7.1刚体运动的描述

7.1 刚体运动的描述

（一）刚体的平动 j i j i ij i j a a v v r r r ==+=,,

（二）刚体绕定轴的转动

角位移：)(t θθ=∆

瞬时角速度：dt

d t t θ

θω=

∆∆=→∆0lim

瞬时角加速度：dt

d t t ω

ωβ=

∆∆=→∆0lim 线量与角量的关系：2

2

2)(ωωβ

ω

ωθ

θ

ττττr r

r r v a r dt d r dt dv a r dt

d r dt ds v r s n =========

= （三）角速度矢量

dt

d r

v ωβω =

⨯= （四）刚体的平面运动

r v v B

'⨯+=ω

无滑滚动条件：0=⨯+r v c

ω

7.1.1 地球绕日作圆周运动。求地球自转和公转的角速度为多少rad/s? 估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度。估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己收集所需数据）。 解：相关的数据：

地球半径R e =6370km, 日地距离R=1.5x108km 地球公转周期T=1年， 地球自转周期t=24小时

地球公转角速度：

s rad T /10260

60243652272-⨯=⨯⨯⨯==

ππω 地球自转角速度：

s rad t /103.760

60242251-⨯=⨯⨯==

ππω 赤道上一点因地球自转而具有的：

1. 线速度：

s m R v e /460106370103.73522=⨯⨯⨯=⋅=-ωτ

2. 向心加速度：

22325222/104.3106370)103.7(s m R a e --⨯=⨯⨯⨯=⋅=ω

地心因地球公转而具有的： 1． 线速度：s m R v /103105.1102411711

⨯=⨯⨯⨯=⋅=-ωτ

2． 向心加速度：231127211

/106105.1)102(s m R a --⨯=⨯⨯⨯=⋅=ω

7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min 。（1）假定转动是匀加速转动，求角加速度；（2）在此时间内发动机转了多少转？

解：角速度与转速n 间的关系为

30

πωn =

对于匀加速转动，角加速度β为常数，由t t βωω+=0)(，得t n t n π

β

30)(0+

=

（1）由条件：t=0时，n 0=1200rev/min, t=12s 时，n 1=3000rev/min ，n 1-n 0=1800rev/min 得：

222010

1/7.16)/(5/30

12s rad s rad s rad n n t

==-=

∆-=

ππ

ωωβ

(2)设在∆t=12s=0.2min 时间内发动机转了N 转

420180240|)90002

11200()90001200()2

.01200()30()(2.002.00

12

.00

2

.00

2

.00

0=+=⨯+

=+=-+

=+

==⎰⎰⎰⎰t t dt t dt t n n dt t n dt t n N π

β

7.1.3 某发动机的飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(4

3s t rad ct bt at θθ-+=，求t 时刻的角速度和角加速度。

解：根据瞬时角速度和角加速度的定义

2

32126)(43)(ct bt dt

d t ct bt a dt

d t -==-+==

ωβθ

ω

7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立O-xy 坐标系，原点在轴上。

X 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足):,:(2.12

s t rad t t θθ+=。求（1）t=0时，（2）自t=0开始转450时，（3）转过900时，A 点的速度和加速度。

解：根据角速度和角加速度的定义以及角量与线量间的关系：

r

r a r a t r r v r v dt d t dt d t t n 2,)22.1(,2

,22.12.122

===+==⨯===+==∴+=βωωωωβθωθτττ

A 点从x 轴开始转450和900所需的时间：由2

2.1t t +=θ，得 当7893981.045180

4500

=⨯==π

θrad 时，t 1=0.47s 当7893981.090180

9000=⨯=

=π

θrad 时，t 2=0.7895s

（1）当t=0时，A 点的线速度与x 轴垂直

2

20220/2.021.0/144.0|)22.1(1.0/12.0|1.0)22.1()22.1(,0s m r a a s m t r a a s

m t r t v v v y t n x t y x =⨯====+⨯====⨯+=+=====βωττ

(2) A 点从x 轴开始转450时，

s rad t /14.247.022.122.11=⨯+=+=ω

s

m r v s m r v y x /15.045sin /15.045cos 0

0==-=-=ωω

2

2222

2

2

22

222/182.0)14.20.2(1.0)

(45sin 45sin 45sin /465.0)14.20.2(1.0)(45cos 45cos 45cos s m R R R a s m R R R a y x -=-⨯

=-︒=︒-︒=-=+⨯-=+︒-=︒-︒-=ωβωβωβωβ

（3）A 点从x 轴开始转900时，A 点的线速度与y 轴垂直

2

27895.0222/2.021.0/77.0|)22.1(1.0/28.01.0)7895.022.1()22.1(,0s m r a a s m t r a a s

m r t v v v x t n y x y =⨯==-==+⨯==-=-=⨯⨯+-=+-=-===βωττ

7.15 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速度ω=10rad/s 逆时针转动，