随机振动 功率谱密度

第7章功率谱密度函数

7.1 自相关的物理意义及其傅里叶变换7.2 自功率谱密度函数及其性质

7.3 窄带随机过程与宽带随机过程

7.4 互功率谱密度函数及其性质

7.5 共相谱、正交谱和相干函数

7.1 自相关的物理意义及其傅里叶变换

自相关函数的物理意义

可以表达现在的波形与时间坐标平移后的波形之间的相似程度

表达随机过程两个不同截口处的两个随机变量之间的相关程度

自相关函数与原始信号具有相同的周期（频率）、衰减率（阻尼）动态特性

可用来检测随机过程中是否含有周期成分，或者其信号特征

自功率谱计算的依据

自相关函数既包含了一个随机过程间隔时间的相关程度和依赖性，同时也包含了能量大小的信息。不过要注意，相关性再也不是象相关系数那样能够用-1到1这样的数来表示相关大小了

自相关函数的性质1：

⑴自相关函数是偶函数

x x R E X t X t E X t X t R

自相关函数的性质2：

⑵周期平稳过程的自相关函数也是周期函数，其周期与过程的周期相同。

x x R T E X t X t T E X t X t R

自相关函数的性质3：

⑶τ=0时的自相关函数就是均方值

2

0x x x

R E X t X t R E X t X t

⑷如果随机过程不是周期过程，则：

2

2222222 01000

x x x

x

x x x

x

x x

x

x

x x C R R R R

时，随机变量与它自身是完全相关的时，两个随机变量之间将不再相关前提：不是周期函数若，则 2lim x x

R

自相关函数的性质4：

⑸自相关函数是一个有界函数

22222 11

0x

x

x x x

x

x

R R

一般τ越大，则两时刻的随机变量X(t1)和X(t1+τ)之间的相关性愈差。

τ↑，Rx(τ)↓。

自相关函数的性质5：

一、自功率谱密度函数二、互功率谱密度函数

自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化→“平均功率”的时间结构。

功率谱密度S x (f)：描述“平均功率”在频域（谱域）的分布→频率结构。

二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。

自相关函数的傅里叶变换

1

2j x x j x x S R e

d R S e

d

维纳—辛钦关系式

7.2 自功率谱密度函数

定义：用符号Sx (ω)记作Rx(τ)的傅立叶变换

22j f x x j f x x S f R e d R S f e

df

维纳—辛钦关系式

1

2j x x j x x S R e d R S e

d

存在上述傅立叶变换的条件： x R d

一般地，τ↑，R x (τ) ↓

∴R x (τ)的傅立叶变换一般是存在的。

自然频率形式

为什么称为“功率谱”？

设是作用在R ＝1上的电压信号，则是瞬

时功率信号，而平均功率

2

22

01

lim

x x T T x T R S f df

f t dt S f df

T

而一方面，此式表示平均功率的时间结构，即各个瞬时的功率对于平均功率的贡献。另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功

率成分S x (f )d f 对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。

2x t x t 2x t 22

22

1lim 0T T x x

T x t dt R T

2x

t

为什么称为功率谱“密度”

x S f df

量纲： 22

sin /Hz

x x x t A t m R m

S f m 单位：单位：单位：

功率频率

df

f S x )(

自谱密度S x (f )的性质：

（1）S x (f )≥0 （2）

2222 j f j f x x x u j fu

j fu

x x x S f R e

d R e

d R u e

du R u e

du S f

＝ x S f f 是的偶函数

cos 2sin 2cos 2

x x x S f R f j f d R f d

x x R S f 是实函数 也是实函数

02cos 2x x R S f f df

＝相应地，

功率谱密度

（3）随机过程的自谱在整个频域上的积分等于

随机过程的均方值。

20x x

x R S f df

（4）双边谱

x S f f ，，工程上，把自谱定义在正半轴上，称为单边谱。

2,

00,

x x S f f G f f

（5）导数过程的自谱

2

x x

S S

从Parseval 定理角度来定义功率谱密度

——信号在时域的总能量等与它在频域的总能量

2

22

12x t dt X f df X d