n维向量,向量间的线性关系

合集下载

n维向量组a1a2a3a4线性相关

n维向量组a1a2a3a4线性相关线性相关，指的是两个或多个变量之间存在着一定程度上的相关性。

只要任意两个变量间有任何线性关系，它们就被认为是线性相关的。

维向量组a1a2a3a4之间存在线性相关性，那么关于它们的内容有：1. 维向量组a1a2a3a4可以表示为m维空间里的n个线性方程，即a1、a2、a3、a4都可以表示为：$x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3 + x_4c_4 = 0$ 。

2. a1a2a3a4之间的线性关系可以表示为：一个变量值的变化会改变其他变量的值，或者说某一变量的变化会引起其他变量的变化。

3. 根据a1a2a3a4的线性相关性，在满足一定约束条件时，可以求出4个变量之间的相对关系。

4. a1a2a3a4之间的线性相关性包括两个方面：一是它们本身存在线性关系，二是它们之间存在线性关系。

5. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以通过线性回归分析等方法来进行评估和确定。

6. 定量分析维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性，可以通过Kendall系数法，Spearman等秩相关系数等方法来测定。

7. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以用多元线性回归模型进行预测和分析，来验证其定量分析结果。

8. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以分析多个指标之间的关系，从而实现建模和预测。

9. 如果维向量组a1a2a3a4之间的线性关系很强，那么可以用回归模型来表示，从而可以实现估算变量值，也可以给出变量的可信区间。

10. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性关系可以计算特征向量的投影，可以解决多维特征间相关性的研究问题，使特征维度减少，数据表达更加简洁。

第1节 n维向量及其线性相关性(全)

第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。

,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。

◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。

◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。

◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。

11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。

1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。

则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。

n维向量,线性相关性

分量全部为零的向量称为零向量，记为 o 。向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )，
k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
3
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) +=+ (2) +(+)=(+)+ (3) +0= (4) +(-)= 0 (5) (k+l)=k+l (6) k(+)=k+k (7) (kl)=k(l) (8) 1=
练习：
7
一、线性组合、线性表示
定义3.3 给定 n 维向量 1 ,, s 和 , 若存在 s 个数
k1 ,, ks ，使 k11 ks s ，则称是向量组 1 ,, s 的一个线性组合，或称能被向量组 1 ,, s 线性表示(线性表出)。
12
1 1 2 2 例1 设 1 0 , 2 2 , 3 1 , 5 , 1 1 0 4
能否由1 , 2 , 3 线性表示?
(3' ) 向量方程 x 有唯一解x - . 移项规则
例1 设 3(1 - ) 2( 2 ) 5( 3 ) ，其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,-1) , 求 .
解 31 - 3 2 2 2 5 3 5 ,
则上式可写成: B AK （K叫该线性表示的系数矩阵）

3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性

0
1
定义2 设两个n维向量组
I
1, 2, 3,……,s
(II)
1, 2, 3, ……,t
如果(I)组中每一个向量i (i=1,2,…,s)都能由
向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以
由向量组(II)线性表示.
如果两个向量组可以相互线性表示，则称这
两个向量组等价.
例如，对于向量组
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2 , ,an 所组成的有序数组
a1,a2 , ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
注意 1. 若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 , , an 称为向量的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 ka1, ka2 , , kan 称为向量 a1,a2 , ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1))
第2个分量第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。

3.2 n维向量及其线性相关

证设向量组 a1 , a2 ,, an中有某一部分组线性相关.不妨设 a1 , a2 ,, a s ( s < m )线性相关,则存在线性相关, 相关. s个不全为零的数 k1 , k2 ,, k s , 使得
于是得
k1a1 + k2a2 + + k s a s = θ
k1a1 + k2a2 + + k s a s + 0a s +1 + + 0am = θ
第i个数a i 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为实数的向量称为实向量, 实向量分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量维实向量 n维复向量维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,, n + ( n + 1)i )
第2个分量个分量第1个分量个分量
第n个分量个分量
二,n维向量的表示方法
n 维向量写成一行,称为行向量,也就是行维向量写成一行,称为行向量行向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 aT , bT ,αT , βT 等表示,如:
a T = ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列维向量写成一列,称为列向量列向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 a,b,α, β 等表示,如: a1 a2 a= a n
不全为零, 因为k1,k2, ,k s , 0,,0不全为零, 线性相关. 故由定义知 a1 , a2 ,, am 线性相关.
定理向量组 α 1 ,α 2 ,...,α m线性相关的充分必要条件是: 要条件是:至少存在一个 α i (1 ≤ i ≤ m ) 可有其余线性表出. 向量 α 1 ,α 2 ,...,α i 1 ,α i +1 ,...,α m 线性表出. 证明充分性中有一个向量( 设 a1 , a 2 , , a m 中有一个向量(比如能由其余向量线性表示. 能由其余向量线性表示即有

n 维向量及向量组的线性相关性

能线表却不唯一
不能线表
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有唯一解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有无穷解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 无解
例:判断向量能否由向量组 , , , 线性表出，
若能，求出一组组合系数，其中
证设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（
1 1 2） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
矩阵方程
研究向量之间的关系
线性组合

例：1 = (2, −4,1, −1) ,
2
若满足31 − 2 + 2 = 0, 求.
解： =
1
− (21
2
− 32 )= −2 +
1
= (6, −5, − , 1)
2
3
1
2
唯一线表
所组成的集合叫做向量组．
例如矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量
mn
a11 a12 a1 j a1n

a 21 a 22 a 2 j a 2 n
A

a m 1 a m 2 a mj a mn
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,

3.1 n维向量及其线性相关性

, an )T.
1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
2. 当未说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
公共基础课部线性代数 2014秋季
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn , = (b1, b2,, bn) Fn, F , F为数域 (1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n (2) 向量加法（与之和） : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn) (3) 向量数乘（数量乘法，数与之乘积）: = (a1,a2,,an)
n 维实向量 n 维复向量
第n个分量
第1个分量
公共基础课部
线性代数
2014秋季
n 维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行矩阵, 如
(a1 , a2 , , an );
n 维向量写成一列, 称为列向量, 也就是列矩阵, 如
a1 a β 2 (a1 , a2 , an
, αm (m 2) 线性相关,
, km , 使得
则存在一组不全为零的数 k , k ,
k1α k2α
不妨设 k 0, 则
kmαm 0,
k3 km k2 α α α3 αm , k1 k1 k1 可见向量 α1 是其余向量的线性组合.
公共基础课部线性代数 2014秋季
, αm 构成 n m 矩阵:
A [α1 α 2
m 个 n 维行向量 β , β ,
T 1 T 2 T m
α m ];
, β 构成 m n 矩阵:
β1T T β2 B . T βm

n维向量的线性相关性

例如对向量α=(1, 1, 0), β=(2, 1, 1), γ=(1, 0, 1),
β=α+γ, β是α, γ的线性组合.
在n维向量空间中，设
1,0,,0, 0,1,,0, , 0,0,,1,
1
2
则对任何一个n维向量
(a ,a ,,na )
12
n
都有 a11 a2 2 an n .
证用反证法，利用性质2即得。
4．若向量组i=(ai1, ai2,…, ain), i=1, 2, …, m, 线
性相关，则去掉最后r个分量(1≤r<n)后，所得到的向量组： βi=(ai1, ai2,…, ain-r) , i=1, 2, …, m 也线性相关.
证由 α1, α2, …, αm 线性相关，故存在着
a ,a ,,a i 1,2,,n
i
i1 i2
in
线性相关的充分必要条件为
a a a
11
21
n1
a a a
D
12
22
n2
0.
a a a
1n
2n
nn
向量组的线性相关与线性无关的性质
1．含有零向量的向量组必线性相关.
证不失一般性，设所给的m个向量为
0, ,, .
1
2
m
从而存在不全为零的数1,0,…,0，使得
解设 k k k 0,
11
22
33
即系数行列式
k 1
2k 2
k 3
0
2k
1
k
2
3k 3
0
2k 1
k 2
k 3
0
1 2 1
不能用克莱

线性代数n维向量和向量组的线性相关性

第三章线性方程组 § n 维向量及其线性相关性教学目标：掌握n 维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法.重点：★ n 维向量的概念 ★ 向量的线性运算 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 向量组间的线性表示 ★ 线性相关和线性无关的概念 ★ 向量组的线性相关和线性无关判定难点：★ 线性相关和线性无关的概念的理解， ★ 向量组的线性相关和线性无关的证明内容要点一、n 维向量及其线性运算定义数域F 上的n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的有序数组),,,(21n a a a称为数域F 上的n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.向量常用小写希腊字母,,,αβγ来表示；向量通常写成一行 12(,,,)n a a a α= 称之为行向量；向量有时也写成一列 12n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭T n a a a ),,,(21 = 称之为列向量．注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.=n F {数域F 上n 维向量的全体},=n R 实数域上的n 维向量的全体.例如，一个n m ⨯矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.定义两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律:(1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、 n 维向量空间定义：数域P 上的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称为数域F 上的n 维向量空间，记作n F ．n R 称为你n 维实向量空间.三、向量组的线性组合定义给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数. 注：s k k k ,,,21 可以都取零定义给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组s A ααα,,,:21 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；四、向量组间的线性表示定义设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα 如果向量组A ：t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组:B s βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以经向量组s βββ,,,21 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组t ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，向量组s βββ,,,21 可以经向量组pγγγ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 可以经向量组p γγγ,,,21 线性表出. 向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，那么向量组tβββ,,,21 与s ααα,,,21 等价.3）传递性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，t βββ,,,21 与p γγγ,,,21 等价，那么向量组s ααα,,,21 与p γγγ,,,21 等价.例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT---=--=αα 如果向量满足,0)(2321=+-αβα 求β.解由题设条件,有022321=--αβα 则有β)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 问β是否可由21,αα线性表示. 解：设2211ααβk k +=，可求得1,221-==k k ，所以有212ααβ-=,因此β是21,αα的线性表出.例3 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+= 向量组的线性组合例4 任何一个n 维向量Tn a a a ),,,(21 =α都是n 维单位向量组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.解：因为 .2211n n a a a εεεα+++=例5 零向量是任何一组向量的线性组合. 解：因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例6 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 解：因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=五、线性相关性的概念定义给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 线性相关的概念的理解：“有一组不全为零的常数”，“存在一组不全为零的常数”，“找到一组不全为零的常数”使得,02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,,,,:21s A ααα 线性相关.例向量组14433221αααααααα++++，，，，判定该向量组线性相关.解：取一组常数1，-1，1，-1使得01-11-114433221=+++++）（）（）（）（αααααααα，所以14433221αααααααα++++，，，线性相关. 线性无关的定义的理解：线性无关的定义：若向量组12,,,s ααα不线性相关，即没有不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使11220s s k k k ααα+++=则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，若11220s s k k k ααα+++=，只有120s k k k ====时成立，则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使,02211≠+++s s k k k ααα 则称该向量组线性无关.等价定义：一个向量组12,,,s ααα，存在一组常数12,,,s k k k P ∈使得11220s s k k k ααα+++=，可求得120s k k k ====，则称12,,,s ααα为线性无关.例5.2 若向量组），（），，（1001==βα，则向量组βα，线性无关. 找不到一组不全为零的常数21,k k 使得021=+βαk k ，所以向量组βα，线性无关.或者，若存在一组常数21,k k 使得021=+βαk k ，则可求得021==k k ，所以，向量组βα，线性无关.例若向量组),(11k k ==βα），，（，则向量组βα，线性相关. 因为0,=-=βααβk k 有，即存在1,-k 不全为零的数使得0=-βαk ，所以向量组βα，线性相关例向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε线性无关注: 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在数,,,,21s k k k 使得,02211=+++s s k k k ααα (1)① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的；（2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.六、线性相关性的判定定理向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 证明：必要性设向量组12,,,s ααα线性相关，即存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 不妨设，01≠k ，则有s s k k k k k k αααα13132121----= ，所以必要性成立.充分性不妨设1α可由s ααα,,,32 线性表示，即,33221s s l l l αααα+++= 于是有,033221=++++-s s l l l αααα 成立.因为s l l l ,,,132-不全为零，故向量组12,,,s ααα线性相关.定理的逆否命题是：定理6.1’ 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关的充分必要条件是向量组中任一向量不能由其余1-s 个向量线性表示.例设n 维向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε，证明该向量组线性无关.证：设一组常数,,,,21n k k k 使,02211=+++n n k k k εεε 可得021====n k k k ，故该向量组线性无关.例如果向量组m ααα,,,21 中有一部向量线性相关，则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.证：不妨设)(,,,21m j j <ααα 线性相关，由线性相关的定义，存在不全为零的数,,,,21j k k k 使,02211=+++j j k k k ααα 从而有不全为零的数,0,0,,,,21 j k k k使得,00012211=+++++++m j j j k k k ααααα 故，m ααα,,,21 .该题的逆否命题是：如果向量组m ααα,,,21 线性无关，则该向量组中一部向量组)(,,,21m j j <ααα 线性无关.结论：向量组m ααα,,,21 部分向量线性相关，则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.向量组m ααα,,,21 整体线性无关，该向量组部分向量线性无关.定理设列向量组),,,2,1(,21r j a a a nj j j j=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组r ααα,,,21 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 0=AX （）有非零解，其中矩阵==),,,(21r A ααα .,21212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛r nr n n r r x x x X a a a a a a a a a证：设 ,02211=+++r r x x x ααα （）即2121111x a a a x n +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 22212n a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021 nr r r r a a a x . （）将（）式做向量的线性运算，即得（）线性方程组.向量组r ααα,,,21 线性相关，就必有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，即是齐次线性方程组 0=AX 有非零解；反之，如果齐次线性方程组 0=AX 有非零解，也就是有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，则向量组r ααα,,,21 线性相关.该定理的等价命题：向量组r ααα,,,21 线性无关的充要条件是齐次线性方程组0=AX 只有零解结论：任何1+n 个n 维向量都是线性相关的.理由：由定理当方程个数少于未知数的个数时，齐次线性方程组有非零解.定理若向量组r ααα,,,21 线性无关，而,βr ααα,,,21 线性相关，则β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.证：因为,βr ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数,,,,,21r k k k k使,02211=++++r r k k k k αααβ 其中0≠k （如果0=k ，则由r ααα,,,21 线性无关，又使得,,,,,21r k k k k 必须全为零，这与,,,,,21r k k k k 不全为零矛盾）于是β可由r ααα,,,21 线性表示，且r r kkk k k k αααβ---= 2211-，在证表示法唯一，设有两种表示法：,2211r r l l l αααβ+++=,2211r r h h h αααβ+++=于是.0)()()(222111=-++-+-r r r h l h l h l ααα因为向量组r ααα,,,21 线性无关，所以必有,0=-i i h l 即,,,2,1,r i h l i i == 故β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.推论如果n F 中的n 向量n ααα,,,21 线性无关，则nF 中的任意向量α可由n ααα,,,21 线行表示，且表示法唯一.例设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλ.0002121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ 于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位向量组, 讨论其线性相关性. 解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.齐次线性方程组0=EX ，由,01≠=E 0=EX 只有零解故该向量组是线性无关的.例已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解由定理 )(321a a a A ,,= 求齐次线性方程组0=AX 的解，由高斯消元法，对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵A ),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0=AX 有非零解故向量组,,,321ααα线性相关.同样，),(21αα=B 有0=BX 只有零解，故向量组21a a ,线性无关. 例证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2）因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明(1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.随堂练习：1. 判断下列命题是否正确，如正确，证明之，如不正确，举反例：（1） )2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关；（2） )2(,,,21>m m ααα 线性相关的充要条件是有1-m 个向量线性相关；（3）若向量组21,a a 线性相关, 向量组21,ββ线性相关，则有不全为零的数21,k k ，使得,02211=+ααk k 且,02211=+ββk k 从而使,0)()(222111=+++βαβαk k故2211,βαβα++线性相关；（4）若向量组321,,αa a 线性无关，则133221,,αααα---a a 线性无关；（5）若向量组4321,,,ααa a 线性无关，则14433221,,,αααααα++++a a 线性无关；（6）若向量组n a a α,,,21 线性相关，则113221,,,,αααααα++++-n n n a a 线性相关.百度文库 - 好好学习，天天向上-11 （7）)2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意一个向量都不能由其余的向量线性表示；（8）若有一组全为零的数,021====r k k k 使得,02211=+++r r k k k ααα 则 r ααα,,,21 线性无关.（9）若有一组不全为零的的数,,,,21j k k k 使得,02211≠+++j j k k k ααα 则向量组 j ααα,,,21 线性无关.（10）若向量组r ααα,,,21 线性相关，则任一向量可由其余向量线性表示.2. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;(2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。

线性代数第三章第二节n维向量组的线性相关性

（
1
,
2
,,
m
)
k2
j
,
kmj
从而
k11
（
b1
,
b2
,, bs
)
（ 1
,
2
,,
m
)
k21
k12 k22
k1s k2s
km1 km2 kms
矩阵Kms (kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
若Cmn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵：
x11 x22 xn n 0 或 Ax 0
有非零解 x(不一定唯一). 其中x x1, x2 ,, xn T .
矩阵A的n维行向量组1 , 2 ,, m线性相关的
充要条件是齐次线性方程组
i x 0, i 1,2,, m
1
即
2
x
Ax
0
m
n 0，0，，1
为n维单位向量组
例1 试证 : （1） n维单位向量组线性无关
（2）对任意的n维向量 a1, a2 , , an ，
向量组1,2 , ,n ,线性相关。
证 1 设有数c1 , c2 ,, cn使得
c11 c2 2 cn n 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c1, c2 ,, cn 0,0,,0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以

第1节 n维向量及其线性相关性

k1 , k 2 , , k r

k1 k
1
k2 k
2
kr k
r
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性无关，而
, 1 , 2 , , r 线性相关，则可由 1 , 2 , , r
线性表示，且表示法唯一.
再证表示法唯一，设有两种表示方法：
证不妨设 1 , 2 , , j ( j
不全为零的数, k 2 k j k1 使
m)
线性相关，于是有
k 1 1 k 2 2 k j
j
0
从而有不全为零的数 k 1 , k 2 k j , 0 , , 0 使
k 1 1 k 2 2 k j j 0
k k 1 1 k 2 2 k r r 0
其中k
0 （如果 k 0 ，则由 1 , 2 , , r 线性无关又得
必须全为零，这与 k , k 1 , k 2 , , k r 不全为零矛盾），于是可由 1 , 2 , , r 线性表示为
（4.2）
即
（4.3）
因此，如果 1 , 2 , , r 线性相关，就必有不全为零的数x1 , x 2 , , x r 使得（4.2）式成立，即齐次线性方程组（4.1）有非零解；反之，如果线性方程组（4.1）有非零解，也就是有不全为零的数使（4.2）成立，则 1 , 2 , , r 线性相关.定理得证.
问：（1） 1 , 2 , 3 是否线性相关？（2） 4 是
否由 1 , 2 , 3 线性表示？如能表示求其表示式.
解（1）根据定理2，作矩阵

高等数学自考12.3n维向量及n维向量的线性相关性

α = λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λm a m
λ1a1 + λ2 a 2 ≠ α
上一页下一页
16
即
λ1 (1,0) = λ2 (−,0) = (λ1 − λ2 ,0) ≠ (2,3) = α 例3 零向量是任意一组向量 α 1 , α 2 L , α m 的线性组合。因显然有 0 = 0 ⋅ α1 + 0 ⋅ α 2 + L + 0 ⋅ α m
□
− 1 2 （2）因为A= 1 1
1 − 1 − 1 − 1 2 −1 3 0 → 2 0 3 0 3 1 5 0
1 − 1 − 1 1 0 1 ，秩A=3＜向量个数 0 1 1 0 0 0
上一页
21
下一页
（3）令 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 = 0
1
D=
（12.9）
因该齐次线性方程组的系数行列式是一个4阶范德蒙行列式[由习题十4（8）题]
1 b b
2
1 c c
2
1 d d
2
a a
2
= (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d ) ≠ 0
（12.10）
a3
b3
c3
d3
所以由克莱姆法则知，方程组（12.9）只有零解。故线性无关。
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLLL a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm

线性代数-3n维向量

α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量分量的个数称为向量的维数其中 ai (i=1,2…n)是实数称为分量分量的个数称为向量的维数是实数称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算可参看矩阵的运算维向量的线性运算可参看矩阵的运算设 1.相等相等 2.加法加法 3.数乘数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量必含有相同个数的向量; 推论两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关维向量组必然线性相关. 推论任意个维向量组必然线性相关二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组设一个向量组的某一部分组是线性无关的并且从该向量组中的其余向量中任取一个添进去所得的新的向量组线性相关所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关则称该部分组为一个极大线性无关组则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组

(完整版),n维向量及其运算向量组的线性相关性

亦即（k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 0,
因
1，
2，
线性无关，故有
3
k1 k3 0, k1 k2 0,
k2 k3 0.
由于此方程组的系数行列式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组只有零解 k1 k2 k3 0，所以向量组 b1, b2 , b3线性无关.
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
因 k1, k2 ,L , ks , k中至少有一个不为0，
注意
1. 若 1,2 ,L
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 L km 0时, 才有
k11 k22 L kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量时,若 0则说线性相关,若 0,则说线性无关 .
4令.包k含零 0向，量的任何向量组是线性相关的.
向量
组线性 a无rj 关，
则它的a任rj 何部分组都线性无关.
ar
1,
j
即 j添上一个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 , ,m线性无关,则向量组B：b1, b2 , , bm也线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关 .

线性代数课件-3.2 n维向量

定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系

2.3 n维向量

a12
, 2
a22
,
a1n
a2n
an1
, n
an2
ann
1,2 ,,n 线性相关 Dn 1 2 n 0
线性无关 Dn 0. 推论3 有m个n维向量 1,2,,m ,
m n 1,2,,m 线性相关.
1,2,,m 线性无关 m n
20
例2 判断下列向量是否线性相关:
且1 ,2 , s 线性无关
表示法唯一.
25
小结
基本概念：线性组合、线性相关与线性无关
基本定理：
可以用 1 ,2 ,
线性表示
线性方程组
,n
x11 x22
（1）有解
xnn
表示法唯一
方程组(1)有唯一解
齐次线性方程组
向量组 1 ,2 , ,s 线性相关 x11 x22 xss o
有非零解
n个n维向量
1,2 ,,n 线性相关 Dn 1 2
n 0
26
有m个n维向量 1,2,,m
m n 1,2,,m 线性相关.
无关增维仍无关部分相关则整体相关
向量组 1 ,2 , s
1 ,2 , 中至s 少有一个
线性相关
向量是其余向量的线性组合
1 ,2 , s 线性无关
1 ,2 , s , 线性相关
例如(1,2,, n)
n维向量
第2个分量第1个分量
第n个分量
3
n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
T (a1,a2,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如： a1

第1节 n维向量其线性相关性-文档资料

列向量。
本书中，列向量用黑色小写字母a,b,β 等表示，行向量则
用aT,bT,T,T表示。
定义4.2.2：设 i ， n k( =1, 2, …, m)，则向量组 ii
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组a1 , a2 , … , am在实数域上的一个线性组合，
n , , 中的任一向量 1 2,线性无关，则 n
可由例3 设

1

线性表示，且表示法唯一 . , , 1 2, n
( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 3 , 7 ) . 2 3 4
线性无关.

定理4.2.2 设n维向量组，其中 , 1, 2, r
T T T ( a , a , , a ) , ( a , a , , a ) , , ( a , a , , a ) 11 1 2 1 n 121 2 2 2 n 2 r 1 r 2 r n r
, 则向量组 1, 2, 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 r （4.1） Ax 0 有非零解，其中， . T A ( , , , ) x ( x , x , , x ) 1 2 r 1 2 r
T 例1 设n维向量，即第个分量为 1， (, 0 , 0 ,, 1 0 , , 0 ) i
其余分量为0，则
是线性无关的 1,2, n .
证设存在n个数 k1 , k2 使 kn 即则必须
k k k 0 11 22 nn
T ( k , k k ) 0 1 2 n k k k 0 1 2 n 1,2, , 线性无关 .n

n 维向量的线性关系

n 维向量的线性关系前面，我们学习了三维的几何向量，把平面中的问题扩展为空间的数学问题。

但是，这还是远远不够的。

许多实际问题中，向量的构成通常是由许多不同的因素共同作用的结果。

因此，我们有必要引入n元数构成的n维向量的概念。

从而，把空间分成更高维的。

1.定义：数域F内的n个数a1,a2,…，a n组成的有序数组a叫做数域F上的n维向量，记作：a=(a1,a2,…，a n).其中，a i称为n维向量的第i个分量。

记R n为实数域上n维向量的全体构成的集合。

2.运算：八条性质：(1) a+b=b+a; (2) (a+b)+c= a+(b+c);(3) a+0=a; (4) a+(-a)=0;(5) 1a=a, (-1)a=-a, 0a=0 ; (6) k(l a)=(kl)a;(7) k(a+b)=k a+k b; (8) (k+l)a=k a+l a;3.向量之间的线性关系:简单说，线性是指一次函数关系，这里是指数乘之后向量间的彼此关系。

定义：对于n维向量b，a1,a2,…，a m, 如果有一组数k1,k2,…，k m使得b=k1 a1+k2 a2+…+k m a m,则说向量b是a1,a2,…，a m的线性组合，或者说向量b可由a1,a2,…，a m线性表示；并称k1,k2,…，k m是表示系数或组合系数。

例1：a1=(1,0)T, a2=(0,1)T, a3=(1,1)T,则有a3= a1+ a2 即a3可以由a1,a2线性表示，而且表示方法唯一。

此外，a1,a2, a3中任何一个都可以由其余两个表示。

例2：设e1=(1,0,0), e1=(0,1,0), e1=(0,0,1), b=(b1,b2,b3),则b= b1(1,0,0)+ b2(0,1,0)+ b3(0,0,1)= b1 e1+ b2 e2+ b3 e3而且，很明显其表示方法唯一。

例3：零向量可以由任何向量组线性表示：0= 0 a1+0 a2+…+0 a m,表示方法唯一么？显然不一定。