七年级人教版上学期数学余角和补角课件
合集下载
【课件】余角和补角++课件人教版七年级数学上册
所以∠DOE= ∠BOD=75°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
6.3.3 余角和补角
数学 七年级上册人教版
栏目导航
课堂互动
基 础 题
.
中 档 题
素 养 题
预习导学
1.如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为 余角 ,简称两个
角
互余
;如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为
补角
简称两个角
互补
.
2.同角(等角)的余角
相等;同角(等角)的补角 相等 .
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,
所以∠AOE= ∠AOC=70°.
(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
补 角;如果∠3,∠4
知识点2 余角、补角的性质
例2
如图所示,直线AB,CD交于点O,因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=
180°,所以∠1=∠2的依据是(
)C
A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
6.3.3余角和补角-(课件)人教版(2024)数学七年级上册
感悟新知
知2－练
解： OE 平分∠BOC. 理由如下：
因为∠DOE=9 0°，
所以∠DOC＋ ∠COE=9 0°.
又因为∠AOB=180°，所以∠AOD＋ ∠BOE=90°.
因为OD平分∠AOC，所以∠AOD= ∠DOC.
所以∠COE= ∠BOE，即OE 平分∠BOC.
感悟新知
4-1.[期末·厦门思明区]如图，∠AOB=90 °， ∠COD=90°，OA 平分∠DOE， 若 ∠BOC=20°，求∠AOE 的度数. 解：因为∠AOB＝∠COD＝90°， ∠BOC＋∠AOC＝∠AOB，∠AOD＋ ∠COA＝∠COD，所以∠AOD＝∠BOC ＝20°.因为OA平分∠DOE， 所以∠AOE＝∠AOD＝20°.
感悟新知
知1－练
又因为∠AOC＋ ∠BOC=180 °，∠AOC＋ ∠DOE=180 °， ∠DOE＋∠BOC=1 8 0°， 所以图中互补的角有7 对，分别是∠1 和∠BOD，∠4 和 ∠AOE，∠3 和∠BOD，∠2 和∠AOE， ∠AOC 和∠BOC，∠AOC 和∠DOE，∠DOE 和∠BOC.
感悟新知
解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方 面进行：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 °的 两个角互余，和为180 °的两个角互补；另一个方面 是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互 余，将平角分成两个角，则这两个角互补.
感悟新知
知1－练
(1)图中互余的角有几对？分别是哪些？
感悟新知
(3)写出∠COD 的补角. 解：∠COD的补角为∠AOE.
知2－练
感悟新知
知2－练
例 4 如图6.3－25，已知O 是直线AB 上的一点，OC是一 条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90 °，OE 平分 ∠BOC 吗？为什么？
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件
那么∠2=∠4吗？
因为∠1+∠2= 90° ，
°
∠3+∠4= 90 ，
且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
等角的余角相等.
探索新知
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,那
么∠2=∠4吗？
∠2=∠4.
如何证明？
探索新知
已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,
求证：∠2=∠4.
证明：因为∠1与∠2互补，
如果两个角的和等于180º（平角），就说这
两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
性质：同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
作业：
1. 完成习题4.3中第8，
9题；
2.完成练习册本课时的
习题。
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjyX)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjyX/recruitment/home/admin
方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西
45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔
方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
D
西
北40° B
45°
O
●
东
60°
10°
●
A
巩固练习
练习1. 已知∠α＝53°27′, ∠α与∠β互为余角，求∠β的度数
.
解： 因为∠与∠互为余角（已知）,
所以∠ + ∠ = 90°（余角定义）,
所以∠ = 90°－∠.
因为∠＝53°27′,
′
所以∠ = 90°－∠＝90°－53°27
因为∠1+∠2= 90° ，
°
∠3+∠4= 90 ，
且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
等角的余角相等.
探索新知
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,那
么∠2=∠4吗？
∠2=∠4.
如何证明？
探索新知
已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,
求证：∠2=∠4.
证明：因为∠1与∠2互补，
如果两个角的和等于180º（平角），就说这
两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
性质：同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
作业：
1. 完成习题4.3中第8，
9题；
2.完成练习册本课时的
习题。
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjyX)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjyX/recruitment/home/admin
方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西
45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔
方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
D
西
北40° B
45°
O
●
东
60°
10°
●
A
巩固练习
练习1. 已知∠α＝53°27′, ∠α与∠β互为余角，求∠β的度数
.
解： 因为∠与∠互为余角（已知）,
所以∠ + ∠ = 90°（余角定义）,
所以∠ = 90°－∠.
因为∠＝53°27′,
′
所以∠ = 90°－∠＝90°－53°27
人教版数学七年级上册4.余角和补角课件
16 ． (8 分 ) 如 图 ， 已 知 直 线 AB 和 CD 相 交 于 点 O ， OM 平 分 ∠ BOD ， ON⊥OM，∠AOC＝50°. (1)求∠AON的度数； (2)写出∠DON的余角．
解：(1)65° (2)∠DOM，∠MOB
17．(10分)如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF， ∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
解：如图：
19．(12分)如图甲所示，∠AOB，∠COD都是直角． (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余、还是互补的关 系，你能用推理的方法说明你的猜想是否成立吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到图乙的位置时，你本来的猜想还成立吗？
方位的表示方法
在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度并在图 上表示出来，注意表示时要先写北还是南，再写偏东或偏西，偏多
少度，如图4－3－28，OA是表示北偏东30°的 一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线； 特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北 方向，OD表示东南方向.
例题
小结
1. 余角和补角的定义：
如果两个角的和等于
，就说这两个角互为余角；如果两个
角的和为
，就说这两个角互为补角.
2. 余角和补角的性质： 同角(等角)的补角________，同角(等角)的余角_________．
3. 如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线． (1)∠AOD的补角是__∠__B_O__D___，余角是__∠__C_O__D__； (2)∠DOB的补角是__∠__A__O_D_____． 4. 已 知 ∠ α ＝ 20° ， 则 ∠ α 的 余 角 为 _______70，° ∠ α 的 补 角 为 ______1_6_0．° 5. ∠A的补角为130°，则∠A的余角为________4．0°
人教版七年级上册数学4.余角、补角的概念与性质课件
•补角性质：
同角或等角的补角相等。
•余角性质：
同角或等角的余角相等。
A
D
1
O
2
如图∠AOB = 90 °
∠COD = 90 °
B
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 （同角的余角相等)
互为余角
互为补角
对应图形
1 2
21
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性
质
同角或等角的 余角相等。
同角或等角 的补角相等。
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４ 互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠ ４相等吗？为什么？
2
1
4
3
例2 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。
因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
等角的余角相等 等角的补角相等．
质
同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等.
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 )
若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义)
若∠3 + ∠4 =90 °,
则 ∠3和∠4互余.( 互余定义)
若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
6.3.3 余角和补角 课件 人教版数学七年级上册
∴∠BOC+∠AOE=90°.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
人教版数学七年级上册4.3余角与补角-课件
6、一个锐角为X度 ，它的余角为（_9_0_-__X_） 度 ，它的补角为（_1_8_0__-__X）度,则它的补角比 余角大_9_0_度.
余角的性质
探究1
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如 果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
答：∠2与∠４相等。 理由如下：
∵ ∠1 与∠2互余，∴ ∠2=90°-∠1 ， ∵ ∠3与∠4互余 ，∴ ∠4=90°-∠3
几何语言表示为：
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为
补角
∠1 = 180°—∠2
反过来说也成立：若∠1与∠2互为补角， 那么∠1+∠2=180°
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
练一练
判断题：
1、如果一个角有补角，那么这个角一定是
钝角（ ）
（1） 等角的余角相等； （2） 等角的补角相等；
请认真观察下图，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？
C
∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
2
∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° A
DB
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 为什么？
∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
A
C
A
B
2 AOB=∠O2=1800-∠1
C
1
B
O
3、若一个角的补角等于它的余角的4 倍， 求这个角的度数。
解： 设这个角是x度，则它的补角是 （ 180-x）度,余角是(90-x) 度。根据 题意，得：180-x= 4 (90-x)
余角的性质
探究1
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如 果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
答：∠2与∠４相等。 理由如下：
∵ ∠1 与∠2互余，∴ ∠2=90°-∠1 ， ∵ ∠3与∠4互余 ，∴ ∠4=90°-∠3
几何语言表示为：
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为
补角
∠1 = 180°—∠2
反过来说也成立：若∠1与∠2互为补角， 那么∠1+∠2=180°
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
练一练
判断题：
1、如果一个角有补角，那么这个角一定是
钝角（ ）
（1） 等角的余角相等； （2） 等角的补角相等；
请认真观察下图，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？
C
∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
2
∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° A
DB
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 为什么？
∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
A
C
A
B
2 AOB=∠O2=1800-∠1
C
1
B
O
3、若一个角的补角等于它的余角的4 倍， 求这个角的度数。
解： 设这个角是x度，则它的补角是 （ 180-x）度,余角是(90-x) 度。根据 题意，得：180-x= 4 (90-x)
6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册
角描述一个物体的方位。
方位角是表示方向的角.
E
以正北、正南方向为基准
来描述物体所处的方向.
正东：射线 OA
八大 方位
正南：射线 OB 正西：射线 OC
正北：射线 OD
西 西北方向：射线 OE C
西南方向：射线 OF
东北方向：射线 OH 东南方向：射线 OG
F
北 D
45° 45°
O
45°45°
B 南
H A东 G
100o
120o
150o
170o
课堂练习
练习4 填空
（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=__1_8_0_°_. （2）∠1=90º－∠2，则∠1与∠2的关系为_互__为__余__角____.
二 余角、补角的性质
思考1：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3有什 么大小关系
解：∵∠1与∠2， ∠3都互为补角，
30o
50o
60o
40o
80o
一 余角、补角的定义
思考：∠3 与∠4 有什么数量关系？
2
∠3+∠4 = 180°
1
补角
4 3
如果两个角的和是180°(平角)，就说这
两个角互为补角(简称两角互补)，即其中一个
角是另一个角的补角。
课堂练习
练习3 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
等角的补角相等
二 余角、补角的性质
补角的性质：同角(等角)的补角相等
符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180° ∴∠B＝∠C(同角的补角相等) 符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠A＝∠D ∴∠B＝∠C(等角的补角相等)
6.3.3余角和补角课件人教版数学七年级上册1
跟踪训练
2.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB 的度数， 但人不能进入围墙，如何测量?
解：延长 AO 到点D，延长 BO到点C，
C
方法1：测量∠COD的度数，根据同角的补角相
D
等，可得∠AOB=∠COD；
方法2：测量∠AOC的度数，根据补角的概念，
可得∠AOB=180°-∠AOC；
方法3：测量∠BOD的度数，根据补角的概念，
5.如图，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠AOE=∠DOE，点E， O，F在一条直线上，下列结论：①∠AOC=∠BOD； ②∠AOD与∠BOC互补；③OF平分∠BOC；④∠AOD∠BOF=90°．其中正确结论的有 ①②③ （把所有 正确结论的序号都选上）
12．5°
6.如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC=110°， ∠COD=90°，OM平分∠AOC． (1)求∠MOD的度数； (2)若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
第六章 几何图形初步
6.3.3 余角和补角
学习目标 新课引入 获取新知 例题讲解 课堂练习 课堂小结 课后作业
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.(重点) 2.掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识 解决相关问题.(重点、难点)
新课引入
观察右面的一副三角尺： 问题1：你能得到哪些结论？ 每个三角尺都有一个角是90°， 其他两个角的和是90°(30°+60°=90°，45°+45°=90°). 问题2：你能否再举几个和为90°的角的例子？ 10°与80°；20°与70°，……
问题4：如何用几何语言描述这两条性质？ （1）因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
所以∠2=∠3. （2）因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，且∠1=∠3，
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件(共21张PPT)
=27°28′
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
人教版初中数学4.3.3 余角和补角 课件
150o
170o
探究新知
4.3 角/
素养考点 1 利用余角、补角的概念求角的度数
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角 的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180 –x )°，
余角是 ( 90 –x )° . 根据题意，得180 –x = 4 ( 90 –x ) . 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60 °.
D
探究新知
4.3 角/
素养考点 利用方位角解答实际问题
例 如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的
方 向 上 . 同 时 , 在 它 北 偏 东 40°, 南 偏 西 10°, 西 北 ( 即 北 偏 西
D
北
B
●
45°)方向上又分别发现了客轮B， ●
货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位 的方法画出表示客轮B，货轮C和 西
●
远望一号
●
远望二号
巩固练习
4.3 角/
●
60°
●
远望一号
30°
●
远望二号
连接中考
4.3 角/
1.若一个角为65°，则它的补角的度数为（ C ）
A．25°
B．35°
C．115° D．125°
2.如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B 处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ A ） A．北偏东30° B．北偏东80°
40°
●
O
东
海岛D方向的射线.
60°
C 10° ● 南
A
●
巩固练习
4.3 角/
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当 时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、 二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六 号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中 画出当时神舟六号所处的位置吗？
6.3.3余角和补角 课件-人教版数学七年级上册
∠WOA= ∠SOB，∠SOA= ∠EOB.
综合应用创新
解法提醒
1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成
平角，可以解决互补问题.
2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成
直角，可以解决互余问题.
3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决
等角问题.
综合应用创新
题型
4
利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠
1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3.
综合应用创新
方法点拨：
在图形的变换探究中，应善于抓住不变
的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题
图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，
图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结
合两个量才能探究出结论是否变化.
的符合要求.
综合应用创新
解：因为∠1＋∠2 =180°，所以∠2＋∠1＋∠2 >180°，故
A 选项不是∠2 的余角. 因为∠2＋∠1 － ∠2 = ∠1 ≠ 9 0°，
故B 选项不是∠2 的余角. 因为∠1＋∠2 =180 °，所以 ∠1
＋ ∠2 =9 0°. 所以∠2＋ ∠1 = ∠1＋ ∠2＋ ∠2 >9 0°，
例 8 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合
在点О 处.
思路引导：紧扣要判定的角和
两个90 °角的关系进行分析.
综合应用创新
(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由.
解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：
综合应用创新
解法提醒
1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成
平角，可以解决互补问题.
2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成
直角，可以解决互余问题.
3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决
等角问题.
综合应用创新
题型
4
利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠
1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3.
综合应用创新
方法点拨：
在图形的变换探究中，应善于抓住不变
的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题
图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，
图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结
合两个量才能探究出结论是否变化.
的符合要求.
综合应用创新
解：因为∠1＋∠2 =180°，所以∠2＋∠1＋∠2 >180°，故
A 选项不是∠2 的余角. 因为∠2＋∠1 － ∠2 = ∠1 ≠ 9 0°，
故B 选项不是∠2 的余角. 因为∠1＋∠2 =180 °，所以 ∠1
＋ ∠2 =9 0°. 所以∠2＋ ∠1 = ∠1＋ ∠2＋ ∠2 >9 0°，
例 8 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合
在点О 处.
思路引导：紧扣要判定的角和
两个90 °角的关系进行分析.
综合应用创新
(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由.
解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：
6.3.3 余角和补角 课件人教版(2024)数学七年级上册
证明：因为 OC ⊥ AB ，所以∠ COA ＝∠ COB ＝90°.
因为 OC 平分∠ DOE ，所以∠ COD ＝∠ COE .
因为∠ AOC ＋∠ COD ＝90°，∠ BOE ＋∠ COE ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ BOE .
4． 如图，∠ AOC ＝∠ COB ＝90°，∠ DOE ＝90°， A ， O ， B 三
∠ BOC ，则图中互余的角共有(
A． 1对
B． 2对
C． 3对
D． 4对
D
)
7． 几何直观【人教七上P188复习题T11改编】按如图所示的方法折
纸，然后回答问题：
(1)∠1与∠ AEC ，∠3和∠ BEF 分别有何关系？
解：(1)因为∠1＋∠ AEC ＝180°，所以∠1与∠ AEC 互补．
因为∠3＋∠ BEF ＝180°，所以∠3与∠ BEF 互补．
因为 OD 平分∠ BOC ，所以∠ COD ＝∠ DOB .
因为∠ COE ＋∠ COD ＝∠ DOE ＝90°，
所以∠ AOE ＝∠ COE .
所以 OE 平分∠ AOC .
2. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ AOC 与∠ COD 互补， OE 平分
∠ AOC ，∠ DOE ＝48°，求∠ BOD 的度数．
(2)∠1与∠3有何关系？
(2)由翻折的性质，得∠1＋∠3＝ ×180°
6． (2023·北京)如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝126°，
则∠ BOC 的大小为(
A． 36°
B． 44°
C． 54°
D． 63°
C
)
7． 如图，若将一副三角尺折叠放在一起，使直角的顶点重合于点
人教版七年级上册4.余角和补角课件
2.上题的根据是（ ） A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
余角补角小结
概念
∠1、∠2互为补角 ∠1、∠2互为余角
∠1+∠2=180° ∠1+∠2=90°
两个角！ 数量关系！
性质
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
余角和补角性质的运用
如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度 数，但人不能进围墙，如何测量？
知识讲授
2、如图，∠3和∠AOB互为补角，∠4和∠AOB也互为补角，请问 ∠3 和∠4有什么数量关系？为什么？请尝试用简单的几何语言来 说理。
同角的补角相等
理由：
3 4
知识讲授
3、如图，如果∠1与∠2互为余角，
∠3与∠4互为余角，且∠1=∠4，那么∠2与 ∠3相等吗？为什么？请尝试用几何语言来 说理
A
O A
C 12 O
B B
知识讲授
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补 角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
2 11
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1+∠2=180°
知识讲授
A
1 0
2 D
1 2
如图∠AOD = 90°
∠1+∠2 = 90°
同角或等角的补角相等。
课堂练习
如图，A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°。 （1）图中与∠2互为余角的角有 ∠1和∠3 ；
与∠1互为余角的角有∠2和∠4 。
（2）请写出图中相等的锐角，并说明理由；
（3）∠1的补角是哪个角？∠2有补角吗？
数学人教版(2024)七年级上册6.3.3 余角和补角 课件(共18张PPT)
问题4：如何用几何语言描述这两条性质？ （1）因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
所以∠2=∠3. （2）因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
获取新知
探究点4 互补的性质 问题1：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系? ∠2=∠3. 问题2：∠1与∠2，∠3与∠4都互为补角，且∠1=∠3，∠2与∠4的大小 有什么关系? ∠2=∠4. 问题3：由此可以得到补角的什么性质? 同角(等角)的补角相等.
可得∠AOB=180°-∠BOD.
拓展探究
角的推理计算
例2.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为
∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x， 因为∠AOC与∠AOB互补，
B
M
C
N
则∠AOC=180°-x．
因为OM，ON分别为∠AOC，
2 ∴∠COP=∠MOP-∠CO你的收获是什么？
两角间的 数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
获取新知
探究点1 互余的概念
1.互余：如图所示，一般地，如果两个角的和等于90°(直
角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一
个角是另一个角的余角.
2.几何语言： 因为∠1+∠2=90°， 所以∠1与∠2互为余角， 或∠1是∠2的余角， 或∠2是∠1的余角.
反之也成立： 因为∠1与∠2互为余角， 或∠1是∠2的余角， 或∠2是∠1的余角， 所以∠1+∠2=90°.
6.3.3 余角和补角(1) 课件 人教版(2024)数学七年级上册
余角和补角(1)
分层检测
17. 如图，两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起，其中∠ ACD ＝
∠ BCE ＝90°.
(1)若∠ DCE ＝25°，则∠ ACB ＝
155°
(2)若∠ ACB ＝150°，则∠ DCE ＝
30°
；
；
(3)试说明：∠ ACB 与∠ DCE 互补.
解：∵∠ ACD ＝∠ BCE ＝90°，
知识点2：余角与补角的应用
5. 【例】如图，已知∠ ABP 与∠ CBP 互余，∠ CBD ＝32°， BP 平分
∠ ABD . 求∠ ABP 的度数.
解：∵∠ ABP 与∠ CBP 互余，
∴∠ ABC ＝∠ ABP ＋∠ CBP ＝90°，
∵∠ CBD ＝32°，
∴∠ ABD ＝∠ ABC ＋∠ CBD ＝122°，
6.3.3 余角和补角(1)
1
课前预习
2
3
分层检测
课堂学练
6.3.3
余角和补角(1)
课前预习
1. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为 余角
角
，∠2是∠1的
余角
.
2. 若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β互为
3. 同角(等角)的余角 相等
，其中∠1是∠2的
补角
，同角(等角)的补角
.
相等
.
余
∠ BON ＝64°
(1)求∠ COM 的大小；
解：∵ ON 平分∠ BOC ，∠ BON ＝64°，
∴∠ BOC ＝2∠ BON ＝128°，
∴∠ AOC ＝180°－∠ BOC ＝52°，
∵ OM 平分∠ AOC ，
人教版七年级数学上册 6.3.3 余角和补角 PPT
合作探究
(1) 若∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？ (2) 若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2与∠4的大小有 什么关系？
我们得到关于补角的一个性质： 同角(等角)的补角相等.
对于余角也有类似的性质： 同角(等角)的余角相等.
迁移应用
重点
迁移应用
1.若∠ α =29°45′，则∠ α的余角等于( B )
迁移应用
难点
例4.如图，已知∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角,OE,OF分别为∠AOB和∠COD 的平分线,且∠AOD=130°. (1)求∠BOC的度数;(2)求∠EOF的度数.
迁移应用 1.如图，∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线， 求∠COD的度数.
故这个锐角的度数为45°.
迁移应用
重点
例2： 如图6.3-15，点A，O，B在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC.图中哪些角互为余角?
迁移应用
1.已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么( C )
A.∠2＞∠4 B.∠2＜∠4 C.∠2=∠4 D.∠2与∠4的大小不确定
解:如图②所示，点A为少年宫的位置.
迁移应用
如图,点O是学校所在位置,A村位于学校南偏东42°方向上,B村位于学校北 偏东25°方向上,C村位于学校北偏西65°方向上,在B村和C村之间有一条公 路OE(射线)平分∠BOC. (1)求∠AOE的度数. (2)公路OE上的车站D相对于学校0的方位是什么? (以正北、正南方向为基准)
3.如图，已知射线OA与射线OB的夹角为90°， 射线0A表示北偏西25°的方
向，则射线OB表示的方向为___北__偏__东__6_5_°___.
6.3.3 余角和补角课件人教版数学七年级上册
由题意得,90°-x=14(180°-x). 所以x=60°.
所以这个角的度数是60°.
知识点 余角、补角的性质及计算
1.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角为 ( D )
A.12(180°-∠1)
B.12∠1
C.12(∠1+∠2)
D.12(∠1-∠2)
【解析】因为12(∠1-∠2)+∠2=12(∠1+∠2)=90°,所以∠2的余角为12(∠1-∠2).
【解析】180°-46°35'
=179°60'-46°35'
=133°25'.
4.如果∠α和2∠β互补,且∠α<2∠β,给出下列四个式子:①90°-∠α;②2∠β-90°;
③∠β-12∠α;④∠β+12∠α.其中可以表示∠α余角的式子有( ) B
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】因为∠α与2∠β互补,
5.如图,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,则 ∠COE的余角是_____∠_C__O_D__,∠__A_O_D___. 【解析】因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠AOD=∠COD=12∠AOC,∠COE=∠BOE=12∠BOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12×180°=90°, 所以∠COE+∠AOD=90°, 所以∠COE的余角是∠COD,∠AOD.
(2)因为OE平分∠BOD,OF平分∠AOC, 所以∠DOE=∠EOB=12∠BOD, ∠COF=∠FOA=12∠AOC. 因为∠AOD=k∠BOC,∠EOF=14∠BOC, 即∠BOC=4∠EOF, 所以∠AOD=4k∠EOF. 因为∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD,∠BOD=2∠BOE,∠AOC=2∠COF, ∠BOE+∠COF-∠BOC=∠EOF, 所以4∠EOF=2(∠EOF+4∠EOF)-4k∠EOF,k=32.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC
E
和∠BOC，图中哪些角互为余角？
A
O
B
解：因为点A，O，B在同一直线上，
所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠BOC
=1/2(∠AOC+∠BOC)=90°.
所以∠COD和∠COE互为余角，
B 西
C
北 A
40°
65
O° 70
东
45 20° °°
南D
例4 如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南
偏东60°的方向上.同时,在它北偏东40°,南偏西10°,
西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮
C和海岛D.仿照表示灯塔方位 的方法画出表示客轮B,货 ● D 轮C和海岛D方向的射线.
七年级数学上（RJ） 教学课件
第四章 图形初步认识
4.3 角
4.3.3 余角和补角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的形质.(重点） 2.了解方位角，并能用方位角知识解决一些简单的实际问 题.（难点）
导入新课
情境引入
2
比 萨 斜 塔
1
比 萨 斜 塔
O
课堂小结
两角间的 数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
以下赠品教育通用模板
前言
您的内容打在这里，或者通过复制您 的文本 后，在 此框中 选择粘 贴，并 选择只 保留文 字。在 此录入 上述图 表的综 合描述 说明。 您的内 容打在 这里， 或者通 过复制 您的文 本后， 在此框 中选择 粘贴， 并选择 只保留 文字。 在此录 入上述 图表的 综合描 述说明 。 您的内容打在这里，或者通过复制您 的文本 后，在 此框中 选择粘 贴，并 选择只 保留文 字。在 此录入 上述图 表的综 合描述 说明。 您的内 容打在 这里， 或者通 过复制 您的文 本后。
观察可得结论： 同一个锐角的补角比它的余角大___9_0_°___.
二 余角和补角的性质
思考： ∠1与∠2，∠3都互为补角， ∠2与∠3的大小有什么关系？
1
2
结论：
∠2=180°－∠1
同角(等角)的补角相等
类似的可以得到：
同角(等角)的与角相等
3 ∠3=180°－∠1
例2 如图，点A，O，B在同一直线 D
北
●B
40°
西
●O
东
60°
C ●10°
●A
南
练一练
费俊龙、聂海胜乘坐”神舟”六号遨游太空时,我国当时 派出远望一号~四号船队,跟踪检测,其中远望一、二号停在太 平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东●60°和 北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的 位置吗？
60 ●°
远望一号
根据题意，得 180°－x°= 4 (90°－x°) 解得 x=60
答：这个角的度数是60 °.
做一做
∠α 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(x<90)
∠α的余角 85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x°
∠α的补角 175°
148° 135° 103° 117°37′ 180° x°
同理∠AOD和∠0BOE，∠AOD和∠COE，
∠AOD和∠BOE也互为余角.
练一练
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD， 则与∠AOC互余的角有__∠__B_O_C__和__∠__A__O_D___.
AC D
B O
三 方位角北Leabharlann DE45° 45°
西
C
O
F
B
南
八大方位
H （1）正东，正南，正西，正北 射线 OA OB OC OD
30 ° ●
远望二号
当堂练习
1.如果 1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4x 8) , 则1 _6_2_°__, 2 _2_8_°__ .
2.如图, ∠COD= ∠EOD=90°, C、O、E在一条直 线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系?并试着 说明理由?
∠1与∠3相等(等角的余角相等).
角互为补角(简称互补).
3 如图，可以说∠3是∠4的余角或∠4是∠3的补角.
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
典例精析
例1. 若一个角的补角等于它的余角的4 倍， 求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180° －x°),余角是(90°－x°) .
点击此处添加标题
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后， 在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。在此 录入上述图表的综合描述说明。
点击此处添加标题
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后， 在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。在此 录入上述图表的综合描述说明。
您的内容打在这里，或者通过复制您 的文本 后，在 此框中 选择粘 贴，并 选择只 保留文 字。在 此录入 上述图 表的综 合描述 说明。 您的内容打在这里，或者通过复制您 的文本 后，在 此框中 选择粘 贴，并 选择只 保留文 字。在 此录入 上述图 表的综 合描述 说明。
目录
01
单击添加标题
02
单击添加标题
03
单击添加标题
04
单击添加标题
01 点击添加文字
点击此处添加标题
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后， 在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。在此 录入上述图表的综合描述说明。
点击此处添加标题
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后， 在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。在此 录入上述图表的综合描述说明。
（2）西北方向:__射__线__O_E__
A东
西南方向:__射__线__O_F__
东南方向:__射__线__O_G__
东北方向:__射__线__O_H__ G
例3. 如图，说出下列方位 （1）射线OA表示的方向 为 北偏东40.° （2）射线OB表示的方向 为 北__偏_ 西6_5°. （3）射线OC表示的方向 为_南__偏_ 西4_5.°(西南） （4）射线OD表示的方向 为_南__偏_ 东_2_0.°
3 1
讲授新课
一 余角和补角的概念
2
1
定义： 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角
互为余角(简称互余). 如图，可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
图中给出的各角，那些互为余角？
15o
24o
46.2o
75o
66o
43.8o
4
定义： 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个