弦弧圆心角

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弧弦圆心角课件

应用三：求解多边形内角和
弧弦圆心角定理
多边形内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
弧弦圆心角在多边形中的应用
通过弧弦圆心角定理，可以求解多边形内角和，进而解决与多边形内角相关的问题。同时，也可以利用多边形内角和的求解方法，推导其他几何图形的内角和公式。
05
弧弦圆心角在三角函数中应用
心角之差。
弧弦圆心角在波动中的应用
02
利用弧弦圆心角可以直观地表示波动的相位，从而方便地描述
两个波之间的相位差以及波的干涉、衍射等现象。
应用实例
03
利用弧弦圆心角分析两个同频率波的干涉现象，可以方便地得
出干涉加强或减弱的条件。
应用三：描述圆周运动中角速度与线速度关系
角速度与线速度关系
在圆周运动中，角速度与线速度之间的关系可以通过弧弦圆心角来描述。具体地，角速度等于单位时间内转过的弧弦圆心角所对应的弧度数，而线速度则等于角速度与半径的乘积。
要点二
利用弧弦圆心角关系判断三角函数方程的解的存在性
在解三角函数方程时，有时需要判断方程是否有解。此时，可以利用弧弦圆心角关系来判断方程是否有解。例如，当方程中的三角函数值超出其定义域时，可以判断该方程无解。
06
弧弦圆心角在物理中应用
应用一：描述简谐振动中相位差
相位差定义
两个同频率简谐振动的相位之差，等于它们所对应的弧弦圆心角之差。
。
性质定理二
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
性质定理三
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
判定方法二：利用三角函数判定

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT演示课件

AOB COD AB=CD ，_____________ ． AB = CD ，那么____________ AB=CD AB = CD ，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ．
（2）如果
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ OE﹦OF
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD A E O B D
17
∵ AB﹦CD ∵ OA﹦OC
∴ AE﹦CF ∴ Rt△AOE≌Rt △COF C
·
F
∴ OE﹦OF
1°弧的概念：
顶点在圆心的圆心角等分成 360 份时，每一份的圆心角是 1°的角，整个圆周被等分成 360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
10
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一量它们所对的圆心角
D B C
O A
11
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
两位同学作一条长度相同的弦，看一看它们所对的圆心角是否相同
B O A
O' B' A'
12
(2) 推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
B′
┏ A′ D′
④ OD=O′D′
15
试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
2相等的弧所对的弦相等。（ √ ）
B
二.如图，⊙O中，AB=CD,
50 o . 1 50，则 2 ____

弧、弦、圆心角

老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠ BOB弧、弦、圆心角的关系教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△ OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．、探索新知如图所示，∠ AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙ O 中，分别作相等的圆心角∠ AOB?和∠ A?′OB?′将圆心角 ∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A ′OB ′AB =A'B'，AB=A ′B ′理由：∵半径 OA 与 O ′A ′重合，且∠ AOB= ∠A ′OB∴半径 OB 与 OB ′重合∵点 A 与点 A ′重合，点 B 与点 B ′重合∴ AB 与 A'B'重合，弦 AB 与弦 A ′B ′重合∴ AB =A'B'，AB=A ′B ′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作．（学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O 和⊙O ′中， ?分别作相等的圆心角 ∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O ′A ′重合． B '你能发现哪些等量关系？说一说你的理我能发现：AB =A'B'，AB=A /B/．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，?这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下．请三位同学到黑板板书，老师点评．例1．如图，在⊙ O 中，AB 、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥ CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？?为什么？∠ AOB 与∠COD 呢？分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE 和Rt△COF 中，又有AO=CO 是半径，∴ Rt△AOE ≌Rt?△COF，∴AE=CF，∴ AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD解：（1）如果∠ AOB=∠COD，那么OE=OF理由是：∵∠ AOB= ∠COD∴AB=CD∵OE⊥AB，OF⊥CD11∴AE= AB ，CF= CD∴AE=CF又∵ OA=OC∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF（2）如果OE=OF，那么AB=CD ，AB =CD ，∠ AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC，OE=OF∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴AE=CF又∵ OE⊥ AB ，OF⊥ CD11∴AE= AB ，CF= CD22∴AB=2AE ，CD=2CF∴AB=CD∴ AB=CD ，∠ AOB=∠COD三、巩固练习教材P89 练习 1 教材P90 练习2．四、应用拓展例2．如图3和图4，MN 是⊙ O的直径，弦AB 、CD?相交于MN ?上的一点P，?∠APM= ∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙ O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．NB分析：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB、CD 所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（1）AB=CD理由：过O 作OE、OF 分别垂直于AB 、CD，垂足分别为E、F∵∠ APM= ∠CPM∴∠ 1=∠2OE=OF连结OD、OB 且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作OE⊥AB ，OF⊥CD，垂足为E、F∵∠ APM= ∠CPN且OP=OP，∠ PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA 、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE ≌Rt△OCF∴∠ 1+∠2=∠3+∠ 4 ∴AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8．1、你勤奋充电，你努力工作，你保持身材，你对人微笑，这些都不是为了取悦他人，而是为了扮靓自己，照亮自己的心，告诉自己：我是一股独立向上的力量2、前行的路，不怕万人阻挡，只怕自己投降；人生的帆，不怕狂风巨浪，只怕自己没胆量！有路，就大胆去走；有梦，就大胆飞翔3、人生就要活得漂亮，走得铿锵。

24.1.3弧,弦,圆心角(教案)

-弧和弦的分类：区分优弧、劣弧、半圆，以及直径和弦，让学生能够准确识别和运用。
举例：讲解圆心角与所对弧的关系时，可通过实际操作或动画演示，让学生直观地观察到当圆心角变化时，所对弧的长度也随之变化，强化这一重点知识。
2.教学难点
-弧、弦、圆心角的定义理解：学生对这些几何概念的理解可能存在困难，需要通过具体实例和直观演示来加深理解。
此外，学生在解决与弧、弦、圆心角相关的问题时，往往容易忽视圆心角与所对弧的关系。这说明我在讲解这个重点时，可能没有让学生充分理解和消化。为了帮助学生更好地掌握这个关系，我计划在接下来的课程中，设计更多具有针对性的练习题，并适时给予指导和反馈。
在课堂总结环节，我发现部分学生对今天的知识点仍然存在疑问。这提示我在今后的教学中，要更加重视课堂总结，及时解答学生的疑问，确保他们能够扎实掌握所学知识。
-圆心角与所对弧关系的应用：学生在运用这一性质解决实际问题时可能会感到困惑，需要通过大量练习和案例分析来提高应用能力。
-弧和弦的分类判定：学生在判断优弧、劣弧、半圆和弦时可能会混淆，需要通过对比分析和具体练习来突破。
举例：针对教学难点，教师可以通过以下方式帮助学生突破：
-设计互动环节，让学生动手操作圆规和直尺，在纸上画出不同类型的弧和弦，通过直观感受加深对概念的理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆心角与所对弧的关系以及弧和弦的分类这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧、弦、圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用圆规和直尺画出不同类型的弧和弦，演示圆心角与所对弧的关系。

圆的有关性质——弧、弦、圆心角_PPT

∴ CD=AB
弦等
弧等
19
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？要注意什么？
20
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：A△CO⌒=EBFD的⌒形状，并说明理由；
2）如果OAEB与=C⌒ODF，相⌒那等么吗？为A什B=，么CD？ AOB CO。D
3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB ，CD AB。=CD
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等
知A E B
一得
O· D
二三 C F 16
例1 如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C,∠ACB=60°,
一个角度．
30°
N
N′
15°
O
可以看出，点 N′在圆O上．
4
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一个角度．
60°
N′
N
30°
O
可以看出，点 N′也在圆O上．
5
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一°
O
可以看出，点 N′还在圆O上．
6
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
ED C B
O
弧等
圆心角等
18
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC

弧弦圆心角教案九教版七年级数学上册

弧、弦、圆心角教学目标1、了解圆心角的概念.2、掌握弧、弦、圆心角定理教学重点一、旧知铺垫，创设情境导入课件视频出示我们以前学过的弧、弦等与圆有关的问题。

演示一个圆绕圆心旋转180°。

学生回答问题，说出相关概念及定理。

学生观察思考得出圆具有旋转不变性。

揭示课题，弧、弦、圆心角二、探究新知1、圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．2、探究圆心角、弧、弦定理及推论1、的角是圆心角（图1）；下图1中的圆心角是（写出三个）2、由探究得到的定理及结论：圆心角定理：a.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦 .b.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等.c.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的也相等.总结：在同圆或等圆中，两个圆心角中有相等，那么它们所对应的也相等3、在圆心角定理中，要强调的是圆心角定理的符号语言可以写成：三、巩固知识1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对2.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧四、总结总结弦、弧、圆心角的关系1.弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

3.注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

你有什么收获？。

九年级数学上册教学课件《弧、弦、圆心角》

24.1.3 弧、弦、圆心角
九年级上册
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
A
60°
⌒
⌒
⌒
3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
40°
⌒
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
⌒
⌒
⌒
⌒
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.
【教材P85练习第2题】
解：∵ ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE.又=∠COD=35°，∴∠BOE=∠BOC+∠COD+ ∠DOE=105°,则∴∠AOE=180°-∠BOE=75°
1.四个元素：圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系：
① 圆心角② 弧弦④ 弦心距
⌒
⌒
⌒
7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
拓展延伸
(1)证明：连接AD.∵AB=CD, ∴AB=CD. ∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC. ∴BD=AC.在△ADB和△DAC中，∴△ADB≌△DAC(SSS).

人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件

的顺的位序位置排置列关顺关过，系序系点若，排，O列并并A作D，说说=O若明明BEC理理A，D由由=根A..BB据C于题，点意根E补据，全题交图意形补DC，全于探图点究形，AFB探, ，究 AB ，
C（D2的）位当置A关B 、系，CD并位说于明圆理心由O. 的异侧时，
连C交接D 的AOB位A于，置点关OB系G，，，并OC说，明理OD由..
D
F
C
∵ AD=BC ，
12
O
A
E
B
∴ 1 2 .
G
∴ 1 2，
解： AB交交∥∵AACBBDA于于D. =点点BGGC ，，，
证明：∵∵∵ ∴连OAA接E1DD==OBBAACC2B，，，，，OB ， OC ， OD ，
过点 O∴∴∴ ∵作O11E3OEA224BA，，，B，于点 E ，交交DDCC于于点点FF，, 交 AB 于点 G .
12
3 O4 E
G
B
∴
∴∴ ∴3DDDFFF4OOO，≌≌ CCCFFFOOO
，， 90
，
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同顺序侧序排的排两列同列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A据据，C题题，B意意，D作作四C图图，点，，在D探探圆四究究上点按在AABB逆圆，，时上CC针按DD逆时针
的顺的CD位序位的置排置位列关顺关C置D，系序系D关的若，排，3 系位列并并A，置D，说说4 =并关C若明明B说系C理理A明，，D由由=理根并..B由据说C∴∵题 .明，A意理根1B+补由据为全题 .2+图意O形∴ ∵ ∴补C的O，全直D探图113径+++究形1, 8，224A0++B探.，究CC3OOADDB，41,18800，,

圆心角、弦、弧关系

嗨，你好，今天来学习弧、弦、圆心角之间的关系。

我们随处都可以看到圆在生活中的存在，比如出行的时候，车轮都是圆形的，为什么是圆形的呢？这是因为圆有一个很重要很重要很重要的性质，旋转不变性，也就是说不论圆绕着圆心怎样旋转，都会和原来的圆重合。

根据这个性质，我们研究一下圆中的弧、弦和圆心角之间的关系。

这里有一个新名词——圆心角，我们先来认识一下。

圆心角，圆心角，顾名思义，顶点在圆心的角就叫做圆心角。

先来研究在同一个圆中，弧、弦和圆心角之间的关系。

如果两个圆心角相等，你还能不能得出有其他的等量关系呢？说说你的理由吧。

可以利用圆的旋转不变性，将其中的一个圆心角旋转，和另一个圆心角重合，这样，角的两边重合，又根据半径相等，可以得到端点重合，所以两段弧和两条线都重合，也就相等。

于是就可以得到结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

那要是在不同的圆里呢？我们依然从特殊的开始。

假如是在两个等圆中，是不是也有这样的结论呢？观察发现，好像结论还成立，怎么证明呢？可以用平移的方法把两个等圆变成同一个圆，像刚才一样就能证明了。

于是结论就可以变成在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

那要是在两个大小不等的圆中呢？我们可以将两个圆变成同心圆，直观观察就可以看出其他量并不相等。

通过刚才几个图形的研究，得出结论，如果在同圆或等圆中，两个圆心角相等，那么所对的弧和弦都相等，如果改变一下条件，由弧相等，能不能得出弦和圆心角的相等呢？由弦相等，能不能得出弧和圆心角相等呢？答案是肯定的，用圆的旋转不变性就可以证明出以上结论，所以我们可以把这三个结论用一段话概括：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量分别相等。

今天就学到这里，下次再见！。

弧弦圆心角三个定理

弧弦圆心角三个定理
弧弦圆心角三个定理是三个基本的几何定理，用于理解和应用圆中的几何关系，主要包括以下几个方面：
1. 圆心角定理：在同一个圆中，如果两个圆心角相等，则它们所对应的弧相等。

同时，这也意味着同弧所对的圆心角相等。

2. 弧长定理：在同一个圆中，弧长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以半径的长度。

3. 弦长定理：在同一个圆中，弦长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以弦心距的长度。

弦的大小与弦心距的大小有关，弦心距越小，弦越大。

这些定理在数学上有很多应用，例如勾股定理的应用。

在解题过程中，我们通常需要根据题目中的条件，灵活运用这些定理来推导出正确的结论。

需要注意的是，这三个定理在同圆或等圆中成立，如果两个角或两个弧不是在同一个圆中，那么它们所对应的弧和弦就不一定相等。

此外，当有弦的中点时，我们常连接弦心距，证两弦相等时也常作弦心距。

弧、弦与圆心角关系定理(1)

探究二
在同圆中，
︵︵
（1）、如果 AB A ' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′， AB A ' B '. 成立吗 ?
（1）
探究二
在同圆中，
（2）、如果那么∠AOB＝∠A′OB′，︵︵ AB A ' B '. AB A ' B '. 成立吗 ?
（ 2）
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
１、如图，AD=BC, 求证：ＡＢ＝ＤＣ
2、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA, 求证：AC=AE 3、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面 2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等，所对的 2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____ 相等；弦________ 相等，所对 3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______ 相等．的弧_________ 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

75

练习
3、如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 证明：
A
⌒
⌒
∵ AB =
AC
B
O
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰三角形又∠ACB=60°， ∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

圆心角弧弦弦心距之间的关系省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

B′
A′ B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转旳性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′旳
位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重叠，OB与OB′重
叠．而同圆旳半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
叠，B与B′重叠．
∴A︵B与
︵
A'B
'
.
重叠，AB与A′B′重叠．
︵︵
AB A' B '.
O B'
（2）在⊙O和⊙O’中，假如
A'
B
︵︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
A
（不对）
圆心角、弧、弦、弦心距之间旳关系
(1)定理：在同圆中，相等旳圆心角所正确弦相等，所正确弧相等，所正确弦心距相等。
思索定理旳条件和结论分别是什么？并回答：
条件：在等圆或同圆中圆心角相等
结论：
演示
圆心角所对弧相等
∴ AC-BC=BD-BC （等式旳性质）图 23.1.5 ∴ AB=CD ∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等旳弧所正确
圆心角相等）
六、练习
如图，AB是⊙O 旳直径，BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 旳度数．
解：
ED
∵ BC = CD = DE
C
BOC=COD=DOE=35
1A
1 50，则 2 _5_0_o_ .
C 2O
D
四、练习
如图，AB、CD是⊙O旳两条弦．（1）假如AB=CD，那么__A ___B __=___C _，D _______A_O_B_____C__O_D．

24.1.3弧、弦、圆心角(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调弧和弦的概念，以及圆心角的度数与所对弧的关系。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧、弦、圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸片制作圆并观察不同圆心角所对的弧和弦。
-圆心角的度数与所对弧的度数关系：掌握圆心角的度数等于其所对弧的度数。
-实际问题的解决：将弧、弦、圆心角的知识应用于解决复杂的几何问题。
举例：在讲解弧和弦对应关系时，通过具体示例，引导学生观察并发现同一条弦对应的两个弧的关系。在讲解圆心角的度数与所对弧的度数关系时，通过动态演示或实际操作，让学生直观感受圆心角变化时，所对弧的度数也随之变化。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧、弦、圆心角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，题，提高数学应用意识，培养数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-弧、弦、圆心角的基本概念：准确理解并掌握这三个基本几何概念，以及它们之间的关系。
-弧、弦、圆心角的性质：了解并掌握同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；弦与弧的对应关系；圆心角的度数与所对弧的度数关系。
本节课将结合实际例子，通过观察、实践和讨论，使同学们深入理解弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
二、核心素养目标

圆中弧弦圆心角之间的关系

圆中弧弦圆心角之间的关系《圆中弧弦圆心角之间的关系》在我们的数学世界里，圆是一个充满魅力的图形。

今天，咱们就来聊聊圆中弧、弦、圆心角之间那奇妙的关系。

比如说，有一个大大的圆形蛋糕。

我们把蛋糕沿着一条半径切一刀，这一刀对应的弧和圆心角就有了特殊的联系。

弧的长度越长，对应的圆心角就越大。

就像切下的那一块蛋糕越大，对应的角度也就越大。

再想想我们常见的钟面。

钟面是一个圆，那指针走过的轨迹就是弧。

当指针从 12 点走到 3 点，走过的弧长增加了，对应的圆心角也从 0 度变成了 90 度。

还有公园里的圆形喷泉，喷出的水形成的弧线和圆心角也遵循着这样的关系。

圆中弧、弦、圆心角的关系就像是一个隐藏的密码，等待我们去发现和理解。

只要我们多观察生活中的圆形事物，就能更好地掌握这个有趣的知识。

《圆中弧弦圆心角之间的关系》咱们来聊聊圆里面弧、弦、圆心角那些事儿。

你看那自行车的车轮，它就是一个圆。

车轮上的钢丝就像是圆中的弦。

当车轮转动时，钢丝划过的轨迹就是弧，而车轮的中心就像是圆心，形成的角度就是圆心角。

假如有一个圆形的操场，我们沿着操场跑一段弧线。

跑得越长，对应的圆心角也就越大。

再比如说，用一根绳子绑着一个小球，让小球绕着一个点转起来，形成的轨迹就是一个圆。

绳子的长度不变，小球转动的弧线越长，对应的圆心角就越大。

生活中这样的例子还有很多很多，只要我们留心观察，就能发现圆中弧弦圆心角之间神奇的关系。

《圆中弧弦圆心角之间的关系》朋友，今天咱们说一说圆里弧、弦、圆心角的关系。

想象一下，你正在做一个圆形的风筝。

风筝的骨架就是圆中的弦，风筝的边缘就是弧。

当你调整骨架的长度和位置时，弧的形状和对应的圆心角就会发生变化。

或者是一个圆形的花坛，你沿着花坛边缘走一段路，这就是一段弧。

走的路越长，对应的圆心角就越大。

还有我们过年放的烟花，绽放出的圆形图案，那里面也藏着弧、弦和圆心角的关系呢。

圆中的这些元素相互关联，构成了一个奇妙的世界，是不是很有趣？《圆中弧弦圆心角之间的关系》嘿，咱来好好琢磨琢磨圆中弧弦圆心角的关系。

弦,圆心角,弧,弦心距关系定理及内接四边形

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。

求证：PA=PC 。

例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ．求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。

弧弦圆心角

O
A
C
B
A
பைடு நூலகம்
知识延伸
B
如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
A
2、三个相等关系： (1) 圆心角相等
(2) 弧相等 (3) 弦相等
（4）弦心距
知一得三
5、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在 ⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC ⌒ 于点P，交BC于点D，连接BD、CD. （1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长 A
O
B P D C
B
1、四个元素：圆心角、弦、弧、弦心距
α
Oα A1 B1
M O
N
B
D
图2
3.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。求证:(1)BC=DE (2) AB=AD
B
A D
F
C O
G
E
如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O
的半径，弦BE∥OA,
⌒ ⌒ 求证：AC=AE
C
A
O
E
B
如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C ⌒ 为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
练一练： ⌒⌒ ⌒ （1）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE， ∠COD=350，求∠AOE的度数。

弧、弦、圆心角定理

探究新知1
圆心角的定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 1、下图中哪个是圆心角？
×
×
×
2、图中圆心角有： ∠AOD, ∠BOD, ∠AOB
√
O A DBBiblioteka 探究新知2在同圆中探究
如图，若圆心角∠AOB=∠A′OB′，观察圆心角所对的弧，弦，你能发现哪些等量关系？
A′
B
将圆心角∠AOB连同AB绕圆心 B′
3、如图，已知 AB、CD为
AD BC.求证:AB＝CD.
O 的两条弦，
C
B O
D A
课堂小结
说一说本节课你有哪些收获？
（1）AB与CD是否相等？不相等（2）︵AB与︵CD是否相等？不相等
B D
A OC
归纳新知
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
符号语言：
∵OA，OB，OC，OD是⊙O的半径
∠AOB=∠COD
∴A⌒B=C⌒D AB=CD
D
CB
O
A
归纳新知
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_相__等__，所对的弦__相__等__；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角__相__等__，所对的优弧和劣弧分别_相__等___．
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标
1.能说出圆心角的概念 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。
1、什么是中心对称图形？圆是中心对称图形吗？
180° A
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心！
圆具有旋转不变性！
今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系。