随机振动 功率谱密度

第7章功率谱密度函数7.1 自相关的物理意义及其傅里叶变换7.2 自功率谱密度函数及其性质7.3 窄带随机过程与宽带随机过程7.4 互功率谱密度函数及其性质7.5 共相谱、正交谱和相干函数7.1 自相关的物理意义及其傅里叶变换自相关函数的物理意义可以表达现在的波形与时间坐标平移后的波形之间的相似程度表达随机过程两个不同截口处的两个随机变量之间的相关程度自相关函数与原始信号具有相同的周期（频率）、衰减率（阻尼）动态特性可用来检测随机过程中是否含有周期成分，或者其信号特征自功率谱计算的依据自相关函数既包含了一个随机过程间隔时间的相关程度和依赖性，同时也包含了能量大小的信息。

不过要注意，相关性再也不是象相关系数那样能够用-1到1这样的数来表示相关大小了自相关函数的性质1：⑴自相关函数是偶函数x x R E X t X t E X t X t R自相关函数的性质2：⑵周期平稳过程的自相关函数也是周期函数，其周期与过程的周期相同。

x x R T E X t X t T E X t X t R自相关函数的性质3：⑶τ=0时的自相关函数就是均方值20x x xR E X t X t R E X t X t⑷如果随机过程不是周期过程，则：22222222 01000x x xxx x xxx xxxx x C R R R R时，随机变量与它自身是完全相关的时，两个随机变量之间将不再相关前提：不是周期函数若，则 2lim x xR自相关函数的性质4：⑸自相关函数是一个有界函数22222 110xxx x xxxR R一般τ越大，则两时刻的随机变量X(t1)和X(t1+τ)之间的相关性愈差。

τ↑，Rx(τ)↓。

自相关函数的性质5：一、自功率谱密度函数二、互功率谱密度函数自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化→“平均功率”的时间结构。

功率谱密度S x (f)：描述“平均功率”在频域（谱域）的分布→频率结构。

二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计特性。

在不同的场合，各有所长，相辅相成。

自相关函数的傅里叶变换12j x x j x x S R ed R S ed维纳—辛钦关系式7.2 自功率谱密度函数定义：用符号Sx (ω)记作Rx(τ)的傅立叶变换22j f x x j f x x S f R e d R S f edf维纳—辛钦关系式12j x x j x x S R e d R S ed存在上述傅立叶变换的条件： x R d一般地，τ↑，R x (τ) ↓∴R x (τ)的傅立叶变换一般是存在的。

自然频率形式为什么称为“功率谱”？设是作用在R ＝1上的电压信号，则是瞬时功率信号，而平均功率22201limx x T T x T R S f dff t dt S f dfT而一方面，此式表示平均功率的时间结构，即各个瞬时的功率对于平均功率的贡献。

另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功率成分S x (f )d f 对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。

2x t x t 2x t 22221lim 0T T x xT x t dt R T2xt为什么称为功率谱“密度”x S f df量纲： 22sin /Hzx x x t A t m R mS f m 单位：单位：单位：功率频率dff S x )(自谱密度S x (f )的性质：（1）S x (f )≥0 （2）2222 j f j f x x x u j fuj fux x x S f R ed R ed R u edu R u edu S f＝ x S f f 是的偶函数cos 2sin 2cos 2x x x S f R f j f d R f dx x R S f 是实函数 也是实函数02cos 2x x R S f f df＝相应地，功率谱密度（3）随机过程的自谱在整个频域上的积分等于随机过程的均方值。

20x xx R S f df（4）双边谱x S f f ，，工程上，把自谱定义在正半轴上，称为单边谱。

2,00,x x S f f G f f（5）导数过程的自谱2x xS S从Parseval 定理角度来定义功率谱密度——信号在时域的总能量等与它在频域的总能量22212x t dt X f df X dx t 设是平稳随机过程的一个样本函数，一般情况下它不一定能满足绝对可积的条件，为此引入辅助函数：T T , -22T 0 , t 2T x t t x t2222212T T T T T x t dt x t dt X d根据Parseval 定理22221112TT T T x t dt X d TT22222111lim lim211=lim 2T T T T T T T T x t dt X d TTX d T, T T x t x t 22211lim 21=2xT T x E X t E X d TS d21lim x T T s E X T对于各态历经过程：21lim x T T s X T例如。

例1：初相位是随机的正弦随机过程x=x 0sin(2πf 0t+φ)，其中φ是随机变量，取值在0～2π范围的等概率密度的随机变量，求自谱。

由前面自相关函数的求解方法得：0202cos 2)(f x R xx )]()([42cos 2)(00202020f f f f x d ef x f S i f xx例如。

例2：如图的自功率谱函数，求其自相关函数。

)(cos )(sin 22cos 2)(110022022012212f f f f S df f S df e df e S df e df e S R f f f f f i f f f i ff f i f f f i xx例如。

例3：如图的自功率谱函数，求其自相关函数20202sin )(f S dfeS R f f f i xx若f 2趋于无穷大，则为一个白噪声随机过程：)()(020S dfeS R f i xx2222224d1 d 12 E X 21 E X 2x x x x x x R R S S S d S d窄带过程是功率谱S x (ω)具有尖峰特性,并且只在该尖峰附近的一个窄频带内S x (ω)才取有意义的量级。

典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结果。

窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦波，他的谱线是对称分布的两个δ函数。

7.3 窄带随机过程与宽带随机过程宽带过程是指功率谱S x (ω)在相当宽的频带上取有意义的量级。

宽带过程最极端的情形是理想白噪声，它的谱密度是均匀的并且具有无限的带宽。

理想白噪声：数学抽象，谱密度均匀并且具有无限的带宽，这意味着该随机过程将具有无限大的能量，这实际是不可能得到的。

实际的随机过程往往是宽带的，并具有大致均匀的分布，但带宽却是有限的，这类过程常称为限带白噪声。

典型信号的自谱正弦：为一δ函数窄带：功率谱具有尖峰宽带：功率谱较宽白噪声：某一平稳随机过程包含有0～∝的所有频率成分，且每个频率所具有的平均功率大小相等，即功率谱为平行于横轴的直线，这样的平稳随机过程称为白噪声自谱带宽与时间信号衰减的关系？自相关函数衰减越快，则自功率谱带宽越宽相反，自功率谱带宽越宽，自相关函数衰减越快类似于自功率谱的定义，定义互相关的傅氏变换为互功率谱密度函数，相应地，互功率谱密度函数的傅氏逆变换为互相关函数dfe f S R d e R f S f i yx yx f i yx yx22)()()()(dfe f S R d e R f S f i xy xy f i xy xy22)()()()(7.4 互功率谱密度函数定义：2j f xy xy S f R e dj yx yx S R ed对于各态历经过程：对于平稳过程：*1lim xy T T T s E X Y T*1lim xy T T T s X Y T)(),(21lim ),(),(21lim )(2*f S T f X TT f X T f X T f S Y X x T T xy 为同一时间历程，则、特别地，当互功率谱密度函数性质：（1）互谱一般是复函数（2）互为共轭复数*xy xy yx S S S ==（3）互谱是有界函数xy x y S S S 2（4）两个不相关且均值为零的随机过程xy S =例如例：有一白噪声各态历经随机过程X ，其自谱密度为S 0，另有一白噪声各态历经随机过程Y ，其自谱密度也为S 0，此二过程的关系为X(t)=Y(t+T)，试求R xy (τ) 、R yx (τ)、S xy (f)、S yx (f)fTi yx fTi f i f i xy xy xy yx xx xy eS f S eS d eT S d eR f S T S R R T S T R T t X t X E t Y t X E t Y t X E R202020200)()()()()()(功率谱的两种表示形式等频带⏹等差关系⏹等差数列倍频带⏹等比关系⏹等比数列1/3倍频带1/12倍频带……功率谱的应用汽车的平顺性：是汽车的重要性能之一，影响疲劳、货物损坏、零部件使用寿命画一个轿车和驾驶员的图人体振动反应对频率敏感；垂直振动敏感区域4~12.5HZ,水平是1~2HZ 以下；时间越长人体能够不疲劳地承受的加速度均方根值就越小dff S i i f f xix)(上下功率谱的应用功率谱的应用汽车噪声问题7.5 共相谱、正交谱和相干函数)()(sin )(cos )()()(XY XY xy xy j xy xy jQ C d R j d R d eR S由于互谱一般为复数，的奇函数，称为正交谱它是的偶函数，称为共相谱它是式中， )(sin )()()(cos )()(XY xy XY XY xy XYQ d R Q C d R C)()()()( YX XY YX XY Q Q C C 复数，因此由于两个互谱互为共轭相干函数凝聚函数）为谱相干函数（又称为定义：复数，因此由于两个互谱互为共轭)()()()()()()(222y x yx y x xy xy S S S S S S1)(0 )()()(22xy y x xy S S S 可以证明：()2()()1lim ()()21lim ()()21lim ()()21lim ()2j xx xx T j TT T j t j t T T T j t TT T S R e d x t x t dte d T x t e d x t e dt T x t e dtX T X T功率谱密度(补充)：证明211lim ()221()(0)2r T r xx xx P X d T P S d R自谱密度函数性质：●偶函数●非负性()()()0xx xx xx S S S 功率谱密度：证明（续）功率谱密度：单边谱与双边谱工程中无负频率，常用单边谱，且频率单位用Hz,此时有：01(0)()21()22()r xx xx xx xx P R S d W f df W f df其中：()2()xx xx W S ☞在对应的频率处，单边谱值是双边的两倍。