高等数学3 习题一答案详解
同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)
解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
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练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3
高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。
二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。
高等数学三教材答案
高等数学三教材答案第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质在高等数学三教材中，极限是一个重要的概念。
极限的定义是：对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某一特定值a时，函数的取值也无限接近于一个常数L。
极限有以下几个性质：- 唯一性：如果函数f(x)的极限存在且值为L，那么L是唯一的。
- 有界性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在某个区间上有界。
- 保号性：如果函数f(x)的极限存在且值为L，那么当x足够接近a 时，函数f(x)和常数L有相同的符号。
2. 连续的概念与性质连续是高等数学三教材中另一个重要的概念。
函数f(x)在点a处连续的定义是：当x无限接近于a时，函数f(x)的极限等于f(a)。
连续函数有以下性质：- 有界性：在有限闭区间上连续的函数是有界的。
- 介值性：在有限闭区间上连续的函数取得介于最大值和最小值之间的任意值。
第二章：导数与微分1. 导数与微分的定义在高等数学三教材中，导数和微分是重要的概念。
函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim Δx→0 (f(a+Δx) - f(a))/Δx微分的定义是：dy = f'(x)dx2. 导数和微分的性质导数和微分具有以下性质：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 乘法法则：(f(x) * g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)第三章：多元函数微分学1. 偏导数的定义与计算方法多元函数中的偏导数是在特定变量上求导的一种方法。
偏导数的定义是：对于函数f(x1, x2, ..., xn)，在变量xi上的偏导数表示为∂f/∂xi。
计算偏导数的方法是将其他变量视为常数，然后对指定变量求导。
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。
如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。
首先，我将给出每章节的课后习题答案。
在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。
你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。
接下来是课后思考题答案的解析。
这些思考题往往比较有挑战性，需要一定的思考和推导。
我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。
最后，我将给出课后习题的详细解析。
在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。
通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。
总之，在这篇文章中，我将为你提供《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
高等数学第三册教材答案
高等数学第三册教材答案第一章：函数与极限1. 函数的概念与性质2. 极限的概念与性质3. 数列极限4. 函数极限第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质2. 基本导数公式3. 高阶导数4. 微分的概念与性质第三章：一元函数微分学1. 可导函数与连续函数的关系2. 导数的运算法则3. 高阶导数的应用4. 幂指函数的微分第四章：函数的积分学1. 定积分的意义与性质2. 不定积分3. 积分的运算法则4. 牛顿-莱布尼茨公式第五章：定积分的应用1. 几何应用2. 物理应用3. 统计应用4. 应用题解析技巧第六章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 偏导数与全微分3. 隐函数与参数方程的微分4. 多元函数的极值与条件极值第七章：多元函数积分学1. 二重积分的概念与性质2. 三重积分的概念与性质3. 曲线与曲面的积分4. 应用题解析技巧第八章：无穷级数1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 序列与函数项级数的收敛性第九章：常微分方程1. 方程与解的概念2. 一阶常微分方程3. 二阶常微分方程4. 齐次与非齐次常微分方程第十章：高级数学的应用1. 现实生活中的数学模型2. 数学在科学与工程中的应用3. 数学在经济学中的应用4. 数学在物理学中的应用以上是《高等数学第三册教材》的答案概述，涵盖了每个章节的主要内容和重点。
这些答案有助于学生巩固对每个主题的理解，并通过实际的应用题目来提高解题能力。
希望这份答案可以帮助你更好地掌握高等数学知识。
2019年数学三真题答案解析
x
2
f(x)dx=- 31 fJ I Cx)dx3=了1 x汀ex)
11 Io—了
I
x3 J'(x)dx,
CD
又八1) =『五了尸dt=O,J'(x)=./i丁了，代入CD 式：
扣 习l (1)- 3 0 xa 汇了-dx=-_3!__· 上4 『0 五言了dx4
＝飞1 ·32 Cl+x4 )23
11 1。飞(1-2迈）．
又xl-i十m立f ， (x)= +=, 飞l-i-m= - f(x)=--=,结合单调性知，f(-l)>O,f(l)<O时才有三个根， 且三个实根分别在区间(--oo,-1),(-1,1),( 1,-f一=)上， 即八 — 1)= — 1+5 +k>O,J(l) =l-5+ k < O,则-4 < k< 4. 故应选D.
x 一 o+
X
x-o +
X
x勺+
X
2x气lnx + 1), x>0,
故应填1.
（ 1 4 、丿
2 _3
Байду номын сангаас
0\
a
1 -
1 ．．．．．I ．
=仁-X , O<x<2,
解 由随机变量X的概率密度f(x)
可知X的分布函数
lo, 其他，
< 厂�X
Q,
2
2
F(X)� 了, O¾x< 2,EX�I. xf(x)dx�L x·fdx�f,
l l, X�2,
卢＞ P{F(X)>EX-1}
由于 A ） 是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个特征值的积为IA I的值， 故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2, 故二次型xTAx的规范形为Yi—丈 — 丈．故应选C. (7) C 解 由P(AB)=P(BA)得 p (AB)= p(A) -p (AB)= p(BA)= p(B)—P(AB)台P(A)=PCB).
数学三参考答案及解题分析
次命中概率分别为1/3和1/4.求两射手均停止射击时脱靶（未命中）总数的数学期望=_.
【解】X:射手i首次命中时的脱靶数，则停止射击时他的射击次数Xi1~Ge(pi)，
因此P(Xik)(1−pi)
pi，i1,2，
x→0⎣2
f(x)
⎦
根据复合极限定理，只需求极限lim
−f(x)
−1lim
f(x)
x→02ln(1x)
由于fx在−,内可导，所以由导数定义得到
2x→0x
−1lim
f(x)−1
f′(0)−1，因此
1
1ln11
2x→0x2
lim1−fx
x→02
xe−。
（2）设参数t1
16
，差分方程y(k2)−1
2
y(k1)ty(k)0的通解为y(k)ak，则当t的取值
(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点(D)无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
答案：C。
（11）设zh(x,y)由方程exyzxyz确定，则h(x,y)在点P(0,1)的两个偏导数（）。
（A）分别等于0和-1。（B）分别等于
−1和0。
（C）都等于0。（D）都等于−1。
答：D。
【解】exyz(xyz)，e01z
再由隐函数求导法得
1y′cosxlnxsinx，
从而y′
yx
xsinx(cosxlnxsinx)。
x
dy⋅2dxdx。
x22
（4）若向量(0,k,k2)能由向量
示，则k应满足．
(1k,1,1)，2
(1,k1,1)，3
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
高等数学3_物理类专业_四川大学出版社_第1章_行列式_习题答案详解_
6. 利用行列式的定义计算
（4）
x y000
0 x y00
0 0 x y 0
(1) a a a a a ( j1 j5 ) 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 5 j5
0 0 0 x y j1 j5
y000x
其中非0项为：
(1) (12345) a11a22a33a44a55 (1) (23451) a12a23a34a45a51 x5 y5
x1 x2 a23 a2n1 a2n
x1 x2 x3 a3n1 a3n
x1 x2 x3 xn1 a(n1)n
解：对于排列 i1i2 in 中的数字 i j ，设排列中有 l(i j ) 个
小于它的数字，设这些小于它的数字中，位于其右边的
有 r(i j ) 个，则位于其左的有 l(i j ) r(i j ) 个。
n
n
n
则： (inin1 i1 ) l(i j ) r(i j ) l(i j ) r(i j )
y
z
0
x1
z2
0
x2 , ( xyz 0)
z y x 0 1 y2 x2 0
证明：
r2 x
01
1
1 r2 xyz
0 111
r3 y
左
边
r4
z
(
xyz
)2
1
c2 x
1
0 z xy
z xy 0
r3 xyz
y xz r4 xyz 1 xyz
x yz xyz xyz
0 z2
z2 0
y2 x2
第1章 习 题
1. 计算下列排列的反序数，从而判断奇偶性。
高等数学课后习题答案3-1
习题3-11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性. 解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈. 因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0. 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x . 因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ. 3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2,0(π内有解, 即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得 )()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明 因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ), 即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ).化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ. 5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解 由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ3∈(3,4), 使f '(ξ3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.6. 证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1). 证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为01111)(22≡---='xx x f , 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x . 7. 若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.9. 设a >b >0, n >1, 证明:nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ).因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ),所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .10. 设a >b >0, 证明:bb a b a a b a -<<-ln . 证明 设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-ξ. 因为b <ξ<a , 所以)(1ln ln )(1b a b b a b a a -<-<-, 即bb a b a a b a -<<-ln . 11. 证明下列不等式:(1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |;(2)当x >1时, e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ, 所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b |≤|a -b |. (2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1), 即 e x -e =e ξ (x -1).因为ξ >1, 所以e x -e =e ξ (x -1)>e (x -1), 即e x >e ⋅x .12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明 设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f '(x )存在零点, 但f '(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解 设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ, 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ),即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此 )()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明 令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有 0)()()()()(2222≡-=-'='x x x x ee xf e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x .15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f '(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1). 证明 根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间), 2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间),3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间), 所以!)()()(n f xx f n n n ξ=. 由于ξn 可以表示为ξn =θ x (0<θ<1), 所以!)()()(n x f x x f n n θ= (0<θ<1).。
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集第一章 习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
高等数学习题册参考答案
《高等数学》习题册参考答案说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错.第一册参考答案第一章 §1.11.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , ,0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a va vv a v v 图形为：2.B.3.)]()([)]()([)(2121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(21x f x f x G --=为奇函数. 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-<≤-<≤=.6 ,0,64 ,)4(,42 ,)2(,20 ,)(222x x x x x x x x f 5.⎩⎨⎧.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f6.无界.7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.§1.21.（1）)1 ,0()0 ,1(⋃-=D ；（2）} , ,{2Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=,0 ,1,0 ,0 ,0 ,1 )]([x x x x g f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-.1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2=-=D x y ； （2）Y ∞=+=+=022),( , )(tan log 1k a k k Dx y πππ. 5.（1）xx x f f 1)]([-=； （2）xx f f 1)(1][=. 6.+∞<<=-h r V rh hr 2 ,23122π.7.（1）a x =)(ϕ； （2）h x x +=2)(ϕ； （3）ha a h x x )1()(-=ϕ.§1.91.1-=e a .2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）（注意：+∞==∞+-→-ee xx x 11lim ，而0lim 11==∞--→+e e xx x ）；（4）)( 2Z ∈+=k k x ππ为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （5）⎩⎨⎧=≠=+=∞→,0 ,0,0 ,1lim )(12x x nx nx x f xn ∴ 0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （6）∵ )(lim , 0)(lim 11+∞==+-→→x f x f x x ， ∴ 1=x 为第Ⅱ类间断点，（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳跃间断点，不要乱叫）； ∵ 1)(lim , 0)(lim -→→==+-e x f x f x x ， ∴ 0=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）.3.（1）1 ,0≠=b a ； （2）1 ,≠=a e b .4.（1）21)0(=f ； （2）0)0(=f .5.证：由)()0()0(22x f f x f +=+，得0)0(=f ，于是，再由0)0()(lim )]()()([lim )]()([lim 0==∆=-∆+=-∆+→∆→∆→∆f x f x f x f x f x f x x f x x x ，∴ )(x f 在x 点连续.§1.101.)(x f 在),(+∞-∞内连续，则0≥a ；又0)(lim =-∞→x f x ，则0<b ，故选D.2.) ,2()2 ,3()3 ,(∞+⋃-⋃--∞； 210)0()(lim ==→f x f x （0是连续点）， 5858213)2)(3()3()3(3322limlim)(lim -====----→-++-+-→-→x x x x x x x x x x x f （-3是可去间断点）， ∞==-++-+→→)2)(3()3()3(222lim )(lim x x x x x x x x f （2是无穷间断点）.3.（1）a1； （2）0； （3）2e （提示：原极限x e x xe x x x x x e e )ln(lim)ln(00lim ++→→==，而=+→110 )ln(lim 加分子减x e x x x 2)1(lim )]1(1ln[lim 00==-+-++→→拆分分子等价无穷小代换x e x x e x x x x x ）； （4）21-e（提示：原极限xxx e 2sin cos ln 0lim→=，而21cos 11cos 11cos 0cos 1)]1(cos 1ln[0sin cos ln 0lim lim lim lim222-====+-→--→--+→→x x xx x x x x xxx ）； 注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换：□0→时，ln (1+□)～□. （5）1； （6）不存在（左极限2-，右极限2）.4.（1）0=a ，e b =； （2）a 任意，1=b .§1.111.令)sin ()(b x a x x f +-=，则)(x f 在] ,0[b a +上连续，且0)0(<-=b f ，=+)(b a f 0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，则b a +就是一个正根；若0)(>+b a f ，则由零点定理，)(x f 在) ,0(b a +内有一正根.总之，)(x f 在],0[b a +内有一正根.2.作辅助函数x x f x F -=)()(，则)(x F 在] ,[b a 上连续，且0)()(<-=a a f a F ，)(b F0)(>-=b b f ，由零点定理，) ,(b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f .3.由题设：)(x f 在] ,[1n x x 上连续，设m M 、分别为)(x f 在] ,[1n x x 上的最大值和最小值，则M x f x f x f c m n n≤+++=≤)]()()([211Λ，于是，由介值定理可知：) ,() ,(1b a x x n ⊂∈∃ξ，使得c f =)(ξ，即)]()()([)(211n nx f x f x f f +++=Λξ. 4.令)()()(a x f x f x F +-=，则)(x F 在] ,0[a 上连续.若)()0()0(a f a f f =+=，则取 00=x ，命题成立；设)()0(a f f ≠，则由)()0()0(a f f F -=，而)2()()(a f a f a F -= )]()0([)0()(a f f f a f --=-=，所以，)0(F 与)(a F 异号，于是，由零点定理可知：) ,0(a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即)()(a f f +=ξξ，命题成立.第一章 总复习题1.⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+.0,1 ,0 ,)]([211x x x f x ϕ 2.22sin 2x. 3.) ,(∞+e .4.证：∵A x f x x =→)(lim 0，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε，都存在正数δ，只要δ<-<00x x ，就必有ε<-A x f )(成立①（这就是函数极限的“δε-定义”）； 又∵)( lim 00x x x x n n n ≠=∞→，∴对①中的正数δ（因这样的正数是任意的），必存在自然数N ，只要N n >，就必有δ<-0x x n 成立（这就是数列极限的“N -ε定义”）.但对任何n ，0x x n ≠，所以这时也就有δ<-<00x x n 成立②.把①②两步结合起来就是(从②推回到①)：对于事先给定的无论多么小的正数ε，（由①，0>∃δ，从而由②）必存在自然数N ，只要N n >，（①②同时成立）就必有 ε<-A x f n )( 成立. 故由极限的定义可知：A x f n n =∞→)(lim .附注：本题是函数极限与数列极限相结合的题目，抽象且有点难，但提供了一个重要的求极限的方法，即数列极限可作为函数极限的特殊情况来处理，比如下面：∵a xa x x e x a x a x x x x ln ln lim 1lim 1lim0ln 00==-=-→→→（用到了□→0时，e □-1～□）, ∴a xa naa n x x nn nn ln 1lim 11lim)1(lim 01=-=-=-+→∞→∞→. 5.（1）23-； （2）2011 ,20111； （3）5，531. 6.提示：因)(x f 在],[b a 上连续，而 )(m ax )(m in ],[2)()(2],[x f M m x f b a x d f c f kb a x ∈+∈=≤=≤=，对)(x f 在],[b a 上用介值定理.7.（1）21（提示：每个括号通分，分子因式分解，并与分母约分，再整理得n n 21+）； （2）a-11（提示：给极限式子乘)1(a -，打开括号得)1(4na -，并利用一个重要结果)1( 0lim <=∞→q q n n ）；（3）ab--11（提示：分子、分母都利用等比数列前n 项和公式：1减公比分之首项减去末项乘公比，再利用（2）中的重要结果）；（4）21（提示：有理化，分子、分母再同除以n 或利用重要结果：当0 ,000≠≠b a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>>∞>=<<==++++++++∞→----∞→.0 ,,0 ,,0 ,0 lim lim 00002211022110m k m k m k n b na b n b n b n b a n a n a n a b a mkn m m m m n k k kn ΛΛ ）； （5）t （提示：利用重要极限）；（6）2-（提示：分母就是x 2sin -～2x -，再拆分）；（7）2b a +（提示：有理化，再利用（4）中重要结果）； （8）4（提示：分子减1加1并拆分，再利用等价无穷小代换：□→0时，cos 1-□～21□2）； （9）e （提示：原极限e e e x x x x x x ==→+→=22220tan )1ln(0lim lim 等价无穷小代换）； （10）2)1(+n n （提示：分子因式分解，先分出个因式)1(-x 并与分母约简，再分出个因式)1(-x 仍可与分母约简，聪明的人一下子就可分出因式2)1(-x ）； （11）π2（提示：令x t -=1，则原极限]2 cos sin [lim 20t t t t ππ→=，再利用重要极限）. 8.提示：把根号进行放缩得不等式：n n n n n n n n n A nA a a a A ⋅=<+++<Λ21，并注意：1lim=∞→nn n （会推证吗？），再用夹逼定理（或叫夹挤准则，俗称“两头夹”）.第二章 §2.61.（1）)cos(21sin )cos(2xy x x xy y --； （2）)1(2xy e e e e y xyy xxy +-+； （3）y x y x -+； （4）22ln ln xx xy y y xy --（两端取对数）；（5）]111[ln )1(x x x x x x ++++（两端取对数或利用一个重要公式：若)()]([x g x f y =，则])()(ln )([)]([)()()(x f x f x g x g x f x g x f y '⋅+'⋅='）；（6）])1)(1(2)2()1(2[111222x x x x x x x x x x x x x ++++-+--+++-（利用对数求导法）. 2.（1）3222)1(])1()1[(--+--y x x y y ； （2）])1()1(213[2322422+-++y y x y y x . 3.])(arctan )()(arctan )([2222x y x y f y x f y x x y '-+'++-（提示：令xyv v u == ,arctan 而，则原方程变为 y x u f =)(，两端对x 求导得 y x y u f x y x y v '+=⋅⋅'⋅-⋅'+22111)(，再解出y '）.4.提示：求出一、二、三阶导数，代入左端化简.5.切线方程：)1(152-=-x y ； 法线方程：)1(125--=-x y . 6.（1）2t； （2）23-. 7.（1）21)1(cos ----t a ； （2）1)]([-'t f .8.)2)(1(1e e t t-+（提示：第二个方程两端对t 求导，得0d d =+t y e e y t ，解出y t e e t y -=d dee e e e e t t t t 22-=--=，并代入 t x t y x y d d d d d d = 之中再约简）.9.在时刻t ，甲船所走路程t t s 40)(1=，乙船所走路程t t s 30)(2=，两船间的距离为 t t t t d 50)30()40()(22=+=，两船间的距离增加的速度为50)(='t d .10.设y OP x ON == ,，则由木杆匀速前移知：c tx=d d （为常数）， 由题图知：OA MN y x y =-，即 x MN OA OA y -=，从而 txMN OA OA t y d d d d -=. 可见tyd d 为常量，即P 点前移的速度是匀速的.§2.71.（1）增量为-0.09，微分为-0.1；（2）增量为-0.0099，微分为-0.01.评注：①结果表明：x ∆愈小，则y y d 与∆愈接近，这就是微分的数量特征；②微分的几何特征是“以直代曲”.2.（1）C x x ++3； （2）C x +-2cos 21； （3）C e x +--； （4）C x +2arctan 21. 3.（1）x d 2； （2）x a d ； （3）x d 42； （4）x d .4.（1）x x x d 13)]13ln(2sin[3++； （2）t t t t e t t d )52(2)23(332)52ln(323+--⋅+-；（3）x x x x d )21(sec )21tan(8222++. 5.150110+. 第二章 总复习题1.A 、E .2.)(x f 在0=x 处可导必连续.由连续有：)0()2sin (lim lim 0f x b e x ax x =+=+-→→，求极限得：1=b ；由可导有：⎪⎩⎪⎨⎧=='=--=''='--+→+→-+-+-,2lim )0(,01lim )0( , )0()0(01)2sin 1(00x x x ax x f a x e f f f 而 所以，2=a . 3.由)0(f '存在，则)0()0(+-''f f 、存在且相等. 而x f x f x x f x f x f )0()(00)0()(0lim lim )0(-→--→+++=='， )0(lim lim lim )0()0()(0)0()(0)0()(0+-→----→--→-'-=-==='++-f f xf x f x x f x f x x f x f x ， 要使)0()0(+-'='f f ，只有0)0()0()0(='='='+-f f f . 4.（1）222211))((x a x ax axa +++-+； （2）]ln [ln 12xx x x x x x x ++（提示：===xx x x xexy lnxexx e ln ln ⋅，再利用指数复合函数求导；或者利用取对数求导法）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=--,1 ,,1 ,)(11x e x e x f x x 则 1<x 时，x e x f --='1)(； 1>x 时，1)(-='x e x f ；1=x 时，)1(lim 11lim )1(11111111+--→--→-'==≠-=='-+--f f x e x x e x x x ，则在1=x 处不可导.（4）4 ,1--； （5）tet t t t t t t t 22222)2sin cos 2()2cos 2(sin 4 , 2sin cos 22sin sin 2-+-+； （6）])6(1)5(1[!100101101+-+x x （提示：分母因式分解，并拆分，再求导）. 5.1)0(=g ，11)sin 1(lim 0)0()(lim)0(1200=-++=--='→→xx x x g x g g x x x ， 0≠x 时，x x x x x x x g 1112cos sin 21)sin 1()(-+='++='. 6.)0(lim 1lim )0( ,0)0(00)11(000)1ln(0+----+→--+→-'===='=+-f f f x x x x x x x ， 所以，函数)(x f 在点0=x 处可导，且1)0(='f ，从而必在0=x 处连续.评注：2、3、4（3）、5、6都涉及函数在一点处的导数，特别是分段函数在分界点处的导数，导数的定义以及左右导数的概念起到关键的作用，务必要高度注意.7.（1）由xy y f x f y x f 2)()()(++=+，得0)0(=f .当0≠y 时，x y y f y x f y x f 2)()()(+=-+. 由已知并由导数定义，得 y y f y y f y f y f k )(0)0()(0lim lim )0(→-→=='=， k x x f y x f y x f y +=='-+→2lim )()()(0.故对一切) ,(∞+-∞∈x ，)(x f 皆可导，且 k x x f +='2)(.（2）由k x x f +='2)(，知C kx x x f ++=2)(，再由0)0(=f ，得kx x x f +=2)(.第三章 §3.31.)0( !2)(32之间与介于x x e x x x f ξξ++=. 2.) 1( )1()1(])1()()(1[)(1212之间与介于x x x x x x f n n n n-+-++++++++-=+++ξξΛ.3.2)1(2)1(76)(-+-+=x x x f .4.（1）61-（提示：分母的x sin ～x ，从而只需把分子的x sin 展开到3x 阶）； （2）121-（提示：把分子的x cos 和22xe-都展开到4x 阶）.§3.41.（1）) ,0(21∈x 单减，),(21+∞∈x 单增；（2）),(4 3a x -∞∈单增，),(4 3+∞∈a x 单减. 2.（1）证①：利用拉格朗日中值定理.令xe xf =)(，则x x e x f e e f x f x >⋅=-'=-=-ξξ)0)(()0()(0.证②：利用单调性.令1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf .当0<x 时，0)(<'x f ，从而)(x f 单调减；而当0>x 时，0)(>'x f ，从而)(x f 单调增.故对一切0≠x ，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立.评注：①虽抽象，但更简洁；②虽通俗，但稍显麻烦.（2）令)1sec 2(sin )( ,2sec cos )( ,2tan sin )(22-=''-+='-+=x x x f x x x f x x x x f .当20π<<x 时，)(0)(x f x f '⇒>''单调增0)0()(='>'⇒f x f )(x f ⇒单调增， 故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立（好好体会推理过程）. 评注：本题与（1）和下面的（3）的不同之处在于：需两次利用单调性.（3）参考上题方法或用泰勒公式：①利用单调性方法：令331tan )(x x x x f --=，则 ))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f -+=-=--='， 当20π<<x 时，0)(>'x f ，所以，)(x f 单调增，故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f . ②利用泰勒公式：令x x f tan )(=，则x x f 2sec )(='，x x x x f tan sec sec 2)(=''， )1tan 4tan 3(2)sec sec tan 3(2)(24222++=+='''x x x x x x f ，x x x x x x x x f23223)4(sec )tan 2tan 3(8)sec tan 8sec tan 12(2)(+=+=（很麻烦），，之间与介于其中) 0 ( )( !4)(!3)0(!2)0()0()0()(tan 43314)4(32x x R x x x f x f x f x f f x f x ξξ++=+'''+''+'+== 当20π<<x 时，0)(4!4)(4)4(>=x x R f ξ，故 331tan x x x +> 成立. 评注：对本题而言，①似乎简单一些，但对②而言，得到泰勒公式（实际上是麦克劳林公式）后，其结果却更显而易见.擅长泰勒公式（或麦克劳林公式）的同学建议用②，其它几个题目也有类似的情况.总之，此类方法要好好掌握.（4）参考（1）题方法或用泰勒公式：4)1(14132432)1ln(x x x x x ξ+⋅-+-=+，而 0)(4)1(14134>⋅=+x x R ξ（ξ介于0与x 之间），故 3232)1ln(x x x x +-<+. 3.原不等式化为a a x a x a ln )ln(<++，设x xx f ln )(=，则2ln 1)(xx x f -='.所以，当e x >时， 0)(<'x f ，从而)(x f 单调减，故aax a x a ln )ln(<++，即原不等式成立. 评注：把要证的不等式先等价转化再利用单调性的方法会大大简化.4.不一定，例如，x x x f sin )(+=在) ,(∞+-∞内单增，但x x f cos 1)(+='在) ,(∞+-∞内不单调.5.) ,(512-∞∈x 单增，),(512+∞∈x 单减；10205205241m ax 512)(===f f ，无极小. 6.函数)(x f y =处处连续，322232a x x y -⋅='，有一个驻点0=x 和两个不可导点a x ±=；0)(=±a f 为极小值，也是最小值；34)0(a f = 为极大值，但无最大值.7.在]1 ,0[上函数单减，故4)0(π=f 最大，0)1(=f 最小. 8.令x bx x a x f ++=2ln )(，则应有 012)1(=++='b a f ，014)2(2=++='b f a ， 求得 32-=a ，61-=b ；而)1(f 极小，)2(f 极大. 9.提示：因函数处处可导，而可导的极值点必为驻点. 但 c bx ax x f ++='23)(2 当0)3(434)2(22<-=⋅⋅-≡∆ac b c a b ，即 032<-ac b 时无零点.§3.51.)1 ,0(∈x 时，凸；) ,1(∞+∈x 时，凹；拐点)7 ,1(-.2.82±=k ，各有两个拐点) ,1(22±±. 3.3 ,0 ,1-===c b a .4.tt y 1143)1(2⋅-=''，0=''y 的点 1±=t ，y '' 不存在的点 0=t ；有三个拐点：)2 ,1(11-↔-=t ，)0 ,0(02↔=t ，)4 ,1(13↔=t .§3.61.其图形如下所示：2.点) ,(22ln 22-处曲率半径有最小值233. 4.（1）铅锤渐近线两条：2=x 和3 -=x ；水平渐近线一条：1=y ；（2）铅锤渐近线：ex 1-=；斜渐近线：x y =.第四章 §4.11.（1）x e x 2cos 233+--； （2）C x x x +--33222 ,22； （3）C x x ++441221； （4）1ln +=x y .2.（1）C x x x x ++++22123232；（2）C x x ++-4147474；（3）C x x x ++-arctan 331； （4）C x +7272ln 121； （5）C x x +-arcsin 2arctan 3； （6）C e xxe ++1)5ln(1)5(； （7）C x +-cot 21；（8）C x x +-sec tan ；（9）C x x ++cos sin ；（10）C x x +-cot tan . §4.21.（1）C x x ++++])1[ln(411441； （2）C b ax nn n a n++++1)(2)1(2；（3）C x +)arcsin(tan ； （4）C x x +-ln 1； （5）C x+-10ln 1arccos 22110；（6）C x +2)(arctan； （7）C x+2sin 2212arctan ； （8）C x xe e ++1ln . 2.（1）C x x ++21； （2）C x x+--32arccos 39； （3）C xx +-442；（4）C x x x +++-)21ln()2()2(32323433132； （5）C x x x x +---)1(4arcsin 2222122； （6）提示：令 sin t x =（只需 20π<<t 即可），则 原式]d [d d cos sin )sin (cos d 21cos sin cos sin sin cos 21cos sin cos ⎰⎰⎰⎰++++-+++===t t t t tt tt t t tt tt t t （很巧妙）C x x x Ct t t t +-+++++==]1ln [arcsin ]cos sin ln [22121回代把.第五章 §5.11.提示：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间),,2,1( ],[1n i n in i Λ=-都取右端点，则a a a n a a an a a ax a nn n n n n n n ni ninn x ln 1)ln (]1[lim )1(])(1[limlimd 11111111-=--=--==∞→∞→=∞→∑⎰. 附注：其中①利用了分解式 )1)(1(112-++++-=-n n b b b b b Λ（上式中n ab 1=）；②利用了等价无穷小代换：□→0时，1-a □～-□ln a .2.（1）极限中的和式相当于：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间 ],[1n in i - ),,2,1( n i Λ=都取右端点，函数x x f +=1)(在所取点处的值再乘以小区间的长度并把它们加起来的结果（这种和有个名称，叫“积分和”），于是，按定义：原极限=⎰+1d 1x x ；（2）同理，极限中的和式是函数x x f πsin )(=在区间]1 ,0[上的积分和，于是，按定义： 原极限=⎰1d sin x x π.另外，该极限式子又可变为 ∑=∞→ni n ni n11sinlimπππ，暂不管π1，而这极限中的和式是函数 x x f sin )(= 在区间] ,0[π上的积分和，所以，仍按定义：又有 原极限⎰=ππ 01d sin x x .（同一式子导致两种不同的表示说明：“会看看门道”的道理）3.（1）不可积，无界；（2）可积，连续.4.（1）⎰πd sin x x ； （2）⎰-112d x x .§5.21.（1）2110 152d 2≤≤⎰+x xx （提示：在]1 ,0[上，211522≤≤+x x ，再利用定积分的估值不等式性质）； （2）412222d 2---≤≤-⎰e x e e xx（提示：在]2 ,0[上，2241e e e x x ≤≤--，再利用定积分的估值不等式性质，注意：下限大，而上限小）.2.（1）反证法：若存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0≠x f ，则由题设可知，必有0)(0>x f ，又因)(x f 连续，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00>⎰+-δδx x x x f ；但另一方面，又由题设可知0d )(d )( 00=≤⎰⎰+-bax x x x f x x f δδ，矛盾. 故对一切] ,[b a x ∈，都有0)(=x f ，即在] ,[b a 上，0)(≡x f .（2）证：由题设可知：存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0>x f ，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00 >⎰+-δδx x x x f ，故0d )(d )(00 >≥⎰⎰+-δδx x bax x f x x f .（3）这是（1）的直接推论. 3.提示：①先对定积分用“积分中值定理”再取极限.②也可以“两头夹”：01sin d sin 01sin sin 01−−→−≤≤⇒≤≤∞→⎰n n n nnx x x .§5.31.（1）0； （2）⎰-xt t e 0 d 2； （3）)0()(f x f -； （4）0 ,0 ,0 ,2x xe -； （5）x e ycos --.2.（1）81221213x x x x ++-； （2）x x x x cos )sin cos()sin ()cos cos(22⋅--⋅ππ.3.（1）2（连续用两次洛必达法则，还可先把分母等价无穷小代换后再用洛必达法则）；（2）提示：0→x 时，2sin x ～2x ，12-x e ～x 21，x arctan ～x ，所以，原极限=01)1ln(lim 22lim d lim2201)1ln(0221 01)1ln(022002=++⋅→++→++→==⎰x x xx x tx x x x x t t x 约简型洛； （3）原极限21lim 2]1d [lim 2d 2lim202222200 02 0=⋅⋅→→→=⎰=⎰=xx x x t x xx x t x e e xte xe et e 型洛约简型洛； 注意：在极限的运算过程中，极限为1的变量式子21xe 直接“抹掉了”（想想合法吗 ？）.（4）原极限)(lim 1)(d )(1 0a f a x f x t t f ax xa=⎰⋅+⋅→=型洛.4.（1）原式4d sin 42 0==⎰πx x ； （2）原式1d )1(210 =-=⎰x x ；（3）原式⎰-++=+=0141121d )3(2πx x x ； （4）原式3821 2211 0d d )1(=++=⎰⎰x x x x . 5.当)1 ,0[∈x 时，231 02d )(x t t x x==Φ⎰； 当]2 ,1[∈x 时，=+=Φ⎰⎰xt t t t x 11 02d d )(61221-x （这一步是关键）. 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=Φ,21,,10 , )(61221331x x x x x 显然，)(x Φ在]2 ,0[内连续（显然吗?）.6.当)0 ,(-∞∈x 时，0d 0 d )()(00 =-==Φ⎰⎰xx t t t f x ；当] ,0[π∈x 时，=Φ)(x )cos 1(d sin 2121x t t x-=⎰； 当) ,(∞+∈πx 时，⎰⎰⎰+==Φxx t t t t t f x 0 210 d 0d sin d )()(ππ1=.故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<=Φ. , 1 , 0 , )cos 1(,0 , 0 )(21ππx x x x x 7.先用一次洛必达法则得 xb xa x x cos lim120-=+→，因分子极限为0，所以分母极限也一定是0（想想为什么？），从而 1=b ；这时分母 x cos 1-～221x ，再一次取极限得 4=a . 8.提示：当) ,(b a x ∈时，2)(d )())(()(a x tt f a x x f xax F ---⎰='，只需证分子 0≤ 即可.于是，若令⎰--=x at t f x f a x x g d )()()()(，则)()()()()()()(x f a x x f x f a x x f x g '-=-'-+='，因在),(b a 内0)(≤'x f ，所以，在),(b a 内0)(≤'x g ，从而在),(b a 内0)()(=<a g x g .§5.71.（1）22ωω+p （连续两次分部积分，并注意会出现循环现象，再移项求解）； （2）2π. 2.1>k 收敛；1≤k 发散； 当1>k 时，11)2(ln 1112)(ln 1112)(ln 1d --⋅=⋅=-∞+-∞+⎰k k kk x k x x x ，而函数 )0( )()2(ln 1>=x x f xx 当 2ln ln 1-=x 时取得它在) ,0(∞+内的最小值=m in f 12ln ln 1)2ln (ln +-，所以，当2ln ln 11-=-=k x ，即 2ln ln 11-=k 时广义积分的值最小.3.左c x cx c x e 22)1(lim =+=-∞→， 右⎰⎰∞-∞-∞--==ct ctct t e te e t 221221 221d )(dc c c tc c e e e 241224122)(-=-=∞-， 应有 1412=-c ，所以 25=c . 第五章 总复习题1.（1）A ； （2）C ；（3）提示：0=M 是奇函数在对称区间上的积分；P 的第一部分积分为0，第二部分积分为负，所以，0<P ；而N 的第一部分积分为0，第二部分积分为正（很容易算出，等于几呢？），所以，0>N ，故选D ；（4）提示：⎰⎰-=x xt t f t t t f xx F 02 02d )(d )()(，则⎰='xt t f x x F 0d )(2)(，而极限10 0 00d )(2lim d )(2lim )(lim -→→→⎰⎰=='k xx k x x k x x t t f x t t f x x x F 2000)1()(2lim-→-=k x x k x f 型洛0)0()(lim0 3 ≠'=→==f x x f x k 时当才会存在，故选C ；（5）提示：如图所示，由题设可知：)(x f 的图形在x 轴的上方单调下降且是凹的，2S 是下边小矩形的面积，最小；3S 是梯形的面积，最大；而1S 是阴影的面积，介于其间，故选B ；（6）提示：利用周期函数的积分性质：若)()(t f T t f =+，则对任意的常数a ，积分⎰⎰=+TTa at t f t t f 0 d )(d )( 与a 无关，现在t e t f t sin )(sin = 的 π2=T ，可知：⎰⎰⎰⎰+===πππππ2 sin 0sin 2 0sin 2 0d sin d sin d sin d )()(t te t t et t et t f x F t tt，对第二个积分令 π+=u t 换元而化为 ⎰⎰-=--ππsin 0sin d sin d )sin (t etu u e t u ， 故可知：0d sin ]1[)( 0sin sin >-=⎰πt t ee x F tt 为正常数，故选A ；（7）提示：先通过换元把被积函数符号)(22t x f -中的x “拿出来”，再求导.=⎰=⎰-=-⋅---换凑22)()(d )( d )( 21 02222 0 22t x u xxtx t x f t t xf t⎰⎰=-=2221021d )(d )(x x u u f u u f ，故选A. （评注：本题的关键是换元）2.（1）0； （2）a 2sec ； （3）0； （4）0； （5）0；（6）x x f 3sin )3(cos 3-； （7）2sin x ； （8）8π； （9）3ln ； （10）π1231+. 3.（1）证①：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f （积分中值定理）)10( 0)]()()[1()1)(()()1(≤≤≤≤≥--=--⋅-=ηλξηξλλληλλξλf f f f .证②：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f0)()1()()1(=---≥λλλλλλf f .评注：两种证法仅是考虑问题出发点不同：①的核心是积分中值定理与单调性的结合；②的核心是积分的不等式性质与单调性的结合.（2）提示：分部积分，得原式⎰⎰----+=⋅-=πππππππππ 0)( 0sin 0d sin )( d )(x x f x x x xf xx x x2)( d sin )( d d sin )( 00 sin 0=-+=-+=⎰⎰⎰-πππππππππππf x x f x x x f xx ；评注：本题的特点是含有“积不出”的积分 ⎰-xt tt 0 sin d π，但并不影响要求的定积分. （3）)32ln(23++-（提示：令xet 21--=，则原积分⎰-=231d 22t t t ，再拆分）； （4）)()](2)([42222t f t f t t f ''+'（特点是参数方程，但含有变限积分）；（5）令xt u =，则u t xd d 1=，xu t 010↔，⎰=x x u u f x 01d )()(ϕ，由A xx f x =→)(0lim及)(x f连续知：0)0(=f ，A f =')0(；由 ===→⎰→→=)0(limlim)(lim 1)(0d )(00 0f x x f x xt t f x x x型洛ϕ0)0(d )0(1==⎰ϕt f ，知)(x ϕ在点0=x 处连续；==='→--→xx x x x x )(00)0()(0lim lim )0(ϕϕϕϕ 22)(0d )(0lim lim 02 0 Ax x f x x tt f x x=→⎰→=型洛； 0≠x 时，20 d )()()(x tt f x f x x x ⎰-='ϕ，且因)0(][lim lim)(lim 22d )()(0d )()(02 0 2ϕϕ'==-=⎰-⎰='→-→→=A A x tt f x x f x x t t f x f x x x A x xx拆分，故可知)(x ϕ'在点0=x 处连续，从而处处连续.评注：本题是属于对变限积分所定义的函数的可导性的研究的题目.核心是导数的定义.（6）π2（提示：先放缩分母得不等式 ∑∑∑===+<+<ni n n i i n i ni n ni n n i 1111111sinsin sin πππ， 而左端的极限（利用定积分）πππππ2111 0 111111d sin sin lim ]sin [lim sin lim ===⋅=∑∑⎰∑==∞→+∞→=+∞→n i n i n n n n n n ni n n x x n i n i n i ， 右端的极限（利用定积分）πππ21 0 11d sin sin lim ==⎰∑=∞→x x n i ni nn ，再利用夹逼定理）； 评注：本题是利用夹逼准则和定积分相结合的方法而求和式极限的题目，加大了难度. （7）首先，因分子极限为0，所以，分母极限也一定是0，于是得0=b ；由洛必达法则得 20)1ln(0cos limcos lim 3x x a xa c x x x x --=→+→=分母等价无穷小代换，可知 1=a ；进而知21=c ； （8）原式⎰⎰--+=23 1)1(1121 )1(1d d x x x x x x ，第一个积分令2x x t -=，则012121t x ↔， )411(221t x -+=，所以，221)2(110214121 21)1(1)d(2d d 22π===⎰⎰⎰----t t x t tx x ；而对第二个积分令x x t -=2，则2323tx ↔，)411(221t x ++=，所以， ⎰⎰+-=23412231)1(1d d 2t x t x x 2320223)2(11))2(12ln()d(2t t t t ++==⎰+)32ln(+=， 故原式)32ln(2++=π.评注：本题中所作的两个换元虽有相似，但却本质不同，因此，相当于两个不同的积分. （9）提示：⎰∑⎰⎰∑--=-=-+-=-=nn n k n nnk n x x f n f x x f k f x x f k f a 1111111d )()(]d )()([d )()()](d )([ 11n f x x f a nn n --=⎰--，因)(x f 单调减，则)1(d )()( 1-≤≤⎰-n f x x f n f n n ，从而 0)](d )([1 ≥-⎰-n f x x f nn ，所以 1-≤n n a a ，即n a 单调减；另一方面，对一切n ，)(]d )()([d )()(11111n f x x f k f x x f k f a n k k knnk n +-=-=∑⎰⎰∑-=+=0)()()]()([11>=+-≥∑-=n f n f k f k f n k ，即n a 有下界. 综上：n a 单调递减有下界，故由单调有界准则（或原理）可知：A a n n =∞→lim 存在. 评注：上述分析推到过程中，积分的不等式性质起到关键作用. （10）] )( )([ )( )(22222222d 1d 21 12d 1d 2⎰⎰⎰=⎰+++=++=a auuu a auuu a a uuu a u x axxx a u f u f u f x f 令 而上式右端第二个积分⎰=⎰-⋅++=1d )d ()( )(2222222a t a a t ta u a au u ua t t f u f ta 令⎰⎰+=+=au u u a a t t t a u f t f 1d 1 d )( )(22（恰与第一个积分相等）. ∴ ⎰+a x x x ax f 1 d 2 )(22⎰+=a u uu a u f 1 d )(2⎰+=a x x x a x f 1d )(2. 评注：通过两次不同的换元才最终达到目的是本题的特点.第六章 §6.51.由虎克定律：kx x F =)(（x 为弹簧伸长厘米数），由5=x 时，100=F ，即k 5100=，得 20=k ，于是，x x F 20)(=，故 2250d 20d )(150 15===⎰⎰x x x x F W （克厘米）.2.如图所示，沙堆母线AB 的方程为 1=+hyr x ，即)1(h yr x -=.沙的比重2000=ρ公斤/米3.对应于薄层]d ,[y y y +，则y yr y x y V y W h y d )1( d d d 222-===πρρπρ，故 22350022 d )1( h r y yr W hh y ππρ=-=⎰. 3.（1）660d )8(10 ,d )8(10d 6=+=+=⎰x x F x x F （吨）；（2）设应升h 米，则 )11(60d )8(10 2 ,d )8(10d 60 +=++=++=⎰h x h x F x h x F ，于是，应有 )11(606602+=⋅h ，故 11=h （米）.4.（1）AB 的线密度为l M，)(d )( 0 2a l a kmM x a x l kmM F l +=+=⎰（k 为引力常数）； （2）引力分解为两个分力，由对称性，x x a l kmMF F x d )(d ,022+==，x x a l kmMax x a l kmM F y d )(cos d )(d 232222+=⋅+=ϕ， 222 2 232242d )(la a kmMx x a l kmMa F l l y +=+=⎰-. §6.61.232211d 2 e x x xe y -==⎰-. 2.12d )23( 3231=+=⎰t t t v （m/s ）.3.mT T I t t i 21 021d )(I ==⎰. 第六章 总复习题1.23+-=x y ； )3 ,( , )1 ,(2921-； 31613 22123d ])[(=--=⎰-y y y A . 2.) , 2(4πa ；⎰⎰+2 42214 0221d )cos 2( d )sin 2( πππθθθθa a ； 22)1(a -π. 3.4ln 141+-=x y （提示：曲线]6 ,2[ ln ∈=t x y 在处的切线 方程为)(ln 1t x t y t -=-，即1ln 1-+=t x y t.题设中所指的 面积为⎰--+=-=62 8d ln )2ln 2(2)(x x t S S t S t曲边梯形梯形6ln 62ln 2ln 416-++=t t. 令0)(4162=+-='ttt S ，求得唯一驻点为]6 ,2[4∈=t ，从而曲线上的点为)4ln ,4(）.4.)32ln(6++（提示：抛物线221x y =与圆322=+y x 的右交点为)1 ,2(A ，如图：由对称性，所求的弧长为⎰⎰⎰+='+==2220 2 d 12d 12d 2x x x y s l OA）.5.222342 , ab ab ππ（提示：椭圆绕直线b y =旋转所得的 立体与把椭圆向上平移b 个单位再绕x 轴旋转所得的立体一样大小.如图所示：所求的体积为⎰--=aax y y V 2221d ])()[(π⎰-----+=aaa x a x xb b b b 22d ])1()1[(2222π⎰⎰-⋅⋅=-=-aabaa a x x x a xb 022 2d 42d 14222ππ 2 8 222412ab a a b πππ=⋅⋅=）. 6.0 , 2 , 35==-=c b a （提示：因抛物线过原点，∴0=c .如图：由题意，得图中阴影的面积为231 0294d )(ba x bx ax +=+=⎰ ①；此阴影绕x 轴旋转所得的立体的体积为)(d )(23121251122b ab a x bx ax V ++=+=⎰ππ.由①得)(2394a b -=，并代入V 的表达式而转化为求)(a V 的最小值问题，令0)(='a V ，可得唯一驻点35-=a ，从而2=b ）. 7.提示：与曲线221-+=x x y 关于点)2 ,(p p 对称的曲线方程，是从21211-+=x x y 以及p x x =+)(121 和p y y 2)( 121=+中消去1y 和1x 而得到的，即 224)14(222++-++-=p p x p x y .设1y 与2y 的交点横坐标为)( βαβα<、，则所围面积为33112)(d )()(αββα-=-=⎰x y y p S .令21y y 、右端相等，得022222=--+-p p px x ，解之得βα、，并令判别式大于0解得 21<<-p ，23231])12(9[)(--=p p S ，21=p 时，)(p S 取最大值9.8.如图所示，设球的比重1≡ρ，半径为r ，则对应于 薄层]d ,[x x x +上的体积微元V d 上的功的微元为,d ])([1d d d 222x r x r gx x g x y x g V W --=⋅⋅⋅=⋅⋅=ππρ∴=-=⎰r x x rx x g W 2 02d )2(π)s /m 8.9( 2434=g g r π. 9.如图所示，水深x 处宽为x d 的面积微元x y A d 2d =上所受的压力微元为 x x gxA gx F d 2d d 22ρρ==，∴ ===⎰g x x x g F ρρ5162 0d 2N 31360； 设压力加倍时闸门下降m h , 则⎰+=2d )(22x x h x g F ρh g F ρ38+=，即 51638=h ，∴ =h m 2.1.其中ρ为水的比重. 定积分应用总评住：对所有专业而言，面积、体积和弧长应是最基本的；力学、物理方面的应用因专业而异；限于篇幅，未涉及经济和其它方面的应用.第二册参考答案第一章 §1.31.（1）B ；（2）C ；（3）C ；（4）A .2.（1）证：∵a x n n =∞→lim ，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε（简记为0>∀ε），都存在自然数N （记为N ∃），只要N n >，就必有不等式ε<-a x n 成立，从而对任一自然数k ，当N k n >+（即k N n ->）时，不等式ε<-+a x k n 仍成立，故由数列极限的定义可知：a x k n n =+∞→lim .（2）证：∵a a n n =∞→lim ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-a a n ，这时也必有ε<-≤-a a a a n n ，故a a n n =∞→lim .反例：n n a )1(-=，则1)1(lim lim =-=∞→∞→n n n n a 存在，但nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在（即n n a )1(-=发散）.（3）证：∵0lim =∞→n n x ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-0n x ε<-⇔0n x 成立，故0lim =∞→n n x .（4）证：∵)2( 112)12(232231232223222>=<==--+-+-+n nn n nn n n n nn ，∴][ , 01εε=∃>∀N （取整）只要N n > （从而ε1>n ），必有ε<><--+)2( 12312322n n n nn 成立，故2312322lim =-+∞→n n n n . 3.证：∵数列}{n x 有界，∴0>∃M ，使得对一切N ∈n ，都有M x n ≤成立①；又∵0lim =∞→n n y ，∴N n N >∃>∀ , ,0ε时，Mn n y y ε<=-0②. 于是，0>∀ε，对②中的N ，当N n >时，①②同时成立，所以这时εε=⋅<⋅<=-M n n n n n n M y x y x y x 0，故 0lim =∞→n n n y x .§1.41.（1）分析：因为22)2)(2(42-+=-+=-x x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，252242-<-+=-x x x x ，对于给定的0>ε，为了ε<-42x ，则只要δε=<-52x 即可，于是有如下的证明： 证：对于事先给定的无论多么小的正数ε，取5εδ=，只要δ<-<20x ，就必有 ε<-42x 成立，所以，4lim 22=→x x .（2）分析：因为)4)(2(2)106(2--=-+-x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，234)2(2)106(2-<--=-+-x x x x x ，对0>∀ε，为了ε<-+-2)106(2x x ，只要δε=<-32x 即可，从而证明如下：证：0>∀ε，03>=∃εδ，只要δ<-<20x ，就必有ε<-+-2)106(2x x成立，故 2)106(lim 22=+-→x x x .评注：以上的证法就是函数极限的“δε-论证法”，虽然抽象，但很严密，望认真体会.2.（1）证：∵21211212222x xxx x ≤=-++-，∴0>∀ε，取2εδ=，只要δ<-<00x ，就必有ε<≤=-++-21211212222x xxx x 成立，故 1lim 22110=+-→x x x . （2）证：∵34312221++-=-x x x ，∴0>∀ε，取34-=εX （10<<ε），则当X x >时，必有ε<=-++-34312221x x x 成立，故 1lim 3122=+-∞→x x x . 当01.0=ε时，397=X .评注：（2）的证法就是函数∞→x x f )(当时极限的“X -ε论证法”，望认真体会.3.（1）1)00( ,1)00(=+-=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在；（2）0)00( ,1)00(=+=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在； 而 1)(lim 1=→x f x .4.⎪⎩⎪⎨⎧>-><-=. 0 ,1, 0 ,1 ,0 ,1)(为无理数且为有理数且x x x x x x f。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
高等数学第3版答案
高等数学第3版答案【篇一：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解】t>习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值?。
（1）f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]；（2）f(x)?x?x,[0,3]。
知识点：罗尔中值定理。
2解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1, 1.5]上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0，∴（2）∵∴1?(?1,1.5)即为所求。
4f(x)?x?x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， f(x)?x?x 在[0,3]上满足罗尔定理的条件。
令y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。
f(1)?f(0)1?032知识点：拉格朗日中值定理。
可验证定理的正确性。
1]连续，在(0,1)内可导，∴y?4x?5x?x?2在解：∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。
又区间[0,f?(?)?32f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x2?10x?1，∴要使f(1)?f(0)5?0，只要：??(0,1)，1?012∴???1?012★3.已知函数。
解：要使的?。
f(2)?f(1)32?1★★4.试证明对函数总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从而有f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)b?ab?ab?a，结论成立。
2★5.函数f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程便为所求。
解：∵f(x)?x3及g(x)?x2?1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。
高等数学(三)课后题答案
第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。
∴偶排列与奇排列各占一半。
4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。
高等数学第三版上册课后习题答案
高等数学第三版上册课后习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，它为学生提供了丰富的数学知识和解决问题的能力。
而课后习题作为巩固和拓展知识的重要方式，对于学生来说是非常重要的。
然而，由于高等数学的复杂性和抽象性，许多学生在解题过程中会遇到困难。
因此，本文将为大家提供高等数学第三版上册课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
第一章：极限与连续1. 习题1：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求f(x)在x = 2处的极限。
解答：将x = 2代入f(x)，得到f(2) = 2^2 + 3*2 - 2 = 10。
因此，f(x)在x = 2处的极限为10。
2. 习题2：求函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)在x = -1处的极限。
解答：将x = -1代入f(x)，得到f(-1) = (-1 - 1) / (-1 + 1) = 0/0。
由于0/0是一个不确定形式，我们需要进行进一步的计算。
通过分子有理化，可以得到f(x) = (x - 1) / (x + 1) = (x + 1 - 2) / (x + 1) = 1 - 2 / (x + 1)。
当x趋近于-1时，2 / (x + 1)趋近于无穷大，因此f(x)在x = -1处的极限为负无穷大。
第二章：导数与微分1. 习题1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数。
解答：对f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
2. 习题2：求函数f(x) = e^x在x = 0处的导数。
解答：e^x的导数等于其本身，因此f'(x) = e^x。
将x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = e^0 = 1。
因此，函数f(x) = e^x在x = 0处的导数为1。
第三章：微分中值定理与导数的应用1. 习题1：证明函数f(x) = x^3 - 3x在[-1, 1]上满足罗尔定理的条件，并找出满足罗尔定理的点。
高等数学三教材习题答案
高等数学三教材习题答案本文为高等数学三教材习题的解答，并未提供教材的具体内容。
为了方便阅读，将答案按照章节进行了分节归纳。
第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 无穷小量与无穷大量1.3 极限存在准则及计算方法1.4 极限的运算法则1.5 函数的连续性与间断点1.6 闭区间上连续函数的性质第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 复合函数的导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 高阶导数与莱布尼茨公式2.6 微分的概念与性质第三章：一元函数积分学3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本不定积分3.3 定积分的概念与性质3.4 牛顿—莱布尼茨公式3.5 定积分的计算方法3.6 定积分的应用第四章：级数4.1 数项级数的概念与性质4.2 收敛级数的判别法4.3 正项级数的审敛法4.4 幂级数与泰勒级数第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续性5.2 多元函数的偏导数5.3 隐函数与参数方程的偏导数5.4 全微分与全导数5.5 多元复合函数的偏导数5.6 高阶导数及其计算第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用第七章：向量代数与空间解析几何7.1 向量的概念与运算7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面的方程7.4 空间曲线与曲面的切线与法线7.5 空间曲线的弧长7.6 空间曲线与曲面的曲率以上仅为各章节的小节标题，为了方便浏览，未在正文中再次提及。
敬请阅读教材以获取具体的习题解答。
注：本文仅提供高等数学三教材习题的答案，不包含教材内容，如有需要请自行准备教材。
2017年数学三真题答案解析
所以Z的概率密度为
O<z <L
几(z)�r-- 2, 2<z<3,
(23)解
0'
其他．
CI) Z1 的分布函数为
厂王） -], F(z)�P{Z,,s;;z}�P{IX,-pl,s;;z}�
z�o.
o,
z < 0,
所以Z1 的概率密度为 f(z)�{f•';';,'
z歹o,
z<O.
=厂叮 z 厂 C II) EZ1
已AB与C相互独立，故应选C. (8) B
解 因为X, �NCµ ,1),
所以X,
— µ
�N(O,l),
�ex, 则
—µ尸～贮(n), 故A正确；
,-1
一｀ (n — 1)S 2
�(X,
,-1
因为 z =
�X气n — 1)'
C,
1
故C正确；
因为
X
�N(
µ
,—1 )， n
X—µ
所以
�N(O,l),
1
石
(z)dz =
ze 三 dz
芦a o
z a.
v冗
z z a
=
卢
�1 n
EZ1, 令Z=亡让，得
6
的矩估计最为aA
石
dx
。 =
1 +=
1
4J (1+x2
—
1 1+2x 2)dx
。) 勹1 (arctanx
/
产
0
—
过 了arctan,/2x
+=
(17)解
2 —迈 = 16 兀
n (--;;) --;; 杻心： -杻心： n k
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习题一答案
１（１）2x
≤ 解得[]2,2x ∈-
（２）()43343171,7x x x x -<⇒-<-<⇒<<∈即
()315151546x x x x x -≥⇒-≤--≥⇒≤-≥或或
(4)242,42426x x x x x ->⇒--->⇒<->或或
２
()(
)e
≠⇒１－
２
２
ｌｎｘｘ－４
１不相同，因为ｙ＝
的定义域为ｘ２而ｙ＝ｘ＋２定义域为Ｒｘ－２
１
２相同，因为ｙ＝＝ｅ
相同
()()2>04x ≠３不相同，因为ｙ＝２ｌｇx 定义域为x 0,而y=lgx 定义域为，定义域不同相同，因为两式的定义域都为R,且对应法则相同。
()()56不相同，因为定义域不同。
相同，因为定义域和法则相同。
(
)()()[]22315052030[3,0]113arcsin
112,433
y x x x x x x x x x x
y x ⎡=-≥⇒≤⇒∈⎣≥-≠⇒≥<∈---=⇒-≤≤⇒∈-令依题有x=30且且即
()()()()10
20
24
14024lg
arcsin 011,2323
5{[1,2](2,4)
632012(,,1)(2,)72003(2,3]
x x x x x x x x x x y x x x U x x x x x U x x x -≥-≠≠<≥->=+>-≤≤∈--⇒⇒∈-+>⇒<>⇒∈-∞∞-<≤<≤⇒∈-则有且两式取交集得x [1,2)U(2,3]根据题意得{令或依题意得且
()()()281011111
2)[,1].22
x x x a a x ≤≤∈≤≤⇒-≤≤⇒≤≤≤≤⇒∈∈-∈∅
依题意得x<0,0x 1,三式取并集得x R 4令定义域[-1,1]
依题意得0x-a 1且0x+a 1若a (0,则若>则
()()()()()()()()(
)
)
()()()()()()()
()()
()()()()22sin sin sin 51,2log log 1011111
3,121221211
1114,111x x x x x x x x
x x x x
x
x
x x
x f x f x f x f x x x x
f x f x x
x f x f x x R
a a a f x f x f x f x a a a a R a a a f x f x f x a a a a -=
-==⇒=-⇒+-===⇒=--∈⇒++=+=-=+=⇒=------⇒---=-===-+++偶函数又奇函数
又定义域为奇函数
()()()()()()()()()()()()()()22500,1,1100,1,1101
611x R x x f x x f x x x x x f x x f x x x x x f x x f x x R x R f x x x f x x x ∈⇒>-<=+-=--=+<->=--=+-=-==-==-∈⇒∈⇒=-+-=++⇒⇒ 又原函数是奇函数
当时当时当时-x=0,f 综上f 且原函数是偶函数
由已知得而两式对应法则不同
原函数是非奇非偶函数
()()()()()21cos 211261sin cos 2,2222
1
2sin sin 2,sin ,sin 2,2,22
334cos 22,U V x y x x T y x x U x V x T T T y R x y x T π
πππππ-==
=-===+
====⇒==⇒=-⇒=设则原函数周期为定义域为，图像与轴平行，所以T 为任意实数。
是周期函数。
()()()()()()()()()(
)333
3
42
4
,0272,244,4684, 1.5,4,014, 1.53,44115,0391x x x x f x x x x x x x x x f e f f f e y -⎧⎫≤<⎪⎪⎪⎪==-≤<⎨⎬
⎪⎪-≤<⎪⎪⎩⎭
=-===⇒-====-===依题意在[0,2)内可得f 的图像，由此可得依题意把带入原式
(
)()()()()()3
3sin 221sin 2cos ,23
13,sin ,44arcsin 1,4arcsin ,,15,,sin 6ln sin ,ln ,,sin U x U y U x
y y U U V x y e U V V x
y x y U U V V x y x y x U x
y x y U U V V x
==-====+===
=-===-=======
()()()()2222
1111
10,111111f x f x f x f f x x x x x
=
⇒-====-⎡⎤⎣⎦---- ()()422111211f f x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪-+--⎝⎭
()()()()[]
22222211
11122
2sin cos 1222,1,12
t x x t f x x x x
x
t x t f x x x =++=-⇒=-==-⇒=-∈-设则设则
()()()()()()()()()()()()()()()()22
12100,,00,00,0,0200,000,00,0x f x x f f x f x x
x x o x f f x f f f x x x g x x g g x g x x g x g g x g g x >=>==⎡⎤⎣⎦>⎧⎫≤===∴=⎡⎤⎡⎤⎨⎬
⎣⎦⎣⎦≤⎩⎭>=-<=-=⎡⎤⎣⎦≤====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当时当x 时,f 当时，当时综上f
()()()()()()()()()()()22
300,000,0000,00,0
x g x x f g x f x x g x f g x f x x f g x f f g x >=-<=-=⎡⎤⎣⎦
====⎡⎤⎣⎦<====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当时当时当时g 综上有
()()()
2
2
222112122
131111x x x x f g x x x x +++--⎛⎫-=
=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭++依题意有 ()()2lg 2sin ,lg ,2,sin 2sin 0,2lg 2sin 2sin 0a y x y U u V V x
x x R a y x x ==-==-=->⇒∈=-=----<⇒14当时此时有当时此时没有定义域此时不是复合函数
()()(
)[
]44
15114,111
222,020,222,23y x y x x x y x y x x y x y x x x ++-=+⇒=
⇒=≠--⎧⎫⎪⎪≤≤=≤≤∈=⎨⎬-<≤⎪⎪⎩⎭
由题得反函数为当时此时[
][]0,22232,4,2,(2,4]2x y x x y x y x ⎫
∈+⎪
<≤∈==⎨⎬+∈⎪
⎪⎩⎭
当时y 此时综上可得反函数
222161,1,4y ,[1,16)
,(,1]4,log ,[16,),[1,16)log ,[16,)x
x y x x y y x y x x y x x x x y y y x x x <==⇒<≤<==
∈∈-∞-⎧⎫⎪⎪≥=∈+∞=∈⎨⎬
⎪⎪∈+∞⎩⎭
当时当时当时y=2综上可得反函数。