹角，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
三、向量的向量积1. 定义向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的乘积得到的另一个向量。
向量a与向量b的向量积表示为a×b。
2. 计算方法向量a=(a₁, a₂, a₃)和向量b=(b₁, b₂, b₃)的向量积计算公式为：a×b = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)3. 性质- 向量积满足反交换律：a×b = -b×a- 向量积满足分配律：(ka)×b = k(a×b)4. 应用- 判断向量的共线性：若a×b=0，则向量a与向量b共线；若a×b≠0，则向量a与向量b不共线。
2021年新教材高中数学第八章8.1.1向量数量积的概念学案新人教B版必修第三册19
第八章 向量的数量积与三角恒等变换8．1 向量的数量积 8．1.1 向量数量积的概念[课程目标] 1.理解平面向量数量积的含义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．提高分析事物间相互联系的能力，培养学科间相互渗透的学习意识．[填一填]1．两个向量的夹角(1)给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．(2)当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．(3)当〈a ，b 〉＝0时，a 与b 同向； 当〈a ，b 〉＝π时，a 与b 反向；当〈a ，b 〉＝π2或a 与b 中至少有一个为零向量时，a ⊥b .2．向量的数量积(内积)(1)当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)两向量的数量积不是向量而是实数，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．向量的投影与向量数量积的几何意义(1)设非零向量AB →＝a ，过A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则称向量A ′B ′→为向量a 在直线l 上的投影向量或投影．(2)如果a ，b 都是非零向量，则称|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量． (3)向量数量积的几何意义：两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．4．平面向量的数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0，且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2即|a|＝a·a；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.[答一答]1．如何理解平面向量的数量积？提示：(1)此定义式同时也是两向量数量积的计算式．(2)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．(4)a·b的几何意义是：a的长度与b在a方向上的射影的数量的乘积或b的长度与a在b 方向上的射影的数量的乘积．2．怎样确定两向量数量积的符号？提示：两向量的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值符号决定．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当a与b同向时，θ＝0°，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；当θ为钝角时，cosθ<0，a·b<0；当a与b垂直时，θ＝90°，cosθ＝0，a·b＝0；当a与b反向时，θ＝180°，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.由上可知，a·b>0⇒/ θ为锐角，因为还有可能是θ＝0°；a·b<0⇒/ θ为钝角，因为还有可能是θ＝180°.3．向量数量积的各条性质是如何证明的？提示：(1)①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．证明：a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝|a|cos〈a，e〉，e·a＝|e||a|cos〈e，a〉＝|a|cos〈a，e〉，∴a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．②a⊥b⇔a·b＝0.证明：已知a⊥b，Ⓐ若a、b中至少有一个为零向量，则符合条件a⊥b，∴a·b＝0；Ⓑ若a≠0，b≠0，由已知〈a，b〉＝90°，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0.因此，a⊥b⇒a·b＝0.已知a·b＝0，Ⓐ若a、b中至少有一个为零向量，满足a·b＝0，根据定义知a⊥b；Ⓑ若a≠0，b≠0，则a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝0，即cos〈a，b〉＝0.又因为0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°，∴a⊥b.因此，a·b＝0⇒a⊥b.综上所述，a⊥b⇔a·b＝0.③a·a＝|a|2或|a|＝a·a.证明：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2cos0°＝|a|2，且|a|＝a·a.④cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)．证明：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴当a ≠0，b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. ⑤|a ·b |≤|a ||b |.证明：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a ||b |.(2)性质①可以帮助理解数量积的几何意义；性质②可以解决有关垂直的问题；性质③可以求向量的长度；性质④可以求两向量的夹角；性质⑤可以解决有关不等式的问题，当且仅当a ∥b 时，等号成立.类型一 平面向量数量积的定义[例1] 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．[解] (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos0°＝4×5＝20； 若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时， a ·b ＝|a |·|b |cos30°＝4×5×32＝10 3.求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a |和|b |；(3)求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．[变式训练1] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，则AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝－16，CA →·AB →＝－16.解析：由题意知∠B ＝90°，∠A ＝∠C ＝45°， ∴AB →·BC →＝0.BC →·CA →＝|BC →|·|CA →|·cos135°＝4×42×⎝⎛⎭⎫－22＝－16. CA →·AB →＝|CA →|·|AB →|·cos135° ＝42×4×⎝⎛⎭⎫－22＝－16. 类型二 平面向量的投影[例2] 已知a ·b ＝－9，a 在b 方向上的投影的数量为－3，b 在a 方向上的投影的数量为－32，求a 与b 的夹角θ.[解] ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32，∴⎩⎨⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎨⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.a 在b 方向上的投影的数量也可以写成，投影的数量可正，可负，可为0，它的符号取决于θ角的范围.[变式训练2] 设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ. (1)若|a |＝5，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影的数量； (2)若a ·b ＝9，|a |＝6，求b 在a 方向上的投影的数量． 解：(1)|a |·cos θ＝5×cos150° ＝5×⎝⎛⎭⎫－32＝－532.∴a 在b 方向上的投影的数量为－532.(2)a ·b |a |＝96＝32.∴b 在a 方向上的投影的数量为32.类型三 平面向量的夹角问题[例3] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则根据向量数量积公式可得cos θ＝a ·b |a ||b |，则cos θ＝21×4＝12.∵θ∈[0，π]．∴θ＝π3. [答案] C[变式训练3] 在等边三角形ABC 中，向量AB →与向量BC →的夹角为120°；若E 为BC 的中点，则向量AE →与EC →的夹角为90°.解析：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°.如图，延长边AB 至点D ，使BD ＝AB ，∴AB →＝BD →，∴∠DBC 为向量AB →与BC →的夹角，且∠DBC ＝120°. 又∵E 为BC 的中点， ∴AE ⊥BC ， ∴AE →与EC →的夹角为90°.1．若|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( C ) A ．2 3 B ．4 C ．4 3 D ．8 3解析：a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2×4×32＝4 3. 2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量为32，则a ·b 为( B )A ．3 B.92 C ．2 D.12解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b |·|a |cos θ＝3×32＝92.故选B.3．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( D )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 解析：由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.4．已知|a |＝3，|b |＝4，且a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角是120°. 解析：设a 与b 的夹角为θ.由题意可得cos θ＝a ·b|a ||b |＝1－2，又θ∈[0，π]，所以θ＝120°.。
高三文科向量的数量积学案
学案29：平面向量的数量积及其应用命题人：褚艳秋 复核人：刘丽娟 2013、11、19【考纲要求】1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算律；2、掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．3．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决某些简单的物理问题和实际问题；能利用向量解决一些与长度、角度和垂直相关的问题。
【课前预习案】一、 自主梳理 构建网络1．平面向量数量积的定义；2．平面向量数量积的性质：(1)(2) ；(3) ；(4) ；(5) 。
3．向量垂直的充要条件4. 向量a 在轴ｌ上的正射影向量在轴ｌ上的正射影的数量5. 平面向量数量积的运算律(1) ；(2)(3)6. 平面向量数量积的坐标运算及度量公式(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) 。
二、自我检测 查找问题1.下列命题中是正确的有 ①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +⋅-= ，则||||a b = ； ②||||||a b a b ⋅=⋅ ； ③a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ； ④若()a b c ⊥- ，则a b a c ⋅=⋅ 2．已知向量(3,4),(2,1)a b ==- ，如果向量a xb + 与b 垂直，则x 的值为 （ ）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25-3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-= ，且5a b ⋅= ，则向量b = ___ __4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的正射影的数量为 5．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-= ，则|3|a b +=6、已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的正射影的数量为（ ） A B C ．D ． 【课堂思维展示】例1． 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；（2）若|b |=,25且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ.变式1、设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.例2：已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),2222x x a x x b ==- 且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ⑴求a b ⋅ 及a b + ； ⑵若()2f x a b a b λ=⋅-+ 的最小值是32-，求λ的值．变式2. 已知向量33(cos ,sin )22a x x = ， (cos ,sin )22x x b =- ， （1）当]2,0[π∈x ，求,||a b a b ⋅+ ； （2）若||2)(b a m b a x f +-⋅=≥23-对一切实数x 都成立，求实数m 的范围。
中学数学教案空间向量的数量积与向量积
中学数学教案空间向量的数量积与向量积中学数学教案：空间向量的数量积与向量积导入部分：在学习高中数学的过程中，我们经常会接触到空间向量的概念与计算。
空间向量乃是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们描述和计算具有方向和大小的物理量。
本教案将重点探讨空间向量的数量积与向量积，帮助学生更好地理解和运用这些概念。
一、空间向量的数量积数量积是指两个向量相乘得到一个数的运算。
在空间向量中，两个向量的数量积可以通过向量的坐标进行计算。
假设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。
1.1 数量积的几何意义数量积不仅可以用于计算，还具有几何意义。
对于给定的两个向量A和B，它们的数量积A·B可以表示为A与B的夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。
1.2 数量积的性质数量积具有以下性质：1）数量积满足交换律，即A·B = B·A。
2）数量积满足分配律，即(A+B)·C = A·C + B·C。
3）对于任意非零向量A，A·A > 0，即数量积为正。
二、空间向量的向量积向量积是指两个向量相乘得到一个向量的运算。
在空间向量中，两个向量的向量积可以利用行列式来计算。
假设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的向量积可以表示为A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。
2.1 向量积的几何意义向量积不仅可以用于计算，同样具有几何意义。
对于给定的两个向量A和B，它们的向量积A × B的模长可以表示为A和B所张成的平行四边形的面积。
2.2 向量积的性质向量积具有以下性质：1）向量积满足反交换律，即A × B = -B × A。
2）向量积满足分配律，即(A + B) × C = A × C + B × C。
高中数学空间向量的数量积运算教案人教新课标必修2
2．已知 （）
A．-15B．-5C．-3D．-1
小结：本节课要求学生掌握空间向量的数量积运算。学生掌握本节来自内容，课堂气氛活跃思考
思考
小结
例题分析
分析思考
巩固练习
＝
（3）运算律
； ；
例1.空间四边形OABC的各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点
（1）求证：DE是OA，BC的公垂线；（2）求OA与BC间的距离.
例2.四面体ABCD中，AB=CD，BC=AD，P、Q分别为AC、BD的中点，求证：PQ⊥AC，PQ⊥BD.
课堂练习：
1. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 则△BCD是 （ ）
课题：3.1.3空间向量的数量积运算第一课时
教学目标：
知识与技能：掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。
情感态度与价值观：培养学生空间想象能力；
教学环节
教师活动
学生活动
一、复习引入
二、新课导入
三、例题讲解
四、练习
五、小结
课后反思
1、夹角
定义： 是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 ，则 叫做向量 与向量 的夹角，记作
规定：
特别地，如果 ，那么 与 同向；如果 ，那么 与 反向；如果 ，那么 与 垂直，记作 。
2、数量积
（1）设 是空间两个非零向量，我们把数量 叫作向量 的数量积，记作 ，即
高三第一轮复习数学---平面向量的数量积学案
高三第一轮复习数学---平面向量的数量积一、学习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．二、学习重点：平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。
利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
三、学习过程：（一）主要知识：（1）平面向量的数量积的定义①向量b a ,，的夹角：已知两个非零向量b a ,，过O 点作a OA =，,b OB =则∠AOB=θ（0≤θ≤1800）叫做向量b a ,，的夹角。
当__________________________________时，θ=00，当____________________________时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
②与垂直；如果b a ,________________________则称垂直，记作_______________。
③与的数量积：两个非零向量,，它们的夹角为θ，则______________________叫做称与的数量积（或内积），记作__________，即⋅θcos ⋅规定a ⋅0=0 非零向量b a 与 当且仅当_______________________________，时b a ⋅=0。
④在方向上的投影：R OP ∈==(cos θ（注意OP 是射影）所以，⋅的几何意义：⋅等于的长度与在方向上的投影的乘积。
注：向量中投影可正可负，而射影只能为正。
（2）平面向量数量积的性质设,是两个非零向量，是单位向量，于是有： ① ②③④ ⑤(3)平面向量数量积的运算律①交换律成立： ______________________________________②对实数的结合律成立：____________________________________③分配律成立：_______________________________________________ 特别注意：（1）结合律不成立：()()⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立⋅=⋅不能得到⋅=（3）⋅=0不能=或=0④但是乘法公式成立： ()()22b a b a b a =-=-⋅+；()2222+⋅±=±2b a +⋅±=；等等。
高中数学备课教案空间向量的数量积与向量积
高中数学备课教案空间向量的数量积与向量积高中数学备课教案空间向量的数量积与向量积一、引言空间向量运算是高中数学中的重要内容之一，其中数量积与向量积是空间向量运算中的两个重要概念。
本教案将详细介绍空间向量的数量积与向量积的定义、性质及其应用。
二、数量积的定义与性质1. 数量积的定义数量积，也称点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
设向量a 和b的夹角为θ，则a与b的数量积定义为：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模长。
2. 数量积的性质（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：(ka)·b = k(a·b)，其中k为实数（3）对于任意向量a，有a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a为零向量（4）余弦定理：设向量a和b的夹角为θ，则|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cosθ三、数量积的应用1. 判断垂直若两个向量的数量积为零，则它们是垂直的。
即如果a·b = 0，则向量a和向量b垂直。
2. 判断平行若两个非零向量a和b的数量积为一个实数k，则它们是平行的。
即如果a·b = k，则向量a和向量b平行。
3. 利用数量积求向量的模长根据数量积的定义，可以推导出向量的模长与数量积之间的关系。
设向量a的数量积为a·a = |a|^2，则可以得到|a| = √(a·a)。
四、向量积的定义与性质1. 向量积的定义向量积，也称叉积或外积，是两个向量之间的一种运算。
设向量a 和b的夹角为θ，则a与b的向量积定义为：a × b = |a|·|b|·sinθ·n，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模长，n为满足右手螺旋法则的单位向量。
2. 向量积的性质（1）反交换律：a × b = -b × a（2）对于任意向量a，有a × a = 0，即向量a与自身的向量积为零向量（3）分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（4）模长公式：|a × b| = |a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a和b的夹角五、向量积的应用1. 判断共面若向量a、b和c的向量积为零向量，则它们共面。
高中数学平面向量的数量积教案设计
⾼中数学平⾯向量的数量积教案设计 讲授新课前，做⼀份完美的教案，能够更⼤程度的调动学⽣在上课时的积极性。
接下来是⼩编为⼤家整理的⾼中数学平⾯向量的数量积教案设计，希望⼤家喜欢! ⾼中数学平⾯向量的数量积教案设计⼀ 《平⾯向量数量积》教学设计 案例名称平⾯向量数量积的设计主备⼈组员课时 3课时⼀、教材内容分析平⾯向量数量积是⼈教版⾼⼀下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些⼏何问题、物理问题等的重要⼯具。
学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能⼒的⼀个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三⾓、数列、不等式、解析⼏何、⽴体⼏何中有关长度、⾓度、垂直、平⾏等问题，因此是⾼考命题中“在知识⽹络处设计命题”的重要载体。
⼆、教学⽬标(知识，技能，情感态度、价值观) (⼀)知识与技能⽬标 1、知道平⾯向量数量积的定义的产⽣过程，掌握其定义，了解其⼏何意义; 2、能够由定义探究平⾯向量数量积的重要性质; 3、能运⽤数量积表⽰两个向量的夹⾓，会⽤数量积判断两个平⾯向量的垂直、共线关系 (⼆)过程与⽅法⽬标 (1)通过物理学中同学们已经学习过的功的概念引导学⽣探究出数量积的定义并由定义探究性质; (2)由功的物理意义导出数量积的⼏何意义; (三)情感、态度与价值观⽬标 通过本节的⾃主性学习，让学⽣尝试数学研究的过程，培养学⽣发现、提出、解决数学问题的能⼒，有助于发展学⽣的创新意识。
三、学习者特征分析学⽣已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备⼀定的⾃学能⼒，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
但在探究问题的能⼒、合作交流的意识等⽅⾯发展不够均衡，尚有待加强。
四、教学策略选择与设计教法：观察法、讨论法、⽐较法、归纳法、启发引导法。
学法：⾃主探究、合作交流、归纳总结。
教师与学⽣互动：学⽣⾃主探究，教师引导点拨。
五、教学环境及资源准备三⾓尺六、教学过程教学过程教师活动学⽣活动设计意图及资源准备 创设情景引⼊新课 问题1 在物理学中，我们学过功的概念，如果给出⼒的⼤⼩和位移的⼤⼩能否求出功的⼤⼩?师】：提出学⽣已学过的问题设置疑问，激发学⽣兴趣。
学案4：3.1.3两个向量的数量积
3.1.3两个向量的数量积学习目标1．理解空间向量的夹角的概念．2．掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．学习重点：空间向量的数量积的概念、性质．学习难点：空间向量的数量积的性质、运算律．学习过程自学导引1．空间两向量的夹角(1)定义：两个非零向量a ，b ，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a与向量b 的夹角，记做 ，并且规定 ≤〈a ，b 〉≤ ；(2)基本性质：①〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉；②〈a ，b 〉＝ 时，a ，b 同向；〈a ，b 〉＝π时，a ，b 反向；〈a ，b +〉＝π2时，则称a ，b 互相垂直，记为a ⊥b ； ③〈a ，a 〉＝0；〈a ，－a 〉＝π.2．空间向量的数量积(1)定义：设a ，b 是两个非零向量，我们把|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记为a·b ，即a·b ＝ ．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几个基本结论：①向量a ，b 的夹角〈a ，b 〉可由cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|求得； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a 、b 为非零向量)；③|a|2＝a·a ＝a 2；|a |＝a·a ；0·a ＝0.(3)空间向量的数量积的运算律：①a·b ＝ ；②(λa )·b ＝ (λ∈R )；③a·(b ＋c )＝ .注意：(1)0·a 表示数0,0a 表示向量0，两者不能混淆．(2)a (b·c )与(a·b )c 一般情况下不相等．想一想：1.(a ·b )·c 与c 有何关系？2．(a·b )·c ＝a·(b·c )成立吗？名师点睛1．如何理解空间向量的夹角？(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样， 即[0，π]；(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但直线夹角在(0，π2]内，利用向量求直线夹角时注意转化，两直线的夹角余弦值一定为非负数．2．如何理解平面向量与空间向量数量积的关系？由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．3．怎样理解向量的应用？由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多立体几何中的问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助向量的数量积运算加以解决．(1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，则cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|，可用来求两个向量的夹角、两条异面直线所成的角．(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，用于判断空间两个向量(或空间两条直线)的垂直．(3)|a |2＝a·a ，用于对向量模的计算，求两点间的距离和线段的长度．拓展 (1)空间向量数量积运算不满足消去律，即a ·c ＝a ·b ⇒/ c ＝b .(2)空间向量的数量积运算不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b·c )不正确．例题解析例1 如图表示一个正方体，求下列各对向量的夹角：（1）AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与A`C`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;（2） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C`A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ `； （3） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与A`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;（4） AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与B`A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ `.例2 已知平面α⊥平面β（如图）， α ∩ β=l ，点A ，B 在α内，并且它们在l 上的正射影分别为A `，B `；点C ，D 在β内，并且它们在l 上的正射影分别为C `，D `，求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ · CD⃗⃗⃗⃗⃗ = A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .例3 已知长方体ABCD -A `B `C `D `，AB =AA `，AD =4，E 为侧面AB `的中心，F 为A `D `的中心，计算下列数量积： BC ⃗⃗⃗⃗⃗ · ED`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ · AB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EF⃗⃗⃗⃗⃗ · FC ⃗⃗⃗⃗⃗ `.巩固训练1、已知向量a ＝(1，－2,4)，向量b 满足以下三个条件：(1)a ·b ＝0；(2)|b |＝10；(3)b 与向量c ＝(1,0,0)垂直．试求向量b .2、已知向量a ＝(cos 32x ，sin 32x,0)，b ＝(cos x 2，－sin x 2，0)，且x ∈[0，π2]，求： (1)a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求实数λ.参考答案自学导引1．空间两向量的夹角(1)〈a ，b 〉 0 π(2)②02．空间向量的数量积(1) |a||b|cos 〈a ，b 〉．(3)空间向量的数量积的运算律：①b·a ；②λ(a·b )③a·b ＋a·c想一想：1.因为a·b 是实数，所以(a·b )·c 与c 共线．2．不一定成立．因为(a·b )·c 与c 共线，a·(b·c )与a 共线，所以(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立． 例题解析例1 解：（1）< AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， A`C`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= < AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=45°； （2）< AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， C`A`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= 135°； （3）< AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， A`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= < AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=90°； （4）< AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， B`A`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= 180°； 例2 证明：因为A `B `和C `D `分别为AB ，CD 在l 上的正射影，又因为α⊥β，所以AA `∥BB `，并且它们都与C `C ，CD ，DD `垂直；CC `∥DD `，并且它们都与AA `，AB ，BB `垂直.因此， AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别和CC`⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，D`D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积等于零； CC`⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DD`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别和AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积等于零. 从而可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ · CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）· （ CC`⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D`D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 例3 解：设 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则 |a |=|c |=2，a ·b =b ·c =c ·a =0；BC ⃗⃗⃗⃗⃗ · ED`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ·[(c -a )+b ]=|b |2=42=16； BF⃗⃗⃗⃗⃗ · AB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a +b )·(a +c )=|c |2-|a |2=22-22=0， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ · FC ⃗⃗⃗⃗⃗ `=[(c -a )+ b ]·(b +a ) = (-a +b +c )·]·(b +a ) =-|a |2+|b |2 =2. 1212121212121214巩固训练1、解 设b ＝(x ，y ，z )，∵a ·b ＝0，∴x －2y ＋4z ＝0，①∵|b |＝10，∴x 2＋y 2＋z 2＝100.②∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，∴x ＝0.③联立①②③解得⎩⎨⎧ x ＝0y ＝45z ＝25或⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－45z ＝－25∴b ＝(0,45，25)或b ＝(0，－45，－25).2、解 (1)a ·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝ cos 32x ＋cos x 22＋sin 32x －sin x 22＝2＋2cos 2x ＝4cos 2x ＝2cos x .(2)由(1)知，f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －2λ·2cos x ＝2cos 2x －4λcos x －1＝2(cos x －λ)2－2λ2－1.∵x ∈[0，π2]， ∴cos x ∈[0,1]，则当λ≤0时，f (x )min ＝－1，与题意矛盾，舍去；当0＜λ＜1时，f (x )min ＝－2λ2－1＝－32， ∴λ＝12； 当λ≥1时，f (x )min ＝1－4λ＝－32， 解得λ＝58，不满足λ≥1，舍去． 综上，实数λ的值为12.。
高中数学必修4《平面向量的数量积》教案
⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案 ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ， 则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学⼯具 投影仪 教学过程 ⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本确概念[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积些运算律？能否证明一下？给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为aa=14a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθaa=cos2π314a=－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____.＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力． 课堂小结[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2教师19：提出问题11． 学生17：思考.教师20：布置课后练习师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．升华认知 C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高中数学教案：向量的数量积与夹角
高中数学教案：向量的数量积与夹角一、引言在高中数学的学习中，向量是一个非常重要的概念。
掌握向量的数量积和夹角是理解和应用向量的关键。
本教案将重点介绍向量的数量积和夹角的定义、性质以及应用，以帮助学生深入理解和掌握这一知识点。
二、向量的数量积1. 向量的数量积定义向量的数量积（又称为内积或点积）是两个向量之间的一种运算，用符号“·”表示。
设有向量A和向量A，它们的数量积为A·A=|A||A|cosθ，其中|A|和|A|分别表示向量的模长，θ表示两个向量的夹角。
2. 向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：（1）交换律：A·A=A·A（2）分配律：A·(A+A)=A·A+A·A（3）数量积与模长的关系：A·A=|A||A|cosθ，当θ=90°时，cosθ=0，此时A·A=0，表示两个向量垂直。
三、向量的夹角1. 向量的夹角定义向量的夹角是指两个向量之间的夹角，用符号“∠”表示。
夹角的大小范围为0到180度，可以通过余弦定理进行计算。
2. 向量夹角的计算根据余弦定理，对于两个向量A和A，它们的夹角可以通过以下公式计算：cosθ=A·A/(|A||A|)。
3. 向量夹角的性质向量的夹角具有以下性质：（1）夹角为锐角的两个向量的数量积为正数。
（2）夹角为钝角的两个向量的数量积为负数。
（3）夹角为90度的两个向量互相垂直，数量积为0。
四、向量的数量积与几何应用1. 平面向量垂直的判定根据向量的数量积的性质，如果两个向量的数量积为0，那么它们垂直。
因此，我们可以通过计算向量的数量积来判断平面向量是否垂直。
2. 平面向量夹角的计算和方向判断通过向量的数量积公式A·A=|A||A|cosθ，我们可以利用已知的向量和它们的数量积求解夹角。
同时，根据数量积的正负性，我们可以判断向量的方向关系。
人教版高一数学教案-向量的数量积
教案AB与AC的夹角吗？向量BA与AC的夹角呢？向量AB与AC的夹角为A向量BA与AC的夹角为.问题4：根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角是什么？）当向量a与b同向时，，记作a b ||||=b a b 对定义进行说明：）首先注意：“a b ”中间的“·：零向量与任何向量的数量积为零．0b >；0a b =； ⇔0a b <．与b 的夹角=θa b . ||||=a b a b 45⨯=已知||12=a -542=b解：由||||cos θ⋅=a b a b 得cos ||||θ=a b a b 912254⨯-=22-=. 因为π][0,∈θ，所以43π=θ. 注意：（1）求向量夹角时，注意夹角范围；（2）已知||a ，||b ，⋅a b ，θ中任意三个量，可求另外一个量. 一过程中体会方程思想．深化理解定义 探究投影向量的表示问题6：我们在研究力F 所做的功W 时得到，力F 在位移方向上的分力对功W 起到最关键的作用，如何做力F 在位移方向上的分力? 找力在位移方向的分力的过程抽象成数学问题就是通过投影找投影向量的过程，接下一起认识向量投影和投影向量．如图1，设a ,b 是两个非零向量，a =AB ，b =CD ,我们考虑如下的变换：过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11B A ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，向量11B A 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如图2，我们可以在平面内任取一点O ，作a =OM，ON =b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.图1 图2追问1:投影向量1OM 是向量，它的大小和方向如何表示呢？数乘运算中得到如下结论：任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e （e 是与a 同向的单位向量）.借助力做功模型，引出向量投影与投影向量的概念，通过分类讨论，探究投影向量的明确表达式，加深对投影向量意义的理解.B 1A 1abDC AB7：如图，设与1OM 与e ，a ，θ显然，1OM 与e 共线，于是1OM λ=e .下面我们探究λ与1OM 的明确表达式我们分为锐角、直角、钝角以及π=等情况进行讨为锐角时，1OM 与e 方向相同，，1|||cos OM =a 11||||cos OM OM ==e a 为直角时，0=λ，所以 1π||cos 2OM ==0a e 为钝角时，1OM 与e 方向相反，1||||cos OM λ=-=-a |cos(π)θ-a |cos θ，1||cos OM =a 时，|λ=1|||OM ==a e a π=时，λ=1|OM =-a 从以上的讨论可知，对于任意的1||cos OM =a a||cos ==e e a a ||||cos θ==e a e ||||cos θ==a e a ||cos θ==a e e a a 此性质体现了单位向量e 与任一向量当两向量的位置关系特殊时，是非零向量，它们的夹角是数量积有怎样的特殊性？0⊥⇔=a b a b .2πθ=， cos ||||cos02π==b a b . 反之当0=a b 时，由于0θ=，θ=是非零向量，它们的夹角是数量积有怎样的特殊性？||||=b a b ||||=b a b2||=a a a 或a a .b 是非零向量，|b 与|||a b 1≤可以得到|||||≤b a b . 证明：由数量积的定义|||cos θ⋅a b a b ，|，|1⋅≤a b||||≤b a b 的夹角； 的数量积；非零向量叫做向量的数量积，记作a b ||||=b a b 上的投影向量：1||cos OM =a 方向相同的单位向量） ．数量积的重要性质：是非零向量，它们的夹角是θ，e ||cos ==e e a a 0⊥⇔=b a b ；）当a 与b 同向时，||||=a b a b 当a 与b 反向时，|||=-a b a 特别地，2||=a a a 或||=a a a ； cos |1θ≤还可以得到||||≤b a b 8，|6=|q ，，求p q .ABC 中AB=a ，AC =b ，当<0a b 或=0a b 时，试判e 为单位向量，当向量，e 的夹角θ分别等于，，135时，求向量a 在向量e 上的投影向量.作业2结合下面问题写出你的学习感想8=|||=⨯p q p q ．当<0a b 时，ABC 为钝角三角形；当=0b 时，角三角形.．投影向量分别为实施。
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高中数学学案：向量的数量积1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2. 掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算.3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直.1. 阅读：必修4第83～88页.2. 解悟：①数量积的定义；②向量b 在向量a 方向上的投影；③两个向量夹角的范围；④重解第87页例4,体会解题的方法和规范.3. 践习：在教材空白处,完成第89～90页习题12～18题.基础诊断1. 判断下列各题正确与否： (1) 0·a ＝0.( ) (2) 0·a ＝0.( √ )(3) 若a ≠0,a·b ＝a·c,则b ＝c.( )(4) 若a·b ＝a·c,则b ≠c,当且仅当a ＝0时成立.( )(5) (a·b)·c ＝a·(b·c),对任意a,b,c 向量都成立.( ) (6) 对任意向量a,有a 2＝|a|2.( √ )【分析与点评】 (1)(2) 实数与向量的乘积是一个向量,向量与向量的数量积是一个实数；(3) 向量不能进行除法运算；(4) 当a ⊥(b －c)时也成立；(5) 向量间的乘法不具有结合律.2. 已知A(2,1),B(4,2),C(0,1),则AB→·AC →＝ －4 .解析：由题意得AB→＝(2,1),AC →＝(－2,0),所以AB →·AC →＝(2,1)·(－2,0)＝－4.3. 已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC ＝60°,则BD→·CD →＝ 32a 2 .解析：由题意得,|BA→|2＝a 2,BA →·BC →＝a ×a ×cos 60°＝12a 2,所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA →＝|BA →|2＋BC→·BA →＝a 2＋12a 2＝32a 2. 4. 已知|a|＝2,|b|＝4,且(a ＋b)⊥a,则向量a 与b 的夹角为 2π3 .解析：由题意得(a ＋b)·a ＝0,即a 2＋a·b ＝0,所以a·b ＝－|a|2＝－4.设a 与b 的夹角为θ,所以cos θ＝a·b |a||b|＝－42×4＝－12,所以θ＝2π3.范例导航考向❶ 通过定义求平面向量的数量积 例1 已知|a|＝2,|b|＝1,a 与b 的夹角为135°.(1) 求(a ＋b)·(2a －b)的值； (2) 若k 为实数,求|a ＋k b|的最小值.解析：(1) 由题意得a·b ＝|a||b|cos 135°＝－1,(a ＋b)·(2a －b)＝2a 2－b 2＋a·b ＝4－1－1＝2.(2) |a ＋k b|2＝|a|2＋k 2|b|2＋2k a·b ＝k 2－2k ＋2＝(k －1)2＋1. 当k ＝1时,|a ＋k b|2的最小值为1,即|a ＋k b|的最小值为1.已知向量a 、b 满足||b ＝1,且a 与b －a 的夹角为2π3,则|a|的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥0，3 . 解析：在△ABC 中,设AB →＝a,AC →＝b.因为b －a ＝AC →－AB →＝BC →,a 与b －a 的夹角为120°,所以∠ABC ＝60°.因为|AC→|＝|b|＝1,所以|a|sin C ＝|b|sin 60°,所以|a|＝233sin C ≤233,所以|a|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233. 考向❷ 通过“基底法”求平面向量的数量积例2 如图,在△ABC 中,已知AB ＝4,AC ＝6,∠BAC ＝60°,点D,E 分别在边AB,AC 上,且AB →＝2AD→,AC →＝3AE →,F 为DE 的中点,求BF →·DE →的值.解析：DE→＝AE →－AD →＝13AC →－12AB →,BF →＝DF →－DB →＝12DE →－12AB →＝16AC →－34AB →, 所以BF→·DE →＝(16AC →－34AB →)·(13AC →－12AB →) ＝118|AC →|2－13AC →·AB →＋38|AB →|2＝2－4＋6＝4.在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,OA ＝3,OC ＝5. 若AB→·AD →＝－7,则BC →·DC →＝ 9 .解析：因为O 为BD 的中点,所以OB →＋OD →＝0.因为AB →·AD →＝－7,所以(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝|AO→|2＋AO →·OD →＋OB →·AO →＋OB →·OD →＝|AO →|2＋AO →·(OD →＋OB →)－|OB →|2＝|AO →|2－|OB →|2＝－7,即32－|OB→|2＝－7,所以|OB →|2＝16,所以|OB →|＝|OD →|＝4,所以BC →·DC →＝(BO →＋OC →)·(DO →＋OC →)＝BO →·DO →＋BO→·OC →＋OC →·DO →＋|OC →|2＝－|BO →|2＋OC →·(BO →＋DO →)＋|OC →|2＝－16＋52＝9,故BC →·DC →的值为9. 考向❸ 通过建系法求平面向量的数量积例3 在矩形ABCD 中,边长AB ＝2,AD ＝1,若M,N 分别是边BC,CD 上的点,且BM BC ＝CNCD ,则AM→·AN →的取值范围是 [1,4] . 解析：以AB 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,所以点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).设点M 的坐标为(2,y),点N 的坐标为(x,1).因为BM BC ＝CNCD,所以y ＝2－x 2,所以AN→＝(x,1),AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2－x 2,所以AM →·AN →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，2－x 2·(x,1)＝3x 2＋1,0≤x ≤2,所以1≤3x 2＋1≤4,即AM→·AN →∈[1,4].在Rt △ABC 中,CA ＝CB ＝3,M,N 是斜边AB 上的两个动点,且MN ＝2,则CM →·CN →的取值范围是 [4,6] .解析：以C 为坐标原点,CA 所在的直线为x 轴,CB 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则点A(3,0),B(0,3),所以直线AB 的方程为x 3＋y3＝1,即y ＝－x ＋3.设点N(a,3－a),M(b,3－b),且0≤a ≤3,0≤b ≤3.不妨设a>b,因为MN ＝2,所以(a －b)2＋(3－a －3＋b)2＝2,所以a －b ＝1,所以a ＝b ＋1,所以0≤b ≤2.CM →·CN →＝(a,3－a)·(b,3－b)＝2ab －3(a ＋b)＋9＝2(b ＋1)b －3(b ＋1＋b)＋9＝2(b －1)2＋4.因为0≤b ≤2,当b ＝0或b ＝2时有最大值6,当b ＝1时,有最小值4,所以CM→·CN →的取值范围是[4,6].自测反馈1. 若a,b 均为单位向量,且a ⊥(a －2b),则a,b 的夹角大小为 π3.解析：由题意得a·(a －2b)＝0,即a 2－2a·b ＝0.因为a,b 均为单位向量,所以a·b ＝12.设a 与b 的夹角为θ,所以cos θ＝a·b |a|·|b|＝ 121＝12,所以θ＝π3,故a 与b 的夹角大小为π3.2. 已知向量a ＝(1,1),b ＝(－1,1),设向量c 满足(2a －c)·(3b －c)＝0,则|c|Ｗ.解析：设c ＝(x ,y ),则2a －c ＝(2－x ,2－y ),3b －c ＝(－3－x ,3－y ).因为(2a －c)·(3b －c)＝0,所以(2－x ,2－y )·(－3－x ,3－y )＝0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132.因为圆经过原点,所以|c|的最大值为圆26.3. 在△ABC 中,AC ＝3,BC ＝4,∠C ＝90°,D 是BC 的中点,则BA→·AD →的值为 －17 .解析：如图以C 为原点,AC 所在的直线为x 轴,BC 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系,则点C(0,0),A(3,0),B(0,4),D(0,2),所以BA →＝(3,－4),AD →＝(－3,2),所以BA →·AD →＝(3,－4)·(－3,2)＝－9－8＝－17.4. 已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD ＝120°,点E,F 分别在边BC,DC 上,BE →＝λBC →,CF →＝λCD→. 若AE →·BF →＝－1,则λ＝ 2Ｗ. 解析：AE→·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝(AB →＋λAD →)·(AD →－λAB →)＝－λ|AB →|2＋λ|AD →|2＋(1－λ2)·AB →·AD →＝(1－λ2)AB →·AD →＝(1－λ2)×2×2×cos 120°＝2(λ2－1)＝－1,解得λ＝±22.因为λ>0,所以λ＝22.1. 求两个非零向量的夹角时,要注意它的取值范围是[0,π].2. 两个向量数量积是一个数,常用的计算方法有：定义法、坐标法、基底法等,在使用定义法时,要准确确定两个向量的夹角.3. 你还有哪些体悟,写下来：。