陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题文2

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陕西西安2021高三数学上第一次质量检测(文)(解析版)

2021届陕西省西安市高三上学期第一次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--<，{}1,0,1,2,3,5B =-，则AB =（）．A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合A ，两集合取交集即可. 【详解】因为{}15A x x =-<<，{}1,0,2,3,5B =-，所以{}0,1,2,3A B =．故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 2．若i 为虚数单位，(23)i i +=（） A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D【分析】根据复数的基本运算可求出结果．【详解】()2232332i i i i i +=+=-+.故选：D.3．已知点()2,3A -在抛物线22y px =的准线上，则p =（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【分析】由题意点()2,3A -在抛物线的准线上得到22p-=-可得答案. 【详解】由已知得，抛物线22y px =的准线方程为2px =-，且过点()2,3A -，故22p-=-，则4p =. 故选：C.4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{}n a 中，2a ，8a ，12a 依次成等比数列，则4a 的值是（）A ．1619B ．2219C ．26-D ．58【答案】A【分析】由已知得11a =和28212a a a =⋅，可求出119d =-，利用等差数列的通项公式得到4a . 【详解】设公差不为零的等差数列{}n a 的公差为d ，则有0d ≠，因为2a ，8a ，12a 依次成等比数列，11a =，所以有28212a a a =⋅，即121(71)1()()a d a d a d +=++，整理得2119d a d =-，因为0d ≠，所以119a d =-，119d =-，因此14316311919a a d =+=-=，故选：A.5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案．【详解】观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B 符合要求．故选B ．【点睛】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】B【分析】由三视图画出该三棱锥的直观图，进而求出该三锥体的体积即可.【详解】由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，4AB =，BC CD ⊥，且4BC =，3CD =，所以该三棱锥的体积1114348332BCDV S AB =⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力，属于基础题.7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+其中(0,2)ϕπ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切x ∈R 恒成立，则()f x 的单调递增区间是（） A ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】先由三角函数的最值得π2π6k ϕ=+，由其范围求得函数()f x 的解析式，进而可得单调增区间. 【详解】因为对任意(),6x R f x f π⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2π6k ϕ=+，又因为(0,2)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间是,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；故选：B.8．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，则()2021f -=（） A ．lg3- B ．lg 9 C ．lg 3D ．0【答案】C【分析】由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.9．直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,则2a b +=( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,可得1,2,k b ==求得()f x 的导数,可得1a =,即可求得答案. 【详解】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P将()1,2P 代入1y kx =+可得:12k += 解得:1k =()ln f x a x b =+∴ ()af x x'=由(1)11af '==,解得:1a =. 可得()ln f x x b =+,根据()1,2P 在()ln f x x b =+上∴ ()1ln12b f =+=,解得:2b =故222 4.a b +=+= 故选:A.【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（） A ．43 B ．53C ．94D ．3【答案】B【分析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得b a，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲､乙，丙､丁､戊､己､庚，辛，壬､癸；地支有十二，即：子､丑､寅､卯､辰，巳､午，未､申､酉､戌､亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年. A ．己巳 B ．甲申C ．戊寅D ．丙戌【答案】C【分析】利用列举法确定正确选项.【详解】列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，得2058年是戊寅年. 故选：C12．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A ．8 B ．10πC ．12πD ．π【答案】 C【分析】三棱柱底面是等腰直角三角形，把它补成一个正方体，正方体的外接球就是三棱柱的外接球，而正方体的对角线是球的直径，由此可得球半径，从而计算出表面积．【详解】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：2=，所以球O 的表面积为2412ππ=，故选：C ．.二、填空题13．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩，则2x y -的最大值为__________.【答案】4【分析】作出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影分所示.令2,2z x y y x z =-=-，作直线2y x =，向下平移，易知当直线经过点(2)0，时z 最大，所以max 2204z =⨯-=. 故答案为：4.14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10121414151516171717、、、、、、、、、，记这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则,,a b c 由大到小的顺序为________. 【答案】c b a >>【分析】根据平均数，中位数，众数的定义求出,,a b c 后可判断．【详解】平均效10121421521617310a ++⨯+⨯++⨯=14.7=，中位数15b =，众数=17c ，则c b a >>. 故答案为：c b a >>.15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.【答案】9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系，要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值. 当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=，所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。

西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第一次教学质量检测数学(理)试卷

长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A ∩B =（） A.[−2,4]B.[)1,+∞ C.(]0,4D.[)2,-+∞2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足i z z 232-=+，则=z () A ．2+iB ．1+2iC ．2-iD.1-2i3.已知等差数列{}n a 中，92832823=++a a a a ,且0<n a ，则数列{}n a 的前10项和为()A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则P (μ−σ<X <μ+σ)=68.26%, P (μ−2σ<X <μ+2σ)=95.44%） A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%5.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是（）A. B.C. D.6.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是() A. 1,1?,7+=-=≤i i is s iB.i i is s i 2,1?,128=-=≤ C.1,21?,7+=-=≤i i is s iD.i i is s i 2,21?,128=-=≤ 7.已知Rt△ABC，点D 为斜边BC 的中点，，，，则等于（） A ．14-B ．9-C ．9D ．148.设01p <<ξξ0 1 2P12 2p 12p- 则当p 在()0,1内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y 6sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（） A ．361B ．181C ．121 D ．91 10.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的渐近线与抛物线()02:2>=p px y E 的准线分别交于B A ,两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0=⋅，则双曲线C 的离心率为()A ．2B ．3C.2D ．511. 已知函数)1,0()(≠>+=a a b a x f x的图象经过点)3,1(P ，)5,2(Q ，当*N n ∈时，)1()(1)(+⋅-=n f n f n f a n ，记数列{n a }的前n 项和为n S ，当3310=n S 时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．712. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≠==-0,0,1)(x e x m x f x ，若方程有5个解，则m 的取值范围是（） A.(1,)+∞ B.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0,1)(1,)⋃+∞第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 13.已知),0(πθ∈，且102)4sin(=-πθ，则tan2θ=________． 14.已知()()7280128212x x a a x a x a x +-=+++，则128a a a ++=_____,3a =_____．15.5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙2人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种.（用数字作答）2)()32()(32=++-x f m x mf16. 已知平面向量a ,m ,n ，满足4=→a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=+⋅-010122n a n m a m ，则当=-→→n m _____，则→m 与→n 的夹角最大．三、解答题：（共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设23sin()cos 22B AC +=. （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的最大值.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点. （I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30，求二面角C PB D --的大小. 19. (本小题满分12分)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1+k 次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为322．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20. （本小题满分12分）已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 为圆上一动点，线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ；（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过)2,0(F 的直线l 交曲线E 于不同的两点H G ,，（点G 在点F ,H 之间），且满足53=，求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数R a x a x a x e x f x∈+++-=,)ln()()(．（1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明:1)1(ln)34(ln )23(ln 2ln 32-<+++++e en n n ．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C ：222812(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数）和直线l ：2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且P （2，1）为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程．23. [选修：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()1f x x x =+-的最大值为m.（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)答案二、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)45-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.247-14.476,5--15.11416.3四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题共12分）（1）23sin()cos2BA C+=且sin()sinA C B+=2sin2sin cos cos22222B B BB=⋅=，又22Bπ<<，sin0cos222B B B∴>=tan sin2263B BB Bππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c=-+2226416()21cos222a cb ac acBac ac+--++-∴=== 36416()64ac a c∴=-++≥-+，36408)0ac∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac∴≤1sin2ABCS ac B∆∴==≤（当a c=时取“=”）综上，ABC的面积的最大值为9316.18.（本小题满分12分）（1）连接AC交BD于O，连接OE，由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩，得0ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30，得21cos ,212DB n DB n DB na ===+⨯，解得1a =，同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-，由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒. 19. (本小题满分12分)（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：22289⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据对立事件原理，阳性的概率为：81199-=．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检验次数为1，概率为89；若阳性则检验次数为3，概率为19，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2,4,6，()28642981P ξ⎛⎫∴===⎪⎝⎭；()12181649981P C ξ==⨯⨯=；()11169981P ξ==⨯=，则ξ的分布列如下：可求得方案二的期望为()6416119822246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==．方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，()4641381P η⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭，()6417518181P η==-=，则η的分布列如下：可求得方案三的期望为()641714915818181E η=⨯+⨯=．比较可得()()4E E ηξ<<，故选择方案三最“优”．20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点N 的坐标为()y x ,，NP 是线段AM 的垂直平分线，NM NA =,又点N 在CM 上，圆()81:22=++y x C ，半径是,22=r .22,22AC NM NC NA NC NM NC >=+=+=+∴∴点N 的轨迹是以C A ,为焦点的椭圆，设其方程为()01:2222>>=+b a b y a x ，则.1,1,2,222222=-====c a b c a a ∴曲线E 方程：.1222=+y x（Ⅱ）设()(),,,,2211y x H y x G当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为2+=kx y ,⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴12222y x kx y ,整理得：0342122=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+kx x k ,由0>∆，解得：.213,214,232212212k x x k k x x k +=⋅+-=+>------①又()()2,,,2,,2211-=-=y x y x ,由FH FG 53=,得2153x x =，结合①得 22221621553k k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即2322>=k , 解得.2±=k ∴直线l 的方程为：22+±=x y , 当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为x 31,0==与53=矛盾. ∴直线l 的方程为：.22+±=x y21. （本小题满分12分）解：（1）当a=1时，f （x ）=ex ﹣（x+1）ln （x+1）+x ，∴f（0）=1，又f'（x ）=ex ﹣ln （x+1），∴f'（0）=1，则所求切线方程为y ﹣1=x ，即x ﹣y+1=0．（2）由题意知f（x）=ex﹣（x+a）ln（x+a）+x，f′（x）=ex﹣ln（x+a），若函数f（x）在定义域上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．①先证明ex≥x+1．设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，即ex≥x+1．同理可证lnx≤x﹣1，∴ln（x+2）≤x+1，∴ex≥x+1≥ln（x+2）．当a≤2时，f'（x）＞0恒成立．当a≥3时，f'（0）=1﹣lna＜0，即f'（x）=ex﹣ln（x+a）≥0不恒成立．综上所述，a的最大整数值为2．②证明：由①知，ex≥ln（x+2），令，∴，∴．由此可知，当t=1时，e0＞ln2．当t=2时，，当t=3时，，…，当t=n时，．累加得．又，∴．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程22.【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入，整理得（4sin 2θ+cos 2θ）t 2+（4cosθ+8sinθ）t ﹣8＝0．由P 为AB 的中点，则． ∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即，所以所求的直线方程为x+2y ﹣4＝0．23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲【解析】（1）f(x)＝|x ＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m ＝1．（2）由（1）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝[a 2＋b 2＋＋] ≥(a 2＋b 2＋2) ＝(a ＋b)2＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为． 45。

2021届陕西省西安市高三第一次质检(一模)(文)

绝密★启用前2021届陕西省西安市高三第一次质检（一模）（文）时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：郭蒙一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.答案：D解：因为,,所以.2. ( )A. B.C. D.答案：D解：.3. 已知点在抛物线的准线上,则( )A. B.C. D.答案：C解：由已知得,抛物线的准线方程为,且过点,故,.4. 已知首项为最小正整数,公差不为零的等差数列中,,,依次成等比数列,则的值是( )A. B.C. D.答案：A解：设公差不为零的等差数列的公差为,∵,,,依次成等比数列,∴,即,可得,∵,∴,又由已知可得,在,因此,.5. 观察九宫格中的图形规律,在空格内画上合适的图形应为( )A. B.C. D.答案：B解：观察已知的个图象,每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的,根据这些规律观察四个答案,发现B符合要求.6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A. B.C. D.答案：B解：根据几何体的三视图转换为几何体为:如图所示,所以,由于锥体的高为,故.7. 已知函数其中,若对于一切恒成立,则的单调递增区间是( )A.B.C.D.答案：B解：函数,其中,若,对于一切恒成立, 则,,所以,,由于,所以,即,令,,解得,,即的单调递增区间是.8. 已知定义域为的函数满足,且当时,,则=( )A. B.C. D.答案：C解：根据题意,定义域为的函数满足,则是周期为的周期函数,则有,又由当时,,则,则.9. 直线与曲线相切于点,则( )A. B.C. D.答案：A解：直线与曲线相切于点,可得,即,,的导数为,即有,则.10. 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.答案：B解：由双曲线定义根据点为双曲线上一点，所以，又，所以. 又因为，所以有，解得或（舍），所以，即，故选择B.11. 天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十,即:甲、乙,丙、丁、戊、己、庚,辛,壬、癸;地支有十二,即:子、丑、寅、卯、辰,巳、午,未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中,天干地支对应的规律如表,年是新中国成立周年.这一百年,中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法,年是己巳年,则年是( )年.A. 己巳B. 甲申C. 戊寅D. 丙戌答案：C解：根据题意,列表如下,年是己巳年,往后数年,可得年是戊寅.12. 三棱柱中,棱、、两两垂直,,底面是面积为的等腰直角三角形,若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上,则球的表面积为( )A. B.C. D.答案：C解：如图:底面是面积为的等腰直角三角形,所以直角边长为,所以三棱柱可以补充成边长为的正方体, 其外接球半径为:,所以球的表面积为.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知,满足约束条件,则的最大值为__________.答案：解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示.令,则,作直线,向下平移,可知当直线经过点时最大,∴.14. 某工厂名工人某天生产同一类型零件,生产的件数分别是、、、、、、、、、,记这组数据的平均数为,中位数为,众数为,则,,由大到小的顺序为__________.答案：解：平均数,中位数,众数,则. 15. 已知实数,满足约束条件,则的最大值__________.答案：解：由约束条件直线可行域如图,令,由图可知,当直线过时,有最大值为,此时的最大值为.16. 已知数列的前项和为,满足,,则数列的前项和__________.答案：解：,化为,即,∵,∴为等差数列,公差,,∴.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 在中,角、、所对的边分别为、、,. (1)若,求角; (2)若,当角最大时,求的面积.答案：见解析解：(1)因为,所以得, 得:,∴,∵为内角,∴. (2)在中,, ,所以, 当且仅当时取等号,此时,,所以.18. 某地区年至年农村居民家庭人均纯收入(单位:万元)的数据如表:(1)求关于的线性回方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.答案：见解析解：(1)由所给数据计算得,,,,,.所求回归方程为. (2)由(1)知,,故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加万元. 将年的年份代号代入(1)中的回归方程得. 故预测该地区年农村居民家庭人均纯收入为万元.19. 如图在四棱锥中,底面为菱形,为正三角形,平面平面,、分别是、的中点. (1)证明:; (2)若是棱上一点,三棱锥与三棱锥的体积相等,求点的位置.答案：见解析解：(1)证明:连接,∵且是的中点,∴,又平面平面,平面平面,平面.∴平面,平面,∴. 又为菱形,且、分别为棱、的中点,∴. ∵,∴,又,,平面,平面,∴平面;∴平面,∴. (2)如图,连接、,设,则,∴,又,∴.解得,即点在上靠近点的四等分点处.20. 已知椭圆离心率为,点,,,分别是的左,右,上,下顶点,且四边形的面积为. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知是的右焦点,过的直线交椭圆于,两点,记直线,的交点为,求证:点横坐标为定值.答案：见解析解：(1)设椭圆的半焦距为,根据题意,,解得,所以椭圆的方程为. (2)证明:由(1)知,,,设,,,由,得,,得,两式相除得,又,故,, 故,于是,由于直线经过点,故设直线的方程为,联立椭圆的方程可得,所以,所以,解得,所以点横坐标为定值.21. （2019江苏）设函数,,,,为的导函数. (1)若,,求的值; (2)若,,且和的零点均在集合中,求的极小值; (3)若,,,且的极大值为,求证:.答案：见解析解：(1)因为,所以. 因为,所以,解得. (2)因为,所以, 从而. 令,得或. 因为,,都在集合中,且, 所以,,. 此时,,. 令,得或.列表如下:所以的极小值为. (3)因为,,所以,. 因为,所以, 则有个不同的零点,设为,. 由,得,. 列表如下:所以的极大值.. 因此.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的极坐标方程为. (1)求圆心的直角坐标; (2)若直线的参数方程是(为参数),与交于,两点,,求的斜率.答案：见解析解：(1)将,,代入,得,即,所以圆的圆心坐标为; (2)在极坐标系中,直线的极坐标方程为,设,所对应的极径分别为,,将的极坐标方程代入的极坐标方程得,于是,,, ,由,得,,,所以的斜率为或.22B. 已知函数,,. (1)当时,解不等式;(2)对任意,.若不等式恒成立,求实数的取值范围.答案：见解析解：(1)当时,,不等式,即,即,解得或(舍去),由,解得或,所以不等式的解集是. (2)由题意知,只需满足即可,因为,所以,依题意,当时,,得,得,即,所以,即的取值范围是.。

陕西省西安市长安区一中2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( ) A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )2006419832109. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（）A.1-B. 4-C. 14-D. 116- 11. 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，以下结论: ① ()0AH AC AB ⋅-=；② 0AB BC ABC ⋅<⇒∆为锐角三角形；③ ||AHAC AH ⋅sin c B =；④ 22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三(上)第一次质检数学(文科)试题Word版含解析

2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．34．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．236．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.59．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= ．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.63519．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．【分析】z1﹣z2=﹣i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：z1﹣z2=﹣i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，∴sinθ=，cosθ=，则tanθ==﹣．故选：B．【点评】本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由A∪B={1，3，x}得到集合B是集合A的真子集，所以得到x2，等于3或x，分别求出x的值，经检验即可得到满足题意x的个数．【解答】解：因为A∪B={1，3，x}，A={1，3，x}，B={1，x2}，所以x2=3或x2=x，解得x=±或x=0，x=1（舍去），即满足条件的有3个．故选C．【点评】此题考查学生掌握并集的定义，以及理解集合元素的互异性，是一道基础题．3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．3【分析】由两个向量的数量积的定义求出，再由可得=0可求m【解答】解：∵||=3，||=2，，的夹角为60°∴=||||cos60°=3×2cos60=3又∵∴==9﹣3m=0∴m=3故选D【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质．4．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．5．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】按照程序框图的流程，判断出x的值是否满足判断框中的条件，求出所有输出的y值，再将各值加起来．【解答】解：第一次输出y=0；第二次输出y=0；第三次输出0；第四次输出y=0；第经过第五次循环输出y=0；第六次输出y=0.5；第七次输出y=1；第八次输出y=1；第九次输出y=1各次输出的和为0+0+0+0+0+0.5+1+1+1=3.5故选B【点评】本题考查解决程序框图的循环结构，常用的方法是求出前几次循环的结果找规律．9．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．【分析】因为点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，【解答】解：半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，原点与该点的连线与x轴的夹角小于的区域如图：点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则；故选A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，首先正确画出满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．【分析】问题转化为a=x3+x2﹣x（x≠1）的交点问题，令h（x）=x3+x2﹣x，（x≠1），画出函数h（x）的图象，结合图象求出a的值即可．【解答】解：联立y=f（x）和y=g（x）得 x2+3x+1=+x，整理可得 a=x3+x2﹣x，且 x≠1．令函数h（x）=x3+x2﹣x，可得函数h（x）的极值点在﹣1和处，画出h（x）的草图，如图示：当x=﹣1时，h（x）=1；当x=时，h（x）=﹣，故当a=1时，y=a和y=h（x）1个交点，因为（1，1）不在h（x）上，不满足条件．故当a=﹣时，结合图象可得y=a和y=h（x）恰有2个交点．综上，只有当a=﹣时，才能满足y=a和y=h（x）恰有2个j交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的交点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（﹣2，1）．【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增．∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a，解不等式可得，﹣2＜a＜1，故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是钝角三角形．【分析】利用正弦定理化简已知不等式可得a2+b2＜c2，进而利用余弦定理可求cosC＜0，结合C的范围即可判断得解．【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得＞0，∴sinA=，sinB=，sinC=．∵asinA+bsinB＜csinC，∴+＜，即a2+b2＜c2．∴cosC=＜0．∵0＜C＜π，∴＜C＜π．∴角C为钝角．∴△ABC的形状是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= 32 ．【分析】根据“f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（x+）=0，可得x+=kπ，∴x=6k﹣2，k∈Z∵2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0∴（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故答案为：32．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故答案为：（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．【分析】（1）利用余弦定理可得：cosB=﹣，B∈（0，π），可得B．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD．可得sin∠BAC=．可得cosC=cos（60°﹣∠BAC）．【解答】解：（1）在△ABC中，∵a2+c2=b2﹣ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac．∴cosB==﹣=﹣，B∈（0，π），可得B=．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD==．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣×2×=．∴sin∠BAC===．∴cosC=cos（60°﹣∠BAC）=+=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.635【分析】（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．∴P（C）==，故所求概率为．男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45（2）∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，而K2====1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．思路点拨（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【点评】本考查了独立检验思想在实际问题中的应用，属于中档题．19．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V M﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF∥DC，∴=，即=，∴DE=，∴PE=，∴S△CDE=CD•DE=；MD===，∴V M﹣CDE=S△CDE•MD=××=．【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式e===，点P（1，y）（y＞0），根据三角形的面积公式即可求得y值，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）当l斜率不存在时，，；当l斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理y1+y2及y1•y2，求得=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4=0，，∠ADB是定值．．【解答】解：（1）由题意可知：e===，整理得：a2=b2，由直线x=1与椭圆相交，交点P（1，y）（y＞0），由题意可知：•1•2y=，解得：y=，将P（1，）代入椭圆方程，，解得b2=3，a2=4，∴椭圆的方程为：，．（2）当l斜率不存在时，，∴，∴；当l斜率存在时，设直线，由得（196+147m2）y2+84my﹣576=0，∵l与C有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＞0，且，∴，∵=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4，=+，==0，∴，综上．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．（2分）由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）将代入（*），化简得y=x+2，（4分）所以直线l的倾斜角为．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），（7分）代入并化简，得．（8分）．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）所以．（10分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，（8分）故．（10分）【点评】本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；（2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，令3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，或x=3，故x=﹣1，或x=3时，x2+mx+n=0，则x=﹣1和x=3为方程x2+mx+n=0的两根，故﹣1+3=2=﹣m，﹣1×3=﹣3=n，解得：m=﹣2，n=﹣3，当m=﹣2，n=﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R，故m=﹣2，n=﹣3；（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n=1，由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2．累加得，2a+2b+2c≥2+2+2，两边同时加a+b+c，可得3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2，即有3（a+b+c）≥（++）2，即++≤=．（当且仅当a=b=c时取得等号）则++≤成立．【点评】本题考查不等式的解法和运用，主要考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，同时考查二次方程的韦达定理的运用，运用均值不等式和累加法是证明不等式的关键．。

陕西省西安市长安一中2020-2021学年高三上学期第一次质量检测数学(文)试题

陕西省西安市长安一中【最新】高三上学期第一次质量检测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}11A x N x =∈-<≤，{}11B x Z x =∈-≤<，则AB =（） A ．{}1,0- B ．∅C ．{}0D ．()1,1- 2．已知复数1i z =--（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则2z z +的虚部为（） A ．i B ．3 C ．1 D ．3i 3．如图，有四个形状的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（） A ． B ． C ．D ．4．已知著名的狄利克雷函数()1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m R ∈，则()()()ff f m 的值为（） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．无法求5．以()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线()2220x y a a -=>两条渐近线相交于M 、N 两点，若OMN ∆的面积为4，则抛物线C 的标准方程为（）A ．28y x =B ．28x yC ．24x y =D ．28x y = 6．已知,x y 的对应值表为：且,x y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2i i y==∑，且线性回归直线方程为0.6y x a =+，则8x =时，y 的预报值为（）A ．6.1B ．22.1C ．12.6D ．3.57．则判断框中应填入（）A ．1i ≥B ．5i ≤C ．5i >D ．7i ≤8．已知命题:p x R ∀∈，40x x +≥，则下列判断正确的是（）A ．:p x R ⌝∀∈，40x x +<是真命题B ．:p x R ⌝∀∈，40x x +≤是假命题C ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +≥是真命题D ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +<是假命题 9．如图所示，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．83π- B ．283π- C ．8π- D ．82π-10．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且面积2S =，2c a=，则角B 等于（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π11．已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，()g x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，则AOB ∆（O 为坐标原点）的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．1412．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N ，且2OM OF ==，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BCD 1二、填空题13．已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为______. 14．设不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为M ，则M 的面积是______. 15．sin 75tan195=______.16．已知函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，若[]1,x e ∈时，不等式()()()2ln 121ln 12f m x f f x m --≤++-恒成立，则实数m 的取值范围是______.三、解答题17．在“互联网+”时代的今天，移动互联快速发展，智能手机（Smartphone ）技术不断成熟，尤其在5G 领域，华为更以1970件专利数排名世界第一，打破了以往由美、英、日垄断的前三位置，再次荣耀世界，而华为的价格却不断下降，远低于苹果；智能手机成为了生活中必不可少的工具，学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一，越来越多的学生在学校里使用手机，为了解手机在学生中的使用情况，对某学校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查，针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如下的数据：（1）求表中a 的值；（2）从该学校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由；（3）若从使用手机1小时和7小时的两组中任取两人，调查问卷，看看他们对使用手机进行娱乐活动的看法，求这2人都使用7小时的概率.18．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，12b =，1112n n b a a b a +=+-.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n T 是数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数n ，使2019n n S T +=，若存在，求出正整数n 的值；若不存在，说明理由.19．如图，在半圆柱W 中，12,O O 分别为两底面半圆的圆心，平面ABCD 是半圆柱的轴截面，M 、N 分别是两底面半圆弧的中点.（1）求证：平面BMC ⊥平面2MNO ；（2）求半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值.20．已知函数()()1x f x x e =-，()()21g x a x =+，a R ∈. （1）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，求函数()h x 的单调区间；（2）当1a =时，令()()()ln F x g x g x t x '=-+（t 为常数），若函数()F x 有两个极值点(),m n m n <，求证：()11ln 2042F n -<<. 21．已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为两切线的斜率，若12311k k =，求点P 的坐标. 22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+-+=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过曲线2C 的圆心且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于A 、B 两点，求22C A C B ⋅的值.23．已知函数()223x a a f x x -+++=. （1）当0a =时，若()f x m ≥恒成立，求m 的最大值；（2）()15f -<，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【分析】化简集合A，B，求交集即可.【详解】{}{}110,1A x N x=∈-<≤=，{}11={1,0}B x Z x=∈-≤<-，{0}A B∴=，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．B【分析】根据复数的乘法及加法运算化简，由复数概念即可求解.【详解】1iz=--,22(1)(1)13z z i i i∴+=--+-+=-+,∴复数的虚部为3，故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3．B【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则转盘的阴影面积与转盘面积比最大即可．【详解】根据几何概型的概率公式可知，中奖的概率等于阴影部分面积与游戏转盘面积之比，由图形知，则A转盘的中奖概率小于12，B转盘的中奖概率是34，C转盘的中奖概率是58，D转盘的中奖概率是23，故选：B．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，属于容易题．4．B【分析】分别讨论m Q ∈和R m Q ∈可求解．【详解】若m Q ∈，则()1f m =，()()()()()()111f f f m f f f ∴===，若R m Q ∈，则()0f m =， ()()()()()()011f f f m f f f ∴===，故选：B ．【点睛】本题以狄利克雷函数为载体，考查了函数的概念与性质的应用问题，属于容易题. 5．D【分析】根据抛物线的准线方程，以及双曲线的渐近线方程，得出OMN 为等腰直角三角形，根据面积为4列式计算，得出p 的值，即可得出抛物线的标准方程．【详解】抛物线C 的准线为2p y =-，双曲线222(0)x y a a -=>，两条渐近线为y x =±， OMN ∴为等腰直角三角形，则2114224OMN p S p p =⋅⋅==， 4p ∴=，抛物线C 的标准方程为28x y =，故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的性质及几何意义，属于容易题．6．A【分析】求出,x y ，由线性回归方程必经过点（,x y ）即得a ，代入8x =求解即可.【详解】由表格知，196x =，6119.2i i y ==∑3.2y ∴=，代入0.6y x a =+得：193.20.66a =⨯+，1.3a ∴=，则回归方程为0.6 1.3y x =+，当8x =时，0.68 1.3 6.1y =⨯+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用，属于中档题. 7．B【分析】根据框图，模拟程序的运算即可求解.【详解】由程序框图得，S =1i =，满足条件得S =3i =，满足条件得S =5i =，满足条件S =，7i =，否，输出S 的值，结束程序，因此判断框应该是5i ≤，故选：B ．【点睛】本题主要考查了算法的程序框图，基本逻辑结构中的循环结构，属中档题.8．D【分析】根据命题p 的真假及含量词的命题的否定即可求解.【详解】命题p 是真命题，p ∴⌝是假命题，且命题的否定为：，4000x x +<，故选：D .【点睛】本题考查了全称量词命题的否定及真假判定,属于容易题.9．B【分析】根据三视图可得几何体的形状及数据，计算即可求值.【详解】由三视图知，该几何体为一个正方体挖去两个半圆锥得到的几何体，∴体积为3211222128323V ππ=-⨯⨯⋅⨯=-，故选：B ．【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键属于中档题. 10．C【分析】由三角形面积公式得211csin sin24S a B c B ==，又由2S =可得221sin4c B =化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可．【详解】2c a=， 211csin sin 24S a B c B ∴==，又2S =，221sin4c B ∴= 即221sin4c B =，cos 2B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 7666B πππ<+<， 62B ππ∴+=，则3B π=，故选：C ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题． 11．A 【分析】根据题目条件，逐步分析，首先得出()f x 的解析式，再变换为()g x 的解析式，求出点A 、B ，易得AOB 的面积．【详解】由题设知，()f x 的周期为π，22ππωω∴=⇒=，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()02g ∴=，即()0,2A ，()g x 的图象与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，,04B π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，1122244AOBSOA OB ππ=⋅=⨯⨯=，故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质，属于中档题． 12．D 【分析】由椭圆的性质可先求得3ON =，故可得130NF O ∠=︒，再由椭圆的定义得a ，c 的关系，故可得答案．【详解】21||OM OF OF ==，1290F MF ∴∠=︒，又2OF =，3ON c ∴=，则11tan ON NFO OF ∠==， 130NF O ∴∠=︒，则2MF c =，1MF =，2c a +=， 1e ∴=，故选：D . 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题. 13．【分析】由OB OA OC =+得出向量的坐标，再求模即可．【详解】由向量的平行四边形法则知，()()()2,01,33,3OB OA OC =+=+=，23OB ∴==故答案为：【点睛】本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题. 14．2 【分析】作出不等式组所表示的区域，即可求解. 【详解】作出不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图所示，则M 为正方形ABCD ，M ∴的面积是2．故答案为：2．【点睛】本题考查线性规划所表示的可行域面积问题，属于中档题．15．4【分析】根据诱导公式化简即可求值. 【详解】sin 75tan195cos15tan15sin15=︒︒=︒,sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=, 6sin 75tan195-∴=故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于容易题. 16．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立，故解得m 的取值范围．【详解】函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即函数()y f x =为奇函数，不等式()()()212112f m lnx f f lnx m --≤++-变为:()()()211221f m lnx f lnx m f ---+-≤，即()()()212121f m lnx f m lnx f --+--≤，()()211f m lnx f --≤，又()f x 函数在[)0,+∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，则12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立， 11ln 2y x =+在[]1,e 上递增，max 131ln 22y e ∴=+=，故32m ≥．故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.17．（1）25％（2）抽取到高二的学生能估计，概率为0.53，抽取到高一高三的学生不能估计（3）115【分析】()1由已知易知100410311612225a =------=％％％％％％％％；()2分情况讨论，当抽到的是高二年级时可以估计，若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3抽取6人中编号，写出所有基本事件，找出满足事件A 的结果数，求解．【详解】()1由题设知，100410311612225a =------=％％％％％％％％． ()2样本是从高二年级抽取的，∴根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况．若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为：0.040.10.310.080.53+++=；若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3由题设知，使用1小时的人共有：10044⨯=％人，设为A ，B ，C ，D ，使用7小时的共有10022⨯=％人，设为a ，b ，从中任选2人有：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种情况，其中，这2人都使用7小时的只有ab ，∴所求概率为115P =．【点睛】本题考查样本估计总体，古典概型求概率，属容易题． 18．（1）24n b n =-+（2）存在正整数n 的值为673. 【分析】()1取1n =，2时求得首项1a ，2a ，代入1112n n b a a b a +=+-，整理得到数列{}n b 是等差数列，再求通项公式;()2由等差数列求和公式求得数列{}n b 的前n 项和为T n ，结合2n S n =，再带入数值可求．【详解】()21n S n =，11a ∴=，221413a S S =-=-=，代入1112n n b a a b a +=+-得，12n n b b +=-，又12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2-为公差的等差数列，故24n b n =-+；()2由()1知，()()12224322n n n b b n n T n n +-+===-，又2n S n =，2233n n S T n n n n ∴+=+-=，由2019n n S T +=得，32019n =，673n ∴=，故存在正整数n 的值为673．【点睛】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，属于中档题． 19．（1）证明见解析（2）34π【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得；（2）根据圆柱、四棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】()1证明：M 、N 分别是上下底面圆弧的中点，//MN AB ∴，又平面ABCD 是半圆柱的轴截面，∴四边形ABCD 是矩形，则BC AB ⊥，BC MN ∴⊥，2O 为底面半圆的圆心，N 是底面半圆弧的中点， 2BC O N ∴⊥，又2MN O N N ⋂=，BC ∴⊥平面2MNO ，BC BMC ⊂平面， ∴平面BMC ⊥平面2MNO ；()2设半圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为AB ，∴半圆柱的体积为2112V r AB π=⋅，连结1MO ，由题设知，1MO ⊥平面ABCD ，∴四棱锥M ABCD -的体积为2211122333ABCD V S MO r AB r r AB =⋅=⋅⋅⋅=⋅，则半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值为：2122132243r AB V V r AB ππ⋅==⋅．【点睛】本题考查了面面垂直的判定、棱柱、圆柱体积的计算，考查推理能力和计算能力，属中档题． 20．（1）单调递减区间(),0-∞和()2,ln +∞，单调递增区间()0,ln2（2）证明见解析【分析】()1通过函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程求解的出()'2x h x xe x =-+，讨论x 的取值范围可确定()f x 的单调区间；()2函数()F x 由两个极值点m ，n 等价于()2220G x x x t =-+=有两个相异实根m ，n ，得出112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，利用单调性即可证明不等式．【详解】()1由题设知，()()()211x h x x e a x =-++，函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，∴(0)12h a =+=，即1a =()()()'1222x x x x h x e x e x xe x x e ∴=-+-+=-+=-，x ∈R ，令()'0h x =，则0x =或ln2x =，∴当0x <或ln 2x >时，()0h x '<，当0ln 2x <<时，()0h x '> ∴函数()h x 在(),0-∞和()2,ln +∞上单调递减，在()0,ln2上单调递增.() 2证明：当1a =时， ()21g x x =+，()212F x x x tlnx ∴=+-+，0x >，则()222'22t x x t F x x x x-+=-+=，0x >，令()222G x x x t =-+，则()G x 为开口向上且对称轴为12x =的抛物线，由题设知，()0G x =在()0,∞+上有两个相异实根m ，()n m n <，102m >> 即2220n n t -+=且112n <<，222t n n ∴=-+，112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，()()()'22422242F n n n lnn n n lnn ∴=-+-+-+=-+，112n <<， ()420n lnn ∴-+>，则函数()F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112F F n F ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()11ln2042F n -<<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21．（1）24x y =（2）()±【分析】()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2 设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简后利用根与系数的关系即可求解．【详解】()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，1MF MN ∴=+，又MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =，∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线，则12p=， 2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，200122021y yk k x -∴=-，由题设知，2002023111y y x -=-，又()00,P x y 为曲线C 上的一点，由()1知，2004x y =，2000234111y y y -∴=-，即20113430y y -+=，解得，0111y =或03y =， 02y >，03y ∴=，则0x =± ∴点P的坐标为()±．【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.22．（1）24y x =；22(2)(1)1x y ++-=（2）152【分析】()1消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程； ()2由直线l 的参数方程代入24y x =整理得22150t +=，再运用几何意义可得答案．【详解】()1由24x t y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得，曲线1C 的普通方程为24y x =； 222x y ρ=+，x cos ρθ=，y sin ρθ=，∴圆2C 的直角坐标方程为224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-=；()2曲线2C 的圆心为()2,1-，直线l 的倾斜角为4π， ∴直线l的参数方程为2(1x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，将其代入24y x =整理得，221502t t -+=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则2212152C A C B t t ⋅==．【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，属于中档题.23．（1）3（2）11a <<-+【分析】 ()1当0a =时，()3f x x x =++，根据绝对值三角不等式可得()3f x ≥，则3m ≤；()()221122f a a -=+++，原不等式即为24220a a -++<，讨论1a ≤-，1a >-两种情况分别求解即可．【详解】()1当0a =时，()3f x x x =++，()333x x x x ++≥-+=，()3f x ∴≥，则3m ≤，m 的最大值为3；()()22211123122f a a a a -=--+-++=+++， ()15f ∴-<即为24220a a -++<，当1a ≤-时，24220a a ---<，即2260a a --<，解得11a <<，11a ∴<-，当1a >-时，24220a a -++<，即2220a a +-<，解得11a -<<-11a ∴-<<-，综上，实数a 的取值范围是11a <<-+【点睛】本题考查绝对值不等式及不等式恒成立问题,属于中档题.。

西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第二次教学质量检测数学(文)试卷

长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学（文科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间100分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤ 2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的() A 充要条件.B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（） A.2B.2 C.21+ D.21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（） A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像()A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位142214C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位 6.从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（） A.240万元B.540万元 C.720万元D.900万元7.函数)(x f y =满足(2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（） A.1009B.1010 C.2019D.2020 8.函数y ＝lncosx(-2π＜x ＜)2π的图象是()9.数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为() A.2B.-6C.3D.110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（） A.1- B.4- C.14-D.116- 11.已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，以下结论:①；②为锐角三角形； ③；④其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4ABC ∆()0AH AC AB ⋅-=0AB BC ABC ⋅<⇒∆||AHAC AH ⋅sin c B =22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-020064198321012.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为()A ．54B ．57C ．59D ．511第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(文科) (解析版)

2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1．若z＝2+i，则|z2﹣z|＝（）A．B．2C．D．32．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，则a＝（）A．2B．﹣2C．﹣4D．43．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C＝2π，S＝16π时，＝（）A．B．C．D．4．已知α∈（，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则cosα＝（）A．B．C．D．5．设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l．P是抛物线C上异于O的一点，过P作PQ ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点P B．经过点OC．平行于直线OP D．垂直于直线OP6．将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．7．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：456789单价x（元）908483807568销量V（件）由表中数据．求得线性回归方程为＝﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．B ．C ．D ．8．在△ABC中，O为中线AM的中点，若AM＝2，则等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 且，b+c＝10，△ABC 的面积为，则a＝（）A ．B．5C．8D ．10．已知点P（x，y）是曲线f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线上一点，则的最小值为（）A．4B．9C．5D．1611．已知a ＝，b＝2log52，c＝0.75，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c12．已知f（x）＝（x﹣1）3﹣2x+2+e x﹣1﹣e1﹣x，其中e是自然对数的底数，若f（lna）+f（a+1）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）二、填空题（每小题5分）.13．若x，y 满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．14．一个动圆与定圆F：（x﹣3）2+y2＝4相外切，且与直线l：x＝﹣1相切，则动圆圆心的轨迹方程为．15．点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为．16．菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°，将△CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体E﹣ABD的体积最大时，四面体E﹣ABD的外接球的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PA上一点，且3PE＝2PA．（Ⅰ）证明：平面EBC⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BCE的体积．18．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，S11＝77，且a2，a6﹣1，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．19．“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑调不大于2天3天或4天不少于5天练天数人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2＝（n为样本容量）P（k20.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．已知点P 到的距离与它到直线l：x ＝的距离之比为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点D（﹣3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．21．已知函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，y0）处的切线为l：（e+1）x﹣y+n＝0，求m，n；（2）当m＝1时，若关于x 的不等式在[1，+∞）上恒成立，试求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ﹣3ρsinθ﹣12＝0．（1）当k＝2时，求出C1的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当k＝1时，P是曲线C1上一点，Q是曲线C2上一点，求PQ的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2＝M，试证明：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z＝2+i，则|z2﹣z|＝（）A．B．2C．D．3解：∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝4+4i+i2＝3+4i，则|z2﹣z|＝|3+4i﹣2﹣i|＝|1+3i|＝．故选：A．2．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，则a＝（）A．2B．﹣2C．﹣4D．4解：∵，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴，解得a＝﹣4．故选：C．3．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C＝2π，S＝16π时，＝（）A．B．C．D．解：由已知可得平面中心到球心的距离为R﹣h，又球冠周长为C＝2πr＝2π，所以r＝1，又S＝2πRh＝16π，所以h＝，因为r2+（R﹣h）2＝R2，即1+R2﹣2Rh+h2＝R2，解得R，即R＝，故，故选：B．4．已知α∈（，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则cosα＝（）A．B．C．D．解：∵α∈（，π），2sin2α＝cos2α﹣1，∴4sinαcosα＝1﹣2sin2α﹣1，即2cosα＝sinα．再根据sin2α+cos2α＝1，cosα＜0，求得cosα＝﹣，故选：B．5．设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l．P是抛物线C上异于O的一点，过P作PQ ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点P B．经过点OC．平行于直线OP D．垂直于直线OP解：如图所示：，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PQ|，∴△FPQ为等腰三角形，且FQ为等腰三角形FPQ的底边，∴线段FQ的垂直平分线经过点P，故选：A．6．将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是（）A ．B．1C ．D ．解：将函数f（x ）的图象向右平移个单位长度，得y＝sinω（x ﹣）＝sin（ωx ﹣），∵y＝sin（ωx ﹣）的图象关于直线x＝π对称，∴ωπ﹣＝+kπ，k∈Z，∴ω＝+k，k∈Z，∵ω＞0，∴ω的最小值为，故选：D．7．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：456789单价x（元）908483807568销量V（件）由表中数据．求得线性回归方程为＝﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．B ．C ．D ．解：＝（4+5+6+7+8+9）＝，＝（90+84+83+80+75+68）＝80∵＝﹣4x+a，∴a＝106，∴回归直线方程＝﹣4x+106；数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率P＝＝．故选：C．8．在△ABC中，O为中线AM的中点，若AM＝2，则等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1解：由题意画出草图：由于点M为△ABC中边BC的中点，∴＝2，∴•（+）＝2•＝﹣2||•||．∵O为中线AM上的中点，即A、O、M三点共线，AM＝2，∴•（+）＝﹣2||•||＝﹣2×1×1＝﹣2．故选：A．9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，b+c＝10，△ABC的面积为，则a＝（）A．B．5C．8D．解：因为，由正弦定理可得sin A sin A sin B＝sin B﹣sin B cos A，因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以sin2A＝﹣cos A，可得1﹣cos2A＝﹣cos A，即（2cos A﹣1）2＝0，解得cos A＝，所以sin A＝，因为S△ABC＝bc sin A＝，所以bc＝25，又b+c＝10，所以a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝100﹣3×25＝25，所以a＝5．故选：B．10．已知点P（x，y）是曲线f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线上一点，则的最小值为（）A．4B．9C．5D．16解：f（x）＝x4﹣2x3的导数为f′（x）＝4x3﹣6x2，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣2，切点为（1，﹣1），则切线的方程为y+1＝﹣2（x﹣1），点P（x，y）在切线上，可得2x+y＝1，x，y＞0，则＝+＝（2x+y）（+）＝4+1++≥5+2×2＝9，当且仅当x＝y＝时，取得等号．则的最小值为9．故选：B．11．已知a＝，b＝2log52，c＝0.75，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：∵a＝log23＞log22＝log2＝，∴a＞，即a＞c，∵a＝log23＝log2＝＝＝1﹣＝1﹣，∵b＝2log52＝log54＝＝1﹣＝1﹣，∵＞，∴lg＞lg，又∵lg4＜lg5，∴＞，即a＜b，∴b＞a＞c，故选：D．12．已知f（x）＝（x﹣1）3﹣2x+2+e x﹣1﹣e1﹣x，其中e是自然对数的底数，若f（lna）+f（a+1）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）解：f（x）＝（x﹣1）3﹣2x+2+e x﹣1﹣e1﹣x，则f′（x）＝3（x﹣1）2﹣2+e x﹣1+e1﹣x，f″（x）＝6（x﹣1）+e x﹣1﹣e1﹣x，f″′（x）＝6+e x﹣1+e1﹣x，∵e x﹣1＞0，e1﹣x＞0，∴f″′（x）＞0，f″（x）单调递增，而f″（1）＝0，故x＞1时，f″（x）＞0，x＜1时，f″（x）＜0，故f′（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，故f′（x）≥f′（1）＝0，故f（x）在R上单调递增，若f（lna）+f（a+1）＜0，则f（lna）＜﹣f（a+1），由﹣f（a+1）＝f（﹣a+1），得：f（lna）＜f（﹣a+1），故lna＜﹣a+1，即lna+a﹣1＜0，（a＞0），令h（a）＝lna+a﹣1（a＞0），则h′（a）＝+1＞0，故h（a）在（0，+∞）单调递增，a＝1时，h（a）＝0，故0＜a＜1时，h（a）＜0，a＞1时，h（a）＞0，故lna+a﹣1＜0的解集是（0，1），故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣1．解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数z＝2x+y可化为y＝﹣2x+z，平移目标函数知，当目标函数过点C（0，﹣1）时，直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，所以z的最小值为z min＝2×0﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．14．一个动圆与定圆F：（x﹣3）2+y2＝4相外切，且与直线l：x＝﹣1相切，则动圆圆心的轨迹方程为y2＝12x．解：定圆F：（x﹣3）2+y2＝4的圆心F（3，0），半径为2，设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆得半径为r，d为动圆圆心到直线x＝﹣1的距离，即r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA﹣2＝r，d＝r∴|PA|﹣d＝2，即：﹣2＝x+1，化简得：y2＝12x．∴动圆圆心轨迹方程为y2＝12x．故答案为：y2＝12x．15．点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为．解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|＝a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即有4b2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，可得a＝c，即e＝，故答案为：．16．菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°，将△CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体E﹣ABD的体积最大时，四面体E﹣ABD的外接球的面积为20π．解：当平面EBD⊥平面ABD时，E到平面ABD的距离最大，由于底面BAD的面积为定值，所以此时四面体E﹣ABD的体积最大．设三角形ABD的外接圆的圆心为O1，半径r＝＝＝2，设四面体E﹣ABD的外接球的球心为O，三角形EBD的外接圆的圆心为O2，可得OO1＝r﹣＝2﹣1＝1，所以R2＝r2+OO12＝4+1＝5，则四面体E﹣ABD的外接球的面积为S＝4πR2＝4π×5＝20π，故答案为：20π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PA上一点，且3PE＝2PA．（Ⅰ）证明：平面EBC⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD＝CD＝1，∴，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又PA∩AC，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面PAC．（Ⅱ）解：V P﹣BCE＝V B﹣PCE，由（1）可知BC⊥平面PCE，所以三棱锥B﹣PCE的高为，∵3PE＝2PA，∴，∴，∴．18．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，S11＝77，且a2，a6﹣1，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．解：（1）由题意可得即又因为d＞0，所以所以a n＝n+1．………………………………………（2）∵，∴＝．∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n﹣1≥0成立．∴存在n∈N*，使得成立．即存在n∈N*，使得成立．∵（当且仅当n＝2时取等号）．∴，即实数λ的取值范围是．…………………………19．“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑调不大于2天3天或4天不少于5天练天数人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2＝（n为样本容量）P（k20.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×＝4000．（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200 K2＝≈7.292＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．20．已知点P到的距离与它到直线l：x＝的距离之比为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点D（﹣3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．解：（1）设点P（x，y），由题意可得．化简整理可得，所以点P的轨迹E的方程为．………………………………………（2）证明：由（1）可得，过点D的直线l斜率存在且不为0，故可设l的方程为y＝kx+m（k≠0），B（x1，y1），C（x2，y2），由得（4+9k2）x2+18kmx+9m2﹣36＝0，△＝（18km）2﹣4（4+9k2）（9m2﹣36）＝144（9k2﹣m2+4）＞0，即m2＜9k2+4，，而＝＝＝＝＝，由于直线l过点D（﹣3，8），所以﹣3k+m＝8，所以（即为定值）．………………………………………21．已知函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，y0）处的切线为l：（e+1）x﹣y+n＝0，求m，n；（2）当m＝1时，若关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，试求实数a的取值范围．解：（1）∵函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）的导数f'（x）＝e x+m（4x﹣3），∴根据函数导数的几何意义，可得f'（1）＝e+m＝e+1，即m＝1．则f（x）＝e x+2x2﹣3x，点P坐标为（1，e﹣1）∵点P在直线l：（e+1）x﹣y+n＝0上∴n＝﹣2故m＝1，n＝﹣2．（2）当m＝1时，f（x）＝e x+2x2﹣3x∵关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，∴，设，则，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y'＝e x﹣1，可得x＞0时，y'＞0，函数y＝e x﹣x﹣1递增，x＜0时，函数y＝e x﹣x﹣1递减，则e x﹣x﹣1≥0，即e x≥x+1＞0，∴当x≥1时，，则在[1，+∞）递增，可得，则．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ﹣3ρsinθ﹣12＝0．（1）当k＝2时，求出C1的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当k＝1时，P是曲线C1上一点，Q是曲线C2上一点，求PQ的最小值．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），当k＝2时，消t得x+2y＝2，（x≥0，y≥0），该曲线是以A（2，0），B（0，1）为端点的线段．（2）当k＝1时，曲线C1的普通方程为椭圆：；曲线C2的普通方程为直线：2x﹣3y﹣12＝0；可知直线与椭圆相离，则PQ的最小值为P到直线的距离最小值．则，当sin（t﹣φ）＝1时，有最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2＝M，试证明：．解：（1）易知因为f（x）≤5，所以，或，或所以，或0≤x≤2，或∅，所以，所以不等式的解集为（2）证明：∵f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|≥|x﹣2|+|（x﹣2）﹣（x+1）|＝|x﹣2|+3≥3，当且仅当x＝2时取等号．∴f（x）的最小值为M＝3，所以a2+b2＝3，所以＝，当且仅当，即a2＝1，b2＝2时取等号．。

陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期第一次教学质量检测数学(文)试题

长安一中高2019级高二阶段第一次教学质量检测数学试卷（文）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列命题中，真命题是（）A ．R x ∀∈，22x x >B ．0R x ∃∈，00x e <C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．22ac bc <是a b <的充分不必要条件2. 若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是( )A ．52-B ．0C ．53D ．523. 命题0,ln(10:)x x p ∀>+>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝4. 已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．2 D ．225. 设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知{}n a 为等差数列，d 为公差，若124,,a a a 成等比数列，36a =且0d ≠，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A.24(1)n n -- B. 14n n- C. 4(1)n n + D. 14(2)n n ++7. 已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92D ．58. 已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是( )A ． 4和5B ． 5和6C ． 6和7D ． 7和 89. 已知()()1,10p q x a x a ≤---≤：．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 10. 若不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则不等式20x bx a --<的解集是（）A ．(2,3) B.(,2)(3,)-∞+∞ C.11(,)32 D.11(,)(,)32-∞+∞11. 在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B 、C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率为（）A.2 B.3 C. 23D. 312. 在ABC 中，“A B C <<”是“cos2cos2cos2A B C >>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12n n S S +=，n N *∈，24S =，则2020a =( )A ．20202 B. 20204 C. 20194 D. 2019214. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴。

陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第二次检测试题文

长安一中高2021级高三第二次教学质量检测数学试题（文科）时间：120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集R U =，集合()(){|22},{|130}A x x B x x x =-<<=+->，则A B 等于( )A ．(1,2)-B ．(]1,2--C ．()1,2--D ．()3,22. 已知i 为虚数单位，若复数()()z 11ti i =-+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3. 要计算1111++++232017的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（） A ．n ＜2021B ．n ≤202XC ．n ＞2021D ．n ≥20214． 202X 年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为12,x x ，中位数分别为y 1，y 2，则（） A ．12x x >，y 1＞y 2B ．12x x >，y 1=y 2C ．12x x <，y 1=y 2D ．12x x <，y 1＜y 25．已知3x >，则43x x +-的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．5 D ．76.已知函数()23,0,0xm x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩给出下列两个命题，p ：存在(),0m ∈-∞，使得方程f （x ）=0有实数解；q ：当13m =时，f （f （1））=0，则下列命题为真命题的是（） 8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（） A ．23π B ．3π C ． 29π D ．169π9．如图所示，已知菱形ABCD 是由等边△ABD 与等边△BCD 拼接而成，两个小圆与△ABD 以及△BCD 分别相切，则往菱形ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）A ．39πB ．318πC ．318πD ．39π 10. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，()()2log 2f x x x b =+++，则()3f x >的解集为（）A ．()(),22,-∞-+∞ B ． ()(),44,-∞-+∞ C ． ()2,2- D ．()4,4-11．椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（） A.55B.655C.855D.45512．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48- C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为．14. 正项等比数列{a n }中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则}{n a 的前9项和9S = ．15．面积为43的等边三角形ABC 中，D 是AB 边上靠近B 的三等分点，则CD AB ⋅= ． 16. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，712sinsin +C +cos 662C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求C ；（2）若13c =，且△ABC 面积为33，求sin sin A B +的值． 18. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =， M 为线段PC 的中点，求三棱锥 C MBD -的体积。

陕西省西安市长安区一中2021届高三上学期第二次月考数学(文科)试题及答案

1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( ) A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（） A.1009 B.1010 C.2019 D.20208. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )2006419832109. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（）A.1-B. 4-C. 14-D. 116- 11. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，以下结论: ① ；② 为锐角三角形；③ ；④其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷（非选择题共90分）ABC ∆()0AH AC AB ⋅-=0AB BC ABC ⋅<⇒∆||AHAC AH ⋅sin c B =22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

长安区2021年高三上册数学试题及答案

长安区2021年高三上册文科数学试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( )A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )9. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（）A.1-B. 4-C. 14-D. 116-20064198321011. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，以下结论: ① ；② 为锐角三角形；③ ；④其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若z＝2+i，则|z2﹣z|＝（）A ．B．2C ．D．32．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，则a＝（）A．2B．﹣2C．﹣4D．43．设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l．P是抛物线C上异于O的一点，过P作PQ ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点P B．经过点OC．平行于直线OP D．垂直于直线OP4．（x﹣2y）（x+y）6的展开式中x3y4的系数为（）A．25B．﹣25C．15D．﹣155．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：456789单价x（元）908483807568销量V（件）由表中数据．求得线性回归方程为＝﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C＝2π，S＝16π时，＝（）A．B．C．D．7．将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．8．已知直线l是曲线f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线，点P（m，n）是直线l 上位于第一象限的一点，则的最小值为（）A．4B．9C．25D．169．一个动圆与定圆F：（x﹣3）2+y2＝4相外切，且与直线l：x＝﹣1相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝12x10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，b+c ＝10，△ABC的面积为，则a＝（）A．B．5C．8D．11．已知a＝，b＝2log52，c＝0.75，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c12．设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图，若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x•y的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知α∈（，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则tanα＝．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为．16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（1）必考题：每小题12分，共60分．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PA上一点，且3PE＝2PA．（1）证明：平面EBC⊥平面PAC；（2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．18．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，S11＝77，且a2，a6﹣1，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．19．2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．20．已知点P到的距离与它到直线l：x＝的距离之比为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点D（﹣3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．21．已知函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）．（1）若函数y＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导函数）在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）当m＝1时，若关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，射线分别交C1，C2于A，B两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2＝M，试证明：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z＝2+i，则|z2﹣z|＝（）A．B．2C．D．3解：∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝4+4i+i2＝3+4i，则|z2﹣z|＝|3+4i﹣2﹣i|＝|1+3i|＝．故选：A．2．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，则a＝（）A．2B．﹣2C．﹣4D．4解：∵，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴，解得a＝﹣4．故选：C．3．设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l．P是抛物线C上异于O的一点，过P作PQ ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点P B．经过点OC．平行于直线OP D．垂直于直线OP解：如图所示：，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PQ|，∴△FPQ为等腰三角形，且FQ为等腰三角形FPQ的底边，∴线段FQ的垂直平分线经过点P，故选：A．4．（x﹣2y）（x+y）6的展开式中x3y4的系数为（）A．25B．﹣25C．15D．﹣15解：在（x﹣2y）（x+y）6的展开式中，x3y4的系数为﹣2＝15﹣2×20＝﹣25．故选：B．5．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：456789单价x（元）908483807568销量V（件）由表中数据．求得线性回归方程为＝﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．B ．C ．D ．解：＝（4+5+6+7+8+9）＝，＝（90+84+83+80+75+68）＝80∵＝﹣4x+a，∴a＝106，∴回归直线方程＝﹣4x+106；数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率P ＝＝．故选：C．6．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C＝2π，S＝16π时，＝（）A．B．C．D．解：由已知可得平面中心到球心的距离为R﹣h，又球冠周长为C＝2πr＝2π，所以r＝1，又S＝2πRh＝16π，所以h＝，因为r2+（R﹣h）2＝R2，即1+R2﹣2Rh+h2＝R2，解得R，即R＝，故，故选：B．7．将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．解：将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得y＝sinω（x﹣）＝sin（ωx﹣），∵y＝sin（ωx﹣）的图象关于直线x＝π对称，∴ωπ﹣＝+kπ，k∈Z，∴ω＝+k，k∈Z，∵ω＞0，∴ω的最小值为，故选：D．8．已知直线l是曲线f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线，点P（m，n）是直线l 上位于第一象限的一点，则的最小值为（）A．4B．9C．25D．16解：f（x）＝x4﹣2x3的导数为f′（x）＝4x3﹣6x2，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为4﹣6＝﹣2，切点为（1，﹣1），切线的方程为y+1＝﹣2（x﹣1），即为2x+y＝1，则2m+n＝1（m，n＞0），所以＝（2m+n）（+）＝5++≥5+2×2＝9，当且仅当m＝n＝时，取得等号．则的最小值为9．故选：B．9．一个动圆与定圆F：（x﹣3）2+y2＝4相外切，且与直线l：x＝﹣1相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝12x解：定圆F：（x﹣3）2+y2＝4的圆心F（3，0），半径为2，设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆得半径为r，d为动圆圆心到直线x＝﹣1的距离，即r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA﹣2＝r，d＝r∴|PA|﹣d＝2，即：，化简得：y2＝12x．∴动圆圆心轨迹方程为y2＝12x．故选：D．10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，b+c ＝10，△ABC的面积为，则a＝（）A．B．5C．8D．解：因为，由正弦定理可得sin A sin A sin B＝sin B﹣sin B cos A，因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以sin2A＝﹣cos A，可得1﹣cos2A＝﹣cos A，即（2cos A﹣1）2＝0，解得cos A＝，所以sin A＝，因为S△ABC＝bc sin A＝，所以bc＝25，又b+c＝10，所以a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝100﹣3×25＝25，所以a＝5．故选：B．11．已知a＝，b＝2log52，c＝0.75，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：∵a＝log23＞log22＝log2＝，∴a＞，即a＞c，∵a＝log23＝log2＝＝＝1﹣＝1﹣，∵b＝2log52＝log54＝＝1﹣＝1﹣，∵＞，∴lg＞lg，又∵lg4＜lg5，∴＞，即a＜b，∴b＞a＞c，故选：D．12．设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图，若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x•y的最大值是（）A．B．C．D．解：因为∠BAC＝30°，所以∠BPC＝60°，设△ABC外接圆半径为r，所以，解得，设∠APC＝θ，120°＜θ＜180°，则∠APB＝300°﹣θ，＝，＝，故x•y＝＝＝＝当θ＝150°时，等号成立．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知α∈（，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则tanα＝﹣2．解：因为2sin2α＝cos2α﹣1，所以4sinαcosα＝1﹣2sin2α﹣1，因为α∈（，π），可得2cosα＝﹣sinα，可得tanα＝﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣1．解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数z＝2x+y可化为y＝﹣2x+z，平移目标函数知，当目标函数过点C（0，﹣1）时，直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，所以z的最小值为z min＝2×0﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．15．点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为．解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|＝a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即有4b2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，可得a＝c，即e＝，故答案为：．16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是．解：由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为2，如图，该六面体的体积为V＝2V S﹣ABC＝2×＝，当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，SA＝2，OA＝，故SO＝，SD＝，OD＝，因为SO×OD＝SD×OE，所以球的半径OE＝＝，所以该球的表面积为4，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（1）必考题：每小题12分，共60分．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PA上一点，且3PE＝2PA．（1）证明：平面EBC⊥平面PAC；（2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD＝CD＝1，∴，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A．PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面PAC；…………………………………………（2）解：以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．易知．则，．设是平面BCE的法向量．则即所以可取∵∴直线PB与平面BEC所成角的正弦值为．…………………………………18．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，S11＝77，且a2，a6﹣1，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．解：（1）由题意可得即又因为d＞0，所以所以a n＝n+1．………………………………………（2）∵，∴＝．∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n﹣1≥0成立．∴存在n∈N*，使得成立．即存在n∈N*，使得成立．∵（当且仅当n＝2时取等号）．∴，即实数λ的取值范围是．…………………………19．2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p．所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k＝（1﹣p）k，呈阳性反应的概率为1﹣q k＝1﹣（1﹣p）k．依题意可知，所以X的分布列为：XP（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k………………………………………（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为：，∵p＝0.1∴当k＝2时，，此时480人需要化验的总次数为331次，k＝3时，，此时480人需要化验的总次数为290次，k＝4时，，此时480人需要化验的次数总为285次，即k＝2时化验次数最多，k＝3时次数居中，k＝4时化验次数最少．而采用方案①则需化验480次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k＝4时化验次数最多可以平均减少480﹣285＝195次．………………20．已知点P到的距离与它到直线l：x＝的距离之比为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点D（﹣3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．解：（1）设点P（x，y），由题意可得．化简整理可得，所以点P的轨迹E的方程为．………………………………………（2）证明：由（1）可得，过点D的直线l斜率存在且不为0，故可设l的方程为y＝kx+m（k≠0），B（x1，y1），C（x2，y2），由得（4+9k2）x2+18kmx+9m2﹣36＝0，△＝（18km）2﹣4（4+9k2）（9m2﹣36）＝144（9k2﹣m2+4）＞0，即m2＜9k2+4，，而＝＝＝＝＝，由于直线l过点D（﹣3，8），所以﹣3k+m＝8，所以（即为定值）．………………………………………21．已知函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）．（1）若函数y＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导函数）在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）当m＝1时，若关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）的导数f'（x）＝e x+m（4x﹣3），∴f''（x）＝e x+4m，∵y＝f'（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f''（x）＝e x+4m≥0在（1，+∞）上恒成立，∴m≥﹣在（1，+∞）上恒成立，∴，故m的取值范围为．（2）当m＝1时，f（x）＝e x+2x2﹣3x，∵关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，∴，设，则，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y'＝e x﹣1，可得x＞0时，y'＞0，函数y＝e x﹣x﹣1递增，x＜0时，函数y＝e x﹣x﹣1递减，则e x﹣x﹣1≥0，即e x≥x+1＞0，∴当x≥1时，，则在[1，+∞）递增，可得，则，即a的取值范围是（﹣∞，e﹣]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，射线分别交C1，C2于A，B两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．解：（1）∵（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2﹣4ρsinθ＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．………………………………（2）依题意设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∴由，可得ρ1＝4sinα，由，得ρ2＝4cosα．∵，∴ρ1＞ρ2，∴|AB|＝|OA|﹣|OB|＝ρ1﹣ρ2＝4sinα﹣4cosα，∵OM是圆C2的直径，∴．∴在直角Rt△OAM中，|AM|＝4cosα，∵在直角Rt△ABM中，，∴|AB|＝|AM|，即4sinα﹣4cosα＝4cosα，∴tanα＝2．………………………………………23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2＝M，试证明：．解：（1）易知因为f（x）≤5，所以，或，或所以，或0≤x≤2，或∅，所以，所以不等式的解集为（2）证明：∵f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|≥|x﹣2|+|（x﹣2）﹣（x+1）|＝|x﹣2|+3≥3，当且仅当x＝2时取等号．∴f（x）的最小值为M＝3，所以a2+b2＝3，所以＝，当且仅当，即a2＝1，b2＝2时取等号．。

陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(文)试卷Word版含解析

长安一中2021—2021学年度第一学期第一次质量检测
高三年级数学(文科)
一､选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.假设复数为纯虚数，那么实数的值为
A. 3B.1C. -3D. 1或-3
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得
考点：纯虚数概念
A. 向右平移个长度单位B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位D. 向左平移个长度单位
【答案】A
【解析】
【分析】
由图计算和，再将代入计算得，所以可得
，然后即可判断出函数是由函数向右平移个单位得到.
【详解】由图可知，，，得，所以，将代入可得，
，得，又，所以，所以
11.点是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是〔〕
A. 2B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
椭圆，即为，那么椭圆的，那么由为的中线，即有，那么，可设，那么，即有，当时，取得最小值，那么的最小值为，应选A.
12.函数对任意都有，假设的图象关于直线对称，且，那么
又圆心坐标为〔0，0〕，半径R=2，
∴AB= .
∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d= AB= = ，
∴|a|=2，
∴a=±2．
故答案为C．
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.

西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第二次教学质量检测数学(理)试卷(PDF版)

an
−
1 2
．
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）若 bn
=
2n an+2 − an+1
，设数列{bn } 的前
n
项和为 Tn , n ∈ N* ，证明 Tn
<
3 4
．
高三理科数学第 3 页 (共 6 页)
18（. 本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠ABC =60° ，
理科数学答案第 1 页 (共 6 页)
又 BC ⊂ 平面 BCP ，所以平面 PAE ⊥ 平面 BCP .
（2）解：设 A=B P=A a ，则= PB = 2a PC ，因为 PA2 + AB2 = PB2 ，所以 PA ⊥ AB ，
同理可证 PA ⊥ AC ，所以 PA ⊥ 平面 ABCD .
13.二项式
x
+
2 x2
10
，则该展开式中的常数项是______.
2a－b≥5， 14．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组a－b≤2，
a<7，
设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名，则 x＝______.
15.已知在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 sin A = 2 sin B ，
（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人数；（ⅱ）从 10 人的样本中随机抽取 3 人，用 X 表示这 3 人中文科生的人数，求 X 的分布列和数学期望．参考数据及公式：
P( K 2 ≥ k0 ) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0
2.706 3.841 6.635 10.828