9第九章 半角模型 初中几何专题提高讲义
几何模型――半角模型培训资料.ppt
人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。
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基ห้องสมุดไป่ตู้模型（1）——正方形内含半 角
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上 的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
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（1）证明： 由旋转可得GB=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF， 在△AGE和△AFE中 ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE=EF， ∵GE=GB+BE=BE+DF， ∴EF=BE+DF；
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“不能。” “它能滋润你的干渴？”
“不能。”
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其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，
相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！
人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
半角模型课件PPT课件
的面积为
.
C
A
D
E
B
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解答：
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五、课堂小结 升华模型
畅谈本节课的收获，和同学分享交流
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六、链接中考 实战模型
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感谢您的观看！
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学习重点：“半角”模型的辨别（一）及灵活应 用 学习难点：辅助线的添加及说明能力（一）。
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一、探究规律 创建模型
【探究一】在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且 ∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三条线段之间的数量关系.
A
D
F
B
E
C
画板
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C ∴EF'=EF ∴BE+DF=BE+BF′=EF′=EF
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一、探究规律 创建模型
E'
A
D
A
D
F
F
F' B
E
C
B
E
C
辅助线方法一
辅助线方法二
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一、探究规律 创建模型
如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=AD，
【探究二】
点E、F分别在边BC、CD上，∠BAD=120°，∠EAF=60°， 猜想BE、EF、DF之间有什么关系？ BE+DF=EF
AE、AF于点M、N，则BM、MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
A
D
NF
NF
M
M N'
中考数学半角模型专题知识解读
半角模型专题知识解读【专题说明】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD+CE=DE.旋转法翻折法作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD+CE=DE.（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：等边三角形中120°含60°的半角模型作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF类型三：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小【典例分析】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，若将△ABC绕着点C 逆时针旋转90°得△EDC．（1）求证：∠ADC+∠CDE＝180°；（2）若AB＝3cm，AC＝，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的周长和面积．【解答】（1）证明：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，则∠B+∠ADC＝180°．∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，∴△ABC≌△EDC，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠ADC+∠CDE＝180°；（2）解：∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，∴AC＝EC＝，AB＝ED＝3cm，∠ACE＝90°，∴AE＝AC＝8cm，∴AD＝AE﹣EC＝AE﹣AB＝5cm；（3）解：如图，连接BD．由（2）知，AD＝5cm．则在直角△ABD中，由勾股定理得到：BD＝＝．又∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝＝，∴四边形ABCD的周长为：AB+AD+2BC＝3+5+2＝8+2；∵△ABC≌△EDC，∴四边形ABCD的面积＝△ACE的面积＝AC•CE＝×4×4＝16（cm2）．综上所述，四边形ABCD的周长为（8+2）cm，面积为16cm2．【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE ＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF．下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵AF⊥AE，∴∠F AE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠F AE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠F AB＝∠EAC，∵AB＝AC，AF＝AE，∴△ABF≌△ACE（SAS），故①正确；∵∠DAE＝45°，∠F AE＝90°，∴∠F AD＝∠F AE﹣∠DAE＝45°，∴∠F AD＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△F AD≌△EAD（SAS），∴∠FDA＝∠EDA，∴AD平分∠EDF，故②正确；在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，∴DF＝＝＝5，∵△F AD≌△EAD，∴FD＝ED＝5，∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，∴AB＝6，故③正确；∵AB＝BE，∠ABE＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，∴∠ADB＝∠AEC，∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE，∵BF＝CE，∴BD＝BF，∵∠FBD＝90°，∴DF＝BD，∴DE＝BD，∴S△ADE＝S△ABD，故④错误；综上所述，正确的个数有3个，故选：C【变式1-2】如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为．【解答】解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF，∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF，在△MAN和△F AN中∴△MAN≌△F AN，∴MN＝NF，∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FCN＝90°，∵CF＝BM＝1，CN＝3，∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝，故答案为：．【类型二：等边三角形中120°含60°的半角模型】【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E．（Ⅰ）如图1，当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E；（Ⅱ）如图2，当DE＝D'E时，请写出∠DAE与∠BAC的数量关系，并说明理由．（Ⅲ）当∠BAC＝90°，DE＝D'E，EC＝CD'时，请直接写出BD与DE的数量关系（不必说明理由）．【解答】（I）证明：∵将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，∴AD＝AD'，∠CAD'＝BAD，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D'AE＝∠CAD'+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，∴∠DAE＝∠D'AE，在△ADE与△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SAS），∴DE＝D'E；（Ⅱ）解：∠DAE＝，理由如下：在△ADE与△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SSS），∴∠DAE＝∠D'AE，∴∠BAD+∠CAE＝∠CAD'+∠CAE＝∠D'AE＝∠DAE，∴∠DAE＝；（Ⅲ）解：DE＝BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝45°，∴∠ECD＝90°，∵EC＝CD'，∴△ECD'是等腰直角三角形，∴D'E＝CD'＝BD，∵DE＝D'E，∴DE＝BD．【变式4-1】（2017秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．【解答】解：（1）结论：EF2＝BE2+CF2．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图1中，∴AG＝AE，CG＝BE，∠ACG＝∠B，∠EAG＝90°，∴∠FCG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，∴FG2＝FC2+CG2＝BE2+FC2；又∵∠EAF＝45°，而∠EAG＝90°，∴∠GAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∴EF2＝BE2+CF2．（2）如图2中，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴将△ABE绕点A逆时针旋转60°得△ACG，连接FG，作GH⊥BC交BC的延长线于H．∵∠BAC＝60°，∠EAF＝30°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAG+∠CAF＝∠F AG＝30°，∴∠EAF＝∠F AG，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，在Rt△CGH中，∵CG＝BE＝3，∠GCH＝60°，∴∠CGH＝30°，∴CH＝CG＝，GH＝CH＝，在Rt△FGH中，FG＝＝＝7，∴EF＝FG＝7．（3）结论：EF2＝EC2+BF2理由：如图3中，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接FG．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△ACE≌△ABG，∴∠CAE＝∠BAG，EC＝BG，∠ACE＝∠ABG＝45°，∴∠CAB＝∠EAG＝90°，∠GBF＝90°，∴∠F AG＝360°﹣∠EAF﹣∠EAG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠F AE＝∠F AG，∵F A＝F A，AG＝AE，∴△F AE≌△F AG（SAS），∴EF＝FG，在Rt△FBG中，∵∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2+BF2，∵FG＝EF，BG＝EC，∴EF2＝EC2+BF2．【变式4-2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．②猜想：结论仍然成立．证明：在CN的反向延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，③证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【类型三：正方形中角含半角模型】【典例2】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC 边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，由旋转得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠DCF+∠DCM＝180°，∴F、C、M三点在同一条直线上，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，∴∠EDF＝FDM，∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDF（SAS）；（2）设CF＝x，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，由旋转得：AE＝CM＝2，∴BE＝AB﹣AE＝3，FM＝CF+CM＝2+x，∵△EDF≌△MDF，∴EF＝FM＝2+x，在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，∴x＝，∴EF＝2+x＝，∴EF的长为．【变式2-1】（2022春•路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为．【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，【变式2-2】（2021秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解答】解：成立．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠F AD，AM＝AF，MB＝DF，∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°，∴M、B、E三点共线，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠F AD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°，∴∠MAE＝∠F AE，∵AE＝AE，AM＝AF，∴△MAE≌△F AE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE．【典例3】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）【解答】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案为：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3【变式3-1】探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．【解答】解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三点共线，在△AEF与△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠F AE＝∠F AE，即∠F′AE＝∠F AE，在△F′AE与△F AE中，，∴△F′AE≌△F AE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．【变式3-2】已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．【解答】（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，∴∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，∴△AMN≌△AM′N′，∴MN＝NM′，∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN．（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠F AB＝45°+∠BAE，∴∠AED＝∠F AB，∵∠ABF＝∠ADE，∴△BF A∽△DAE，∴＝，∴＝，∴y＝．。
2024年九年级中考数学专项复习 半角模型1课件
【数学思考】（2）如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，
且∠DAE＝45°.求证：BD2＋CE2＝DE2.
证明：如图①，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接DG，则
△ACE≌△ABG，∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°.
∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°，∴∠GAD＝∠DAE＝45°.
正方形ABCD中，∠EAF＝45°，此为“正方形内半角模型”
Hale Waihona Puke 在底角为30°的等腰△ABC中，∠DAE＝60°，此为“60°半角模型”
2.“半角模型”的破解策略：半角模型，必旋转.
3.注意：
（1）旋转角度通常为大角的角度；
（2）旋转后，往往涉及三点共线问题（需简单证明）；
（3）旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全等.
模型解读
1.“半角模型”的基本类型
题目中出现了两个角，小角等于大角的一半，故称为“半角模型”.常见的半角关系
有“30°与60°”“45°与90°（此类模型又称之为‘正方形内半角模型’）”“60°与
120°”.
等边△ABC中，∠DAE＝30°，此为“30°半角模型”
等腰Rt△ABC中，∠DAE＝45°，此为“45°半角模型”
1.（2023·新泰模拟）如图，在等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝
30°.若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则以x，y，z为边长的三角形的形状为（ C ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.随x，y，z的值而定
第1题图
2.（2023·潍坊模拟）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点
八年级数学第九章 半角模型
第九章半角模型模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】已知如图：2∠2=12∠AOB；②OA=OB。
连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。
模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
模型实例例1．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC 于点M、N。
（1）求证：BM+DN=MN；（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB。
例2．在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。
探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。
例3．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD。
求证：EF=BE-FD。
热搜精练1．如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，∠MAN=45°。
求证：MN=DN-BM。
2．已知，如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°。
探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得劲解决。
请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。
初中数学半角模型专题讲解(最全最新)
二、正方形中的半角模型
例2、已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连 接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，求线段NC的长
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变式训练：已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针 旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当 ∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有 怎样的数量关系呢？写出你的猜想．（需要证明）
再见！谢谢大家的聆听!
变式训练：已知∠MAN＝45°，AHபைடு நூலகம்MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求 AH的长．
变式训练：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF ＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M， DE＝2，BF＝3，求GM
三、四边形中的半角模型
例3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分 别是边BC、CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
变式训练：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边 BC、CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，证明：EF＝BE+FD
变式训练：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别 是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF＝∠BAD，证明：EF＝BE﹣FD．
初中数学模型：半角模型专题
学校：永州博闻高级中学数学组（八年级） 主讲：蒋老师
一、等边三角形中的半角模型
例1、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝ 120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交 AC于点N，连结MN，求△AMN的周长
中考数学专题复习 正方形之“半角”模型 课件
也相当于翻折法、 (或轴对称)
“截长”: 在EF上截取一点H,使BE=EH
EF=BE+DF
“补短”
“截长”
“旋转” “翻折”或(轴对称)
几何主要包括线与角,既然可以从“线段”上考虑, 那能否从“角”上考虑呢?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF.
三、变式训练
1、如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD， 求证：EF=BE+DF；
三、变式训练
2.如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论 是否仍然成立？请写出证明过程.
能否通过翻折来解决问题?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF. (1)求证:EF=BE+DF
延长
“补短” 全等变换-- 旋转、翻折
方法归一
既然可以“补短”,那可以“截长”吗?
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF
同理: 延长CD到点H，使BE=DH,连接AH
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 除了延长得到△ABG, 还可以如何得到?
将△ADF绕点A顺时针旋转90°
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 旋转是全等变换,还可以利用其它全等变换吗? 平移与翻折
2023年九年级数学基本图形生长探究—半角模型课件
c
42+(10-x)2=x2
EF=x=5.8
三、拓展生长
问
题
生
长
【生长探究2】如图，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC和射线
思
路
DC上.若BE=1，∠EAF=45°
，求DF的长.
AD上截取AN＝4，在BC上截
1
∠EAF= 2 ∠BAD
边相等?
取BM＝4，连结MN交AF于点G，
路
P为线段OB的中点，连结PA,PC,若∠CPA=∠ABO,求m的值.
解：由题意，得A(m,0)，B(0,m),
∴∠CPA=∠ABO=45° .
共顶点的倍半角
探
P为OB的中点，作PE//OA
共端点的等线段
对角互补
得:E(0.5m,0.5m)
作ED⊥OA,构造边长为0.5m的正方形PODE,连接CF,
∠EAF= ∠BAD
二、问题探究
基
弱化
本
图
形
弱化
提
炼
半角
模型
图形特征
模
型
共端点的等线段
共顶点的倍半角
对角互补
解题策略
AB=AD
∠EAF=
1
2
∠BAD
利用旋转
EF=BE+DF
∠D+∠B=180°
有半角，想模型，用旋转，构全等。
构造全等
三点共线
二、问题探究
思
本
图
形
【练习巩固1】如图，四边形ABCD内接于☉O，∠BAD=90°
，AB=AD,BC=8,CD=6,
点E为BC的中点，点F为CD上一点，且满足∠EAF= ∠BAD，则EF= 5.8 .
中考必会模型：第九章半角模型.doc
第九章模型半角模型已知如图：®Z2=-Z^0B；②OA=OB.2连接F8，将△FOB绕点。
旋转至△FOA的位置，连接尸E, FE, 可得Z^O EF^'OEF'模型分析AZ3=Z4, OF=OF'.:.Z2=-ZA0B, 2AZ1 + Z3=Z2AZ1 + Z4=Z2又EE是公共边，：.4OEF#/\OEF‘ .（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点;（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45° , 120°含60° .模型实例例1己知，正方形ABCD中，ZMAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.(1)求证：BM+DN=MN.(2)作AH1MN 于点H,求证：AH=AB.证明：(1)延长ND到E,使DE=BM,・・・四边形ABCD是正方形，..・AD=AB.在ZkADE 和z\ABM 中，AD = AB< ZADE = ZBDE = BMAAADE^AABM.・・・AE=AM, ZDAE=ZBAMVZMAN=45°, .•.ZBAM+ZNAD=45°.・・・ ZMAN=ZEAN=45°.在2XAMN 和^AEN中，MA = EA< ZMAN = ZEANAN = ANAAAMN^AAEN.・.・MN=EN.BM+DN=DE+DN=EN=MN .(2)由(1)知，△AMNU^AEN. •^S AAMN-S AAEN-即-AHMN=-ADEN .2 2XVMN=EN, •.•AH=AD.即AH=AB.例2在等边△ ABC的两边AB、AC±分别有两点M、N, D为ZkABC外一点，且NMDN=60。
，ZBDC=120°, BD=DC.探究：当M、N 分别在线段AB、AC ±移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系.(1)如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；(2)如图②，当DM#DN时，猜想(1)问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.图①图②解答(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NOMN.(2)猜想：BM+NC=MN.证明：如图③，延长AC至E,使CE=BM,连接DE.・.・BD=CD,且ZBDC=120°, AZDBC=ZDCB=30o.又VAABC是等边三角形，AZABC=ZACB=60°..•.ZMBD=ZNCD=90°.在ZiMBD 与ZkECD 中，・.・DB=DC, ZDBM=ZDCE=90°, BM=CE, ...△MBD竺ZXECD (SAS).・.・DM=DE, ZBDM=ZCDE.「・Z EDN= Z BDC- Z MDN=60°.在左MDN和八EDN中，・「MD=ED, ZMDN=ZEDN=60°, DN=DN, A A MDN^AEDN (SAS).・.・ MN=NE=NC+CE=NC+BM.A图③例3 如图，在四边形ABCD中，ZB+ZADC=180°, AB=AD, E、F分别是BC、CD延长线上的点，且ZEAF=- ZBAD.求证：EF=BE-FD.2证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.VZB+ZADC=180°, ZADF+ZADC=180°, ・・・ZB=ZADF.在ZkABG 和z\ADF 中，AB = AD, ZB = ZADFBG = DF ■...△ABG ^AADF (SAS).AZBAG=ZDAF, AG=AF. .\ZGAF=ZBAD.・・・ ZEAF=- ZBAD=- ZGAF.2 2AZGAE=ZEAF.在ZXAEG 和ZkAEF 中，AG = AF< ZGAE = ZFAEAE = AE「•△AEG ^AAEF (SAS).・・・EG=EF.,.・EG=BE-BG,•.・EF=BE・FD.A练习：1.己知，正方形ABCD, M在CB延长线上，N在DC延长线上，匕MAN=45。
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D C B A M N 图2A M B D C N 1图B A C D M N 第九章 半角模型
模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
已知如图： ② ∠2=12∠AOB ； ②OA=OB 。
连接F ′B ，将△FOB 绕点O 旋转 至△FOA 的位置，连接F ′E 、FE ， 可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；
（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
模型实例
例1．如图，已知正方形ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N 。
（1）求证：BM+DN=MN ； （2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB 。
例2．在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点， 且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC 。
探究：当M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系。
（1）如图①，当DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当DM ≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。
例3．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是BC 、CD 延长
A
F E B C D A B C D M N 2图A D B E C 图1D C E B A 线上的点，且∠EAF=12∠BAD 。
求证：EF=BE-FD 。
热搜精练
1．如图，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线，∠MAN=45°。
求证：MN=DN-BM 。
2．已知，如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 分别为线段 BC 上两动点，若∠DAE=45°。
探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量 关系。
小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得劲解决。
请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动到线段CB 的延长线上时，如图②， 其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。
3．已知，在等边△ABC 中，点O 是边AC 、BC 的垂直平分线的交点，M 、N 分别在直线AC 、BC 上，且∠MON=60°。
（1）如图①，当CM=CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN
A M
C
N
O
B A B
M
O
C
N
图3
2
图
图1
A
C
B
O
M
N
A
B
D
F
E C
三者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系。
4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、
CD上的点，且BE+FD=EF。
求证：∠EAF=1
2
∠BAD。
5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与 CB的延长线交于点E连接EF。
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当
图2E A D B C F B 1图D
F E
A
C
∠EAF=12
∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明；
（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结论即
可）。