阿拉伯数学

阿拉伯数学
mathematics in Arab
阿拉伯数学指中世纪在中东、北非以及西班牙等地的伊斯兰国家里，以阿拉伯文为主要文字写成的数学著作所代表的数学。

为阿拉伯数学作出贡献的数学家，就其各自的民族而言，并不限于是阿拉伯人。

这些阿拉伯数学著作都是手抄本，其中有不少辗转流传至今，收藏在世界各地的图书馆和博物馆中。

一·阿拉伯数学，伴随着整个中世纪阿拉伯科学的兴衰，大致上可以划分为三个时期。

（一）从8世纪到9世纪中叶，阿拔斯王朝在巴格达创办了“智慧之宫”,其中附设有天文台和图书馆,在这里集中了许多来自波斯、叙利亚、埃及和印度的学者。

这一时期是以翻译为主的数学知识传入时期。

最先是欧几里得的《几何原本》,不久,印度数学家婆罗摩笈多的著作也被翻译成阿拉伯文。

随后阿基米德、阿波罗尼奥斯、丢番图、托勒密等古希腊数学家的著作也相继被译成阿拉伯文。

这一时期的著名数学家是花拉子米。

他除了译注工作之外，还编写了著名的《阿尔热巴拉和阿尔穆卡巴拉》(意为“还原与对消的科学”)、《花拉子米算书》(在许多拉丁文科学著作中以“Liber Algorismi”而闻名)等著作。

现在人们常用的“代数学”（Algebra）和“算法” (algorithm)二个名词即来源于这两部著作的书名。

（二）9世纪中叶到13世纪是阿拉伯数学的兴盛时期。

其间在巴格达、布哈拉、开罗以及西班牙境内的科尔多瓦和托莱多等地，出现了许多学术研究中心，这一时期的著名数学家有：巴塔尼、阿布·瓦法、卡拉基、比鲁尼、奥马·海亚姆、纳西尔丁·图西、班纳等人。

（三）14世纪后，除15世纪在帖木耳王朝的撒马尔干天文台和在此工作的卡西外，整个阿拉伯数学处于衰落时期。

二·阿拉伯数学的成就
阿拉伯数学的主要成就在算术方面有：十进位值制数码、笔算（这两项均受到印度影响）、开高次方、若干级数的求和公式等。

在代数方面有：一次和二次方程解法（方程两端的移项、合并）、三次方程的几何解法、二项展开式的系数表等。

几何方面有：欧几里得《几何原本》的译注，关于平行公理问题的探讨、圆周率的计算（卡西曾算至小数第16位）等。

三角法方面也比古希腊和印度完备。

从12世纪时起，阿拉伯数学通过北非的地中海沿岸向西的文化走廊逐渐传入西班牙和欧洲。

特别是十进位值制数码、笔算、《几何原本》的译本等等，对西欧以至对后来整个世界数学的发展产生了重要影响。

中国古代数学的某些内容(十进位值制记数法、比例问题、不定方程、二项展开式系数表、高次开方法、盈不足术等)也传入阿拉伯（有些则是先经由印度）并通过阿拉伯数学再传入欧洲。

但是，阿拉伯数学著作中的绝大部分并未被译成拉丁文而传入欧洲，只是到了19世纪以后，阿拉伯数学的许多内容才逐渐被整理出来。

阿拉伯数学吸收了古希腊、印度、中国和本地区的古代数学成果，融汇东西方古代数学于一身，西传之后，对文艺复兴以后世界数学的发展，产生了积极的影响。

另外，阿拉伯数学对比较数学史的研究来说，也是很重要的。

三·阿拉伯的代数
（一）花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉伯语“al-jabr”，意为还原移项；“wa’l-muqabala”即对消之意．传入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》．
书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路．
《代数学》约1140年被英国人罗伯特(Robert of Chester)译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破.
《代数学》分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题．
花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类型方程．由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有明显的代数特征。

花拉子米的另一本书《印度计算法》(Algoritmi de numero indorum)也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法．正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来，更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码．
该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，其中Algoritmi是花拉子米的拉丁译名，现代术语“算法”(Algorithm)即源于此．
（二）奥马·海亚姆与三次方程
波斯人奥马·海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。

他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程．
奥马·海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几何解法。

四·阿拉伯的三角学与几何学
由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》(Sphaerica)等古典著作．
对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家．其《天文论著》(又名《星的科学》)被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果．
在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切．他称正弦为ji va，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为umbrarecta，意即直阴影．后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于
丹麦数学家芬克(1561—1656)的《圆的几何》(1583)一书中．
而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa ，940—997?)最先引入的．
艾布·瓦法和比鲁尼等人进一步丰富了三角学公式．艾布·瓦法曾在巴格达天文台工作，其重要的天文学著作《天文学大全》继承并发展了托勒玫的《大汇编》。

其中除一些精细的三角函数表外，还证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理，证明了平面和球面三角形的正弦定理．
比鲁尼曾经得到马蒙(Ma'mun)哈里发的支持，在乌尔根奇建造天文台并从事天文观测，是一位有146多部著作的多产学者，其《马苏德规律》一书，在三角学方面有一些创造性的工作．他给出一种测量地球半径的方法。

比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式，后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sinl’的值．
如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变．
他的天文学著作《伊儿汗天文表》(1271)是历法史上的重要著作，其中测算出岁差51〞／每年，其《天文宝库》则对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型。

他的《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学专著．该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理．讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(C 为直角)：
并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角相区别的一个重要标志．纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪欧洲三角学的发展起着非常重要的作用．
与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的．例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式 作代数运算而求解，而不是利用几何关系来推算，这是一种进步．
与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花．最重要的例子是他们在评注《几何原本》的过程中，对第五公设引起了注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari ，约830)、塔比·伊本，库拉(Thabit ibn Qurra ，约826---901)、伊本。

海塞姆(Ibn al-Haytham,965—1040?)、奥马，海亚姆以及纳西尔·丁等人。

阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生产生了一定的影响．
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cot tan sin ;sin sin sin ;cot tan cos ;sin cos cos ;cot cot cos ;cos cos cos B a b B c b C b A B a A B A c b a c ======
（四）古代阿拉伯篇——数学的桥梁
提起古代阿拉伯人对数学的贡献，人们自然会想到1，2，…，9，0这十个“阿拉伯数字”。

其实，这十个“阿拉伯数字”最早是由古代印度人创造的，后来古代阿拉伯人将这十个数字传播到了欧洲，欧洲人就把这十个数字称为“阿拉伯数字”。

在数学的发展过程中，古代阿拉伯人主要是吸收、保存了古希腊和印度的数学，并将它传给欧洲，架起了一座数学的桥梁。

在算术上，古代阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。

“代数”这门学科的名称，就是由阿拉伯人发明的。

阿拉伯人还解出一些一次、二次，甚至三次方程，并且用几何图形来解释他们的解法。

另外，古代阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程，这是一大进步。

古代阿拉伯人也获得了较为精确的圆周率，他们计算出2π＝6.283185307195865，π值已计算到了小数点后面第15位。

此外，他们在三角形上引进了正切和余切，并且给出了正弦定理的证明。

古代阿拉伯人还翻译并著述了大量数学文献，这些著作传到欧洲后，对后世数学的发展起了巨大的推动作用。

因此，把古代阿拉伯数学称为数学的桥梁，是当之无愧的。

基本内容
从九世纪开始，数学发展的中心转向拉伯和中亚细亚。

自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。

在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。

从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。

来自各地
的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。

在翻译过程
中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。

阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世
纪还充满活力。

花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的数学家，他编写了第一本用阿拉伯语在伊斯兰世界介绍印度数字和记数法的著作。

公元十二世纪后，印度数字、十进制值制记数法开始传入欧洲，又经过几百年的改革，这种数字成为我们今天使用的印度─阿拉伯数码。

花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》(《代数学》)系统地讨论了一元二次
方程的解法，该种方程的求根公式便是在此书中第一次出现。

现代
“algebra”(代数学)一词亦源于书名中出现的“al jabr”。

三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。

阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发展了三角学。

他们引进了几种新的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角
恒等式。

给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。

其中著名的数学家有：阿尔巴塔尼(Al-Battani)、阿卜尔维法(Abu'l-Wefa)、阿尔比鲁尼(Al-Beruni)等。

系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁(Nasir ed-din)完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。

在近似计算方面，十五世纪的阿尔卡西(Al-kashi)在他的《圆周论》中，叙述了圆周率π的计算方法，并得到精确到小数点后16位的圆周率，从而打破祖冲之保持了一千年的记录。

此外，阿尔卡西在小数方面做过重要工作，亦是我们所知道的以「帕斯卡三角形」形式处理二项式定理的第一位阿拉伯学者。

阿拉伯几何学的成就低于代数和三角。

希腊几何学严密的逻辑论证没有被阿拉伯人接受。

总的来看，阿拉伯数学较缺少创造性，但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期，其成绩相对显得较大，值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去后，这些精神财富才传回欧洲。

欧洲人主要就是通过他们的译著才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。