七年级数学培优专题1(含答案)

专题01

质数那些事

阅读与思考

一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：

1⎧⎪

⎨⎪⎩

单位正整数质数合数

关于质数、合数有下列重要性质：

1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．

3．若质数p |ab ，则必有p |a 或p |b ．

4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能唯一地分解成k 个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：

N= 12

12k a

a a k P P P L ，其中12k P P P <<

正整数N 的正约数的个数为(1＋1a )(1＋1a )...(1＋1a )，所有正约数的和为(1＋1P ＋ (11)

P )(1＋2

P ＋…＋22a P )…(1＋k P ＋…＋k a

k P )．

例题与求解

【例1】已知三个质数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＋abc =99，那么a b b c c a -+-+-的值等于_________________．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a ，b ，c 的值．

【例2】若p 为质数，3

p ＋5仍为质数，则5

p ＋7为( ) A ．质数 B ．可为质数，也可为合数

C ．合数

D ．既不是质数，也不是合数

(湖北省黄冈市竞赛试题)

解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．

【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．

(上海市竞赛试题)

解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．

【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．

⑵若n是大于2的正整数，求证：2n－1与2n＋1中至多有一个质数．

⑶求360的所有正约数的倒数和．

(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2n－1与2n＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．

【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且112

x y p

+=，求x＋y的值．

解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x tp

=．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1= p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．

【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．

(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含

有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．

能力训练

A 级

1．若a ，b ，c ，d 为整数，()()22

2

2a b c

d ++=1997，则2222a b c d +++=________．

2．在1，2，3，…，n 这个n 自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶数，则(q －m )＋(p －k )=__________．

3．设a ，b 为自然数，满足1176a =3

b ，则a 的最小值为__________．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知p 是质数，并且6

p ＋3也是质数，则11

p －48的值为____________．

(北京市竞赛试题)

5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

(“希望杯”邀请赛试题)

7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )

A ．1个

B ．3 个

C ．5个

D ．6 个

(“希望杯”邀请赛试题)

8．设p ，q ，r 都是质数，并且p ＋q =r ，p

9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．

(上海市竞赛试题)

10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．

(五城市联赛试题) 11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm规格的地砖，恰用n块，若

选用边长为y cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是正整数，且(x，y)=1，试问这块地有多少平方米？

(湖北省荆州市竞赛试题)

B级

1．若质数m，n满足5m＋7n=129，则m＋n的值为__________．

2．已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得p=m＋n，q=m×n，则

p q

n m p q m n

+

+

的值为__________．

3．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde=2 000，则其和a＋b＋c＋d＋e的最大值为__________，最小值为____________．

(“五羊杯”竞赛试题)

4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第 1 992个数是_______________．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

5．若a，b均为质数，且满足11a＋b=2 089，则49b－a=_________．

A．0B．2 007C．2 008D．2 010

(“五羊杯”竞赛试题)