§3.1.2集合的描述法
集合的三种表示法
集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
集合的表示---描述法
例题2 用描述法表示下列集合 (1)偶数集； (2)被3整除的数组成的集合； (3)被3除余1的数组成的集合；
练习 用描述法表示下列集合 (1)函数 y x上所有的点组成的集合； (2)坐标平面内，第一三象限的点组成的集合； (3)线段AB的中垂线上所有的点组成的集合；
2、图示法（韦恩图）
画一条封闭曲线，用它的内部表示集合的方法， 简称韦恩图。 同一个集合，可以用多种方法表示
描述法表示集合的形式：
x A
P ( x ) 或
x
P ( x )
用自然语言描述该集合
(1)A x R x 10
(2)B x Z x 2n, n Z
D x x 10
E x x 2n, n Z
(3)C x Z x 2n 1, n Z F x x 2n 1, n Z
例、用列举法表示下列集合： (1)小于5的所有自然数组成的集合； (2)方程x x 的所有实数根组成的集合；
2
x y 2 (3)方程组 的解集 x y 0 思考：
集合A {1,2},B {(1,2)},C {合所含元素的共同特征表示集合的方法
集合的含义与表示
2019年4月8日星期一
集合的三要素：
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的．
(2)互异性：集合中的元素不能重复.
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的.
小写字母表示元素，大写字母表示集合
元素与集合的关系 元素与集合只有两种关系是属于与不 属于的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合 A记作
a A
如果a不是集合A的元素，就说a不属于 集合A记作
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
1.2集合的表示法
1.2 集合的表示法
二、知识点链接
集合的表示法 ①列举法： {a1 , a 2 , a3 , L} ②描述法：{元素具有的共同特征} 或{x| x具有的共同特征}
例1.用列举法表示下列集合： (1)由1,2,3,4,5,6组成的集合； (2)方程 x- 1 = 0 的解组成的集合； (3)小于100的所有自然数组成的集合.
例2、用描述法表示下列集合： (1)大于6的实数组成的集合; (2)不等式 2 x- 3 < 0 的解组成的合; (3)所有三角形组成的集合
例3、用列举法表示下列集合： { （1） x | x = 2k + 1, k N }; { （2） x | x是中华人民共和国首都 }； { （3） x | x是等腰直角三角形内角的度数}.
四、当堂训练
教材第5页练习1,2 数学学案第6页第4当堂训练（1），（2），（3）
五、归纳总结
①当集合为有限集时，一般情况下，用 集合为无限集时，一般情况下，用 法表示； 法表示；当
②用描述法表示集合时，用语言文字描述时要注意 ， 集合中元素的性质不仅可以用文字语言描述, 还可以用 描述.
例1、用适当的方法表示下列集合： (1)大于-1且小于3的整数组成的集合; 4 (2)不等式 x- 5 < 3 的解集; (3)平面直角坐标系中,直线 y = x 上的 点组成的集合
1.注意灵活选用列举法、描述法表示集合； 2.表示点集时,用 表示集合中的元素.
1.教材 P6- 7 习题1,2,3 2.数学学案 P6- 7 B组1,2,3,4
一、问题探究 探究1.指出下列集合中的元素有 探究 指出下列集合中的元素有 哪些？ 哪些？ （1）小于 的正整数的集合 ）小于5的正整数的集合 （2）中国古代四大发明 ）
《集合的表示方法》
集合的表示方法
精选课件
1
列举法
集合由三种表示方法
描述法
区间及其表示
精选课件
2
列举法
（1）把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写 在大括号内，以此来表示集合的方法。如： 由两个元素0、1组成的集合可用列举法表示为{0，1}； 24的所有正因数组成的集合可用列举法表示为： {1，2，3，4，6，8， 12，24}。 （2）如果元素较多或者无穷多个，且能按照一定规律排列，那么在不发 生误解的情况下，可以按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省 略号表示，如： 不大于100的自然数组成的集合{0，1，2，3，……，100}； 自然数集N={0，1，2，3，…，n，…}。
（1）[-1，3]; （2）（0，1]; （3）[2，5）； （4）（0，2）； （5）（-∞，3）； （6）[2，+∞）；
（2）{x|0<x≤1}; （4）{x|0<x<2}; （6）{x|x≥2};
精选课件
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小结
（1）列举法表示集合； （2）描述法表示集合； （3）运用区间表示集合；
精选课件
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8
区间及其表示1
（1）如果 a<b，则集合{x|a≤x≤b}可以简写为[a，b]，并成为闭区间；
（2）如果 a<b，则集合{x|a<x<b}可以简写为（a，b），并成为开区间；
（3）如果a<b，则集合{x|a≤x<b}可以简写为[a，b），并成为左闭右开 区间；
（4）如果a<b，则集合{x|a<x≤b}可以简写为（a，b]，并成为左开右闭 区间；
离散数学第3章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
集合描述法注意
集合描述法注意1. 引言在数学中，集合是由一些元素组成的整体。
描述集合的方法有很多种，其中一种常用的方法是集合描述法。
集合描述法是用一种简洁的方式来描述集合中的元素的方法。
在使用集合描述法时，需要注意一些规则和注意事项，以确保描述的准确性和清晰度。
2. 基本概念在使用集合描述法之前，我们需要了解一些基本概念：•元素：集合中的个体，可以是任何事物。
•集合：由一些元素组成的整体。
•描述：用特定的方式来表达或说明。
3. 集合描述法的格式集合描述法通常使用花括号（{}）来表示集合，元素之间用逗号（,）分隔。
在集合描述法中，可以使用以下几种方式来描述集合：•列举法：直接列举出集合中的元素。
•描述法：通过描述元素的特点或属性来表示集合。
3.1 列举法列举法是一种直接列举出集合中的元素的方式。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4, 5}。
这表示集合A中包含了元素1、2、3、4和5。
3.2 描述法描述法是一种通过描述元素的特点或属性来表示集合的方式。
例如，集合B可以表示为：B = {x | x 是偶数，且 0 < x < 10}。
这表示集合B中包含了所有满足条件“x 是偶数，且0 < x < 10”的元素。
在描述法中，可以使用以下几种方式来描述集合：•条件描述：通过条件来描述集合中的元素。
•数学符号描述：使用数学符号来描述集合中的元素。
3.2.1 条件描述条件描述是一种通过条件来描述集合中的元素的方式。
条件描述通常使用竖线（|）来表示。
例如，集合C可以表示为：C = {x | x 是正整数，且 x < 10}。
这表示集合C中包含了所有满足条件“x 是正整数，且x < 10”的元素。
3.2.2 数学符号描述数学符号描述是一种使用数学符号来描述集合中的元素的方式。
例如，集合D可以表示为：D = {x ∈ N | x < 10}。
这表示集合D中包含了所有满足条件“x 是自然数，且x < 10”的元素。
第二讲 集合的表示法
第二课时 集合的表示【学习导航】知识网络学习要求1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法； 2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用， 3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课堂互动】自学评价1. 集合的常用表示方法： （1）列举法将集合的元素一一列举出来，并____________________表示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的； ③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以表示任何事物. （2）描述法将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式, 称之为描述法. 注意：①写清楚该集合中元素满足性质； ②不能出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”； ④所有描述的内容都要写在集合的括号内； ⑤用于描述的语句力求简明，准确. 思考:还有其它表示集合的方法吗？ 【答】文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形} 图示法（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部代集合. 2. 集合相等如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________ 【精典范例】一、用集合的两种常用方法具体地表示 集合 例1．用列举法表示下列集合： （1）中国国旗的颜色的集合；集合的表示 描述法 列举法（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；（5）由||||(,)a ba b Ra b+∈所确定的实数集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }分析：先求出集合的元素，再用列举法表示.【解】（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}；（5）{-2，0，2}；（6）{(0，8)，(2，5)，(4，2)}点评:（1）用列举法表示集合的步骤为：①求出集合中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性. 例2．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使2xyx-=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（5）图中阴影部分内点的集合；-12-11oyx分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}（2）{x|x≤2且x≠0 }（3）∅（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}（5）{(x,y)| 0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 或0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 点评: 用描述法表示集合时，注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性.追踪训练一1.用列举法表示下列集合： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数} (3) {x|x 为不大于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z} 2. 用描述法表示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合； . 3. 下列集合表示法正确的是 (1) {1，2，2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4) 方程组31420x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}.例3．已知A={a|6,3N a Z a∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪些条件． 【解】当a=2时，666332N a ==∈-- 当a=1时，663331N a ==∈-- 当a=0时，662330N a ==∈-- 当a=-1时，66331N a =∉-+ 当a=-2时，6635N a =∉- 当a=-3时，66136N a ==∈- ∴ A={2，1，0，-3}点评:本题实际上是要求满足6被3-a 整除的整数a 的值，若将题目改为63Z a∈-， 则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}. 二、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值．分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.【解】分两种情况讨论： ① 221001a a a a b b b b ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a 2+b 2=2 ②220101a ba ab b b a ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或 这与集合的性质矛盾， ∴ 1+a 2+b 2=2追踪训练1．集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}, C={y|x =234y +}，这三个集合的关系？ 2．已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 思维点拔：例5． 已知集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，用列举法表示a 的值构成的集合A . 点拔：本题集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=2±时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 . 【解】当x 2-2≠0时，x+a=x 2+a⊿=0⇒a=-94，此时，x=12，符合题意，当a=2时，x=21+，符合题意， 当a=-2时，x=12-，也符合题意，∴ A={94-，2，-2}第2课集合的表示分层训练1．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）A．{x|-3<x<11,x∈Q}B．{x|-3<x<11 }C．{x|-3<x<11,x=2k,k∈N}D．{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}2．坐标轴上的点的集合可表示为（）A．{(x,y)|x=0,y=0；或x≠0,y=0}B．{(x,y)|x2+y2=0}C．{(x,y)|xy=0}D．{(x,y)|x2+y2≠0}3．下列四个关系式中，正确的是（）A．a∈{a,b} B．{a}≤{a,b}C．a∉{a} D．a≤{a,b}4．下列表示同一个集合的是（）A．M={(1,2)}，N={(2,1)}B．M={1,2}，N={2,1}C．M={y|y=x-1，x∈R}，N={y|y=x-1，x∈N}D．M={(x,y)|112yx-=-}，N={(x,y)|y-1=x-2}5．集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈N}，a∈P，b∈Q，则有（）A．(a+b)∈P B．(a+b)∈QC．(a+b)∈RD．(a+b)不属于P、Q、R中的任意一个6．集合{x|x∈N*,x<5}的另一种表示法是____________________________7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；④方程x2+x+1=0的实数根组成的集合．8．已知集合M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，其中a≠0，M=N，求q的值．9．设A={2，3，a 2+2a-3}，B={2，|a+3|}，已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的取值．拓展延伸：10．集合A={x|x=a+b 2，a 、b ∈Z}，x 1∈A ，x 2∈A ，求证：x 1x 2∈A11．下面三个集合：①{x|y=x 2+3x-2}，②{y| y=x 2+3x-2}，③{(x,y)| y=x 2+3x-2}． （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的区别在哪里？第2课 集合的表示1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．{1,2,3,4}7．解： ①{x|x=2k+1，k ∈N}②{(x,y)|x<0，y<0} ③{周长为10cm 的三角形}④∅8．解：分两种情况讨论：①22a d aq a d aq +=⎧⎨+=⎩⇒ a+aq 2-2aq=0， ∵ a ≠0， ∴ q 2-2q+1=0，即q=1，但q=1时，N 中的三个元素均相等，此时无解．②2220,2a d aq aq aq a a d aq ⎧+=⇒--=⎨+=⎩ ∵ a ≠0， ∴ 2q 2-q-1=0又q ≠1，∴ 12q =- ，∴当M=N 时，12 q=-9．解：∵5∈A ∴a2+2a-3=5即a=2或a=-4当a=2时，A={2，3，5}，B={2，5}，与题意矛盾；当a=-4时，A={2，3，5}，B={2,1}，满足题意，∴a=-4 10．证明：∵x1∈A，x2∈A∴设x1=a1+b12，x2=a2+b22∴x1x2=( a1+b12)( a2+b22)=(a1a2++2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈A∴x1x2∈A11．答：（1）是互不相同的集合．（2）①{x|y=x2+3x-2}=R，②{y| y=x2+3x-2}={y|y≥1}③{(x,y)| y=x2++3x-2}={点P是抛物线y=x2+3x-2上的点}。
集合的表示方法之描述法
描述法{x∈R|x<5}
元素无法一一列举但特征明显
当元素为实数 时，可以不标 注取值范围
巩固知识 典型例题
例 3 用描述法表示下列各集合：
(1) 小于 5 的所有整数组成的集合； x Z | x 5
（2）不等式 2x 1 0 的解集；
（3）所有奇数组成的集合；
1.1 集合的概念
1.1.2集合的表示方法之描述法
创设情景 兴趣导入
问题 ：小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?
元素有无穷多个，特征： (1)集合的元素都是实数； (2)集合的元素都小于5. 元素无法一一列举但特征明显
动脑思考 探索新知
描述法．在一个大括号内画一条竖线，竖线的左侧 为集合的代表元素,并标出元素的取值范围，竖线的 右侧为元素所具有的特征性质.
为了简便起见，在使用描述法表示集合时， 可以省略竖线及其左侧的代表元素，用描述性 语言表述集合的特征性质。
例如：所有正奇数组成的集合可以表示为：
{正奇数}
运用知识 强化练习
教材练习1.1.2
2．用描述法表示下列各集合： （1）大于 3 的实数所组成的集合； （2）小于 20 的所有自然数组成的集合；
.
（3）大于 5 的偶数所组成的集合；
（4）不等式 2x 5 3的解集；
（5）由第四象限的所有点组成的集合.
作业：
课本P6习题1.1A组：3
再见
x
|
x
1
2
x x 2k 1, k Z
（4）由第一象限所有的点组成的集合． x, y x 0, y 0
1.2集合的表示法解读
1.4.2
并集
定义： 一般的，对于两个给定集合A，B，把它们 所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A 与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。
A
B
A
B
1.4.2
对于任何两个集合都有
并集
（1）A∪B=B∪A； （2）A∪A=A； （3）A∪ = ∪A=A。 若A B，则A∪B=B；若A B，则 A∪B=A
1.3.1 子集，空集，真子集
很容易由上面几个例子看出集合A中的任何 一个元素都是集合B的元素，集合A，B的 关系可以用子集的概念来表述。
1.3.1 子集，空集，真子集
1. 子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一 个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集 合B的子集，记作：A B （或 B A）， 读作A包含于B（或B包含A）。
1.3.2 集合的相等
对于两个集合A与B，如果A B，且B A，则称集合A与B相等，记作A=B。
例如：A={x|x2=4}，B={2，-2} A和B就是两个相等的集合。
1.3.2 集合的相等
例1：说出下面两个集合的关系 （1）A={1，3，5，7}，B={3，7}； （2）C={x|x2=1}，D={-1，1}； （3）E={偶数}，F={整数}。
1.4.1
交集
很容易看出集合C中的元素既在集合A中， 又在集合B中。
A
C
B
1.4.1
交集
2、交集的概念 一般的，由所有属于集合A又属于集合B的 元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的 交集，记作AB
1.4.1
A B
交集
A∩B ≠ Φ
相交
A∩B=Φ
不相交 A∩A=A
1.5 充分条件与必要条件
集合的两种表示方法
集合的两种表示方法
集合是数学中一个重要概念，它可以表示为一组数据或对象的集合。
确定性一致的元素构成的集合，称为集合。
集合的表示方法有两种：一种是列表法，另一种是集合论的元素法。
列表法
列表法是最常见的集合表示方法，即把集合的所有元素按照一定的顺序写在一起，用英文逗号分隔，用方括号括起来。
例如，集合M={a,b,c,d}可以用列表法表示为：M={a,b,c,d}。
通过列表法，可以把集合中的元素一一列出，从而可以很清楚地表示集合中包含哪些元素。
集合论的元素法
原子模型在1838至1842年间，德国数学家欧十四普集合论的元素法是描述集合的另一种表示方法，即用一句简短的话把集合的元素全部描述出来。
例如，集合M={a,b,c,d}可以使用集合论的元素法表示为“M是a、b、c和d的集合”。
相比列表法，集合论的元素法可以把集合比较简单地描述出来，而不需要一一列出所有的元素，因此被认为更加简洁、简单。
集合的其他表示方法
除了上文介绍的列表法和集合论的元素法外，还有其他表示集合的方法。
例如，用特殊的符号来表示集合，用二维的花式表示法来描述集合，或者把集合的特征用数学公式描述出来。
不过，列表法和集合论的元素法是最常用的表示集合的方法，而其他表示法则一般不常
见。
总结
列表法和集合论的元素法是表示集合最常用的两种表示方法，列表法可以把集合中的元素一一列出，而集合论的元素法可以把集合的特征简短地描述出来。
除此之外，还有其他表示集合的方法，但是这些方法很少被使用。
集合的表示方法
用列举法表示下列集合
（1）我国古代四大发明组成的集合； （2）大于2且小于15的所有素数组成的集合； （3）方程x2=4的所有实数解组成的集合； （4）所有正偶数组成的集合
（1）{造纸术，印刷术，指南针，火药}； （2）{3，5，7，11，13，}； （3）{2，-2}； （4）{2，4，6，…，2n，…}
（1）[-1，3]; （2）（0，1]; （3）[2，5）； （4）（0，2）； （5）（-∞，3）； （6）[2，+∞）；
（2）{x|0<x≤1}; （4）{x|0<x<2}; （6）{x|x≥2};
小结
（1）列举法表示集合； （2）描述法表示集合； （3）运用区间表示集合；
Thank s
ห้องสมุดไป่ตู้
区间及其表示2
（5）集合{x|x≥a}可以简写为[a，+∞）； （6）集合{x|x>a}可以简写为(a，+∞）； （7）集合{x|x≤a}可以简写为（-∞，a]； （8）集合{x|x<a}可以简写为（-∞，a)；
用区间表示下列集合
（1）{x|-1≤x≤3} ; （3）{x|2≤x<5}; （5）{x|x<3};
（1）∉； （2）∉； （3）∉； （4）∉；
例1：用适当的方法表示下列集合
（1）方程x（x-1）=0的所有解组成的集合A； （2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B；
解：（1）因为0和1都是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个 解，所以A={0，1}； （2）因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此 B={（x，y）|x>0，y>0};
描述法
（1）格式1：{x|p（x）}，p（x）称为集合A的一个特征性质。如： 所有平行四边形组成的集合可以表示为：{x|x是一组对边平行且相等的 四边形}； 所有能被3整除的整数组成的集合可以表示为：{x|x=3n，n∈Z}； 所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}； （2）格式2：{x∈I|p（x）}，表示在集合I中，具有特征p（x）的所有 元素组成的集合。如： 所有被3除余1的自然数组成的集合既可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}， 也可以表示为{x∈N|x=3n+1，n∈Z}。
§3.1.2集合的描述法PPT 课件
集合的描述法
§3.1.2集合的描述法
1. 列举法
❖列举法：当集合元素不多时，我们常常把集合的 元素一一列举出来，写在大括号内表示这个集合， 这种表示集合的方法叫做列举法。
形如：A=｛a1，a2，a3，a4，…｝ 范例：用列举法表示下列集合：
1.由不大于6的自然数组成的集合｛; 0，1，2，3，4，5，6｝
｛ x ∈ R︱x2－1=0写 ｝
§3.1.2集合的描述法
巩固练习
❖练习1：用列举法表示下列集合： （1） ｛x︱x 是大于3且小于10的奇数｝； （2） ｛x︱x 2－5x＋6=0｝；
❖练习2：用性质描述法表示下列集合： （1） ｛北京市｝； （2） 大于3的实数的全体构成的集合； （3）平面a内到两定点A、B距离相等的点的 全体构成的集合。
2.中国古代的四大发明构活字印刷，火药｝ 误会的情
3.小于100的自然数组成的集合。
况下可省
｛0，1，2，3，4，5， … ，99｝ 略
§3.1.2集合的描述法
2. 性质描述法
❖(预备概念)：
集合A的特征性质：给定x的取值集合I，如果属于集
合A的任意一元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合
§3.1.2集合的描述法
课堂小结
集 ❖列举法 形如：A=｛a1，a2，a3，a4，…｝ 合 的 描 述 法
❖性质描述法 形如：A=｛x∈I︱p(x)｝
§3.1.2集合的描述法
作业布置 ❖1.必做题：P64练习A 1、2
❖2.选做题: P65练习B 1、2
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
集合的概念及其表示
集合的概念及其表示知识点1：集合中元素的特征知识点归纳集合中的元素具有确定性、互异性、无序性的三大特征：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能说明它是或不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可．例如“著名的科学家”、“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：对于一个给定的集合中的元素是互不相等的，即同一个元素在同一个集合中，不能重复出现，例如：集合是由1、2、2、3、3这五个数组成，是错误说法．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．（3）无序性：在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都是集合中的一员，无先后次序之说．例如，由1、2、3构成的集合与3、2、1构成的集合是相同的集合．典例剖析【例1】下列研究的对象能否构成集合：（1）美丽的小鸟；x-=在实数范围中的解；（2）方程240（3）第一章中的所有难题；（4）充分接近于0的全体实数；（5）所有的平行四边形；（6）高一（2)班所有高于1.70米的同学．【变式1】在下列研究的对象能构成集合的个数为（）（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）充分小的负数的全体（5）book中的字母（6）立方等于本身的实数（7）不等式2813x -<的正整数解A ．3B ．4C ．5D ．6知识点2：集合与元素的关系知识点归纳我们常用大写拉丁字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素．元素与集合之间有两种关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉．典例剖析【例2】已知集合{}33,)1(,222++++=a a a a A ，若A ∈1,求a 的值．【变式2】由实数x x ,0,1,2来构成三元素集合，求实数x 的值．知识点3：常用数集及记法知识点归纳对一些常用的数集用特定的字母表示，如下表：典例剖析【例3】用符号””或““∉∈填空．(1)0 +N ； 0)1(- +N ； +N ；(2)若集合A 是由小于11的实数构成的，则A ；(3)若集合A 是由满足式子*2N ,1∈+n n 的实数构成的，则5 A ；【变式3】已知，若,M x ∈则N x ∈且Z x ∈+16，求集合M 中元素．知识点4：集合的表示----列举法知识点归纳（1）把的元素一一列举出来，并用“｛ ｝”表示集合的方法叫列举法．例如：“小于10的所有的自然数组成的集合”表示为{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}．（2）一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点．（3）用列举法表示集合时，应注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须满足三个特征；③若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示后才能用省略号．如不超过100的正整数构成的集合可表示为{1，2，3…，100}．典例剖析【例4】已知集合{x x A |=是小于6的正整数}，{x x B |=是小于10的质数}，{x x C |=是24和36的公约数}，用列举法表示下列集合：（1）{A x x M ∈=|，且}C x ∈；（2）{A x x N ∈=|，且}C x ∉；【变式4】设b a ,都是非零实数，||||||ab ab b b a a y ++=可能取值组成的集合是（ ） A ．{3} B ．{3，2，1}C ．{3，1，-1}D ．{3，-1}知识点5：集合的表示----描述法知识点归纳（1）用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在打括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言、图形语言．（2）对无限集，一般情况用描述法表示．它的优点是形式简洁，能充分体现集合中元素的特征．（3）用描述法表示集合时，应注意：①写清楚集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在括号内；⑥用于描述的语句力求简明，准确．典例剖析【例5】用描述法表示下列集合：（1）{}9,7,5,3,1； （2）{}⋅⋅⋅,81,27,9,3；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅,87,65,43,21； （4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合．【变式5】用列举法表示下列集合：（1）()},,4|,{**N y N x y x y x M ∈∈=+=； （2）}|14{N x Z xM ∈∈+=．知识点6：数集和点集知识点归纳作为高中数学来说，我们常见的集合有两种：（1）数集：表示形式为|{x 满足条件}P ；（2）点集：表示形式为(){}.,,Q y P x y x 满足条件满足条件典例剖析【例6】下面三个集合：2221{|1};(2){|1};(3){(,)|1}x y x y y x x y y x =+=+=+（）（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？【变式6】可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集的是 ．（1）}2,1{； （2）(){}2,1； （3）}21|),{(==y x y x 或；（4）}21|),{(==y x y x 且； （5）}21|,{⎩⎨⎧==y x y x ）（ （6）}0)2()1(|),{(22=-+-y x y x ．【冲击高考】1．设集合{}3,2,1=A ，则集合{}A y A x y x B ∈∈-=,|中元素的个数是 ( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．92．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意P b a ∈,，都有P ba ab b a b a ∈-+,,,（除数0≠b ），则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集{}Q b a b a F ∈+=,|2也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②数域必为无限集；③存在无穷多个数域． 其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）【反馈练习】1．下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数；（2）好心的人；（3）1，2，2，3，4，5．2．设a ,b 是非零实数，那么||||b b a a +可能取的值组成集合的元素是3．由实数332,|,|,,x x x x x --所组成的集合，最多含（ ） A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素4．下列结论不正确的是( ) A ．N ∈0 B ．Q ∉2 C ．Q ∉0 D ．Z ∈-15．下列结论中，不正确的是( )A ．若N a ∈，则N a ∉-B ．若Z a ∈，则Z a ∈2C ．若Q a ∈，则Q a ∈||D ．若R a ∈，则R a ∈36．用列举法把下列集合表示出来：（1）}99|{N x N x A ∈-∈=； （2）}|99{N x N xB ∈∈-=； （3）},,6|{2N y N x x y yC ∈∈+-==；（4）},,6|),{(2N y N x x y y x D ∈∈+-==（5）},,5,|{*N q N p q p x qp x E ∈∈=+==．第二讲 集合间的基本关系知识点1：子集和空集知识点归纳1．子集的概念一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说集合A 包含于．．．集合B ，或说集合B 包含．．集合A ，记作：(B A ⊆或A B ⊇）．（1）子集的定义用数学符号表述为：B A B x A x ⊆∈∈则有若,．（2）用Venn 图表示B A ⊆．（3）我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作：φ．规定：空集是任何集合的子集，即对任何一个集合A ，都有A ⊆φ．2．子集的性质（1）反身性：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．（2）传递性：对于集合A 、B 、C ，如果A B B A ⊆⊆,，那么C A ⊆． 说明：（a ）我们可类比数的大小关系来理解子集的性质．（b ）若B A ⊆，不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合．若φ=A ，则A 中不含任何元素；若A 就是B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集．典例剖析【例1.1】已知集合(){}N y x y x y x A ∈=+=，，，2|，试写出A 的所有子集．【例1.2】（1）写出集合{}b a ，的所有子集，并指出子集的个数；（2）写出集合{}c b a ，，的所有子集，并指出子集的个数．【思考】含有n 个不同元素的集合有 个子集．【变式1】已知集合M 满足{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆M 求所有满足条件的集合M ．知识点2：集合相等知识点归纳如果集合A 的任何一个元素，都是集合B 的元素．同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作B A =．特别提示：（1）若B A ⊆，同时B A ⊇，则B A =．因为B A ⊆，所以A 的元素都是B 的元素；又因为A B ⊆，所以B 的元素都是A 的元素，这就是说，集合A 与集合B 的元素完全相同，因此B A =．（2）要证明B A =，只需要证明B A ⊆且A B ⊆成立即可．即可设任意A x ∈0，证明B x ∈0从而得出B A ⊆．又设任意B y ∈0，证明A y ∈0从而得到A B ⊆，进而得到B A =．（3）判断两集合是否相等可用列举法．典例剖析【例2.1】设集合{}{}ab a a B b a A ,,,,,12==，且B A =，求20152014b a +．【变式2.1】已知集合{}y x xy x A -=,,，{}y x B |,|,0=，且B A =，求x 与y 的值．【例2.2】已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z a a x x A ,61|,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z b b x x B ,312|,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z c c x x C ,612|则集合A ，B ，C 满足的关系是__________．【变式2.2】设集合,,412|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==z k k x x N ,214|，则( ) A ．N M = B ．N M ⊆ C ．N M ⊇ D ．M 与N 的关系不确定知识点3：真子集知识点归纳如果集合B A ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂特别提示：空集是任何非空集合的真子集．子集包含真子集和等集两种情况． 典例剖析【例3.1】已知：2A {|230},{|10},x x x B x ax =--==-=若A B ≠⊂，试求a 的值【例3.2】已知：}|{},41|{a x x B x x A <=<≤=，若B A ≠⊂求实数a 的取值范围．【变式3】已知集合}121|{},51|{-≤≤+=≤≤-=a x a x B x x A ，（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A ≠⊂成立？若存在，求实数a 的取值范围；不存在，说明理由？知识点4：全集与补集知识点归纳(1)全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．(2)补集定义的三种语言：(3)全集与补集概念的理解①补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．②若U x ∈，，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一，不仅如此，结合Venn 图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：()()().,,A A C C A C A U A C A U U U U ==⋂=⋃φ典例剖析【例4.1】若全集2{2,3,23}U a a =+-，{,2}A b =，{5}U C A =，求实数a 和b 的值．【例4.2】设,{|16},{|22}U R A x x B x a x a ==-≤≤=+≤≤，若U B C A ⊆,求实数a 的取值范围．【变式4】已知：}32,3,2{},2|,12{|2-+=-=a a U a A ，且}5{=A C U 求实数a 的值．【冲击高考】1．设集合{}R x a x x A ∈<-=,1|||，{}R x b x x B ∈>-=,2|||．若B A ⊆，则实数a ，b 必满足( )A ．3||≤+b aB ．3||≥+b aC ．3||≤-b aD ．3||≥-b a2．设U 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是 ( )A ．()[]P N C M UB ．()P N MC ．()()[]P N C M C U UD ．()()P N N M。
集合的表示方法
• 1、自然语言法 • 用文字叙述的形式描述集合的方法叫自 然语言法，在使用此方法要注意叙述清楚 即可。如：参加2010年广州亚运会的运动 员构成的集合。
• 2、列举法 • 把集合的元素一一列举出来，并用 “｛｝”括起来表示集合的方法叫列举法。 2 如由方程 x 3x 2 0 的解构成的集合可以表示成｛1、2｝
• 3、描述法 • ⑴用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 • ⑵具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一 般符号及取值（或变化）范围，在画一条竖线，在竖线后 写这个集合中元素所具有的共同特征 • ⑶描述法的一般形式是 x i p( x) , 其中x是集合中元素 的代表形式，i是元素的取值范围，在画一条竖线，在竖线 后写这个元素所具有的共同特征，如不等式x-6>0的解集 为x>6,可表示成 x R x 6 • ⑷列举法和描述法的优缺点 • 列举法有直观，明了的特点，但有些集合是不能用列举法 表示的，如x-1>0的解集，其缺点是不易看出集合中的具 体元素。
5、函数自变量构成的集合，例如函数y=x2+1图像上的点构成的 集合为｛(x，y)| y=x2+1 ｝ 6、多元方程（组）的解构成的集合，例如二元一次方程组
x y 2 x y 0
x y 2 的解构成的集合可表示为 ( x, y ) | x y 0
集合中的元素分析法
• 集合之间的关系和基本运算都是通过集合 的元素定义的，因此求解集合问题时，首 先要明确有关集合元素的特征与性质，再 按照“先定元素，再定性质”的方法进行。
Hale Waihona Puke 1、方程的解构成的集合，例如方程f(x)=0的解构成的集合为
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§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
课堂小结
集 合 的 描 述 法 描述法 法 1 2 3
§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
作业布置 1.必做题：P64练习A 1、2 练习A 必做题：P64练习 1、
2.选做题: 选做题:
P65练习 1、 P65练习B 1、2 练习B
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§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
巩固练习
练习1 用列举法表示下列集合： 练习1：用列举法表示下列集合： （1） ｛x︱x 是大于3且小于10的奇数｝； 是大于3且小于10的奇数｝； 10的奇数 5x＋6=0｝； （2） ｛x︱x 2－5x＋6=0｝； 练习2 用性质描述法表示下列集合： 练习2：用性质描述法表示下列集合： （1） ｛北京市｝； 北京市｝； 大于3的实数的全体构成的集合； （2） 大于3的实数的全体构成的集合； （3）平面a内到两定点A、B距离相等的点的 平面a内到两定点A 全体构成的集合。 全体构成的集合。
人民教育出版社
中职数学（必修 上册 上册） 中职数学（必修—上册）
集合的描述法
§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
1. 列举法
列举法：当集合元素不多时， 列举法：当集合元素不多时，我们常常把集合的 元素一一列举出来，写在大括号内表示这个集合， 元素一一列举出来，写在大括号内表示这个集合， 一一列举出来 大括号内表示这个集合 列举法。 这种表示集合的方法叫做列举法 这种表示集合的方法叫做列举法。 形如：A=｛a1，a2，a3，a4，…｝ 形如：A=｛ 范例：用列举法表示下列集合： 范例：用列举法表示下列集合： 1.由不大于 的自然数组成的集合; ， ， ， ， ， ， ｝ 1.由不大于6的自然数组成的集合; 0，1，2，3，4，5，6｝ 由不大于6 ｛ 在不发生 2.中国古代的四大发明构成的集合 2.中国古代的四大发明构成的集合； 中国古代的四大发明构成的集合； 指南针，造纸，活字印刷，火药｝ ｛指南针，造纸，活字印刷，火药｝ 误会的情 况下可省 3.小于 3.小于100的自然数组成的集合。 小于100的自然数组成的集合 的自然数组成的集合。 99｝ ｛0，1，2，3，4，5， … ，99｝
略
§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
预备概念) (预备概念)：
2. 性质描述法
集合A的特征性质：给定x的取值集合I 集合A的特征性质：给定x的取值集合I，如果属于集 合A的任意一元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合 的任意一元素x p(x)， A的元素不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的 的元素不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A p(x) p(x)叫做集合 特征性质。 特征性质。 性质描述法：集合A用特征性质p(x)描述成：A=｛ 性质描述法：集合A用特征性质p(x)描述成：A=｛x∈I︱p(x)｝ p(x)描述成 p(x)｝ 范例：用性质描述法表示下列集合： 范例：用性质描述法表示下列集合： 1.由不大于 的自然数组成的集合; 1.由不大于6的自然数组成的集合; 由不大于6 ｛x ∈ N︱x≤6｝ ︱ ｝ 2.中国古代的四大发明构成的集合 2.中国古代的四大发明构成的集合； 中国古代的四大发明构成的集合； 简写｛ ｛ x ︱x是中国古代四大发明 ｝简写｛ 四大发明 ｝ 是R可 可 3.方程 3.方程x2－1=0的解集。 省略 方程x 1=0的解集 的解集。 ｛ x ∈ R︱x2－1=0 ｝ 写