椭圆双曲线过焦点的弦长公式及其应用
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。
上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。
分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--by a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c ca （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。
解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。
例3、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-by a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。
椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用
Ｃ ’
ｌＹ． 求 ， 求 运 量 往 大若 ２ √＋ 解这 解 算 往 较 ，我 ｔ 寺 —１ 样
们 利用椭 圆、 曲线过焦 点的弦长公 式处理 此类 问题会 双 省时省 力 ， 同时也 能 大大提 高解题 的准 确率． 阐述如 现
注 （） １ 性质 １中当直线 ｌ 过椭圆 ＋ ＝１ 告
（＞ ＞ ） ０ ６ ０ 的左焦点 Ｆ （ ｃ０ 时 ， ，一 ，） 同样有
ｌ ２ ａ－ ＝ 。‘ ｃ
口 一Ｃ 。 ＣＯＳ
・
下， 供同仁参考．
１ 公 式 推 导
（） ２当直线ｚ 过椭圆 鲁＝ （＞＞） 焦点， ＋ １口６０ 的 且ｚ
与 Ｙ轴 的夹 角 为 口 则 Ｚ 椭 圆截得 的弦 长公式 形式 不 ， 被
．＋． 『 １ ，
【＝ （ － ） ｙ ｋｘ ｃ ，
得
图１
１Ｉ ｎ ，（。 。 ， （ ， ． ． ：ａ Ａ ， ） 曰 ） 由 ｉ ｝ ｙ
（ ６） ２ ２ ｋｘ ａｃ ２ａｂ ＝ ， 口ｋ＋ ｘ－ ａｃ ＋ ｋ－ ０
ｆ １ ， 一
【 后一 ， ） （ ｃ ， ） ＝
，
满
考、 竞赛 中的热点之一 ， 解决这 类 问题 ， 统 的做法 一般 传
是将 弦所 在的直线方程与椭 圆或双 曲线 方程进 行联 立 ，
足上述弦长公式． ‘
・
利用焦半径公式或弦长公式 ＩＢＩ 一： ・／＋ Ａ ＿ｆ Ｉ 、１ ＝ ／
厂—— —
故
ＩＢｔ ２ ａ－ ｎ。 ａ ＝ ｃ ａ ｃｏｓ
０
，
／ Ｂ
Ｖ ／ｉ
则 ｃ ． ＩＤＩ ２ ｏ＝ ｓ 由 Ｂ ：ａ
图４
＝
双曲线的相交弦长公式
双曲线的相交弦长公式双曲线的相交弦长公式为：设双曲线方程为：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$其中，$a$ 和$b$ 是双曲线的实轴半径和虚轴半径。
设双曲线上有两个点$A(x_1, y_1)$ 和$B(x_2, y_2)$，它们在双曲线上相交。
根据双曲线的性质，有：$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$由于$A$ 和$B$ 在双曲线上，所以有：$\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1$$\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{2}^{2}}{b^{2}} = 1$两式相减，得到：$\frac{x_{1}^{2} -x_{2}^{2}}{a^{2}} -\frac{y_{1}^{2} -y_{2}^{2}}{b^{2}} = 0$整理后得到：$\frac{y_{1} -y_{2}}{x_{1} -x_{2}} = \frac{b^{2}(x_{1} + x_{2})}{a^{2}(y_{1} + y_{2})}$进一步整理，得到：$|AB| = \frac{2b^{2}}{a} \cdot \frac{|x_{1} -x_{2}|}{|y_{1} + y_{2}|}$以上就是双曲线的相交弦长公式。
双曲线相交弦长公式的应用及其重要性双曲线的相交弦长公式在数学领域具有广泛的应用，尤其是在解析几何、微积分和数学分析等领域。
下面我们将介绍该公式在几个方面的应用及其重要性。
1.解析几何中的应用在解析几何中，双曲线相交弦长公式可以帮助我们求解双曲线与其他曲线（如直线、椭圆、抛物线等）的交点，进而研究它们的性质。
例如，在给定双曲线和直线方程的情况下，我们可以通过求解方程组，找到它们的交点，并利用相交弦长公式计算这些交点的距离。
双曲线_焦点弦公式_概述说明以及解释
双曲线焦点弦公式概述说明以及解释1. 引言1.1 概述双曲线焦点弦公式是研究双曲线特性中的重要公式之一。
它描述了在一条双曲线上，两焦点之间的任意弦的长度与弦与对应焦点到中心点距离的乘积之和为常数。
这个公式在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将按以下结构逐步介绍双曲线焦点弦公式及其相关内容：- 引言：对文章进行引言和概述。
- 双曲线的基本概念和特性：介绍了双曲线的定义、焦点和焦距以及弦的特性。
- 双曲线焦点弦公式的介绍与解释：详细说明了焦点弦公式的概述，以及如何利用该公式求解双曲线参数，并提供实际应用案例分析。
- 双曲线焦点弦公式的推导过程与原理解释：探讨了该公式推导过程中的步骤说明，详细解释了公式背后所表示的几何意义，并介绍了数学推理与证明方法。
- 结论和总结：总结归纳了双曲线焦点弦公式的实际应用，并探讨了双曲线研究的启示和未来发展方向。
1.3 目的本文的目的是全面介绍双曲线焦点弦公式，为读者提供对其原理、应用和推导过程的深入理解。
通过这篇文章，读者可以了解到双曲线背后的数学原理以及在各个领域中该公式的具体应用。
同时，本文也将为读者提供一些关于双曲线研究的启示和未来发展方向，帮助他们更好地理解和应用这一概念。
2. 双曲线的基本概念和特性：2.1 双曲线定义:双曲线是由平面上满足特定条件的点构成的集合。
它具有一条对称轴和两个分离的焦点，以及与对称轴垂直并通过焦点的两条物理不可能存在的弦。
2.2 焦点和焦距:双曲线有两个焦点，分别表示为F1和F2。
每个焦点与双曲线上的任意一点之间的距离总是相等，这个共同的距离被称为焦距，用字母c表示。
2.3 弦的定义和特性:在双曲线上，弦是通过连接两个在双曲线上任意选取的点而形成的直线段。
弦将双曲线分成两部分，并且其长度小于或等于双曲线任何一边到原点（即与焦距c 相关）的距离。
而且对于给定长短固定，相同长度的弦总可以选择到达无穷远处或者退化成一个切线。
椭圆的焦点弦长公式推导
设焦点弦端点为A，B，A，B横坐标分别为x1，x2，A，B到与焦点对应的准线的距离分别为d1，d2，焦点弦过焦点F，则离心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]若F为右焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2)=2a-e(x1+x2)若F为左焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c=e(x1+x2)-2a扩展资料：平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
由锥体与平面相交的平面曲线。
椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。
圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。
即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。
椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a²+yy0/b²=1。
双曲线的焦点弦公式
双曲线的焦点弦公式双曲线是一种常见的二次曲线，它在数学和物理中具有广泛的应用。
在双曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念。
本文将介绍双曲线的焦点和弦，并探讨其公式的推导和应用。
首先，我们先来了解一下什么是双曲线。
双曲线是指平面上一组点，其到两个给定点的距离之差等于一个常数的所有点的轨迹。
这两个给定点被称为焦点，而这个常数被称为离心率。
双曲线的形状类似于一个打开的椭圆，其中的两支曲线分别称为双曲线的枝。
焦点是双曲线的一个重要概念，它是该曲线的一个特殊点。
焦点与双曲线的离心率有关，离心率越大，焦点离中心点越远。
双曲线的焦点对称地位于中心点的两侧，而焦点到中心点的距离等于离心率的值。
另一个重要概念是弦，它是双曲线上两个点之间的连线。
弦对于研究双曲线的性质和应用是非常有用的。
在双曲线中，弦可以是垂直于对称轴的直线，也可以是斜线。
接下来，我们将推导双曲线的焦点和弦的公式。
设双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中 $a$ 和$b$ 是常数。
首先，我们推导双曲线的焦点公式。
设焦点的坐标为 $(c,0)$ ，其中 $c$ 是焦点到中心点的距离。
根据离心率的定义，我们知道$\frac{c}{a} = e$ ，其中 $e$ 是双曲线的离心率。
将焦点的坐标代入双曲线的方程中，我们得到 $\frac{c^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$ 。
整理得到 $c^2 = a^2 + b^2$ ，即焦点的坐标为$(\sqrt{a^2 + b^2},0)$ 。
接下来，我们推导双曲线的弦公式。
设双曲线上两个点的坐标分别为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ ，其中 $y_1$ 和 $y_2$ 不同时为零。
根据双曲线的方程，我们可以得到 $\frac{x_1^2}{a^2} -\frac{y_1^2}{b^2} = 1$ 和 $\frac{x_2^2}{a^2} -\frac{y_2^2}{b^2} = 1$ 。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。
组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。
一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。
法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。
设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆是我们初中数学学习中比较基础的一种二次曲线，在学习椭圆的性质时，有一条焦点垂直于长轴的弦长公式是必须要掌握的。
那么，什么是椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式呢？一、椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式的定义：椭圆的焦点垂直于长轴的弦长公式是指，对于一个椭圆，设其长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则椭圆的焦点到长轴垂足的距离为c，长轴上任意一点到椭圆上一点的距离为s，则焦点垂直于长轴的弦长公式为：s²=4a²-c²其中，a、b、c为椭圆的三个参数，分别表示长轴的半长轴、短轴的半长轴和焦距。
二、证明：证明四步如下：1) 假设在椭圆上任取一点P(x,y)，设焦点为F1(x1,y1)，垂足为H(x,y1)。
连接FP1，FH。
则有HF1=c。
2) 再设椭圆的左、右顶点分别为A(-a,0)、B(a,0)，则长轴AB的中点为O(0,0)。
3) 由于OH垂直于长轴，且∠PFH=90°，则PH是OH的投影，即PH∥OH。
又因为FOHF1是平行四边形，所以OF1||FH。
4) 由平行性，有 PH/PF1=OH/OH+2c=OH/OA，所以PF1⋅PH/OH=F1H=c，于是有PF1²=PH²+c²，代入x²/a²+y²/b²=1可得s²=4a²-c²。
三、应用：椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式在椭圆的研究中有广泛的应用，如常数项展开、直线切线、切线方程求解等等。
比如，在切线方程的求解中，就可以用椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式来确定椭圆上点到直线距离的计算，然后利用求解直线与该点的切线即可得到切线方程。
四、总结：椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式是椭圆的基本公式之一，在学习椭圆的性质时是必须要掌握的。
通过学习其定义、证明和应用，我们可以更深入地了解椭圆的性质，为以后的学习打下扎实的基础。
椭圆弦长公式6种
椭圆弦长公式6种椭圆是几何中重要的概念，弦长是椭圆的一个重要尺寸，许多椭圆弦长计算中会使用到椭圆弦长公式。
关于椭圆弦长公式，近代有着多种。
本文将总结分析这6种椭圆弦长公式，以期更好地理解它们的应用，及应用椭圆弦长公式在几何计算中的重要性。
首先，让我们来认识一下这6种椭圆弦长公式，它们分别是：拉弗森法、科赫法、弗兰克法、双曲线法、加勒特-埃斯特罗法、经典椭圆法。
1、拉弗森法：基于拉弗森范数的椭圆弦长公式。
拉弗森法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为拉弗森范数。
2、科赫法：基于拉普拉斯算子的椭圆弦长公式。
科赫法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为拉普拉斯算子。
3、弗兰克法：基于拉普拉斯算子的椭圆弦长公式。
弗兰克法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k 为拉普拉斯算子。
4、双曲线法：基于双曲线解析函数的椭圆弦长公式，双曲线法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为双曲线解析函数。
5、加勒特-埃斯特罗法：基于埃斯特罗多项式的椭圆弦长公式，加勒特-埃斯特罗的公式表达式是： L=π·ak(1+e/2 )，其中，a为轴长，e为离心率，k为埃斯特罗多项式。
6、经典椭圆法：基于格雷斯沃丁算子的椭圆弦长公式，经典椭圆法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2 )，其中，a为轴长，e为离心率，k为格雷斯沃丁算子。
从上面的介绍可以看到，这6种椭圆弦长公式的计算方法主要是依赖于不同数学模型，有不同的着重点，所以使用时要根据具体情况选择合适的椭圆弦长公式。
接下来，我们看看这6种椭圆弦长公式在实际应用中的重要性。
从本文所介绍的6种椭圆弦长公式中可以看出，它们各自有不同的优点和特点，因此可以将它们应用于不同的几何计算中。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。
上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。
分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--by a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。
解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。
例3、已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。
过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式
椭圆是代数曲线的一种，是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在椭圆的研究中，我们经常要涉及到椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式。
本文将从椭圆的基本概念开始，逐步介绍椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式，以便读者更加深入地理解和掌握该公式。
一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹，常数2a称为椭圆的长轴，F1和F2称为椭圆的焦点。
2. 椭圆的标准方程设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的中心为坐标原点O，焦点F1(-c,0)，F2(c,0)。
则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
3. 弦长的定义弦是平面上连接两点的直线段，椭圆焦点垂直于x轴的弦长即为连接椭圆上焦点处的两点并且垂直于x轴的线段的长度。
二、过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导涉及到椭圆的几何证明和数学运算，下面我们将逐步进行推导。
1. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的定义设椭圆的焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，横轴为x轴，焦点连线垂直于x轴的弦为CD，C点的坐标为(x,0)，D点的坐标为(-x,0)。
设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
则C、D两点上线上满足椭圆方程。
2. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，可得点C、D的坐标分别为$(a\cos\theta, b\sin\theta)$和$(-a\cos\theta, -b\sin\theta)$（其中$\theta$为椭圆上任意一点P的极角，即向量OP与x轴正方向的夹角）。
椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式即为CD的长度公式，根据两点之间的距离公式可得：CD的长度 = $\sqrt{(a\cos\theta-(-a\cos\theta))^2 +(b\sin\theta-(-b\sin\theta))^2}$3. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的进一步推导进一步利用三角恒等式和平方展开可得：CD的长度 = $\sqrt{(2a\cos\theta)^2 + (2b\sin\theta)^2}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$由于椭圆的轨迹方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据单位圆的性质可得$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，代入上式可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2(1-\sin^2\theta) +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+进一步整理可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2$CD的长度 = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4(a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4(a^2-b^2\sin^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$所以椭圆焦点垂直于x轴的弦长为CD的长度为$\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$。
双曲线的焦点弦长及其推导
双曲线的焦点弦长及其推导
双曲线是数学中的一种曲线，它有着独特的性质和特点。
其中，焦点弦长是双曲线的一个重要参数。
我们需要知道什么是焦点和直线。
在双曲线上，焦点是指离两个定点距离相等的点，而直线是指连接两个定点的线段。
对于双曲线而言，焦点弦长是指从一个焦点出发，经过另一个焦点并与双曲线相交的直线段的长度。
接下来，我们来推导双曲线的焦点弦长的公式。
假设双曲线的方程为x²/a²-y²/b²=1，其中a 和b分别是双曲线的两个参数。
我们设焦点的坐标为(c,0)和(-c,0)，则焦点弦长的公式可以表示为2b√(c²/a²-1)。
为什么会有这样的公式呢？这是因为双曲线具有特殊的几何性质，其中一个重要的性质是：从双曲线的一个焦点出发，经过另一个焦点并与双曲线相交的直线段长度是定值。
这个定值就是焦点弦长，而公式中的2b和√(c²/a²-1)分别代表了双曲线的参数和焦点之间的距离。
双曲线的焦点弦长是双曲线中的一个重要参数，它可以帮助我们更好地理解双曲线的几何性质和特点。
同时，通过公式的推导，我们也可以更深入地了解数学中的推导方法和思维方式。
双曲线焦点弦长公式
双曲线焦点弦长公式双曲线是平面解析几何中的一类曲线。
它可以通过平面上两个给定点（称为焦点）和一个给定的正实数（称为离心率）来定义。
设焦点为F1（c,0）和F2（-c,0），c>0；离心率为e，e>1；则双曲线的方程为：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中，a是双曲线的半长轴长，b是双曲线的半短轴长。
根据双曲线的定义，焦点和离心率是唯一确定双曲线的参数。
焦点是双曲线的一个重要概念。
在双曲线上，焦点是离心率的一个重要特征。
对于每一个焦点，双曲线上的两个焦点之间的距离等于双曲线的半长轴的长度的二倍。
换句话说，双曲线的半长轴的长度是焦点之间的距离的一半。
焦点的弦长是指通过焦点的弦所对应的弦长。
弦长是曲线上两个焦点之间的最短距离，或者通过焦点穿过曲线的线段的长度。
现在我们推导一下双曲线焦点弦长公式。
设通过焦点F(c,0)的一条弦在双曲线上的两个交点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
根据定义，焦点的弦长等于弦的长度，也就是线段AB的长度。
我们可以使用点到直线的距离公式计算AB的长度。
首先求AB的长度平方，即(Ax-Bx)^2+(Ay-By)^2、由于点A和点B都在双曲线上，所以满足双曲线的方程：(x1^2/a^2)-(y1^2/b^2)=1(x2^2/a^2)-(y2^2/b^2)=1将x1和y1代入第一个方程，x2和y2代入第二个方程，我们可以得到一个关于a和b的方程。
然后将该方程与AB的长度平方等于0进行联立，我们可以消除x1、x2、y1和y2，最终得到一个只与a、b和c有关的方程。
通过求解该方程，我们可以得到AB的长度的平方。
将AB的长度的平方除以焦点之间的距离的平方，我们可以得到焦点的弦长与焦点之间的距离的平方的比值。
这个比值也就是双曲线的离心率的平方。
即：AB^2/(4c^2)=e^2将e^2替换为e^2=1+(c^2/b^2)，化简后可以得到：AB^2=4c^2+4c^2/(1-e^2)进一步化简即可得到双曲线焦点弦长公式：AB = 2c (1 / sqrt(1 - e^2))这就是双曲线焦点弦长公式。
双曲线的焦点弦长公式
双曲线的焦点弦长公式首先，让我们回顾一下双曲线的基本定义。
双曲线是由平面上距离两个固定点（称为焦点）的距离之差与到两个固定点的总距离之差为常数的点的集合。
我们可以简单的用以下公式来表示双曲线的方程：(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1其中，(h,k)是双曲线的中心点，a和b分别是x和y轴上的半轴长度。
焦点位于双曲线的主轴上，与中心点的距离为c，其中c²=a²+b²。
根据双曲线的定义，我们可以知道，焦点与双曲线上任意一点的距离之差为常数。
假设焦点到双曲线上的一点 P 的距离为 r1，焦点到焦点之间弦的长度为 d，焦点与焦点之间的距离为 2ae，我们可以得到以下关系：r1 - r2， = d + 2ae其中，r2表示焦点到双曲线上的另一个点的距离。
上述关系式告诉我们，焦点到双曲线上的任意一点的距离之差等于焦点与焦点之间弦的长度加上焦点与焦点之间的距离。
这就是双曲线的焦点弦长公式。
接下来，我们将使用一个具体的双曲线问题来演示如何使用焦点弦长公式。
假设有一个双曲线的方程为(x-2)²/9-(y+1)²/4=1、我们需要找到焦点到双曲线上离它最近的点的距离。
首先，我们需要确定双曲线的中心点和半轴长度。
由于方程中x-2和y+1的系数分别是1/3和1/2，我们可以得知双曲线的中心点是(2,-1)，半轴长度分别为3和2接下来，我们计算c的值。
根据公式c²=a²+b²，我们有c²=3²+2²=13、因此，c的值为√13现在，我们可以使用焦点弦长公式。
根据公式，r1 - r2， = d +2ae，我们可以将公式改写为 r1 - r2 = d + 2ae，由于我们需要计算焦点到离它最近的点的距离，我们可以假设焦点到该点的距离为 r，其对应的点的坐标为 (x, y)。