浅谈如何利用数学构造法攻坚克难

浅谈如何利用数学构造法攻坚克难作者：张磊

来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第04期

数学是一门基础性学科，其中灵活巧妙的构造能为数学问题的解决添砖加瓦。如从构造法解题，使数学解题达到曲径通幽的效果。

1.构造图形。所谓构造图形，实质上也就是高中数学中常见的数形结合，“构造”代数与几何的桥梁，实现难题巧解。

例1设a，b，c是周长不超过2π的三角形的三条边长，求证：sina，sinb，sinc可以构成三角形的三条边长。

证明：由题意知a+b+csinf+sing≥sinfcosg+cosfsing=sin（f+g）=sina，即sinb+sinc>sina，同理sina+sinb>sinc，sina+sinc>sinb。所以sina，sinb，sinc可以构成三角形的三条边长。

2.构造模型。构造模型常用于隔板模型、抽屉原则及染色问题，也是各级数学竞赛中常用的方法。

例2求不定方程x1+x2+x3+…+xm=nm≥2，n≥2，m≤n的正整数解的个数。

解：运用隔板法必须同时具备三个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完；③每组至少有一个元素。本题符合要求，构造一个隔板模型。因为x1≥1，x2≥1，…，xm≥1，所以把n分成n个1，其间有n-1个空当，插入m-1個“挡板”，于是把n个1分成m部分，根据排列组合的相关知识得到原不定方程解的组数为Cm-1n-1。

3.构造方程。方程是解决数学问题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系构造方程，在已知和未知之间搭建桥梁，使问题中的隐含关系明朗化，从而简捷迅速地解决问题。

例3若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0。求证：x，y，z成等差数列。

分析：注意到条件中等式的左边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以（z-x）2-4（x-y）（y-z）为判别式的一元二次方程（x-y）m2+（z-x）m+（y-z）=0（*）。由题知Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程（*）有两个相等实根。又因为（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，所以m=1为方程（*）的一个根，从而m1=m2=1，由韦达定理得m1·m2=（y-z）/（x-y）=1，从而2y=x+z，命题得证。

4.构造公式。数学公式能确切地反映数学内部和外部的关系，是同学们解题时首选的工具，题目做的快与慢，关键取决于对公式的熟练程度，在理解的基础上牢记公式可以提高解题效率。

例4已知a，b，c，d都是实数，求证：a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2。

分析：仔细观察题目的结构形式，要证结论的两端与平面上两点间的距离公式相似，根据其特点，可采用公式法巧妙简捷地证明本题。

证明：设A（a，b），B（c，d），O（0，0），则AB=（a-c）2+（b-d）2，OA=a2+b2，OB=c2+d2。在△OAB中，由三角形三边之间的关系知OA+OB>AB，但当点O在AB上时，OA+OB=AB，即a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2。

作者单位：江苏省沭阳县建陵高级中学