高等代数中向量空间的度量

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高等代数第五章知识点总结

高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。

第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。

以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。

线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。

2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。

矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。

3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。

向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。

向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。

4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。

线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。

5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。

矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。

6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。

相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。

相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。

7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。

8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。

特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。

9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。

二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。

以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。

大一高代知识点

大一高代知识点高等代数是大一数学课程中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，具有广泛的应用领域。

本文将为大一学生总结高等代数中的一些重要知识点，以帮助他们更好地理解和掌握这门课程。

一、向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。

一个向量空间必须满足以下几个条件：1.封闭性：对于向量空间中的任意向量，其线性组合仍然在该向量空间中。

2.加法交换律和结合律：向量空间中的加法操作满足交换律和结合律。

3.零向量：向量空间中必须存在一个零向量，它与任意向量的加法操作结果为该向量本身。

4.负向量：对于向量空间中的任意向量，它必须存在一个相反向量，使得它们的加法结果为零向量。

5.标量乘法：向量空间中的向量可以与标量进行乘法操作。

二、线性相关与线性无关线性相关和线性无关是判断向量组是否具有独立性的重要概念。

1.线性相关：如果向量组中存在一个非零向量，可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。

2.线性无关：如果向量组中的向量不能表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性无关。

三、矩阵与矩阵运算矩阵是高等代数中的另一个核心概念。

矩阵是由数个数按行列顺序排列而成的矩形数组。

矩阵运算包括以下几种：1.矩阵的加法：对应位置元素相加。

2.矩阵的数乘：每个元素乘以一个常数。

3.矩阵的乘法：满足左乘规则和右乘规则。

四、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它是一个标量值。

行列式的定义涉及矩阵的排列和元素的交换，计算行列式可以使用拉普拉斯展开定理或递推法。

五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵的另一项重要概念。

1.特征值：一个矩阵的特征值是使得该矩阵与其特征向量相乘得到的结果是特征向量的常数倍。

2.特征向量：一个矩阵的特征向量是在矩阵乘法下保持方向不变或者只伸缩的向量。

六、线性变换与线性方程组线性变换是指在向量空间中进行的保持加法和标量乘法的运算。

线性方程组是线性变换的一种具体表达形式，可以使用矩阵运算进行求解。

七、特殊矩阵在高等代数中还有一些特殊的矩阵：1.单位矩阵：对角线上的元素为1，其他元素为0。

高等代数中空间定义

高等代数中空间定义
在高等代数中，一个空间是指在一定规则下满足一些特定性质的集合。

具体地说，一个空间需要满足以下三个性质：
1. 封闭性：对于空间中的任意两个元素进行某种运算，其结果仍然属于该空间中。

例如，在一个向量空间中，任意两个向量进行线性组合运算后的结果仍然是一个向量。

2. 直和性：空间中的元素可以通过线性组合的方式表示。

也就是说，空间中的任意一个元素都可以被其他元素的线性组合唯一表示。

这个性质表明空间是由一组基向量生成的，这也是向量空间的基础概念。

3. 尺度任意性：对于空间中的任意一个非零元素，我们可以通过对其进行标量乘法运算来获得其他与之平行但尺度不同的向量。

也就是说，空间中的元素具有尺度的任意性。

总之，空间是一个满足封闭性、直和性和尺度任意性三个性质的集合。

常见的空间包括向量空间、矩阵空间、函数空间等。

这些空间在高等代数中都有广泛的应用。

高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间

a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。零向量：分量全为零的n维向量：负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空间，记为 F n 。由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨论过二维和三维向量空间中的向量。在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量的定义。定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i

高等代数06向量空间

其系数不全为零，故 1, 2, …, s 线性相关.
定理2 如果向量组 1, 2, …, s 中有一部分向量线性相关，则这 s 个向量也线性相关. 证不妨设前 r (r<s) 个向量 1, 2, …, r 线性相关，即存在不全为零的数k1, k2, …, kr 使得 k1 1+k22+ … +kr r= 0 再取 kr+1= kr+2=…= ks= 0, 则有
即 (k1, k2, …, kn) = (0, 0, …, 0)，
所以 k1= k2= …= kn=0, 即 e 1, e 2, …, e n 线性无关.
定义2 设 k1, k2,Байду номын сангаас…, ks R, 1, 2, …, s 是 n 维向量，若 = k +k +…+k 则称为向量 1, 2, …, s 的一个线性组合，
证
由矩阵判别法知 e1, e2, …, en 线性无关. 设 = (x1, x2, …, xr ) 为任一 n 维向量, 显然有 = x1 e1+ x2 e2+… + xnen . 所以可由 e1, e2, …, en 线性表出,即 e1, e2, …, en 是 Rn 的基,从而 dim Rn = n.
命题 6.1.1 在一个向量空间V里，零向量是唯一的；对于V 中每一向量a，a的负向量是由a唯一确定的。
命题 6.1.2 对于任意向量A和数域F中任意数a，我们有
0 A 0, a0 0. a a (a)a aA. aA 0 a 0或A 0。
子空间
定义1 设 V 是一个向量空间，W V, W . 如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称 W 是 V 的子空间.

高等代数-向量空间

（3）若向量组
1
,
2
,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 ,,r R
例6 讨论向量空间 V { x (0, x2, 的基与维数.
, xn )T | x2,
, xn R}
解：显然
e2 (0,1, 0, , 0)T e3 (0, 0,1, , 0)T
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
r1
~
r3
r3 r2
解 V2不是向量空间.
因为若 1,a2 ,,an T V2 , 则2 2,2a2 ,,2an T V2 .
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间.因为若x1 1a 1b x2 2a 2b，则有
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
1,2, ,n 可由 1,2,
是 Rn 的基.
这n+1个向量线性相关, 且
,n 线性表示, 则 1,2, ,n
定义: 设1,2, ,n是n维向量空间V的基, 对任
一向量 ,有且仅有一组有序数组，x1, x2 , , xn使 x11 x22 xnn
称有序数组 x1, x2 , , xn 为向量在基 x1, x2 , , xn

高等代数欧氏空间的定义与基本性质

. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√

《高等代数》向量空间1

(c2) a f(x) F[x]，任给 a F，f(x)F[x].
(a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x)F[x].
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
a b ab, k oa ak , a,b R , k R
证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间.
证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解运算？…… 注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证， 2条需要解方程求出零向量与负向量.
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
§6.1 向量空间的定义和例子
有A(aX ) a( AX ),即aX VA,0 。故 VA,0 对于F n 的两种
运算封闭，VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。
（2）可以知道，在β≠0 的时候， V不A, 一定是 F的n
子空间。因为对任何
X ,Y

V
，都有A
A,
(X
+
Y)
=
AX +AY =β+β≠β,故 VA, 对 F n的加法不封闭。
第6章向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间

第六章向量空间

第六章向量空间一综述向量空间是高等代数最基本的概念之一,它用公理化方法首次引进了一个代数系,而这种公理化方法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本章内容又是以后各章学习的基础. 二教学目的使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化方法研究代数系的能力. 三重点、难点教材重点：向量空间的定义、性质教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一教学思考向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用公理化方法引进的代数系.这一节的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知识与培养能力结合起来. 二内容和要求1．内容：定义、例子及简单性质2．要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法. 三教学过程1．引例三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）. 2．定义及例子定义 1 令F 是一个数域,F 中的元素用小写拉丁字母 ,,b a 表示；令V 是一个非空集合,V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα表示.我们把V 中的元素叫做向量,F 中的元素叫做纯量.若下列条件满足,就称V 是F 上的一个向量空间.1）在V 中定义了一个叫加法,对V 中任意两个向量βα,都有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做α与β的和,记为βα+.2）有一个纯量乘法,对于F 中的每一个数a 和V 中每一个向量α,有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做a 与α的积,记为αa .3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：F b a V ∈∈∀,;,,γβα有（1）αββα+=+；（2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中存在一个向量叫零向量,积作ο；它满足对V ∈∀α 有ααο=+；（4）对V ∈∀α,V ∈'∃α使得οαα=+'；这样的α'叫做α的负向量；（负向量的定义）（5）βαβαa a a +=+)(；（6）αααb a b a +=+)(；（7）)()(ααb a ab =；（8）αα=1. 3．向量空间的简单性质1）由于向量的加法满足结合律,所以任意n 个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的形式；再者由于加法满足结合律和交换律,所以在求任意n 个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2）命题6.1.1（零向量、负向量的唯一性）在一个向量空间V 中,零向量是唯一的；对V ∈∀α,α的负向量是由α唯一确定的.（同一法,略） 3）命题6.1.2 对V ∈∀α,F a ∈∀有οα=0,οο=a ； αααa a a -=-=-)()(； 0=⇒=a a οα或οα=.4．介绍一种写法-——（向量矩阵的记法）设V n ∈ααα,,,21 ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的n ⨯1矩阵（n ααα,,,21 ）,设)()(F M a A m n m n ij ⨯⨯∈=；定义（n ααα,,,21 ）),,,(21m A βββ =,其中)1(,1m j a ni i ij j ≤≤=∑=αβ.即按照数域F 上矩阵的乘法定义（n ααα,,,21 ）右乘以A （这里约定对V ∈∀α,F a ∈∀有a a αα=）.并且设)(F M A m n ⨯∈,)(F M B P m ⨯∈,由向量与纯量乘法所满足的算律有：（n ααα,,,21 ）B A AB n )),,,(()(21ααα = ,即结合律成立.6.2 子空间一教学思考1．向量空间一章主要讨论向量空间的运算、性质和结构,一般是通过向量空间自身（基、维数等）或其子结构（子空间）来讨论的,这正是代数学的基本方法.因而本节的概念（子空间）和结论在理论上与方法上是重要的.2．由于本章与以后内容的（抽象）特点,需重点培养学生逻辑论证能力,除了在教学中经常结合问题讲解分析解决问题的一般思想方法外,还需对以后教学有重要影响的几类具体问题的论证思路作出明确的交代.本章主要是“子空间的判定”.3．内容作如下调整,即先定义子空间,再介绍为何称为子空间,然后介绍子空间的判定和运算. 二内容要求1．内容：子空间的定义、子空间的交与和.2．要求：理解和掌握向量空间的子空间的概念和判定方法、子空间的交与和的概念.三教学过程1．子空间的概念及判定（1）定义定义1 设V 是数域F 上的向量空间,W 是V 的非空子集,若对V ∈∀βα,都有W ∈+βα,则称W 对V 的加法封闭.若对F a V ∈∀∈∀,α都有W a ∈α,则称W 对纯量乘法封闭.定义2 令W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则称W 是V 的一个子空间.TH6.2.1设W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则W 本身也作成F 上一个向量空间.（2）子空间的判定TH6.2.2向量空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间的充要条件是对W F b a ∈∀∈∀βα,,,都有W b a ∈+βα.2．子空间的交与和定义3 设21,W W 都是V 的子空间,则21W W 称为两个子空间的交. 命题 21W W 也是V 的子空间.定义 4 设21,W W 都是V 的子空间,由所有能表示为),(221121W W ∈∈+αααα的向量组成的集合成为1W 与2W 的和,记为21W W +；即21W W +={}221121,|W W ∈∈+αααα. 命题 21W W +也是V 的子空间.6.3 向量的线性相关性一教学思考1．向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要,并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的.2．本节重要的在于讲清诸概念,理清它们之间的关系,介绍一般方法和特殊方法,补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断. 二内容要求内容：向量的线性相关性定义、性质；替换定理；极大无关组.要求：正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质,掌握判断向量组线性关系的一般方法和特殊方法. 三．教学过程1．线性相关与线性无关（1）线性组合、线性表示及其性质定义 1 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,r a a a ,,,21 是数域F 中任意r 个数,我们把和r r a a a ααα ++2211叫做向量r ααα,,,21 的一个线性组合.定义 2 若V 中向量α可以表示成r ααα,,,21 的线性组合,即∃F a a a r ∈,,,21 使得r r a a a αααα ++=2211,则称α可以由r ααα,,,21 线性表示.（例略）性质命题6.3.1向量组r ααα,,,21 中每一向量都可以由这一组向量线性表示.命题6.3.2若向量γ可以由r βββ,,,21 线性表示,而每个i β可由s ααα,,,21 线性表示,则γ可以由s ααα,,,21 线性表示.（2）线性相关、线性无关及有关性质定义3 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,若存在数域F 中r 个不全为0的数ra a a ,,,21 使得οααα=++r r a a a 2211,则称r ααα,,,21 线性相关,否则称r ααα,,,21 线性无关. 例1 若r ααα,,,21 中有一个零向量,则r ααα,,,21 一定线性相关. 例2 判断3F 中向量)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321-==-=ααα是否线性相关例3 在][x F 中对任意非负整数n ,证明nx x x ,,,,12线性无关.（解略）性质命题 6.3.3 若向量组{r ααα,,,21 }线性无关,则它的任一部分向量组也线性无关；等价地：若{r ααα,,,21 }有一部分组线性相关,则整个向量组{r ααα,,,21 }也线性相关.（证略）命题 6.3.4 设{r ααα,,,21 }线性无关,而{βααα,,,,21r }线性相关,则β一定可以由r ααα,,,21 线性表示,且表示法唯一.命题6.3.5 向量r ααα,,,21 （2≥r ）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合.（证略）2．向量组的等价、替换定理定义 4 设{}r ααα,,,21 和{}s βββ,,,21 是V 中的两个向量组,若每个),2,1(r i i =α都可以由s βββ,,,21 线性表示,而每个),2,1(s j j =β也可以由r ααα,,,21 线性表示,则称这两个向量组等价.定理6.3.6（替换定理）设向量组{}r ααα,,,21 （1）线性无关,且每个),2,1(r i i =α都可以由{}s βββ,,,21 （2）线性表示.则A ）s r ≤；B ）必要时对（2）中向量重新编号,使得用r ααα,,,21 替换r βββ,,,21 后得向量组{}s r r ββααα,,,,,,121 +（3）与（2）等价.推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 3．极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义 5 向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{}n ααα,,,21 的一个部分组（n r ≤）,若满足：1）ri i i ααα,,,21线性无关；2）每个),,1(n j j =α都可由ri i i ααα,,,21线性表示.则称rii i ααα,,,21是向量组{}n ααα,,,21 的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）. 极大无关组的求法：1）一般方法——设给定{}n ααα,,,21 ,求其一个极大无关组.先从1α考虑,若οα≠1,保留；考虑21,αα看其是否线性无关.无关,保留；相关舍去2α,考虑31,αα看其是否线性无关.依次类推直至n α,便得.（由于考虑次序不同可得不同的极大无关组）例4 求向量组{}32,2,,12+++x x x x 的一个极大无关组.（解略）2）特殊方法——对n F 中向量组{}n ααα,,,21 ,求极大无关组. 首先：可以证明“命题”：“设)(F M m n ⨯的矩阵A 经过行的初等变换得到)(F M m n ⨯的矩阵B ,则A 与B 的列向量有相同的线性关系.”（证略）这样可得：A ）求nm F ∈ααα,,,21 的线性关系,可以以m ααα,,,21 列作矩阵A ,通过对A 作行初等变换化为标准形B ,由B 的列向量的线性关系可得A 的列向量的线性关系.进而B ）用上述方法可求n F 中向量组{}n ααα,,,21 的极大无关组. 例5 求3R 中向量组)6,1,5(),4,0,3(),3,1,2(),1,2,1(4321====αααα的一个极大无关组. 解：以4321,,,αααα为列作矩阵B A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010101001643110125321.设B 的列向量为4321,,,ββββ,这样4321,,,αααα与4321,,,ββββ有相同的线性关系.容易看出321,,βββ线性无关,且=4β3212βββ+-；因此321,,ααα线性无关且=4α3212ααα+-.于是321,,ααα是4321,,,αααα的一个极大无关组.6.4 基与维数一教学思考1．向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2．从内容上本节在于给出了基与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归纳,特别是生成子空间.3．从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数须求一个基；但反过来从结果上看,若已知维数n 求基的话,即求一组n 个线性无关的向量.4．本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间的基的方法是重要的.5．基的存在性、个数、求法（生成子空间的基的求法）、余子空间等方法,注意总结归纳. 二内容要求内容：向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间要求：正确理解和掌握向量空间的基与维数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法. 三教学过程1．引言我们知道当{}ο≠V 时,V 有无穷多向量,那么它们之间的结构如何？具体地,我们能否用V 中有限个向量表示所有向量.下面讨论这个问题.2．一类特殊子空间——由一组向量生成的子空间定义1设V r ∈ααα,,,21 ,那么由r ααα,,,21 的线性组合组成的集合{}F a a a a W i r r ∈+++=|2211ααα 称为由这一组向量r ααα,,,21 生成的子空间.记为L （r ααα,,,21 ）,其中r ααα,,,21 叫做生成元.例1 n F 中)1,,0,0(,),0,,,0,1(1 ==n εε,则nn F L =),,(1εε . 例2 ][x F 中n n x x ===+121,,,1ααα ,则][),,,1(x F x x L n n= .关于生成子空间有：定理 6.4.1设V n ∈ααα,,,21 ,且不全为零向量,r i i i ααα,,,21 为其一个极大无关组,则L （n ααα,,,21 ）=L （r i i i ααα,,,21 ）.3．基与维数1）定义2 设V n ∈ααα,,,21 ,若1）n ααα,,,21 线性无关；2）V ∈∀α都可由n ααα,,,21 线性表示.则称n ααα,,,21 为V 的一个基.定义 3 一个向量空间V 的一个基所含向量的个数叫做V 的维数；记为V dim .规定零空间的维数为0.2）定理定理6.4.2（基的作用）设n ααα,,,21 为V 的一个基,则V ∈∀α都可唯一地由n ααα,,,21 线性表示.定理6.4.3n 维向量空间V 任意多于n 个向量的向量组一定线性相关.定理 6.4.4设n V =dim ,V r ∈ααα,,,21 线性无关（易知n r ≤）,则总可以添加r n -个向量n r r ααα,,,21 ++,使得n ααα,,,21 作为V 的一个基.特别V 的任意n 个线性无关向量都可以取作基.例3 将)1,2,3,1(),1,0,2,1(21-==αα扩充为4R 的一个基.解：（法一）思想方法：由定理的证明过程,取4R 的一个基（如标准基4321,,,εεεε）,然后用21,αα代替其中某两个如21,εε,使得21,αα,43,εε线性无关；而代替哪两个,可用逐步添加法使添在21,αα上后线性无关.（法二）思想方法：可以从21,αα出发,利用21,αα为列再添上两个作成一个4阶方阵A ,使得0≠A ,如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011012000320011,取)1,0,0,0(),0,1,0,0(23==αα,则4321,,,αααα为4R 的一个基. 定理6.4.5设21,W W 是F 上向量空间V 的两个有限维子空间,则21W W +也是V 的一个有限维子空间,且：)dim (dim dim )dim (212121W W W W W W ⋂-+=+.推论对n 维向量空间V 的子空间21,W W 有：}{dim dim dim 2121ο=⋂⇔=+W W V W W .4．余子空间（1）定义：设W 是V 的子空间,若存在V 的子空间W '满足：1）V W W ='+,2）){ο='⋂W W ；则称W '是W 的一个余子空间,且称V 是W 与W '的直和,记为W W V '⊕=. （2）定理定理 6.4.6设W W V '⊕=,则对V ∈∀α有α可以唯一地表示成ββα'+=,其中W W '∈'∈ββ,.定理 6.4.7n 维向量空间V 的任一子空间W 都有余子空间.若W '是W 的一个余子空间,则V W W dim dim dim ='+.（3）上述概念及结论可扩充至有限设t W W W ,,,21 是V 的子空间,若1）t W W V ++= 1；2）{}),,2,1(,)(111t i W W W W W t i i i ==+++++⋂+-ο,则称V 是t W W W ,,,21 的直和,记为t W W V ⊕⊕= 1.且有类似于定理6、7的结论.6.5 坐标一教学思考1．对n 维向量空间V 取定基后,任意向量引入了坐标的概念后,可将抽象的对象用具体的形式（nF中的向量）表示出来,为我们研究抽象的向量空间提供了方便,如由此可建立n V 与nF 的同构,所以本节概念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2．注意坐标的概念依赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换；注意过渡矩阵的概念与性质以及结论,其是下节建立n V 与nF 的同构的基础.3．具体方法有：1）坐标的求法（定义法、坐标变换法）；2）过渡矩阵的求法；3）过渡矩阵的性质及由此反映的矩阵的运算的意义. 二内容要求1．内容：坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵；2．要求：掌握坐标的概念及其意义,基变换与坐标变换公式,过渡矩阵的概念和性质. 三教学过程（一）坐标的概念1．定义设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,对V ∈∀ξ有n n a a ααξ++= 11,则称n 元有序数组),,(1n a a 为向量ξ关于基{}n αα,,1 的坐标；其中i a 叫做向量ξ关于基{}n αα,,1 的第i 个坐标.2．定理6.5.1设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,V ∈ηξ,关于此基的坐标分别为),,(1n x x 和),,(1n y y ,则ξηξk ,+关于此基的坐标分别为: ),,(11n n y x y x ++ ,),,(1n ax ax .（二）坐标变换 1．基变换设,dim n V ={}n αα,,1 和{}n ββ,,1 是V 的两个基,则每个j β),,2,1(n j =可由{}n αα,,1 线性表示,设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nn n n nn nn a a a a a a ααβααβααβ1112112211111 （1）,以j β关于基{}n αα,,1 的坐标为列构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211称为由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵. （1）式可以写成矩阵等式),,(1n ββ =T n ),,(1αα （2）；称（1）或（2）为（由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的）基变换. 设V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标为),,(1n x x ,关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y ,则一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x 11),,(αα （3）；另一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y 11),,(ββ （4）；（2）代入（4）得=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y T 11)),,((αα=))(,,(11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y T αα （5）,比较（3）和（5）由坐标的唯一性得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1 （6）；于是得定理 6.5.2设,dim n V =T 由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵,则V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标与关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y 由等式（6）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1联系着.3．过渡矩阵的性质（1）基变换的传递性设,dim n V ={}n αα,,1 、{}n ββ,,1 、{}n γγ,,1 都是V 的基,且由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,基{}n ββ,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为B ,即),,(1n ββ =A n ),,(1αα 、),,(1n γγ =),,(1n ββ B ,则),,(1n γγ =A n ),,(1αα B ,即由基{}n αα,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为AB .（2）定理6.5.3设,dim n V =由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,那么A 是一个可逆矩阵.反过来,任意一个n 阶可逆矩阵A 都可以作为n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,则由基{}n ββ,,1 到基{}n αα,,1 的过渡矩阵为1-A .6.6 向量空间的同构一教学思考1．向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系,我们研究向量空间着眼点主要在于运算,至于元素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究,从而取出其代表加以研究讨论以达到目的,本节正是解决这样一个问题.2．“同构”是这种关系的体现,在此关系下,同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域F 上有限维向量空间的唯一本质特征.3．注意“同构”映射的概念,向量空间同构的概念及各自的性质,以及有限维向量空间同构的判定. 二内容要求1、内容：同构映射、向量空间同构的概念及各自的性质,有限维向量空间同构的判定.2、要求：理解向量空间同构的概念及性质,有限维向量空间同构的判定. 三教学过程1．同构的概念和性质（1）概念1）同构映射设V 和W 是数域F 上两个向量空间,V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射；若A ）f 是V 到W 的一个双射；B ）对)()()(,ηξηξηξf f f V +=+⇒∈∀；C ）对)()(,,ξξξaf a f V F a =∈∀∈∀.（2）定理6.6.1数域F 上任一n 维向量空间V 都与nF 同构. （3）性质 1）同构映射的性质定理6.6.2设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射,则: A);)(οο=f B)对ααα-=-∈∀)(,f V ;C))()()(1111n n n n f a f a a a f αααα++=++ ,其中V F a i i ∈∈α,; D))(,,1V n ∈αα 线性相关))((,),(1W f f n ∈⇔αα 线性相关; E) f 的逆映射1-f是W 到V 的一个同构映射.2）同构关系的性质（等价关系）A ）反身性：V V ≅；B ） B ）对称性：若W V ≅,则V W ≅；C) 传递性：若W V ≅,U W ≅,则U V ≅.（由双射性质及定义易证） 2．有限维向量空间同构的充要条件定理6.6.3数域F 上两个有限维维向量空间V 和W 有：W V ≅W V dim dim =⇔.6.7 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一教学思考1．矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2．注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成nF 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也.3．注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系. 二内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法. 三教学过程1．矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m n a a a a A 1111,A 的每一行看作nF 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的nF 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间.类似地,A 的每一列看作mF 的一个元素,叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的mF 的子空间叫做矩阵A 的列空间.引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈,1）若PA B =,P 是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =,Q 是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间.定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义矩阵A 的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数,叫做矩阵A 的秩.2．线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.”2）齐次线性方程组的解空间设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a（3）是数域F 上一个齐次线性方程组,令A 为其系数矩阵,则（3）可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （4）或ο=AX ；（3）的每一个解都可以看作n F 的一个向量,叫做（3）的一个解向量.令S 表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因S ∈ο,所以Φ≠S ；其次：F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ,有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(,即S b a ∈+ηξ.因此S 作成nF 的一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间.重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A 的秩为)(n r <,则A 可经过一系列（行）初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m r r m r n r r C I ,,,οο,与此相应的齐次线性方程组为：（5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ,这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号.（5）有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +,依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ,可得（5）的r n -个解向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη.下面证其是（5）的解空间的一个基. 首先：n r ηη,,1 +线性无关.事实上设οηη=++++n n r r k k 11,由下面r n -个分量易得01===+n r k k .其次：设),,,(21n k k k 是（5）的任一解,代入（5）得：n rn r rr r nn r r nn r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++112112211111又有恒等式：nn r r k k k k ==++ 11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111,即（5）的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示,故{n r ηη,,1 +}为（5）的解空间的一个基.注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解,所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得（4）的解空间的一个基,从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题.并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量是清楚的,给其一组线性无关值,便得等价组的一组解向量,其构成等价组的解空间的一个基,再调整解向量的次序便得.上述讨论得：定理 6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成nF 的一个子空间,称之为这个线性方程组的解空间.若所给方程组的系数矩阵的秩为r ,则解空间的维数为r n -.定义一个齐次线性方程组的解空间的一个基,叫做这个方程组的一个基础解系.3）非齐次线性方程组的解的结构设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）是数域F 上一个n 元线性方程组.问题当（6）有无穷解时,解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （7）,齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组.定理6.7.4若（6）有解,则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和.。

高等代数中向量空间的度量-厦门大学高等代数

高等代数中向量空间的度量
――《高等代数》教学模块之四
报告人：庄瓦金教授
一．教学模块
[1] 丘维声，高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005.7
线性方程组和n 元有序数组的向量空间，矩阵的运算及矩阵的相抵，相似，合同分类（含二次型）一元和多元多项式环，域上向量空间及其线性映射；具有度量的线性空间。

…
[2] А.И.Мальцев,线性代数基础；柯召译，人教社，1957.7（俄文，1956年第二版）：
线性代数的研究对象：矩阵，向量空间，代数型（型论：线性型，双线性型，二次型以及多重线性型）
二．关于二次型
1．教学价值――n 维Enclid 空间的度量
2．教材处理
三．关于双线性型
:F m n f V W ⨯→维维
'(,f X AY αβαβ（，））＝,((,))m n A f αβ⨯=
[3]姚慕生高等代数学，复旦大学出版社，2005.3
1.教材处理
[3]⎧⎨⎩优：较一般化缺：不大区分双线性函数与双线性型
2.应用⎧⎨⎩正交矩阵辛空间
四．关于教学要求
五．今后想法
1．做细省精品课程
2．整理教学成果。

高等代数第四版知识点

高等代数第四版知识点高等代数是大学数学课程中的重要一环。

它涵盖了许多关键的数学概念和技巧，不仅在纯数学领域有广泛的应用，而且在物理学、工程学以及计算机科学等应用科学中也占有重要地位。

本文将介绍高等代数第四版教材中的一些重要知识点。

1. 向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。

它是一种具有加法和数乘运算的集合，满足一些特定的性质。

学习向量空间的时候，我们需要了解向量、向量的线性组合、向量空间的子空间以及向量空间的维数等几个重要概念。

2. 线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题。

我们通过矩阵和向量的形式来表示线性方程组，利用高斯消元法或者矩阵的逆来求解方程组的解。

在学习线性方程组的过程中，我们需要掌握方程组的矩阵表示、齐次方程组与非齐次方程组的区别，以及解的存在唯一性等。

3. 行列式行列式是描述线性变换性质的重要工具。

我们通过行列式来判断方阵的可逆性、计算矩阵的秩，以及求解线性方程组的解等问题。

在学习行列式的时候，我们需要了解行列式的定义、行列式的性质，以及行列式的计算方法等。

4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是描述线性变换规律的关键概念。

通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和对应的特征向量。

特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵的谱分解、矩阵的相似变换等问题中发挥着重要的作用。

5. 线性变换与线性映射线性变换是高等代数中的核心概念之一。

它描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系，并保持向量空间的线性结构。

线性映射是线性变换在向量空间之间的具体表示方式。

在学习线性变换和线性映射的时候，我们需要了解线性变换与线性映射的定义、线性变换的矩阵表示，以及线性变换的核、像、秩等重要性质。

6. 内积空间与正交性内积空间是一种具有内积运算的向量空间，它将向量空间的线性结构推广到了一种度量结构。

通过内积，我们可以定义向量的长度、夹角以及正交性等概念。

在学习内积空间的时候，我们需要了解内积的定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式、勾股定理以及正交补空间等基本概念。

高等代数07向量空间

本征值和本征向量
定义1 定义1 中一个数,如果存在中非零向量ξ 设λ是F中一个数如果存在中非零向量ξ,使得中一个数如果存在V中非零向量 (1) )=λξ σ(ξ)=λξ . 那么λ就叫做σ的一个本征值, 叫做σ 那么 λ 就叫做 σ 的一个本征值 , 而 ξ 叫做 σ 的属于本征值λ的一个本征向量. 征值λ的一个本征向量.
定义2 定义2 是数域F上一个阶矩阵,行列式设A=(aij)是数域上一个阶矩阵行列式是数域上一个n阶矩阵行列式: x-a11 (x)=det(xIfA(x)=det(xI-A)= -a21 -an1 叫做矩阵A的特征多项式. 叫做矩阵A的特征多项式. -a12 … -a1n -a2n x-ann
命题 7.3.3 设数域F上的向量空间V的一个线性变换σ关于V 的一个取定的基的矩阵是A,那么σ可逆必要且只要A可逆,并且 σ-1关于这个基的矩阵就是A-1.
不变子空间
定义 V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变(或稳的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变( ),如果定),如果 σ (W ) W . 如果子空间W在σ之下不变,那么W就叫做σ的一个不如果子空间W 之下不变,那么W就叫做σ 变子空间. 变子空间.
命题 7.1.1 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线性映射.那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间,而W 的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间.
命题 7.1.2 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线性映射,那么 Im(σ)=W. (Ⅰ) σ是满射 (Ⅱ) σ是单射 Ker(σ)=|0|.
推论 7.6.3 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. 如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个单根,那么存在V的一个基,使σ关于这个基的矩阵是对角形式.

高等代数试题库

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

高等代数II

高等代数II高等代数II是一门高等数学课程，主要研究线性代数、群论和域论等高级代数学的理论和应用。

本文主要介绍高等代数II 中的一些重要概念、定理和应用。

一、线性代数线性代数是高等数学的重要分支，主要研究向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交变换等概念与理论。

这些概念和理论在数学、物理、工程等领域中应用广泛。

下面重点介绍线性代数中的一些重要概念和定理。

1. 向量空间向量空间是一个包含向量加法和标量乘法的集合，满足一些基本的性质，例如加法结合律、交换律、存在零向量，标量乘法分配律、结合律等。

常见的向量空间有欧几里得空间、函数空间、矩阵空间等。

向量空间的基本性质使其能被用来描述几何对象和物理现象。

2. 线性变换线性变换是一种保持向量空间中加法和标量乘法的映射，即对任意向量 $v_1,v_2$ 和标量 $a$，满足$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ 和 $T(av)=aT(v)$。

线性变换可以用矩阵来表示，并且矩阵的乘法也是一种线性变换。

线性变换的研究在于寻找其特征值和特征向量，从而可以得到一些重要的性质和应用。

3. 特征值和特征向量在线性代数中，线性变换 $T$ 的特征向量 $v$ 是指在 $T$ 作用下仍保持方向不变的非零向量，即 $T(v)=\lambda v$，其中$\lambda$ 是系数，称为特征值。

一些基本性质表明，每个线性变换都有至少一个特征值和对应的特征向量。

4. 正交变换正交变换是一种保持向量点乘和长度不变的线性变换，即$T(v_1)\cdot T(v_2)=v_1\cdot v_2$ 和 $||T(v)||=||v||$。

常见的正交变换有旋转和镜像变换。

正交变换的特殊性质使其在几何学中应用广泛，例如可以用来计算内积、夹角、曲率等。

二、群论群论是一种研究代数系统的分支学科，主要研究群的结构、子群、同态、同构和群作用等概念和理论。

群是一个集合和映射的组合，满足一些基本的性质，例如结合律、单位元、逆元等。

《高等代数》向量空间

例7
设 Amn (aij ), aij F
x1 x2 (1)把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n 显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
证明 VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。 (2)记AX = β的解集为VA, {X F n | AX }, VA, 是否也是 F n的一个字空间？这里 F n , 0
注1：刚开始，步骤要完整.
例5
C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明：比照例3，给出完整步骤.
例6
（1）数域F是F上的向量空间.
（2）R是Q上的向量空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构.
6. (a+b)B=a B +Bb
7. (ab)A=a(b)A
还有一个显而易见的：
8. 1A＝A
例2
设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可按照解析几何的
以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个
向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都

6.2高等代数

延安大学计算机学院
注意：注意：
1、同一数域；、同一数域； 2、加法、标量与向量的乘法定义一致；、加法、标量与向量的乘法定义一致； 3、W是V的非空子集；、是的非空子集的非空子集； 4、加法与乘法封闭；、加法与乘法封闭；由定理6.2.1，V的一个子空间也是上一个向量空间，，的一个子空间也是上一个向量空间，的一个子空间也是F上一个向量空间由定理并且一定含有V的零向量。并且一定含有的零向量。的零向量
的非空子集。 Mn (F) 的非空子集。又中 Mn (F)的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义，U 一个子空间。是 Mn (F) 的一个子空间。
延安大学计算机学院
在间间V3里在间间里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的子空间的子空间(6.1,例1)。面的一切向量分别作成的子空间例。
例4 F 中一切形如 (α1,α2 ,L,αn−1,0),αi ∈ F 的一个子空间。的向量作成 F n的一个子空间。
n
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设 Am×n = (aij ), aij ∈ F
x1 x2 (1) 把满足把满足AX = 0的解表示为 X = ，的解X表示为的解 M x n
显然 X ∈ F n。并记并记AX = 0的解集为 VA,0 = {X ∈ F n | AX = 0} 的解集为
延安大学计算机学院
是数域F上向量空间的一个非空子集设W是数域上向量空间的一个非空子集是数域上向量空间V的一个非空子集. 如果W 对于V 加法以及标量与向量乘法是封闭的，如果对于的加法以及标量与向量乘法是封闭的，本身也作成上一个向量空间. 用定义证明) 那么W本身也作成上一个向量空间用定义证明那么பைடு நூலகம்本身也作成上一个向量空间 (用定义证明证明：加法以及标量与向量乘法是封闭的，证明：由加法以及标量与向量乘法是封闭的，所以定义中的1，成立成立，中的）、2）、）、6）、中的1）、）、5）、）、7）定义中的，2成立，3中的）、）、）、）、） 8）均成立。由于乘法封闭，所以 0α = ο ∈ W , ）均成立。由于乘法封闭，所以V中的零向量属于中的零向量属于W，自然也是W的零向量的零向量。所以中的零向量属于，自然也是的零向量。并且 −α = (−1)α ∈ W , 因此，）、）、4）也成立。因此，3）、）也成立。

高等代数知识点总结ppt

高等代数知识点总结一、引言高等代数是一门研究数学结构、代数运算和线性方程系统的学科。

它在数学、物理学、通信、计算机等领域都有广泛的应用。

本文将对高等代数中的几个重要知识点进行总结。

二、向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是由一组向量构成的集合，并满足特定的代数运算法则。

2.1 向量空间的定义向量空间是一个非空集合，其中包含一组向量，满足以下几个条件：•加法封闭性：对于任意的向量u、v属于向量空间V，u + v也属于V。

•数乘封闭性：对于任意的向量u属于向量空间V和任意的标量c，cu 也属于V。

•零向量：向量空间V中存在一个零向量0，满足对于任意的向量u 属于V，u + 0 = u。

•相反向量：对于任意的向量u属于向量空间V，存在一个相反的向量-v，满足u + (-v) = 0。

2.2 子空间在向量空间V中，如果一个集合W也是一个向量空间，并且W是V的子集，则称W为向量空间V的子空间。

2.3 线性无关与线性相关在向量空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, …, vn}以及一组不全为0的标量{c1, c2, …, cn}，满足c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称该组向量是线性相关的；否则，称该组向量是线性无关的。

2.4 基和维数在向量空间V中，如果存在一组线性无关的向量{v1, v2, …, vn}，并且该组向量可以通过线性组合得到V中的任意向量，则称该组向量是向量空间V的一组基。

向量空间V的基中向量的个数称为维数，记为dim(V)。

三、矩阵与线性方程组3.1 矩阵的定义矩阵是由数按矩形排列而成的一个数组，它是线性方程组的重要表示形式。

3.2 矩阵的运算矩阵与矩阵之间可以进行加法、数乘和乘法运算。

•矩阵加法：给定两个矩阵A和B，只有当它们的维数相同时，才能进行加法运算。

•数乘：给定一个矩阵A和一个标量c，可以通过将c乘以A的每个元素来得到标量乘法的结果。

•矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，它们能够进行乘法运算的前提是A 的列数等于B的行数。

高等代数与解析几何1 量值

高等代数与解析几何1 量值
（实用版）
目录
1.量值的概念与定义
2.量值的性质与运算
3.量值在高等代数与解析几何中的应用
正文
一、量值的概念与定义
量值是高等代数与解析几何中的一个基本概念，它是指在一个向量空间中，向量与标量的乘积所形成的数值。

量值的概念来源于数学中的向量空间、线性空间等基本概念，是理解这些概念的基础。

二、量值的性质与运算
量值具有以下几个基本性质：
1.结合律：对于任意向量 a、b 和标量 c，有 (a·b)·c = a·(b·c)。

2.交换律：对于任意向量 a、b，有 a·b = b·a。

3.分配律：对于任意向量 a、b 和标量 c，有 c·(a+b) = c·a + c·b。

量值的运算主要包括点乘和叉乘两种，它们分别对应着向量空间的加法和乘法运算。

三、量值在高等代数与解析几何中的应用
量值在高等代数与解析几何中有着广泛的应用，它是理解向量空间、线性变换、矩阵等基本概念的基础。

1.在向量空间中，量值可以用来表示向量之间的距离，从而研究向量空间的性质。

2.在线性变换中，量值可以用来表示变换前后向量的关系，从而理解线性变换的性质。

3.在矩阵中，量值可以用来表示矩阵的行向量与列向量之间的乘积，从而理解矩阵的性质。