1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据。。。。圆弧插补算法
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一、插补及其算法 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数
插补： 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行 数据点的密化。 数据点的密化。 CNC系统插补功能：直线插补功能 系统插补功能： 系统插补功能 圆弧插补功能 抛物线插补功能 螺旋线插补功能
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8.1
插补原理
直线和圆弧插补功能插补算法： 直线和圆弧插补功能插补算法：
⑴逐点比较法直线插补的象限与坐标变换 线 G01 型 偏 差 判 别 F≥0 F＜0 象 2 限 3
1
4
+X +Y
+Y - X
-X -Y
-Y +X
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8.1
插补原理
（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换 ）
象 线 型 偏差判别 F≥0 G02 G03 F<0 F≥0 F<0 1 -Y +X -X +Y 2 +X +Y -Y -X 3 +Y -X +X -Y 限 4 -X -Y +Y +X
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或半闭环)CNC系统的加减速控制 二、闭环(或半闭环 闭环 或半闭环 系统的加减速控制
前加减速控制： 前加减速控制 （1）稳定速度和瞬时速度 ） （2）线性加减速处理 ①加速处理 ）
②减速处理 ③终点判别处理
8.1
插补原理
图8－2 逐点比较法直线插补轨迹
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8.1
插补原理
2.逐点比较法圆弧插补 逐点比较法圆弧插补
（1）判别函数及判别条件 ） （2）进给方向判别 ） （3）迭代法偏差函数F的推导 ）迭代法偏差函数 的推导 （4）逐点比较法圆弧插补终点判别 ）
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8.1
插补原理
⒊ 坐标变换及自动过象限处理
插补原理
于（Xi+1，Yi）
新点的偏差Fi+1,i=XeYi-(Xi+1)Ye =XeYi-Xi Ye-Ye=Fi-Ye
（新点的偏差值可以通过老点的偏差和终点坐标求出）
同理：当F＜0,走+ Δy,新点位于（Xi，Yi +1 ）
Fi,i+1= Xe (Yi +1) -Ye Xi = Xe + Fi = Fi + Xe
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20
运算过程：
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21
2.3.3 圆弧插补 用逐点比较法也能检修圆弧插补
F=(Xi2- X02) + （Yi2- Y02)
2021/4/3
22
逐点比较法圆弧插补结论
当F≥0，点在圆弧的外面，走-X可以靠近圆弧，
新点偏差：
Fi1,i Xi 1 X0 2 Yi Y0 2
综合之：此脉冲分配器（可控脉冲发生器）可 以输出与控制数据一致的脉冲数（把控制数据 转化为相应的脉冲个数）
2.2.2 数字脉冲乘法的直线插补 以下是2个坐标方向的数字脉冲硬件插补电路图
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10
控制过程
1.清0 2.插补控制信号—SD ，使TG—1 3.MF发出脉冲通过与门I，插补开始 4.插补完后，T1溢出脉冲，TG —0
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11
例子2—1
1,3,5,7,9,11,13,15
X
4，12
2,6,10,14
Y 4；12
(X,Y)=(10,6)=(1010,0110)
4,12 8
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12
2.2.3数字脉冲乘法器插补速度 分析 2.2.3.1脉冲分配的不均匀性问题
新点的偏差Fi+1,i=XeYi-(Xi+1)Ye =XeYi-Xi Ye-Ye=Fi-Ye
（新点的偏差值可以通过老点的偏差和终点坐标求出）
同理：当F＜0,走+ Δy,新点位于（Xi，Yi +1 ）
Fi,i+1= Xe (Yi +1) -Ye Xi = Xe + Fi = Fi + Xe
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运算过程：
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2.3.3 圆弧插补 用逐点比较法也能检修圆弧插补
F=(Xi2- X02) + （Yi2- Y02)
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逐点比较法圆弧插补结论
当F≥0，点在圆弧的外面，走-X可以靠近圆弧，
新点偏差：
Fi1,i Xi 1 X0 2 Yi Y0 2
综合之：此脉冲分配器（可控脉冲发生器）可 以输出与控制数据一致的脉冲数（把控制数据 转化为相应的脉冲个数）
2.2.2 数字脉冲乘法的直线插补 以下是2个坐标方向的数字脉冲硬件插补电路图
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控制过程
1.清0 2.插补控制信号—SD ，使TG—1 3.MF发出脉冲通过与门I，插补开始 4.插补完后，T1溢出脉冲，TG —0
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例子2—1
1,3,5,7,9,11,13,15
X
4，12
2,6,10,14
Y 4；12
(X,Y)=(10,6)=(1010,0110)
4,12 8
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2.2.3数字脉冲乘法器插补速度 分析 2.2.3.1脉冲分配的不均匀性问题
第5章 数控插补原理
3.时间分割法插补精度 直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插 补误差。
圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行 逼近，存在半径误差。
Y A(Xe,Ye) l l △X β O l △Y
α
第5章 数控装置的轨迹控制原理
FT l er 8r 8r
2
2
式中 er——最大径向误差； r——圆弧半径。 圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径r成反比，与插补周期T和进 给速度F 的平方成正比。 插补周期是固定的，该误差取决于进给速度和圆弧半径。 当加工圆弧半径确定后，为了使径向误差不超过允许值，对进给 速度有一个限制。 例如：当要求er≤1μ m,插补周期为T=8ms，则进给速度为：
第5章 数控装置的轨迹控制原理
5.2 脉冲增量插补
-------逐点比较法
插补原理：每次仅向一个坐标轴输 出一个进给脉冲，每走一步都要通 过偏差计算，判断偏差点的瞬时坐 标同规定加工轨迹之间的偏差，然 后决定下一步的进给方向。 每个插补循环由四个步骤组成。
Y P1 P2 B
A 0
P0(x,y)
X 终点到？
设刀具由A点移动到B点，A（Xi－1，Yi－１ ）为圆弧上一插补 点, B(Xi，Yi)为下一插补点。AP为A点的切线，AB为本次插补的合成 进给量，AB=f。M为AB之中点。 通过计算可以求得下一插补点B点的坐标值
X i X i1 X
Yi Yi 1 Y
第5章 数控装置的轨迹控制原理
∑=5-1=4 ∑=4-1=3 ∑=3-1=2
9
10
F8＞0
F9＞0
-X
-X
F9=4-2×2+1=1，X9=2-1=1，Y9=5
数控机床插补原理
采样反馈
X轴实际位置 X轴位置
比较
X坐标轴的位置增量/本周期
插 补 程 序
X轴位置 跟踪误差
Y坐标轴的位置增量/本周期
Y轴位置
采样反馈
比较
Y轴位置 跟踪误差
Y轴实际位置
伺 服 位 置 控 制 软 件
X轴 速度
X 驱 动 Y 驱 动
Y轴 速度
2插补的分类
2.4数据采样插补算法分类
1、直接函数法
数 据 采 样 插 补 算 法
Σ =5
Σ =4 Σ =3
6
7 8
F5<0
F6>0 F7<0
+y
-x -x
F6=F5+2y5+1=4
F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0
x6=4, y6=0
x7=4, y7=0 x8=4, y8=0
Σ =2
Σ =1 Σ =0
四、总结
插补原理，就是根据加工要求，确定出起 点和终点坐标之间的中间点，进而控制刀具 沿规定的轨迹运动，以加工出规定的轮廓的 方法。
X i 1 X i 1 2 2 2 Fi 1 ( X i 1) Yi R Fi 2 X i 1
3.3.4终点判别
双向计数：Σ=|Xb-Xa|+|Yb-Ya|，Σ=0停止 单向计数：Σ=max{|Xb-Xa|,|Yb-Ya|},Σ=0停止 分别计数：Σ1=|Xb-Xa|,Σ2=|Yb-Ya|，Σ1&Σ2=0停止
y
4 2 2 3
E(4,2)
o
1 1
x
2.投影法（单向计数） 取X方向和Y方向最多的步数作为计 数长度，此方向每走一步减一，直 到减为0停止。 Σ=max{|Xe|,|Ye|} Σ=0插补停止
X轴实际位置 X轴位置
比较
X坐标轴的位置增量/本周期
插 补 程 序
X轴位置 跟踪误差
Y坐标轴的位置增量/本周期
Y轴位置
采样反馈
比较
Y轴位置 跟踪误差
Y轴实际位置
伺 服 位 置 控 制 软 件
X轴 速度
X 驱 动 Y 驱 动
Y轴 速度
2插补的分类
2.4数据采样插补算法分类
1、直接函数法
数 据 采 样 插 补 算 法
Σ =5
Σ =4 Σ =3
6
7 8
F5<0
F6>0 F7<0
+y
-x -x
F6=F5+2y5+1=4
F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0
x6=4, y6=0
x7=4, y7=0 x8=4, y8=0
Σ =2
Σ =1 Σ =0
四、总结
插补原理，就是根据加工要求，确定出起 点和终点坐标之间的中间点，进而控制刀具 沿规定的轨迹运动，以加工出规定的轮廓的 方法。
X i 1 X i 1 2 2 2 Fi 1 ( X i 1) Yi R Fi 2 X i 1
3.3.4终点判别
双向计数：Σ=|Xb-Xa|+|Yb-Ya|，Σ=0停止 单向计数：Σ=max{|Xb-Xa|,|Yb-Ya|},Σ=0停止 分别计数：Σ1=|Xb-Xa|,Σ2=|Yb-Ya|，Σ1&Σ2=0停止
y
4 2 2 3
E(4,2)
o
1 1
x
2.投影法（单向计数） 取X方向和Y方向最多的步数作为计 数长度，此方向每走一步减一，直 到减为0停止。 Σ=max{|Xe|,|Ye|} Σ=0插补停止
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
脉冲增量插补和数据采样插补是实现插补的两种不同方法。
脉冲增量插补是将连续的运动轨迹离散化，以一定的脉冲数来表示，通过控制脉冲信号的频率和方向来控制机床的运动方向和速度。
而数据采样插补则是将预先生成的轨迹数据存储在内存中，通过对数据进行采样来得到机床的控制指令。
脉冲增量插补的特点是运算简单，系统响应速度较快，适合于高速运动控制；但由于其离散化的特点，可能会引入累积误差。
数据采样插补的特点是能够精确控制机床的运动轨迹，减小累积误差，但需要占用较大的内存空间。
逐点比较法是一种用于校正控制系统误差的方法。
其基本原理是通过对实际运动轨迹数据和预期轨迹数据进行逐点比较，根据比较结果来调整机床的控制指令，使实际运动轨迹尽可能地与预期轨迹一致。
逐点比较法的关键是选择合适的比较误差补偿算法，以实现高效准确的校正。
直线插补是指在机床坐标系下，按照直线轨迹进行插补运动。
直线插补的计算相对简单，只需要对坐标进行线性插值即可。
圆弧插补是指在机床坐标系下，按照圆弧轨迹进行插补运动。
圆弧插补的计算相对复杂，需要考虑起点、终点和半径等参数，通过数学运算得出插补指令。
总之，插补是机床运动控制的基础，脉冲增量插补和数据采样插补是两种常见的实现方式，逐点比较法是一种用于校正误差的方法，直线插补和圆弧插补则是两种常见的插补方式。
数控加工中两种插补原理及对应算法
数控加工中两种插补原理及对应算法数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要按照进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间控制点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的控制速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置控制软件的核心是插补。
插补的方法和原理很多，根据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲分配计算的基本单位，根据加工的精度选择，普通机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法控制精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环控制系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。
插补原理概述
2.1 插 补 原 理
2. 逐点比较法圆弧插补
在圆弧加工过程中，要描述刀具位置与被加工圆弧之间关系，可用动
点到圆心距离大小来反映。见图2-8，设圆弧圆心在坐标原点，己知圆弧
起点 A(X，a ,终Ya )点 ，B(X圆b,弧Yb )半径为R。加工点可能在三种情况出现，圆弧 上、圆弧外、圆弧内。
①当动点 P(X位,Y)于圆弧上时有
②若 F ，0 表明动点在圆内，应向+X向进给，计算出新一点的偏差。
如此走一步，算一步，直至终点。
由于偏差计算公式中有平方值计算，下面采用递推公式给予简化。对
第(一Xi象1,Y且i限1) 顺圆，X，i+1 =FXi，，i ³Yi动则+01 =点新Yi点-1的Pi偏应( X差向i , 值-YYi )为向进给，新的动点坐标为
②若点在直线上，则有 X eY - XYe > 0
③若点在直线下方，则有 X eY - XYe = 0
X
Y
e
-
XY e
<
0
因此，可以构造函数偏差为
F = X Y - XY
(2-2)
e
e
2.1 插 补 原 理
对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向之间的关系为：
①F=0时，表示动点在OE上，如点P，可向+X向进给，也可向+Y方向进
7
F6 0
+X
F7 F6 Ye 0 0
由直线插补例子看出，在起点和终点处，刀具都在直线上。通过逐点比较法，控
制刀具走出一条尽量接近零件轮廓直线的轨迹，当脉冲当量很小时，刀具走出的折
线非常接近直线轨迹，逼近误差的大小与脉Байду номын сангаас当量的大小直接相关。
数控原理的插补计算
§3-7 插补计算
译码
刀补计算 速度处理
插补预处理
插补预处理的任务： 插补预处理为插补程序准
备好了刀具中心的速度、轨迹形状以及描述该轨迹 形状所必须的相关参数。
插补计算
一、插补的概念
插补的定义：
根据给定轮廓轨迹的曲线方程和进给速度， 在轮廓的起点和终点中间，“插入或补上” 轮廓轨迹各个中间点的坐标，这个过程称 为插补。
max 1
0
0
三、插补方法分类
目前常用的各种插补算法大致分为两类：
1、脉冲增量插补
特点：
每次插补输出的是单个的行程增量，以一 个个脉冲的方式输出给步进电动机。 插补输出的进给速度主要受插补运算速度 的限制，因而进给速度指标难以提高。 脉冲增量插补算法较简单，通常仅有加法 和移位运算，因此比较容易用硬件来实现， 而且用硬件实现的这类插补运算速度很快。
二、评价插补算法的指标
4、合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性是指插补输出的各种进给速度 的合成进给速度与编程给定的进给速度的符合程度， 可用速度不均匀性系数来评价：
F FC 1000 04、合成速度的均匀性指标
一个实用的插补算法，应该保证速度不 均匀性系数尽可能小。一般要求：
1、脉冲增量插补
常见算法：
逐点比较法、数字积分法、最小 偏差法、目标点跟踪法、单步追 踪法等 主要用在中低等精度和中低等速度，以步 进电动机为驱动元件的数控系统。
2、数字增量插补
特点：
每次插补输出的是，根据进给速度计算的 各坐标轴在一定的时间间隔内的位移增量。 其基本是用直线段来逼近曲线。 插补运算速度与进给速度无严格的关系。
小结：
1、插补的概念
根据给定轮廓轨迹的曲线方程和进给速度，在轮廓的起 点和终点中间，“插入或补上”轮廓轨迹各个中间点的坐 标，这个过程称为插补。
译码
刀补计算 速度处理
插补预处理
插补预处理的任务： 插补预处理为插补程序准
备好了刀具中心的速度、轨迹形状以及描述该轨迹 形状所必须的相关参数。
插补计算
一、插补的概念
插补的定义：
根据给定轮廓轨迹的曲线方程和进给速度， 在轮廓的起点和终点中间，“插入或补上” 轮廓轨迹各个中间点的坐标，这个过程称 为插补。
max 1
0
0
三、插补方法分类
目前常用的各种插补算法大致分为两类：
1、脉冲增量插补
特点：
每次插补输出的是单个的行程增量，以一 个个脉冲的方式输出给步进电动机。 插补输出的进给速度主要受插补运算速度 的限制，因而进给速度指标难以提高。 脉冲增量插补算法较简单，通常仅有加法 和移位运算，因此比较容易用硬件来实现， 而且用硬件实现的这类插补运算速度很快。
二、评价插补算法的指标
4、合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性是指插补输出的各种进给速度 的合成进给速度与编程给定的进给速度的符合程度， 可用速度不均匀性系数来评价：
F FC 1000 04、合成速度的均匀性指标
一个实用的插补算法，应该保证速度不 均匀性系数尽可能小。一般要求：
1、脉冲增量插补
常见算法：
逐点比较法、数字积分法、最小 偏差法、目标点跟踪法、单步追 踪法等 主要用在中低等精度和中低等速度，以步 进电动机为驱动元件的数控系统。
2、数字增量插补
特点：
每次插补输出的是，根据进给速度计算的 各坐标轴在一定的时间间隔内的位移增量。 其基本是用直线段来逼近曲线。 插补运算速度与进给速度无严格的关系。
小结：
1、插补的概念
根据给定轮廓轨迹的曲线方程和进给速度，在轮廓的起 点和终点中间，“插入或补上”轮廓轨迹各个中间点的坐 标，这个过程称为插补。
数控技术 第三章 插补
3.逐点比较法圆弧插补 3.逐点比较法圆弧插补
（1）偏差函数 任意加工点P ），偏差函数 偏差函数F 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
Fi = X i2 + Yi 2 − R 2
=0，表示加工点位于圆上； 若Fi=0，表示加工点位于圆上； Y >0，表示加工点位于圆外； 若Fi>0，表示加工点位于圆外； <0， 若Fi<0，表示加工点位于圆内
Y Ae (Xe,Ye) F>0 Pi (Xi,Yi) F<0 X
为便于计算机计算) （2）偏差函数字的递推计算 (为便于计算机计算 为便于计算机计算 >=0，规定向+ 方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示） 若Fi>=0，规定向+X方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示）
Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = XeYi −Ye (Xi +1) = Fi −Ye
2.逐点比较法直线插补 2.逐点比较法直线插补
（1）偏差函数构造 对于第一象限直线OA上任一点( OA上任一点 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y) YX e − XYe = 0 若刀具加工点为Pi（ ），则该点的偏差 若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差 Pi 函数F 函数Fi可表示为 Fi = Yi X e − X i Ye 若Fi=0，表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上方； 若Fi>0，表示加工点位于直线上方； 表示加工点位于直线下方。 若Fi<0，表示加工点位于直线下方。
F=0 F<0 F>0 F<0 F>0 F=0 F<0 F>0 F<0 F>0
1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补
E（Xe，Ye）
N（Xi，Yi） X
Yi Ye Xi Xe
使用一个正数XeXi乘以该式，最后得
Fi X eYi X iYe
（3-1）
很显然，偏差值Fi的符号反映了动点N相对于直线OE的位置偏离情况。 ① Fi = 0 时，动点N在直线上； ② Fi ≻ 0 时，动点N在直线的上方区域； ③ Fi ≺ 0 时，动点N在直线的下方区域。
② 直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，所以绝大多数数控系统都 具有直线插补和圆弧插补功能。 本课程将重点介绍直线插补和圆弧插补的计算方法。
③ 插补运算速度是影响刀具进给速度的重要因素。为减少插补运算时 间，在插补运算过程中，应该尽量避免三角函数、乘、除以及开方等复杂运 算。因此插补运算一般都采用迭代算法。 ④ 插补运算速度直接影响数控系统的运行速度；插补运算精度又直接 影响数控系统的运行精度。 插补速度和插补精度之间是相互制约、互相矛盾的，因此只能折中选择。
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
(a)
(b)
所谓插补，就是根据零件轮廓的几何形状、几何尺寸以及轮廓加工的 精度要求和工艺要求，在零件轮廓的起点和终点之间插入一系列中间点 （折线端点）的过程，即所谓“数据点的密化过程”，其对应的算法称为 插补算法。
刀具进给 逐点比较法刀具进给方向的选择原则： ① 平行于某个坐标轴； ② 减小动点相对于零件轮廓的位置偏差。 根据这个原则可以判断出直线插补的刀具进给方向为： ① 当动点在直线上方区域时， 应 +X 方向进给一步； ② 当动点在直线下方区域时，应 +Y 方向进给一步； ③ 动点在直线上时， 既可以+X方向也可以+Y方向进给一步，在此约定 取+X方向。
数控技术第3章插补原理
插补是数控系统最重要的功能；
插补实际是数据密集化的过程； 插补必须是实时的； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。
插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高 次曲线插补器； 根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
过象限处理：过象限时刻， 必有一个坐标值为零。 当圆弧起点在第一象限时， 逆时针圆弧过象限后转换顺 序：NR1—NR2—NR3— NR4—NR1 顺时针圆弧过象限的转换顺 序：SRl—SR4—SR3— SR2—SRl，。 坐标变换：对于 XZ平面、 YZ平面，参照XY平面处理
5. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(53)=6 插补过程演示
2. 递推法：后一步的偏差用前一步的偏差递推出来 若 Fi , j 0 ,向+X方向发出一个脉冲 ，新加工点 P( xi 1 , y j )的 偏差：
Fi 1, j xe y j ( xi 1) ye xe y j xi ye ye Fi, j ye
若 i, j 偏差：
e
t
ky dt ky t
e 0 i 1 e
0 t
i 1 n
直线插补数字积分器：由 累
加器(或称余数寄存器)和被积函数 寄存器组成。
插补开始前，累加器清零，被积函
数寄存器分别寄存 xe和 ye；插补开 始后，每来一个累加脉冲Δt ，被 积函数寄存器里的内容在相应的累 加器中相加一次，相加后有溢出 （即达到1个脉冲）则驱动相应坐 标轴进给一个脉冲当量。而余数仍
插补原理文档
数控原理与应用姓名：闫超学号：20092427班级：数控09-2插补原理插补的基本概念数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计算出刀具的一系列加工点、完成所谓的数据“密化”工作。
插补有二层意思：一是用小线段逼近产生基本线型<如直线、圆弧等）；二是用基本线型拟和其它轮廓曲线。
插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。
插补运算的速度和精度是数控装置的重要指标。
插补原理也叫轨迹控制原理。
五坐标插补加工仍是国外对我国封锁的技术。
下面以基本线型直线、圆弧生成为例，论述插补原理插补方法的分类硬件插补器完成插补运算的装置或程序称为插补器软件插补器软硬件结合插补器1.基准脉冲插补每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉冲当量或行程的增量。
脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。
基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。
2.数据采样插补采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段<又称轮廓步长）进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。
然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量<一个插补周期的近给量），作为指令发给伺服驱动装置。
该装置按伺服检测采样周期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动，误差为零停止，从而完成闭环控制。
数据采样插补方法有：直线函数法、扩展DDA、二阶递归算法等逐点比较法早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法，适用于开环系统。
1.插补原理及特点原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。
每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。
逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。
特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。
逐点比较法直线插补<1）偏差函数构造对于第一象限直线OA上任一点(X,Y>:X/Y = Xe/Ye 若刀具加工点为Pi<Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为若Fi= 0，表示加工点位于直线上；若Fi> 0，表示加工点位于直线上方；若Fi< 0，表示加工点位于直线下方。
脉冲增量插补
第二节 逐点比较法
二、逐点比较法第一象限逆圆弧插补 1、基本原理 、
图3-7
刀具与圆弧之间的位置关系
第二节 逐点比较法
二、逐点比较法第一象限逆圆弧插补 例3-2
割法” 割法”插补。
第一节 概述
二、数据采样插补 加工轮廓的精度和插补周期有关系，插补周期 越长，输出的微小直线段的长度就越长，拟合 的轮廓误差就越大。 微小直线段的分割过程是粗插补，后续进一步 的密化是精插补。粗插补是由软件实现，大多 采用高级语言，精用 ： 两坐标的数控机床 ， 如数控线切割机床 、 应用： 两坐标的数控机床， 如数控线切割机床、 数控车床等。 数控车床等。
第二节 逐点比较法
一、逐点比较法第一象限直线插补 1、基本原理 、
逼近程度与脉 冲当量大小相 关
图3-2 刀具与直线之 间的位置关系
图3-3
直线插补轨迹
第二节 逐点比较法
第一节 概述
一、脉冲增量插补 属于这类插补算法： 数字脉冲乘法器 、 逐 属于这类插补算法 ：
点比较法 、 数字积分法 以及一些相应的算
法等。 法等。
应用 ： 比较适合于中等精度 （ 如 0.01mm） 应用： 比较适合于中等精度（ ）
和中等速度（ 系统中。 和中等速度（1~3m/min）CNC系统中。 ） 系统中
第二节 逐点比较法
图3-10
不同象限直线进给
第二节 逐点比较法
例3：试用逐点比较法对直线 起点O ：试用逐点比较法对直线OA ， 起点 （0,0），终点 （-3,7）进行插补计算， ） 终点A（ ）进行插补计算， 并画出刀具插补轨迹。 并画出刀具插补轨迹。 例4：加工第三象限直线 ，起点坐标为 ：加工第三象限直线AB，起点坐标为A （-1，-1），终点坐标为 （-5，-6）， ， ） 终点坐标为B（ ， ） 试用逐点比较法插补该直线， 并画出插补 试用逐点比较法插补该直线 ， 轨迹。 轨迹。
脉冲增量插补算法
1 引言1.1 各种插补算法的简介1.1.1 脉冲增量插补算法脉冲增量插补又称基准脉冲插补或行程标量插补，其特点是数控装置在每次插补结束时向各个运动坐标轴输出一个基准脉冲序列，控制机床坐标轴做相互协调的运动，从而加工出具有一定形状的零件轮廓的算法。
每个脉冲代表了刀具或工件的最小位移，脉冲的数量代表了刀具或工件移动的位移量，脉冲序列的频率代表了刀具或工件运动的速度。
显然易见，脉冲增量插补算法的输出是脉冲形式，并且每次仅产生一个单位的行程增量，故称之为脉冲增量插补。
而每个单位脉冲对应坐标轴的位移大小，称之为脉冲当量，一般用&表示或BLU表示。
脉冲当量是脉冲分配的基本单位，也对应于内部数据处理的一个二进制位，它决定了数控机床的加工精度，对于普通数控机床一般δ=0.01mm，对于较为精密的数控机床一般取δ=0.005mm、0.0025mm或0.001mm等。
这类插补算法比较简单，通常仅需几次加法和移位操作就可完成，比较容易用硬件实现，这也正是硬件数控系统较多采用这种算法的主要原因。
当然，也可用软件来模拟硬件实现这类咋不运算。
通常，属于这类插补算法的有：数字脉冲乘法器、逐点比较法、数字积分法以及一些相应的改进算法等。
一般来讲，脉冲增量插补算法较适合于中等精度（如0.1mm）和中等速度（如1～3m/min）的机床数控系统中。
由于脉冲增量插补误差不大于一个脉冲当量，并且其输出地脉冲频率主要受插补程序所用时间的限制，所以，数控系统精度与切削速度之间是相互影响的。
例如实现某脉冲增量插补算法大约需要40us的处理时间，当系统脉冲当量为0.001mm时，就可求得单个运动坐标轴的极限速度约为1.5m/min。
进一步当要求控制两个或两个以上坐标轴时，所获得的轮廓速度还将进一步降低。
反之，如果将系统单轴极限速度提高到15m/min，则要求将脉冲当量增大到0.01mm[1]。
1.1.2 数据采样插补法随着数控系统中计算机的引入，大大缓解了插补运算时间和计算机复杂性之间存在的矛盾，特别是高性能直流伺服系统和交流伺服系统的研制成功，为提高现代数控系统的综合性能创造了充分的条件。
1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补
Y F>0 E（Xe，Ye）
F<0
O X
综合上述讨论，有如下结论。 ① 偏差值 Fi = XeYi - XiYe ② 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上，或在直线上方区域，应该向 +X 方向进 给一步； ③ 当 Fi ＜ 0 时，动点在直线下方区域，应该向 +Y 方向进给一步。
据此可设计出逐点比较法直线插补的计算流程如下。
插补模块
目标 位置
当前 位置 误差 实际 位置
调整运算
进给 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
综上所述，各类插补算法都存在着速度与精度之间的矛盾。为解决这个 问题，人们提出了以下几种方案。 ① 软件/硬件相配合的两级插补方案 在这种方案中，插补任务分成两步完成： 首先，使用插补软件（采用数据采样法）将零件轮廓按插补周期（10～ 20ms）分割成若干个微小直线段，这个过程称为粗插补。 随后，使用硬件插补器对粗插补输出的微小直线段做进一步的细分插补， 形成一簇单位脉冲输出，这个过程称为精插补。 ② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
开始 偏差计算 Y F>0 E（Xe，Ye）
偏差判别
坐标进给
到达终点？ Y 结束 N O
F<0
X
偏差值的迭代计算公式 通过以上讨论，逐点比较法直线插补的偏差值计算公式为 Fi = XeYi – XiYe
该式有一个缺点：需要做乘法运算。对于硬件插补器或者使用汇编语言的 软件插补器，这将产生一定的困难。
② 投影法 在插补处理开始之前，先确定直线轮廓终点坐标绝对值中较大的那根轴， 并求出该轴运动的总步数，然后存放在总步长计数器∑ 中。 ∑=max（|Xe|， |Ye|） 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果终点坐标绝对值较大的那根坐 标轴进给一步，则计数器∑做减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具 在终点坐标绝对值较大的那根坐标轴方向上已经走了规定的步数，应该已经抵 达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。 ③ 终点坐标法 在插补处理开始之前，先设置两个步长计数器∑1 和∑2 ，分别用来存放 刀具在两个坐标轴方向上应该走的总步数： ∑1 = |Xe|， ∑2 = |Ye| 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果X方向进给一步，则计数器∑1 做减1操作；如果Y方向进给一步，则计数器∑2做减1操作。当两个步长计数器 都为零时，表示刀具已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
F<0
O X
综合上述讨论，有如下结论。 ① 偏差值 Fi = XeYi - XiYe ② 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上，或在直线上方区域，应该向 +X 方向进 给一步； ③ 当 Fi ＜ 0 时，动点在直线下方区域，应该向 +Y 方向进给一步。
据此可设计出逐点比较法直线插补的计算流程如下。
插补模块
目标 位置
当前 位置 误差 实际 位置
调整运算
进给 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
综上所述，各类插补算法都存在着速度与精度之间的矛盾。为解决这个 问题，人们提出了以下几种方案。 ① 软件/硬件相配合的两级插补方案 在这种方案中，插补任务分成两步完成： 首先，使用插补软件（采用数据采样法）将零件轮廓按插补周期（10～ 20ms）分割成若干个微小直线段，这个过程称为粗插补。 随后，使用硬件插补器对粗插补输出的微小直线段做进一步的细分插补， 形成一簇单位脉冲输出，这个过程称为精插补。 ② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
开始 偏差计算 Y F>0 E（Xe，Ye）
偏差判别
坐标进给
到达终点？ Y 结束 N O
F<0
X
偏差值的迭代计算公式 通过以上讨论，逐点比较法直线插补的偏差值计算公式为 Fi = XeYi – XiYe
该式有一个缺点：需要做乘法运算。对于硬件插补器或者使用汇编语言的 软件插补器，这将产生一定的困难。
② 投影法 在插补处理开始之前，先确定直线轮廓终点坐标绝对值中较大的那根轴， 并求出该轴运动的总步数，然后存放在总步长计数器∑ 中。 ∑=max（|Xe|， |Ye|） 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果终点坐标绝对值较大的那根坐 标轴进给一步，则计数器∑做减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具 在终点坐标绝对值较大的那根坐标轴方向上已经走了规定的步数，应该已经抵 达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。 ③ 终点坐标法 在插补处理开始之前，先设置两个步长计数器∑1 和∑2 ，分别用来存放 刀具在两个坐标轴方向上应该走的总步数： ∑1 = |Xe|， ∑2 = |Ye| 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果X方向进给一步，则计数器∑1 做减1操作；如果Y方向进给一步，则计数器∑2做减1操作。当两个步长计数器 都为零时，表示刀具已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
第四部分插补原理与速度控制-
Fi+1,i= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe = XeYi – XiYe +Xe =F + Xe
⑷插补步骤
逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四 个步骤，具体如下：
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方 向前进一步，以接近该直线。
③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y 方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既 都向+X方向发一脉冲。
⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每
走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。
（二）数字增量（数据采样）插补算法
1.数字增量插补的特点
数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量 插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成： 第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量 值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量 值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统， 通常称为精插补。
P (Xi,Yi）
若P点在直线OA下方，则： XeYi – XiYe < 0
F＜0
X
定义F= XeYi – XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上；
当F>0时，加工点P落在直线上方；
当F<0时，加工点P落在直线下方；
⑵进给方向判别
①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方 向前进一步，以接近该直线。
⑷插补步骤
逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四 个步骤，具体如下：
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方 向前进一步，以接近该直线。
③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y 方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既 都向+X方向发一脉冲。
⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每
走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。
（二）数字增量（数据采样）插补算法
1.数字增量插补的特点
数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量 插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成： 第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量 值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量 值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统， 通常称为精插补。
P (Xi,Yi）
若P点在直线OA下方，则： XeYi – XiYe < 0
F＜0
X
定义F= XeYi – XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上；
当F>0时，加工点P落在直线上方；
当F<0时，加工点P落在直线下方；
⑵进给方向判别
①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方 向前进一步，以接近该直线。
数控技术数控机床的插补原理直线插补与圆弧插补计算原理
要求：实时性好，算法误差小、 精度高、速度均匀性好
（一）插补的基本概念
插补运算过程:
进入一个插补周期
根据指令的进给速度计算出 一个微小的直线数据段。
通常经过若干个插补周期加工完一个程序段， 即从数据段的起点走到终点。
计算机数控系统是一边插补，一边加工。 而在本次处理周期内，插补程序的作用是
计算下一个处理周期的位置增量。
八方向逐点比较法以45o折线逼近给定轨迹，逼近误差小 于半个脉冲当量，加工出来的工件质量要比四方向逐点 比较法的高。
以四方向逐点比较法为基础，可以导出八方向逐点比较 法的插补原理及算法。这里限于篇幅，不作具体推导和 详细说明。
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
数据采样插补:(又称为时间标量插补或数字增量插 补,8ms，10.24ms)数控装置产生的不是单个脉冲，而 是采样周期内，各坐标的位移量
①直线函数法；②扩展数字积分法；③二阶递归扩展数字积分插 补法；④双数字积分插补法；⑤角度逼近圆弧插补法。
（四）逐点比较法
思想：“走一步看一步”：就是每走一步都要和给定 轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹 的上方或下方，或者给定轨迹的里面或者外面，从 而决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。
分段逼近，相连成轨迹
脉冲当量：一个脉冲所产生的 坐标轴移动量叫做脉冲当量
脉冲当量与坐标显示分 辨率往往是一致的
（一）插补的基本概念
插补运算过程:
进入一个插补周期
根据指令的进给速度计算出 一个微小的直线数据段。
通常经过若干个插补周期加工完一个程序段， 即从数据段的起点走到终点。
计算机数控系统是一边插补，一边加工。 而在本次处理周期内，插补程序的作用是
计算下一个处理周期的位置增量。
八方向逐点比较法以45o折线逼近给定轨迹，逼近误差小 于半个脉冲当量，加工出来的工件质量要比四方向逐点 比较法的高。
以四方向逐点比较法为基础，可以导出八方向逐点比较 法的插补原理及算法。这里限于篇幅，不作具体推导和 详细说明。
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
数据采样插补:(又称为时间标量插补或数字增量插 补,8ms，10.24ms)数控装置产生的不是单个脉冲，而 是采样周期内，各坐标的位移量
①直线函数法；②扩展数字积分法；③二阶递归扩展数字积分插 补法；④双数字积分插补法；⑤角度逼近圆弧插补法。
（四）逐点比较法
思想：“走一步看一步”：就是每走一步都要和给定 轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹 的上方或下方，或者给定轨迹的里面或者外面，从 而决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。
分段逼近，相连成轨迹
脉冲当量：一个脉冲所产生的 坐标轴移动量叫做脉冲当量
脉冲当量与坐标显示分 辨率往往是一致的
3,4---第二章 数控机床的插补原理――直线插补与圆弧插补计算原理
偏差判别： 根据偏差值判定进给方向
直线上
=
YmXe―XmYe=0
直线上方
>
YmXe―XmYe>0
直线下方
<
YmXe―XmYe<0
｛ 偏差判别函数：Fm = ymxe-xmye
= 0 在直线上； >0在直线上方
< 0 在直线下方
（五）逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ象限）
坐标进给：
根据判定的进给方向，向该坐标 方向发一进给脉冲
特点：以折线逼近直线、圆弧或各类曲线。
精度高：最大偏差不超过一个脉冲当量。
（四）逐点比较法
插补开始 方向判定
逐点比较法 工作循环过程
坐标进给
偏差计算
终点到？
N
插补结束
Y
（五）逐点比较法直线插补
y A(xe,ye)
o
x
每次插补计算输出一个脉冲，不是进给到X轴 方向，就是进给到Y轴方向，不可能两个坐标轴都进给
数据采样插补:(又称为时间标量插补或数字增量插 补,8ms，10.24ms)数控装置产生的不是单个脉冲，而 是采样周期内，各坐标的位移量
①直线函数法；②扩展数字积分法；③二阶递归扩展数字积分插 补法；④双数字积分插补法；⑤角度逼近圆弧插补法。
（四）逐点比较法
思想：“走一步看一步”：就是每走一步都要和给定 轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹 的上方或下方，或者给定轨迹的里面或者外面，从 而决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。
（五）逐点比较法直线插补
1.基本原理：
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中， 不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并 根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小 误差的方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲 当量δ。
直线上
=
YmXe―XmYe=0
直线上方
>
YmXe―XmYe>0
直线下方
<
YmXe―XmYe<0
｛ 偏差判别函数：Fm = ymxe-xmye
= 0 在直线上； >0在直线上方
< 0 在直线下方
（五）逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ象限）
坐标进给：
根据判定的进给方向，向该坐标 方向发一进给脉冲
特点：以折线逼近直线、圆弧或各类曲线。
精度高：最大偏差不超过一个脉冲当量。
（四）逐点比较法
插补开始 方向判定
逐点比较法 工作循环过程
坐标进给
偏差计算
终点到？
N
插补结束
Y
（五）逐点比较法直线插补
y A(xe,ye)
o
x
每次插补计算输出一个脉冲，不是进给到X轴 方向，就是进给到Y轴方向，不可能两个坐标轴都进给
数据采样插补:(又称为时间标量插补或数字增量插 补,8ms，10.24ms)数控装置产生的不是单个脉冲，而 是采样周期内，各坐标的位移量
①直线函数法；②扩展数字积分法；③二阶递归扩展数字积分插 补法；④双数字积分插补法；⑤角度逼近圆弧插补法。
（四）逐点比较法
思想：“走一步看一步”：就是每走一步都要和给定 轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹 的上方或下方，或者给定轨迹的里面或者外面，从 而决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。
（五）逐点比较法直线插补
1.基本原理：
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中， 不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并 根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小 误差的方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲 当量δ。
2.1插补的基本概念和分类
圆弧插补功能。对 于非直线或圆弧组成的轨迹，可以用小段的直线或圆弧来
拟合。只有在某些要求较高的系统中，才具有抛物线、螺
旋线插补功能。 对于轮廓控制系统来说，插补是最重要的计算任务， 插补程序的运行时间和计算精度影响着整个CNC系统的性 能指标，可以说插补是整个CNC系统控制软件的核心。
目前普遍应用的插补算法可分为两大类：一类是基准
脉冲插补；另一类是数据采样插补。
1、基准脉冲插补 基准脉冲插补又称脉冲增量插补，这类插补算法是以 脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴一个进给 脉冲。把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统， 以驱动工作台运动，每发出一个脉冲，工作台移动一个基 本长度单位，也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本 单位。
插补的基本概念和分类
所谓插补是指数据点密化的过程。在对数控系统输入有
限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段
的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动 地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，从而自动地 对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，使 机床加工出所要求的轮廓曲线。
进行改进。
1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。 2. 采用多CPU的分布式处理方案。 3. 采用单台高性能微型计算机方案。
2、数据采样插补 数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结果
输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据程编进给速度，
把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小直线段，然 后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出，以控
制伺服系统实现坐标轴的进给。
插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项工作， 为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三种结构方式
拟合。只有在某些要求较高的系统中，才具有抛物线、螺
旋线插补功能。 对于轮廓控制系统来说，插补是最重要的计算任务， 插补程序的运行时间和计算精度影响着整个CNC系统的性 能指标，可以说插补是整个CNC系统控制软件的核心。
目前普遍应用的插补算法可分为两大类：一类是基准
脉冲插补；另一类是数据采样插补。
1、基准脉冲插补 基准脉冲插补又称脉冲增量插补，这类插补算法是以 脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴一个进给 脉冲。把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统， 以驱动工作台运动，每发出一个脉冲，工作台移动一个基 本长度单位，也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本 单位。
插补的基本概念和分类
所谓插补是指数据点密化的过程。在对数控系统输入有
限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段
的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动 地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，从而自动地 对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，使 机床加工出所要求的轮廓曲线。
进行改进。
1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。 2. 采用多CPU的分布式处理方案。 3. 采用单台高性能微型计算机方案。
2、数据采样插补 数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结果
输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据程编进给速度，
把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小直线段，然 后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出，以控
制伺服系统实现坐标轴的进给。
插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项工作， 为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三种结构方式
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（5）插补算法分类 脉冲增量插补算法 通过向各个运动轴分配驱动脉冲来控制机床坐标轴相互协调运动，从而加工出一 定轮廓形状的算法。 特点： ① 每次插补运算后，在一个坐标轴方向（X、Y或Z） ，最多产生一个单位脉冲 形式的步进电机控制信号，使该坐标轴最多产生一个单位的行程增量。 每个单位脉冲所对应的坐标轴位移量称为脉冲当量，一般用δ或BLU来表示。 ② 脉冲当量是脉冲分配的基本单位，它决定了数控系统的加工精度。 普通数控机床： δ = 0.01mm； 精密数控机床： δ = 0.005mm 、 0.0025mm 或0.001mm； ③ 算法比较简单，通常只需要几次加法操作和移位操作就可以完成插补运算，因 此容易用硬件来实现。 ④ 插补误差 < δ；输出脉冲频率的上限取决于插补程序所用的时间。因此该算法 适合于中等精度（ δ = 0.01mm ）和中等速度（1~4m/min）的机床数控系统。
③ 采用单台高性能微型计算机方案
第二节 逐点比较法 逐点比较法的基本原理 在刀具运动过程中，不断比较刀具与零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果使刀具平行于坐标轴向减小偏差的方向进给。 逐点比较法的特点 ① 可以实现直线插补和圆弧插补； ② 每次插补运算后，只有一个坐标轴方向有进给； ③ 插补误差不超过一个脉冲当量； ④ 运算简单直观，输出脉冲均匀。 缺点：不容易实现两坐标以上的联动插补。 在两坐标联动的数控机床中应用比较普遍。
开始 偏差判别
坐标进给
偏差计算 到达终点？ Y 结束 N
一、逐点比较法Ⅰ象限直线插补 Y 位置偏差计算 设有第一象限直线OE，起点O为坐标系原点， 终点为E（Xe，Ye），坐标系中各点坐标的单位 为脉冲当量数。 假设在直线OE附近有一个动点N（Xi，Yi）， 则该点相对于轮廓OE的位置偏差，可以用轮廓终 点E的位矢和动点N的位矢与X轴的夹角正切差来 O 表示。即
② 投影法 在插补处理开始之前，先确定直线轮廓终点坐标绝对值中较大的那根轴， 并求出该轴运动的总步数，然后存放在总步长计数器∑ 中。 ∑=max（|Xe|， |Ye|） 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果终点坐标绝对值较大的那根坐 标轴进给一步，则计数器∑做减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具 在终点坐标绝对值较大的那根坐标轴方向上已经走了规定的步数，应该已经抵 达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。 ③ 终点坐标法 在插补处理开始之前，先设置两个步长计数器∑1 和∑2 ，分别用来存放 刀具在两个坐标轴方向上应该走的总步数： ∑1 = |Xe|， ∑2 = |Ye| 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果X方向进给一步，则计数器∑1 做减1操作；如果Y方向进给一步，则计数器∑2做减1操作。当两个步长计数器 都为零时，表示刀具已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
刀具中心轨迹
插补运算处理
产生刀具坐标移动的实际控制信号
（2）数控机床的运动特点 ① 在数控机床中，刀具的基本运动单位是脉冲当量，刀具沿各个 坐标轴方向的位移的大小只能是脉冲当量的整数倍。 因此数控机床的运动空间被离散化为一个网格区域，网格大小为一 个脉冲当量，刀具只能运动到网格节点的位置，如下图所示。
当前 位置 误差 实际 位置
插补模块
目标 位置
调整运算
进给 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
特点： ① 每次插补运算的结果不再是某坐标轴方向上的一个脉冲，而是与各坐标 轴位置增量相对应的几个数字量。此类算法适用于以直流伺服电机或交流伺服 电机作为驱动元件的闭环或半闭环数控系统。 ② 数据采样插补程序的运行时间已不再是限制加工速度的主要因素。加工 速度的上限取决于插补精度要求以及伺服系统的动态响应特性。
7
插补模块
目标 位置
当前 位置 误差 实际 位置
调整运算
进给 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
综上所述，各类插补算法都存在着速度与精度之间的矛盾。为解决这个 问题，人们提出了以下几种方案。 ① 软件/硬件相配合的两级插补方案 在这种方案中，插补任务分成两步完成： 首先，使用插补软件（采用数据采样法）将零件轮廓按插补周期（10～ 20ms）分割成若干个微小直线段，这个过程称为粗插补。 随后，使用硬件插补器对粗插补输出的微小直线段做进一步的细分插补， 形成一簇单位脉冲输出，这个过程称为精插补。 ② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
Y
E（Xe，Ye）
F>0
F<0 O X
终点判别 确定刀具是否已经抵达直线终点。如果到了终点，则停止插补计算；否 则继续循环处理插补计算。常用的终点判别方法有以下三种。 ① 总步长法 在插补处理开始之前，先设置一个总步长计数器∑，其初值为： ∑=|Xe|+ |Ye| 其中， |Xe|：在X轴方向上刀具应该走的总步数； |Ye|：在Y轴方向上刀具应该走的总步数； ∑ ：整个插补过程中，刀具应该走的总步数。 在插补过程中，每进行一次插补计算，无论哪根坐标轴进给一步，计数 器∑都做一次减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具已经走了规定的 步数，应该已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
为简化偏差值Fi的计算，通常采用迭代公式，即根据当前点的偏差值推算 出下一点的偏差值。 根据这个思想，对上述偏差值计算公式进行离散处理，最后有如下结论。
① 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上 或 在直线上方区域 向 +X 方向进给一步 新位置的偏差计算公式为： Fi+1 = Fi – Ye ② 当 Fi ＜ 0时，动点在直线下方区域 向 +Y 方向进给一步 新位置的偏差计算公式为： Fi+1 = Fi + Xe ③ 开始加工直线轮廓时，刀具总是处在直线轮廓的起点位置。因此偏差 值的初始值 F0 = 0
Y F>0 E（Xe，Ye）
F<0
O X
综合上述讨论，有如下结论。 ① 偏差值 Fi = XeYi - ② 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上，或在直线上方区域，应该向 +X 方向进 给一步； ③ 当 Fi ＜ 0 时，动点在直线下方区域，应该向 +Y 方向进给一步。
据此可设计出逐点比较法直线插补的计算流程如下。
逐点比较法的工作过程 逐点比较法插补过程的每一步都要经过以下四 个工作节拍。 ① 偏差判别 根据偏差值的符号，判别当前刀具相对于零件 轮廓的位置偏差。 ② 坐标进给 根据偏差判别的结果，控制相应的坐标轴进给 一步，使刀具向零件轮廓靠拢。 ③ 偏差计算 刀具进给一步后，针对新的刀具位置，计算新 的偏差值。 ④ 终点判别 刀具进给一步后，需要判别刀具是否已经到达 零件轮廓的终点。 如果已经到达终点，则停止插补过程； 如果未到达终点，则返回到第①步，重复上述 四个节拍。
开始 偏差计算 Y F>0 E（Xe，Ye）
偏差判别
坐标进给
到达终点？ Y 结束 N O
F<0
X
偏差值的迭代计算公式 通过以上讨论，逐点比较法直线插补的偏差值计算公式为 Fi = XeYi – XiYe
该式有一个缺点：需要做乘法运算。对于硬件插补器或者使用汇编语言的 软件插补器，这将产生一定的困难。
a0
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
a0
a1
a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
(a)
(b)
（4）有关插补问题的几点说明 ① 插补运算可以采用数控系统硬件或数控系统软件来完成。 硬件插补器：速度快，但缺乏柔性，调整和修改都困难。
软件插补器：速度慢，但柔性高，调整和修改都很方便。
数据采样插补算法 根据数控加工程序所要求的进给速度，按照插补周期的大小，先将零件轮 廓曲线分割为一系列首尾相接的微小直线段，然后输出这些微小直线段所对应 的位置增量数据，控制伺服系统实现坐标轴进给。 采用数据采样插补算法时，每调用一次插补程序，数控系统就计算出本插 补周期内各个坐标轴的位置增量以及各个坐标轴的目标位置。 随后伺服位置控制软件将把插补计算求得的坐标轴位置与采样获得的坐标 轴实际位置进行比较求得位置跟踪误差，然后根据当前位置误差计算出坐标轴 的进给速度并输出给驱动装置，从而驱动移动部件向减小误差的方向运动。
例题3-2: 在插补处理开始之前，应该先对偏差值F和总步长计数器∑进行初始化。 F0 = 0； ∑= 3 + 5 = 8 整个插补过程见下表所示。
序号 起点 Y 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 X 2 3 4 5 6 E（3，5） 0 1 F0 = 0 F1=-5≺0 F2=-2≺0 F3=1≻0 F4=-4≺0 F5=-1≺0 F6=2≻0 +X +Y +Y +X +Y +Y +X 偏差判别 坐标进给 偏差计算 F0 = 0 F1=F0–Ye=0-5=-5 F2=F1+Xe=-5+3=-2 F3=F2+Xe=-2+3=1 F4=F3–Ye=1-5=-4 F5=F4+Xe=-4+3=-1 F6=F5+Xe=-1+3=2 F7=F6–Ye=2-5=-3 终点判别 ∑0 = 8 ∑0 = 7 ∑0 = 6 ∑0 = 5 ∑0 = 4 ∑0 = 3 ∑0 = 2 ∑0 = 1
早期硬件数控系统采用由数字逻辑电路组成的硬件插补器，而 现代CNC系统采用软件插补器或软硬结合的插补方式。
② 直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，所以绝大多数数控系 统都具有直线插补和圆弧插补功能。
本课程将重点介绍直线插补和圆弧插补的计算方法。
③ 插补运算速度是影响刀具进给速度的重要因素。为减少插补运 算时间，在插补运算过程中，应该尽量避免三角函数、乘、除以及开 方等复杂运算，因此插补运算一般都采用迭代算法。 ④ 插补运算速度直接影响数控系统的运行速度，而插补运算精度 又直接影响数控系统的运行精度，因此插补速度和插补精度之间是相 互制约、互相矛盾的，只能折中选择。