第九章 梁的平面弯曲3分析

A
hH
Mmax=qL2/2=14.4 kN.m
L=1.2m
b
2) 抗弯截面模量Wz 查表9.2有：
B
x FS图
Wz =H2[B-b(h/H)3]/6 =1.227 10 -4 m3
qL
x M图
3）强度校核:
qL2/2
s max
=
Mmax Wz
=
14.4 10 3 1.22710-4
=117MPa<[s]=120Mpa
smax拉=3.25aM/Iz smax压=1.75aM/Iz
强度条件: M+[s]拉Iz/3.25a=4[s]拉Iz/13a
a
smax 压 y
1.75a
C
M
3.25a
smax 拉
9
讨对于论拉二压：力铸学铁性T能形（截许面用梁应有力[）s]不压/[同s]的拉=材2，料试，求应其
所注能意承按受使的用最要大求正设负计弯截矩面之。比。
M>0时，强度条件: M+[s]拉Iz/3.25a=4[s]拉Iz/13a
M<0时： 截面应力分布？
smax拉=1.75aM/Iz smax压=3.25aM/Iz
强度条件：
M-[s]压Iz/3.25a=8[s]拉Iz/13a M-[s]拉Iz/1.75a=4[s]拉Iz/7a
y
4a
a
1.75a
z
C
4a
梁的高跨比 h/L< 0.25；
变形平面假设的条件
4
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最大弯曲正应力:
y
smax压
y=ymax 时，s=s max，故
M
s max
=
Mymax Iz
=
M Wz
x
M
smax拉
Wz=Iz /ymax ，是抗弯截面模量。(如表9.2或手册)
梁的弯曲强度条件： 若材料拉压性能不同，则
s max
=M Wz
y
( h2
h
-y
2
)
2Iz b 4
12
结论
y
横力弯曲梁中有切应力。
中 故截y性有h=>t面轴：±b±m时a上h处x/2=，t，处与F截8，QySFIh=面zS平t20平=上=，行0行。2yI3，相zb，F=h指bS同指h=向处/向11.相2t5相，相t同m同同。。。
3.25a
a
y smax 拉
C
M 7 =
M smax 压 M - 13
10
9.3.5 矩形截面梁的弯曲切应力
纯弯曲 内力：弯矩 M 横截面上：正应力 s
横力弯曲 M ; 剪力 FS
s ： 切应力 t ?
分 析
截面上t与FS平行，指向相同。
h>b时，截面上y相同处t相同。
y
A1
y= ±h/2处，t=0。
取图示部分研究其在x方向的平衡：
z
h
FS t
b
F1 =
sdA =
A1
My dA = MSz
I A1 z
Iz
S z是面积A 1对中性轴z的静矩。
F2 F3
s
t dx b F1
11
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研究x方向的平衡：
F1 =
s dA = My dA = MSz
A1
A1 I z
Iz
F2 F3
s
t
dx b F1
b=253 h=169mm
42715175%mm2
8
讨论二：铸铁T形截面梁如图， 若[s] /[s] =2， 压拉
试求其所能承受的最大正负弯矩之比。
中性轴在哪？
y
4a
解：1) 求形心位置 y c=3a/4 8a 2y c=2a 4a 2-0压.5a 拉4a 2
z yc o
z
C
a 4a
2) M>0时： 截面应力分布？
思路： 仍沿研究变形体力学问题的主线。
变形的几何协调 (几何分析)
力与变形之关系 (物理关系)
力的平衡 (已熟悉)
2Leabharlann Baidu
分析结果汇总：
变形几何关系： e=-y/r
y
smax压
物理关系： s=Ee=-y/r
x
M
静力平衡条件：
smax拉
ydA=0 中性轴z过截面形心
A
1/r=M/EIz 梁的曲率
Iz--截面对z轴的惯性矩。 EI--截面抗弯刚度。
第九章 梁的平面弯曲
9.1 用截面法作梁的内力图 9.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 9.3 梁的应力与强度条件 9.4 梁的变形 9.5 弯曲静不定问题和
弹塑性问题简介
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1
9.3 梁的应力与强度
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。
M
yM
zsx
弯矩分布在横截面上， 只能是正应力。
问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?
强度足够。 6
例9.10 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知 F=15kN，a=0.8m，[s]=10MPa
解：1. 求支反力：
F
2F 2F F
F A =FB=3F
2. 作FS、M图。 M max=Fa=12 kN.m
3. 注意h/b=3/2，则：
Wz =bh2 /6=3b3 /8
4. 强度条件：
[s ]
作用
抗力
s max拉 [s 拉 ] s max压 [s 压 ]
处处均应满足强度条件。 5
例9.9 空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm， B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[s]=120MPa，
试校核梁的强度。
解：1）作FS、M图。 固定端弯矩最大，
q=20kN/m
z
O
Wz
=
38b3
Mmax
[s ]
=1102110063
解得：b0.147m150mm
x a aa a a a
FA 2F
FB F
F
FS
x 2F
Fa
Fa
Fa M
x Fa
7
讨论一： M max=Fa=12 kN.m，[s]=10MPa，
试设计木梁不同截面的尺寸。
截h/面b=设3b/2计应尽可h 能使 h/b=1
F2 =
sdA =
A1
(M - dM ) y
A1
Iz
dA
= (M
- dM )Sz Iz
F3 =t bdx
有：SFx=F1-F2+F3=0
t
=
Sz
dM
•
=FSS z
Izb dx Izb
Sz=?
对于矩形截面，有：
得到A：1
Sz
=
ydA
A1
=
h/ 2
by dy
y
=
b ( h2 24
-
y2)
t = FzS
结论： s=-My/Iz
中性轴上，s=0，截面上、下缘， s =smax 。
3
9.3.4 平面弯曲的最大正应力及强度条件
y
弯曲正应力公式： s = My
smax压
Iz
M
按绝对值计算应力s 的大小，依
x
据弯曲后的拉压情况判断正负。 M
smax拉
适用范围：
横截面有对称轴的平面弯曲。 纯弯曲 横力弯曲
载荷作用在纵向对称面内； 平面弯曲的条件
b
材料远离中性b 轴。
b
Wz =bh 2/6 =3b 3/8
Wz=b3/6
强度条件：
强度条件：
3 b3 M max
8 [s ]
b3 Mmax
6 [s ]
M
h/b=2/3 h O
sbmax
W z=2b 3/27
强度条件：
2b 3 Mmax
27 [s ]
b=147 h=220.5mm b=h=193mm 面重积量:3248173%mm2 37120409%mm2