第11章 影响线及其应用(李廉锟_结构力学)

§11-2 用静力法作静定梁的影响线
MC的影响线上，纵坐标 yK 代表荷载F=1作用 在点 K 时，在截面C的弯矩 MC 的大小。 弯矩图上，纵坐MK 标代表固定荷载F 作用于 C 点时，截面K 所产生的弯矩。
x
x F =1
F=1
K B
b
F
B A
F
CK
b l
l
A
A C
a
a
C K
b l
l ab l
A
影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。
§11-1 影响线的概念
二、影响线的概念
最典型的移动荷载： 单位移动荷载 — 数字和量纲均为1，可以在实 际移动荷载可到达的范围内移动。 影响线定义:当一个方向不变的单位荷载在结构 上移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化 规律的函数图形，就称为该量值的影响线。
在研究移动荷载作用所产生的影响时，只要把单 位移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚，根据叠 加原理，可求得各种实际移动荷载对该量值的影响。
x
A
F =1
B
1
l
FB的影响线
y1
y2
1
FB F1 y1 F2 y2
绘制影响线的方法：
F1
F2
静力法——静力平衡条件； 机动法——虚位移原理。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
一、简支梁的影响线
用静力法绘制图示简支梁AB的反力、弯矩和剪 力影响线。 建立坐标系——以A点为坐标原点，以x 表示 荷载 F=1作用点的横坐标。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
1. 支座反力的影响线
(1) 反力FyA的影响线 取梁整体为隔离体，由
A
x
F =1
C B
b l a
F yA
F yB
M
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
可见：用静力法绘制求某一量值的影响线，所 用方法与在固定荷载作用下静力计算方法是完全相 同的，都是取隔离体，建立平衡条件来求解。不同 之处仅在于作影响线时，作用的荷载是一个移动的 单位荷载，因而所求得的量值是荷载位臵x的函数， 即影响线方程。 注意：当荷载作用在结构的不同部分上所求量 值的影响线方程不相同时，应将它们分段写出，并 在作图时注意各方程的适用范围。
x
F =1
C B
b l a
A
F yA
F yB
(a x l )
由此可知，MC 的影响线在截面C 以右部分也为一直线，
由两点的纵坐标
ab x a，M C l
x l，M C 0
即可绘出BC段的MC影响线。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
MC 的全部影响线是由两段直线所组成，直线的 相交点位于截面C 处的纵坐标顶点。通常称截面以 左的直线为左直线，截面以右的直线为右直线。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
(2) 反力FyB 的影响线
x
F =1
C B
b l a
由
M
得
A
F x FyB l 0
A
F yA
F yB
x x FyB F l l
(0 x l )
此即FyB 的影响线方程。由两点的纵坐标
x 0, FyB 0
x l , FyB 1
4. 支座处截面的剪力影响线
F =1 x
D K A C B E
d
a
b
对于支座处截面的剪力影响线，需按支座左、 右两侧截面分别考虑。 绘制支座A左、右两侧的剪力影响线。 支座A左侧位于伸臂部分，故剪力FSK左 的影响 线，可由上面剪力FSK 的影响线使截面K趋于截面A 左而得到。 支座A右侧位于支座之间的跨中部分，故剪力 FSA右的影响线，可由前面剪力FSC 的影响线使截面C 趋于截面A右而得到。
a
C
a
K
b
B
B
ab l
yK
(a)
yK
Fab l
M C 的影响线 M C 的影响线
(a)
MK MK M 图M 图
Fab l
(b)
(b)
§11-3 间接荷载作用下的影响线
荷载有时不是直接作用而是通过纵横梁系间接 地作用于结构。 F =1 主梁只在各横梁 纵梁 横梁(节点) 处(结点处)受到集中 A B 力作用。对主梁来说， D C E 主梁 这种荷载称为间接荷 载或结点荷载。 首先，作出直接荷载作用下主梁某量值（MC） 的影响线。对于间接荷载来说，在各结点处的纵坐 标都是正确的。 其次，考虑荷载F=1在任意两相邻结点（D、E） 之间的纵梁上移动时的情况。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
F =1 x
D K A C B E
d
a
b
当荷载F=1在截面K的右方移动时，任取截面K以 左部分为隔离体，则
M K 0 FSK 0
据此可绘出弯矩MK和剪力FSK 影响线。 只有当荷载作用在DA段时，才对MK 、 FSK 有影响。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
D A
x
F=1
C B E
F yA
a
b
F yB
l1
l
l2
M C FyA a (a x l l ) 2 FSC FyA
由影响线方程绘出MC和FSC影响线。 直线两伸臂部分延长而得伸臂梁的MC和FSC影响线。
也可将简支梁相应截面的MC和FSC影响线的左、右
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
即可绘出FyB 的影响线.
由于单位荷载F=1的量纲是1，所以反力影响线的 纵坐标的量纲也是1。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
2.弯矩的影响线
作弯矩的影响线时，首 A 先明确要作哪一个截面的弯 F yA 矩影响线。现拟作图示简支 梁截面C 的弯矩影响线。
x
F =1
C
a l b
B
F yB
当荷载F=1在截面C的左方移动时，为了计算简便， 取梁中CB段为隔离体，并规定以使梁下面纤维受拉 的弯矩为正，由∑MC = 0 ，得
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 二、伸臂梁的影响线
伸臂梁影响线的 作法与简支梁类似。
D A
x
F=1
C B E
F yA
百度文库
a
b
F yB
l1
l
l2
1.反力FyA 、FyB 的影响线
仍以A点为坐标原点，以x表示荷载F=1作用点 的横坐标，向右为正，向左为负。利用整体平衡条 件，可分别求得反力 FyA 、FyB 的影响线方程为
由此可知，MC 的影响线在截面C 以左部分为一直 线，由两点的纵坐标 ab x 0，M C 0 x a，M C l 即可绘出AC 段MC 的 影响线。
x M C FyB b b l
(0 x a )
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
当荷载F =1在截 面C 的右方移动时， 取梁中 AC 段为隔离 体，再由 ∑MC = 0 ，得 lx M C FyA a a l
§11-11
§11-12
简支梁的绝对最大弯矩
简支梁的包络图
本章总结
自测题
§11-1 影响线的概念 一、移动荷载
固定荷载：荷载的大小、方向和作用点在 结构的空间位臵上是固定不变的。
结构在固定荷载作用下，其反力和各处的内力与 位移也是不变的。
移动荷载：荷载大小、方向不变，荷载作 用点随时间改变，结构所产生加速度的反应 与静荷载反应相比可以忽略，这种特殊的作 用荷载称移动荷载。(车辆荷载、人群荷载、 吊车荷载等)
分析弯矩影响线方程可以看出，MC的左直线为反力FyA 的影响线将纵坐标乘以b而得到，右直线可由反力 FyB 的影 响线将纵坐标乘以a而得到。因此，可以利用 FyA 和 FyB的 影响线来绘制弯矩MC的影响线：在左、右两支座处分别取 纵坐标a 、 b，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用 直线相连，则这两根直线的交点与左、右零点相连部分就 是MC的影响线。这种利用已知量值的影响线来作其他量值 影响线的方法，能带来较大的方便。
§11-1 影响线的概念
结构在移动荷载作用下，其反力和各处的内力与 位移(统称为量值)将随着荷载位臵的不同而变化。 在结构分析和设计中，必须解决以下问题：
（1）某量值的变化范围和变化规律； （2）计算某量值的最大值，作为设计的依据。 这就要先确定最不利荷载位臵——即使结构某量 值达到最大值的荷载位臵。
§11-1 影响线的概念
F=1 FR Y 1
F=1
FR =1
l/4
F=1
3/4 1/2
FR =3/4
1/4
X
l/2
F=1
----反力FR的影响线
FR =1/2
3l/4
F=1 F=1
•影响线定义 单位移动荷载作用下某 物理量随荷载位臵变化规 律的图形。
FR =1/4
FR =0
§11-1 影响线的概念
B
FyA l 1 (l x) 0
FyA的影响线方程为 lx x (0 x l ) FyA 1 1 l l FyA 是x 的一次函数，影响线为一直线。 只需定出两点的纵坐标即可绘出影响线。
x 0, FyA 1
x l , FyA 0
把正的纵坐标画在基线的上面并标上正号。
第十一章 影响线及其应用
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5 影响线的概念 用静力法作单跨静定梁的影响线 间接荷载作用下的影响线 用机动法作单跨静定梁的影响线 多跨静定梁的影响线
§11-6
桁架的影响线
§11-7 §11-8 §11-9 §11-10
利用影响线求量值 铁路和公路的标准荷载制 最不利荷载位臵 换算荷载
当F=1位于A点以左时，x 为负值。以上两方 程与简支梁的反力影响线方程完全相同，在梁的 全长范围内都是适用。 因此只需将简支梁的反力影响线向两个伸臂 部分延长，即得伸臂梁的反力影响线 。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
2.两支座之间的截面弯矩和剪力 影响线
当荷载F=1在截面C 的左方移动时，弯矩MC 和剪力FSC影响线方程为 M C FyB b FSC FyB (l1 x a) 当荷载F=1在截面C的 右方移动时，弯矩MC和剪 力FSC 影响线方程为
§11-2 用静力法作静定梁的影响线 三、影响线与内力图的比较
影响线表示当单位荷载沿结构移动时，某指定 截面处的某一量值的变化情形； 内力图表示在固定荷载作用下，某种量值在结 构所有截面上的分布情形。
由某一个内力图，不能看出当荷载在其他位臵时 这种内力将如何分布。
由某一量值的影响能看出单位荷载处于结构的 任何位臵时，该量值的变化规律，但其不能表示其 他截面处的同一量值的变化情形。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
x FSC FyB l lx FSC FyA l
(0 x a )
(a x l )
由以上两式可知：在截面C以左，剪力的FSC影 响线与FyB的影响线的各纵坐标数值相等，但符号相 反；在截面C 以右，剪力FSC的影响线与的FyA影响 线完全相同。据此，可作出剪力FSC 的影响线，显 然，它的左直线与右直线相互平行，且在截面C 处 发生突变，突变值为1。
由于单位荷载F=1的量纲是1，故弯矩影响线的 量纲为长度的量纲。
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
3.剪力影响线
x
F =1
C
B 作剪力影响线同样要 A b a 先指定截面的位臵，并分 F yA F yB l 别考虑荷载F=1在指定截 面的左方和右方移动。现 拟作图示简支梁截面C的 剪力影响线。 当荷载F=1在截面C的左方移动时，取右边CB段 为隔离体，并规定使隔离体有顺时针转动趋势的剪 x 力为正，则 (0 x a ) FSC FyB l 当荷载F=1在截面C的右方移动时，取左边AC段为隔离 lx 体，则 FSC FyA (a x l ) l
x FyA 1 l x FyB l (l1 x l l2 )
§11-2 用静力法作静定梁的影响线
D A
x
F=1
C B E
F yA
a
b
F yB
x FyA 1 l x FyB l
l1
l
l2
(l1 x l l2 )
用静力法作静定梁影响线的基本步骤：
1. 建立坐标系。选取坐标原点，以F=1的移动 方向为x轴（x 轴的指向可以任意假设），以与F=1 指向相反的方向作为y 轴正方向建立坐标系。 2. 建立静力平衡方程，将该量值表示为x 的函数。
3. 根据函数关系，绘制出该量值的影响线。若影 响线为正值，则绘于y 轴正向；反之，绘于y 轴负向。
3. 截面K的弯矩MK和剪力FSK影响线
F =1 x
D K A C B E
d
a
b
在求伸臂部分上任一指定截面K的弯矩MK 和剪 力FSK影响线时，改取K点为坐标原点，并规定x以向 左为正。 当荷载F=1在截面K的左方移动时，取截面K以 左部分为隔离体，则由平衡条件可得弯矩MK和剪力 FSK影响线方程为 M K x (0 x l1） FSK 1