4.1三角函数的概念与基本公式

第四章 三角函数

知识结构网络

4.1 三角函数的概念与基本公式

——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识

一、明确复习目标

1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式;

2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;

二．建构知识网络

1． 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上. (1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

(2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。 (3) 与α角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}

终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

(4) 正确理解：“ 90~0间的角” “第一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这四种角的集合分别表示为：

00{|090}θθ≤<{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360 θθ，

{}

900

<<θθ， {}

90<θθ。

3．弧度制: 规定

(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位; (2) 任一已知角α的弧度数的绝对值r

l =α。

(3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值l/r 与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。

5．弧长公式:r l ⋅=α; 扇形的面积公式： 22

1

21r lr S ⋅==α扇形。

6. 任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0）

，

三角函三

角综合运用

差倍角公式

弦定理角函数图象和性质

导公式角三角函数三角

则sin α=

r y ，cos α=r x

，tan α=x

y .

三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与P 上在终边上的位置无关. 7.同角三角函数关系式: sin 2α+cos 2α=1（平方关系）；

α

α

cos sin =tan α（商数关系）；tan αcot α=1（倒数关系）. 8.诱导公式

α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.——函数名不变，符号看象限。

另外：sin （

2π－α）=cos α，cos （2

π

－α）=sin α.——函数名改变。 三、双基题目练练手

1.已知sin

2α

=

53，cos 2

α =－54

，那么α的终边在 （ ）

A.第一象限

B.第三或第四象限

C.第三象限

D.第四象限

2. (2005全国Ⅲ)设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ） A. 0x π≤≤ B.

74

4x π

π≤≤

C. 544x ππ≤≤

D. 322

x ππ≤≤ 3. 角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－5

4

，则m 的值是（ ） A.

2

1

B.－

2

1

C.－23

D.23

4. 已知cos α=31，且－2

π＜α＜0，则ααααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）

（）（=_________.

5. 已知sin β=31

，sin （α+β）=1，则sin （2α+β）=_________.

6. 已知sin θ=a

a +-11，cos θ=a a +-11

3，若θ是第二象限角，则实数a =______

简答:1-3.DCA; 4.

42; 5. 31

; 6. 19

.

1.结合三角函数线知

3322,442422

k k k k παπππππαππ+

<<++<<+α在第四象限. 答案：D 法2: sin α=－

2524＜0，cos α= 25

7

＞0，∴α终边在第四象限. 3. cos α=

9

6482+-m m =－

54.∴m =21或m =－2

1

（舍去）答案：A 4.从cos α=3

1

中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.

5. ∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+

2

π

. ∴sin （2α+β）=sin ［2（α+β）－β］=sin β=3

1

.

6.依题意得⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧=+-++-<+-<-<+-<.11131101131111022）（）（，

，a a a a a a a a

解得a =91或a =1（舍去）. 四、经典例题做一做

【例1】已知α是第二象限的角

（1） 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围； （2） 若α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间;

（3） 若

2

π

αβπ<<<,求α－β的范围.

解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k ∈Z ） （1） 所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k ∈Z ），若k 为偶数，

则α/2

是第一象限的角；若k 为奇数，则α/2是第三象限的角；

其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界） （2） 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2， 即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，

结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2]。 (3)

,,2

2

2

2

π

π

π

π

αππβαβ<<-<-<-

∴-

<-<

又,02

π

αβαβ<∴-

<-<

◆提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、α/2角的取值

范围间的相互关系。

【例2】化简（1）

())

cos(])1sin[(])1cos[(sin απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k （Z k ∈） （2）α

αα

α4

266sin sin cos sin 1---; (3) 若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简

2

sin

12sin

1α

α+-+2

sin

12sin 1α

α-+.

解：（1）当k 为偶数时，原式=

α

αααcos sin )

cos (sin --⋅-=－1；当k 为奇数时同理可得，原式=－1，故当Z

k ∈时，原式=-1。