第四章 平差数学模型与最小二乘原理

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4.1 测量平差概述
一、观测模型
测量工程因解决不同工程问题的需要，通常需构
建相应的观测模型。 1、几何模型：观测系统仅由几何量（如，长度、 角度、高程、坐标等）构成的模型。
2、物理模型：观测系统仅由与时间概念有关的物 理量（如，速度、加速度、应变等）构成的模型。 3、综合模型：观测系统既包涵几何量又包涵物理 量构成的模型。 绵阳师范学院
ˆ h1 h1 v1 ˆ h2 h2 v 2 ... ... ˆ h6 h6 v6
如何计算出 vi i 1,2,...,6 的最优估值，使得：
BM
h2
P2 h5
ˆ ˆ ˆ h1 h2 h3 0
h4
h6
ˆ ˆ ˆ h3 h4 h5 0 ˆ ˆ ˆ h2 h5 h6 0
r nt 5 3 2
h2 h6
P2 h5
若再增加观测 h 6 则增加条件方程 h2 h5 h6 0
r nt 6 3 3
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P3
必要元素数 t = 3
BM
h1
P1 h3
仅用观测值组成条件方程，则有 ：
h2
h6
P2 h5
h1 h2 h3 a 0
能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，
简称必要元素；必要元素的个数用t 来表示。
必要元素为函数独立量，简称独立量。
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必要元素 必要元素的个数 t ，只与几何模型有关，与实际观 测量无关，一旦给定几何模型，则其必要元素的 个数 t 是唯一的，其类型不唯一。 对任一几何模型，必要元素t 个量必须为函数独立 量，即t个必要元素之间必须不存在函数关系，亦 即其中任一元素不能表达成其余（t-1）个元素的 函数。
s2
2
s3
1
s1 sin 1 1 b 0 s2 sin 3
C
A
s1
于是： 1 2 3 180
s1 sin 1 1 s2 sin 3
s1 sin 2 1 s3 sin 3
1
s1 sin 2 1 c 0 s3 sin 3
A
s1
r nt 6 3 3
C
若再增加观测元素：s2 , s3 则增加条件方程：
s2 s1 sin 1 sin 3
s3 s1 sin 2 sin 3
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B
3
仅用观测值组成条件方程，则有 ：
1 2 3 180 a 0
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如图所示水准网中：选择 h2 , h3 , h5 或 h1 , h4 , h5 ， 则函数独立。 若选择 h1 , h2 , h3
BM
h1
P1 h3 h4
或 h1 , h4 , h6，则存在 函数关系式 h1 h2 h3 0
s2
2
s3
P1 1
P3
3
s4
4
, s1 , s2 , s3 , s4 , s5
P4
s1
7 6
s5
5
7 , 6 , 5 , , s1 , s6 , s5 ,
4 , s4 ,
3 s3
B A
s6
P5
必要元素数 t = 10
必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。
按测边网观测时 t =16－0－3＝13 r =15-13=2
七、测量平差的基本概念
1、条件方程
在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再
增加一个量， 则必然产生一个相应的函数关系 式。测量中称为条件方程式。 一个几何模型如果有r 个多余观测，就产生r 个 条件方程式。
由于观测值不可避免地存在观测误差，当n>t时，
t=p-q-1
必要观测数 总点数 多余起算数据数 必要起算数据数 必要起算数据之外的起算数据 绵阳师范学院
（2）测角网必要观测数据
B 3 4 C6 8 7
2 1 A 9
5
t=8-0-4＝4
D
t=2p-q-4
必要观测数 总点数 多余起算数据数 必要起算数据数 绵阳师范学院
（3）测边网或边角网必要观测数据
h2 3 h3 3 2 h3 4 h4 5 h5 h2 5 h5 6 h6
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如图所示三角形，要确定其形状和大小，则 t = 3
若观测元素： 1 , 2 , 3 , s1
B
则存在以下关系式：
3
s3
1
s2
2
1 2 3 180
r nt 4 3 1
h4
h3 h4 h5 b 0 h2 h5 h6 c 0
于是：
P3
1 h1 2
h1 h2 h3 0 h h h 0
3 4 5
h2 h5 h6 0
h h h 0 h h h 0 h h h 0
高程控制网(水准网或三角高程网)
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三角网 (测角网、测边网、边角网)
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导线 (附合、闭合、导线网)
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二、观测模型（几何模型）的基本性质
为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型
中所有元素（几何量）的量值，只需知道其中
部分元素的量值，其它元素可以通过它们的函 数关系来确定。
如图所示三角网： 必要元素数 t = 5
A
1 2
s1
8
7
B源自文库
若仅观测了 ： 1 , 2 , 5 , 6 则无法求解： , , ,
3 4 7
s5 s4
3
4
s2
5 6
s6 s3
C
8
更无法求解：
D
s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6
t=10-0-3＝7
t=12-4-3＝7
t=2p-q-3
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五、多余观测数及其数目的确定
在测量工程中，为使一个几何模型有定解，就 必须进行观测，以获取部分几何元素的量值。 设在给定的几何模型中，总共观测了n个元素的 量值，若观测个数少于必要元素的个数，即n<t， 显然无法定解该模型，即出现了数据不足的情 况。
表示,多余观测数＝观测总数－必要观测数(r=n-t )
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如图所示水准网中： 必要元素数 t = 3
BM
h1
P1 h3 h4
若仅观测了 h1 , h2，
则无法求得P3点的高程。
h2 h6
P2 h5
若仅观测了 h1 , h4，
则无法求得P2点的高程。 必要观测不够n<t
P3
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B A
s6
P5
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四、多余起算数据
必要起算数据之外的起算数据
P1
s1
BM
h1
P1
B
s6 s5
s2 s7
P3
s9
s4
s8
s3
P2
h6
h2
P2 h5
h3 h4
A
P2
P3
多余起算数据数：2
多余起算数据数：1 绵阳师范学院
五、必要观测及其数目的确定
确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测 称为必要观测，其数目用符号t表示。 （1）水准网必 要观测数据
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如图所示水准网： 为确定待定点P1、P2、P3的 高程，至少需确定3 段高差元素。 如：
BM
h1
h2 , h3 , h5
h1 , h4 , h5
P1 h3 h4
h2 h6
P2 h5
… … …
必要元素数 t = 3
P3
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如图所示三角网： 为确定四边形的形状和大小， 至少需确定5 个几何元素。
3
3
2 3
2 3
1
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由于观测不可避免地存在偶然误差，如何调整观测
值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除 闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组
成数学模型，然后运用一定的平差原则对待求量进
行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析 成果的精度。
C
则存在以下关系式：
2 3 4 5 180
因此，此5元素不 是函数独立量 绵阳师范学院
D
三、观测模型（几何模型）的必要起算数据
确定几何模型所必须具有的已知数据。 1、水准网必要起算数据：
BM
h1
P1
一个已知点高程
h6
h2
P2 h5
h3 h4
P3
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2、测角网必要起算数据
必要观测不够n<t 绵阳师范学院
例：下图控制网分别按测角网、测边网和边角网观测 时，各自的必要观测数与多余观测数分别为多少？
F C B E G A D H
解 ：按测角网观 测时 t =16－0－4＝12 r =25-12=13 按边角网观测时 t =16－0－3＝13 r =39-13=26 绵阳师范学院
几何模型中应该满足的r=n-t 个条件方程，因实
际存在闭合差而并不满足。
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如图所示水准网中，若观测 ： h , h , h , h , h 1 2 3 4 5 可列出以下条件方程 ： h h h 0
BM
h1
1
2
3
P1 h3 h4
h3 h4 h5 0
4边1角，如：
D
s1 , s2 , s3 , s4 , 1
5边0角，如：
s1 , s2 , s3 , s4 , s5
必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。
必要元素数 t = 5 绵阳师范学院
如图所示闭合导线： 为确定待定点P1、…、P5等5 个点的坐标值，至少需确定10个几何元素。 P2 如： 7 , 1 , 2 , 3 , 4
A
1 2
1边4角，如： 2边3角，如：
s1
8
7
B
s3 , 3 , 4 , 5 , 6 s5 , s6 , 1 , 2 , 3
s5 s4
3
4
s2
5 6
3边2角，如：
s6 s3
C
s1 , s5 , s4 , 1 , 2
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例如：
h1 h2 h3 0 h3 h4 h5 0 h2 h5 h6 0
h1 P1 h3
h1 h2 h3 a 0 h3 h4 h5 b 0 h2 h5 h6 c 0
第四章
平差数学模型与最 小二乘原理
本章介绍观测模型及其定解条件等相关概 念，各种观测模型的函数模型、随机模型， 函数模型的线性形式，定解模型的最小二乘 准则和最小二乘估计 。
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本章学习要点：
1、测量平差概述 2、函数模型 3、函数模型的线性化 4、测量平差的数学模型 5、参数估计与最小二乘原理
及
h2 h6
P2 h5
h1 h4 h6 0
因此，以上两组元素均不
P3
是函数独立量。
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如图所示三角网： 必要元素数 t = 5
A
1 2
s1
8
7
B
若选择5个角元素，如： , , , ,
1 2 3 4 5
s5 s4
3
4
s2
5 6
s6 s3
一个已知点坐标，一个 相邻已知方位，一个相邻已 知边长或两个相邻点坐标。
P1
2 1
P2
8 7
3
4
5
6
A
B
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3、测边网或边角网必要起算数据 一个已知点坐标，一个相邻已知方位角。
P1
s1
P2
B
s6 s5
s2 s7
s2
P2
s3
P1 1
2
s3
P3
3
s4
4
P4
P3
s9
s4
s8
s1
7 6
s5
5
A
P2
1
s sin 1 s sin
s1 1

1 2 2 3 3 180
1



2
s sin s sin
1 s1 3 s3
s2
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若仅观测了t个独立量，n=t，则可唯一地确定该模 型。 但由于它们都是独立量，故不存在任何条件方 程， 在这种情况下，如果观测结果中含有粗差甚至 错误，都将无法发现。
为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的精 度，就必须使 n>t，则r=n-t 称为多余观测数。 多余 观测数在测量中又称为几何模型的“自由度”。 必要观测之外的观测称多余观测，其数目用符号r