矢量分析与场论A卷2011答案
矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论习题11（写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 xatybt,, cos, sin,,2 xtytzt,,, 3sin, 4sin, 3cos,,1解：，其图形是平面上之椭圆。
ratibtj, , cossinxOy,,,其图形是平面与圆柱面rtitjtk, , , 3sin4sin3cos430xy,, 2,,222xz, , 3之交线，为一椭圆。
223, , , rtitjtk解：曲线的矢量方程为3dr2, i, 2tj, 2tk则其切向矢量为dtdr2421 |, 1, 4t, 4t, 1, 2t 模为dt2drdri, 2tj, 2tk/H,于是切向单位矢量为2dtdtl, 2t,2t, 6（求曲线在处的一个切向矢量。
xatyatzat,,, sin, sin2, cos, 4 2ratiatjatk, , , sinsin2cos 解：曲线矢量方程为dr,,, , , atiat jatksin22cos2sin 切向矢量为dt,d2rt,在处，,,,,aiak, 4t, 4d2t22t, 27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t, l,y, 4t, 3, z, 2t, 6t 法平面方程。
22r, (t, l)i, (4t, 3) j, (2t, 6t)k,M(5, 5,, 4),解:由题意得曲线矢量方程为dr 在的点M 处,切向矢量t,2,,,[2ti, 4j, (4t,6)k],4i, 4j, 2kt, 2dtt, 2y, oy, ox, 5z, 4x, 5z, 4于是切线方程为，，，即，，442221于是法平面方程为，即2(x, 5), 2(y, 5), (z, 4),02x, 2y, z, 16, 0238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。
xyz, , ,24rtitjtk,,,dr2解：曲线切向矢量为，？，，，，，23itjtkdt平面的法矢量为，山题知nijk, , , 222 ,,, , ,, , niktt, , itjtk2302j, ,,143,,,,得。
矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。
解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。
2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
答案 矢量分析与场论(A卷)
系别_______ _____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ _ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 05电气，06电气专升本 专 业 矢量分析与场论 课2006——2007学年度第一学期期末考试试卷 答案(A 卷)一、判断题：在每道题前的括号中划错对号。
(每题2分, 共10分)1.√二、填空题：把正确答案填到每道题的前的括号中。
（每题3分, 共30分)（1）0 （2） k j i 4128++ （3）k t t j t t t i t t t t )1610()1743()4103(647648765--++++--+-（4）k a 2 π- （5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧=++=2zxy 21y 1x 10z y -x 21y 1x 1或 （6）3100 （7）)723(621k j i ++ （8）0 （9）0（10）0三、计算题（每题10分, 共30分)1.解: r rgradr = ------------------------------------------1分 dr d r2)r (f )r (f -=''⇒----------------------------7分 k z j y i x++++=222z y x 1 1ln 2)r (f ln c r +-='⇒-----------------8分)]z y x (3r [r1gradr)(div 22223++-=∴ 22)r (f -='⇒r c ----------------------9分 =r2------------------------------------------3分 413)r (f c r c +=⇒-------------10分 )r (f )gradr (div )r (f )]r (gradf [div ''+'= 43)r (f c rc+=或=)r (f )r (f r2''+'------------------------------4分 0)]r (gradf [div = 0)r (f )r (f r2=''+'∴---------------------------------5分 )r (f r2)r (f '-=''⇒)r (f r2)r (f '-='⇒dr d ---------------------------------6分2.解：△u =)53243)((3322222222--++-∂∂+∂∂+∂∂y x y x z y z x zy x ----------------------------3分=)33()324()2126(222332z y x zyz x y y x xz x -∂∂+--∂∂+++∂∂-------------7分 z y z z xy 2362624--+=-----------------------------------------------------------------10分3.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22242420202y yz x yz z x z A D --------------------------------------------2分k j x x i yz yz A rot)00()22()44(-+-+-=∴=0-----------------------------------------------------------------------3分所以矢量场A为无旋场------------------------------------------------------------4分故为保守场，则存在数性函数)z ,y ,x (u 使得du =dl A --------------5分其中， dz )(R dy )(Q dx )P()u(zy 0x⎰⎰⎰++=x,y,z x,y,0x,0,0x,y,zdz )12(z22⎰-+=z y x ----------------------------------------------6分z222z)z (-+=z y xz z 222-+=z y x --------------------------------------------7分⎰⎰=∴B Aldl A dl A------------------------------------------------------8分⎰=BAd u --------------------------------------------------------9分(5,-1,3)(3,0,1)222z)z (-+=z y x73881=-=-------------------------------------------10分四、证明题（每题10分, 共30分)1.证明：k u j u i u gradu z y x '+'+'=--------------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=∴zz zyzxyzyyyx xzxy xx u u u u u u u u u D(gradu)--------------------------6分 k )u -u (j )u -u (i )u -u ()gradu (rot xy yx zx xz yz zy''''+''''+''''=∴--------------8分 因为函数)z ,y ,x (u 有二阶的连续偏导数所以，xy yx zx xz yz zy u u u u u u ''=''''=''''=''；；---------------9分 0)gradu (rot=∴-------------------------------------10分2.证明： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-20241012A D ---------------------------3分06-42A div =+=∴----------------------------6分0)11()00()22(A rot=-+-+-=k j i -------9分所以，矢量场A为调和场。
山东科技大学《矢量分析与场论》试卷
一、判断题1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。
（ ）2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。
（ ）3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。
（ ）二、单项选择题1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ）A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。
B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。
C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。
D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ）A 、环量面密度和旋度都是矢量。
B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就是旋度。
C 、旋度是用矢量场来描述数量场。
D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。
3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ）A 、若0u ∆=，则u 为调和函数B 、()u divgrad u ∆=C 、调和场的散度和旋度都为0D 、调和场是一个矢量场三、填空题1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。
2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直，另一个矢量与()t A ______。
3、数量场x y u z-=22通过M （2，1，1）的等值面方程为______。
4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。
5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。
6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ⋅=++A dl dx dy dz 为某个函数的全微分是互相等价的。
矢量分析与场论A卷答案
学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 廖思泉 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）《矢量分析与场论》期末考查A 卷试题答案一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分） 1．通量定义：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量，即 ⎰⎰⋅=ψSd S A ----------------------3分物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。
--------5分 2．矢量的旋度定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合回路，所围面积为∆S ，A 的旋度是矢量，其大小为∆S →0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 0maxlimn lA A A A Sd Curl rot lS ∆⋅=⨯∇==⎰→∆--------3分物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。
-------5分 3．标量的梯度定义：标量场u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u 在该方向上的增加率，即最大增加率。
---------3分 物理意义：标量的梯度表示了标量u 增加率的最大值及方向。
00grad grad u u u u n∂=∇==∂n n ---------5分 4、保守场∇u 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。
即)()(1221p u pu d u p p -=⋅∇⎰l ------------3分则∇u 称为保守场，u 称为保守位场。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
矢量分析与场论B卷答案2012
（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 廖思泉 审题： 审批：---------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线） 《矢量分析与场论》期末考查B 卷试题答案 一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分） 1、矢量的散度 目的：研究闭合面内每一点附近的通量。
定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合面，所围体积为∆v ，若垂直穿过闭合面的通量与∆ v 之比的极限存在，则该极限称为矢量场A 在Q 点的散度，即 v d div S v ∆⋅=⎰⎰→∆S A A 0lim 物理意义：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。
2、矢量的环流 定义：矢量A 沿某一有向闭合曲线 l 的线积分为A 沿l 的环流，即 ⎰⋅l d l A 物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。
3、亥姆霍兹定理： 位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
4、无旋场 旋度为零的矢量场叫做无旋场。
标量函数的梯度是无旋场，如静电场。
无旋场的散度不能处处为零。
1、求数量场 z y z x u 2322+= 在点)1,0,2(-M 处沿→→→→+-=k z j xy i x l 4232方向的方向导数 （本小题10分） 解：4531200544cos cos cos =⋅+⋅+⋅-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u 2、求矢量场→→→→++=k z j y i x A 333在点)1,0,1(-M 处的散度。
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（学生填写）
： 姓名： 学号： 命题： 廖思泉 审题： 审批：
---------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线） 《矢量分析与场论》期末考查A 卷试题答案 命题教师：李伟勋 使用班级：电子10-1,2班 一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分） 1．通量 定义：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量，即 ⎰⎰⋅=ψS d S A ----------------------3分 物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。
--------5分 2．矢量的旋度 定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合回路，所围面积为∆S ，A 的旋度是矢量，其大小为∆S →0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 0max 0lim n l A A A A S d Curl rot l S ∆⋅=⨯∇==⎰→∆--------3分 物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。
-------5分 3．标量的梯度 定义：标量场u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u 在该方向上的增加率，即最大增加率。
---------3分 物理意义：标量的梯度表示了标量u 增加率的最大值及方向。
00grad grad u u u u n ∂=∇==∂n n ---------5分 4、保守场 ∇u 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。
即)()(1221p u p u d u p p -=⋅∇⎰l ------------3分 则∇u 称为保守场，u 称为保守位场。
------------5分 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、数量场 22yz x u = 在点)1,1,2(-M 处沿哪个方向的方向导数最大？这个最大值是多少？ （本小题10分）
解：→→→→
→→→
+--=∂∂+∂∂+∂∂=k j i k z u j y u i x u gradu 1244 最大值为114。
2、求矢量场→
→→→+-=k z j xy i x A 224在点)3,1,1(M 处的散度。
（本小题10分） 解： .
832124224=∙+∙-=∴+-=∂∂+∂∂+∂∂=
→
→M A div z y z R y Q x P A div 3、求矢量场→
→→→++-=k c j x i y A 沿曲线：0,222==+z R y x 的环量。
（本小题10分） 解：222)]1(1[R dxdy dxdy xdy ydx cdz xdy ydx D D l l π==--=
+-=++-=Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰
4、求矢量场→
→→→++=k z j y i x A 333从内穿出闭曲面2222:a z y x S =++的通量。
（本小题10分）
解： 2
22250402022222333:5
12sin 3sin 3)(3a z y x s a dr r d d d drd r r dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a s =++===++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ
πϕϕθθ
ϕϕφππ5、求矢量场→→→→++=k xy j zx
i yz A 222的散度和旋度。
（本小题10分）
解： →→→→→→-+-+-==++=∴⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k
z xz j y yz i x xy A rot A div xy y x xz yz z A D )2()2()2(0000020220222222 6、已知平面调和场的力函数xy y x u +-=22，求场的势函数v 及场矢量。
（本小题15
分）
解：
.)2()2(),
2(,2,.)(2
122
1)(,)(,
2)2(),(2:).(2
12)2(:
,2.2,22222→→→→
→→+--=∴+-=-=+-==+=+-+=∴+-=-='∴-=+--=-='+=++=+=+==+-=+=⎰j y x i y x A y x U Q X y U P j Q i P A C x y xy V C x x x x x y x y U V x y V x x y xy dy y x V y y x U V x y U y x U x y y x x x y y x 场矢量而求导得两边对求不定积分得两边对ϕϕϕϕ 7、证明矢量场→
→→→-+++++=k z y j z x y i y x A )62()24()2(为调和场，并求其调和函数。
（本小题15分） 证明：（1）由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=→
620241012A D .
.0)11()00()22(,
0642为调和场所以矢量场→→→→→→→=-+-+-==-+=∴A k j i A rot A div
（2）调和函数为：
C z yz xy y x dz z z dy x y xdx z y x u z
y x +-+++=-+++=⎰⎰⎰222000322)62()4(2),,( 三、问答题（共10分）
1．根据自身专业，列举一专业实例说明学习本课程的作用。
（略）。