4坐标系中的旋转变换(2011年)
4坐标系中的旋转变换(2016年)
1. (2016 广西河池市) 】．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1,3）．将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°，得到线段OB ，则点B 的坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．（1,―3）D ．（―1,3）答案：】．答案A逐步提示作AC ⊥x 轴于点C ，根据勾股定理求出OA 的长，根据正切的概念求出∠AOC 的度数，再根据旋转变换即可得解.详细解答解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C .∵点A 的坐标为（1,3），∴OC ＝1，AC ＝3．∴OA ＝12＋ (3)2＝2.∵tan ∠AOC ＝AC OC＝3,∴∠AOC ＝60°.∴将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°得到线段OB 时，点B 恰好在y 轴上.∴点B 的坐标是(0,2) .故选择A.解后反思本题通过作垂线，将点的坐标转化为线段的长度，应用勾股定理求斜边的长，应用特殊角的三角函数值求出特殊角的度数，再根据旋转的方向和角度确定所求点的位置，最后写出其坐标.关键词 图形旋转的特征、特殊角三角函数值的运用、点的坐标20160926210454015732 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/262. (2016 广西贺州市) 】．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）答案：】．考点坐标与图形变化-旋转．分析由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．解答解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（﹣2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．故选：B．点评本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键。
苏教版选修4《极坐标系中的旋转变换》说课稿
苏教版选修4《极坐标系中的旋转变换》说课稿引言《极坐标系中的旋转变换》是苏教版选修4中的一篇数学课文，本篇课文通过介绍极坐标系中的旋转变换，旨在帮助学生理解极坐标系的概念及其在几何图形中的应用。
通过本课文的学习，学生将能够掌握极坐标系中的旋转变换的基本概念、方法和相关运算，并能够运用所学知识解决实际问题。
一、学情分析本节课内容适用于高中数学选修课程，学生已经掌握了直角坐标系和极坐标系的基本概念及其转换关系。
对于旋转变换这一概念，学生可能有一些模糊的认识，但他们已经学习了平面向量相关内容，对于向量的旋转有一定的了解。
因此，本课将通过对比向量的旋转和极坐标系中的旋转变换，帮助学生更深入地理解极坐标系中的旋转变换。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够： 1. 理解极坐标系中的旋转变换的概念； 2. 掌握极坐标系中的旋转变换的基本方法；3. 能够运用极坐标系中的旋转变换解决几何问题；4. 培养学生的逻辑思维和几何推理能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点•极坐标系中的旋转变换的概念和基本方法；•运用极坐标系中的旋转变换解决几何问题。
2. 教学难点•极坐标系中的旋转变换与向量的旋转的比较；•运用极坐标系中的旋转变换解决复杂的几何问题。
四、教学过程步骤一：导入与引入（5分钟）1.引导学生回顾直角坐标系与极坐标系的基本概念及其转换关系；2.提问：在直角坐标系中，我们学过向量的旋转，那在极坐标系中是否也存在旋转变换？3.引入本节课的话题：我们今天要学习的是《极坐标系中的旋转变换》。
步骤二：学习与讲解（20分钟）1.讲解极坐标系中的旋转变换的概念与基本方法：–给出旋转变换的定义：极坐标系中，以原点为中心，逆时针旋转一个角度θ，得到的新坐标称为旋转变换；–引导学生进行基本的旋转变换操作，帮助理解旋转变换的方法和过程；–通过实例演示，让学生掌握极坐标系中的旋转变换的基本运算规则。
2.比较向量的旋转和极坐标系中的旋转变换：–将直角坐标系中的向量旋转和极坐标系中的旋转变换进行对比，帮助学生更好地理解两者之间的关系和差异。
旋转四元数坐标系变换
旋转四元数坐标系变换引言：在三维空间中，我们经常需要进行坐标系的变换，以便描述物体在不同坐标系下的位置和姿态。
旋转四元数是一种常用的表示旋转的数学工具，它能够简洁、高效地描述三维空间中的旋转变换。
本文将介绍旋转四元数的基本原理和应用，以及如何利用旋转四元数进行坐标系的变换。
一、旋转四元数的定义与性质1.1 定义旋转四元数是一种四维复数，通常表示为q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d均为实数，i、j、k为虚数单位。
旋转四元数具有四个分量，分别对应于一个三维旋转的轴和角度。
其中，a为实部，表示旋转角度的余弦值；b、c、d为虚部，表示旋转轴的三个分量。
1.2 性质旋转四元数具有以下性质：（1）单位化：旋转四元数的模长为1，即|q| = 1。
这是为了保证旋转四元数的归一性，使其能够准确表示旋转变换。
（2）共轭：旋转四元数的共轭定义为q* = a - bi - cj - dk，即虚部取相反数。
共轭用于表示旋转的逆变换。
（3）乘法：旋转四元数的乘法是非交换的，即q1q2 ≠ q2q1。
旋转四元数的乘法可以用于将两个旋转变换合成为一个旋转变换。
（4）逆元：旋转四元数的逆元定义为q-1 = q*/|q|2，即共轭除以模长的平方。
逆元用于表示旋转的逆变换。
二、旋转四元数的应用2.1 旋转变换旋转四元数可以用于表示三维空间中的旋转变换。
对于一个给定的旋转四元数q，可以通过与向量v的乘法操作，实现将向量v绕旋转轴q的旋转。
2.2 坐标系变换利用旋转四元数，我们可以方便地进行坐标系的变换。
假设有两个坐标系A和B，坐标系A与坐标系B之间存在一个旋转变换，我们可以通过旋转四元数来描述这个变换。
具体步骤如下：（1）定义旋转四元数q，表示坐标系A到坐标系B的旋转变换。
（2）将坐标系A的原点Oa表示为旋转四元数的形式，即Oa = 0 + i0 + j0 + k0。
（3）将坐标系A的一个单位向量Va表示为旋转四元数的形式，即Va = 0 + i1 + j0 + k0。
坐标系中的变换
坐标系中的变换
坐标系中的变换是指在二维或三维坐标系中，通过某些操作将原始坐标系中的点映射到新的坐标系中的点的过程。
常见的坐标系变换包括平移、旋转、缩放、镜像等操作。
其中平移是指将所有点都沿着某个方向移动一定的距离，旋转是指将所有点绕着某个点旋转一定的角度，缩放是指将所有点沿着某个方向缩放一定的比例，镜像是指将所有点沿着某个轴对称。
坐标系变换在计算机图形学中有着广泛的应用，如图像的旋转、缩放、平移等操作都是通过坐标系变换实现的。
在数学中，坐标系变换也是一个重要的概念，它被广泛应用于线性代数、微积分等领域。
需要注意的是，坐标系变换不仅可以应用于二维或三维坐标系，也可以应用于更高维度的坐标系。
此外，坐标系变换还可以通过矩阵运算来实现，这种方法更为高效和灵活。
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《旋转作图与坐标系中的旋转变换》PPT课件 人教版九年级数学上册
转后点D与点 B 重合.
设点E的对应点为点E'. 因为旋转后的图形与旋转前的
图形全等，所以∠ABE'=∠ADE=90°，BE'=DE.
因此，在CB的延长线上取点E'，使BE'=DE，则
△ABE'为旋转后的图形.
A
D
A
D
E
E
B
C
E′ B
C
E点的对应点E′，还可以用其他方法确定吗？
方法一：由∠EAE′=90°，
知识点一 用旋转的知识作图
例 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意
一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形.
A
D
想一想：本题中作图
E
的关键是什么？
确定点E的对应点E' B
C
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是 点A .
正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋
旋转180° 后的图形 如图所示.
A'
A
B
4. 如图，△ABC中，∠C=90°. （1）将△ABC绕点B逆时针旋转 B
90°，画出旋转后的三角形；
（2）若BC=3，AC=4，点A旋转后
的对应点为A，求A'A的长.
C
A
【教材P63习题23.1 第9题】
解：(1)△A'BC'即为所求.
(2)∵△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.
R·九年级上册
23.1 图形的旋转
第2课时 旋转作图与 坐标系中的旋转变换
复习回顾
定义
在一个平面图形绕平面内某一点O转动 一个角度，叫做图形的旋转.
旋转作图与坐标系中的旋转变换(经典导学案)
《23.1.2旋转作图与坐标系中的旋转变换》一、学习目标1.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2.能通过图形的旋转设计图案.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第60页例题完成右边的学习内容1.教材第60页例题自学参考提纲：①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是.②根据正方形的性质：AD＝AB，∠OAB＝90°，所以点D的对应点是.③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三角形全等的判定方法.作出△ADE的对应图形为..④E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？（1）作一个图形旋转后的图形，关键是作出对应点，并按原图的顺序依次连接各对应点.（2）在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP 逆时针旋转，画出旋转后的图形.三．巩固诊断一、基础巩固（70分）1.(10分) 将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A B C D2.(10分) 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3.(10分) 如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．4.(20分) 分别画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°和180°后的图形.5.(20分)把图中的△ABC 作下列旋转:（1）以C 为中心，把这个三角形顺时针旋转60°；（2）在△ABC 外任取一点O 为中心，把这个三角形顺时针旋转120°.二、综合应用（20分）6.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C 的位置，其中A′、B′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A′B′上，直角边CA′交AB 于点D ，则旋转角等于（ ）A.70°B.80°C.60°D.50°7.(10分)右图中的风车图案，可以由哪个基本的图形，经过什么样的旋转得到？ABCC三、拓展延伸（10分）8.(10分) 如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上，求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.四、堂清、日清记录堂清日清今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：。
坐标旋转公式
坐标旋转公式是一种重要的数学公式，它可以用来描述物体在空间坐标系内的旋转运动。
它可以帮助我们准确地表达空间中物体的旋转情况，并且可以用来计算物体的空间坐标位置。
坐标旋转公式的基本原理是，以原点为中心，以某条轴为轴心，沿着该轴旋转一定的
角度，然后将原来的坐标系的三个坐标轴向量旋转一定的角度，就可以表示物体在旋转后
坐标系下的新坐标位置。
坐标旋转公式的基本形式是三维旋转矩阵R，它表示一个由三个坐标轴组成的坐标系，经过旋转后，变换成另外一个坐标系，它的表达形式是：
R=cosθ -sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1
其中，θ表示旋转角度，R表示旋转矩阵，经过旋转后，三个坐标轴的坐标位置就发
生了变化。
坐标旋转公式是空间几何的基本概念，它可以用来表达物体在空间上的旋转运动，及
求解物体在空间中的坐标位置。
它的应用非常广泛，可以应用在机器人控制、空间探测、
机械设计等领域中。
图形在坐标系中的旋转
旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转 动一个角度，得到另一个图形的变换，这样的图形变换 称为旋转。
中心对称的定义：
在平面内，将一个图形绕着某一定点旋转180度, 得到另一个图形,那么,我们就说这两个图形关于这个 点成中心对称.
一、复习提问：
旋转的性质：
1、旋转不改变图形的大小和形状． 2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角
转对称图形，这个定点就是旋转中心．
中心对称图形定义： 如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和 原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对 称图形；这个点叫做它的对称中心.
二. 简单的旋转作图
例1 将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚.
点的旋转作法
图形的旋转的作图： 先画圆，再连结作角，最后截取.
B
例 2 教材习题变式题在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐 标是 A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段 DE 的端点坐标是 D(7， －1)，E(－1，－7)．
(1)试说明如何平移线段 AC，使其与线段 ED 重合； (2)将△ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转，使 AC 的对应边为 DE， 请直接写出点 B 的对应点 F 的坐标； (3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC 同时绕坐标原点 O 逆时针 旋转 90°，画出旋转后的图形．
；绕着原点逆时针旋转360°，则点A的对应点A4的坐
标是(_－__2_，__1____)．
应用巩固 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
2．已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以
O为中心，把△EFO旋转180°，则点E的对应点
E′的坐标为(____4_，__－___2___)．
4坐标系中的旋转变换(2012年)
1. (2012 黑龙江省大庆市) 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(31)，，将OA 绕原点按逆时针方向旋转30°得OB ，则点B 的坐标为（ ）（A ）(13)， （B ）(13)-， （C ）(02)， （D ）(20)，答案：A20120724150627437279 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2012-07-242. (2012 四川省宜宾市) 如图，在平面直角坐标系中，将ABC △绕点P 旋转180得到DEF △，则点P 的坐标为_________．答案：(11)--，20120709132742312140 4 坐标系中的旋转变换 填空题 基本技能 2012-07-093. (2012 内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，ABO △是直角三角形，90ABO ∠=°，点B 的坐标为(12)-，，将ABO △绕原点O 顺时针旋转90°得到11A B O △，则过1A 、B 两点的直线解析式为=____________．答案：35y x =+20120706100651671109 4 坐标系中的旋转变换 填空题 数学思考 2012-07-064. (2012 山东省泰安市) 如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，120B ∠=°，2OA =，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA B C ′′′的位置，则点B ′的坐标为（ ）．（A ）22， （B ）(22-， （C ）()22-， （D ）33，答案：A20120704171839921561 4 坐标系中的旋转变换 选择题 数学思考 2012-07-04。
坐标旋转变换
坐标旋转变换空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。
在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。
如图1，直角坐标系XYZ ，P 点的坐标为),,(z y x ，其相应的在XY 平面，XZ 平面，YZ 平面分别为)0,,(y x M ，),0,(z x Q 和),,0(z y N 。
),,(z y x P Oxyz)0,,(y x M ),,0(z y N ),0,(z x Q图1直角坐标系XYZ设ϑ表示第j 轴的旋转角度，()R j ϑ表示绕第j 轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。
很明显当j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的j 分量是不变的。
由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕z 轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。
设图1的坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度，新坐标为'''Z Y X ，如图2所示：)',','z y x XY)0,',y ,0(N )',0,'(|)z x 'Y图2 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度由于坐标中的z 分量不变，我们可以简化地在XY 平面进行分分析，如图3所示：X Y'X 'Y θθ)0,','( |)0,,(y x y x M 'X M XM ϕO图3 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度的XY 平面示意图点X M 和点'X M 分别是M 点在X 轴和'X 轴的投影。
如图3⎩⎨⎧−=∠==−=∠==)sin(sin )cos(cos θϕθϕOM MOM OM MM y OM MOM OM OM x X X X X (1) ⎩⎨⎧=∠===∠==ϕϕsin sin cos cos '''''OM MOM OM MM y OM MOM OM OM x X X X X (2) 把(1)式按照三角函数展开得：⎩⎨⎧−=+=θϕθϕθϕθϕsin cos cos sin sin sin cos cos OM OM y OM OM x (3) 把(2)式代入(3)式得：⎩⎨+−=θθcos 'sin 'y x y (4) 坐标中的z 分量不变，即'z z =这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表示就坐标）：⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+='cos 'sin 'sin 'cos 'z z y x y y x x θθθθ (5) 把式(5)用一个坐标旋转变换矩阵()θR Z 表示可以写成：()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''z y x z y x Z θR (6)()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1 0 0 0 cos sin 0 sin cos θθθθθR Z (7) 坐标系'''Z Y X 是坐标系XYZ 绕Z 轴逆时针旋转θ角度而来，从另一个角度来看，也可以说坐标系XYZ 是坐标系'''Z Y X 绕'Z 轴逆时针旋转θ−角度而来，所以根据(6)式有（上标"1"−表示矩阵的逆）：()()()θR θR θR −=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−Z Z Z z y x z y x 1''' (8)用同样的分析办法，当绕X 轴逆时针旋转θ角度其YZ 平面分析如图4所示：Y Z'Y 'Z θθ)',0,'(|),0,(z x z x N 'Y N YN ϕO图4 坐标绕X 轴逆时针旋转θ角度的YZ 平面示意图其坐标转换关系为：⎪⎩⎪⎨=+−='cos 'sin 'x x z y z θθ (9) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcos sin 0sin cos 00 0 1θX θR (10) ()()θR θR −=−X X 1 (11)当绕Y 轴逆时针旋转θ角度得其XZ 平面分析如图5所示（注意和前面两个角度方向不一样）：XZ'X 'Z θθ)',',0( |),,0(z y z y Q 'X Q XQ ϕO图5 坐标绕Y 轴逆时针旋转θ角度的XZ 平面示意图⎪⎩⎪⎨⎧=+=−='cos 'sin 'sin 'cos 'y y z x z z x x θθθθ (12) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcos 0 sin 0 1 0sin 0 cos θY θR (13) ()()θR θR −=−Y Y1(14)。
坐标系旋转变换公式
坐标系旋转变换公式在几何学和计算机图形学中，坐标系的旋转变换是一种常见的操作，用于将一个坐标系中的点或者物体旋转到另一个坐标系中。
通过合适的数学公式，我们可以实现坐标系的旋转变换，从而得到旋转后的坐标值。
1. 二维坐标系的旋转变换对于二维坐标系，我们通常使用以下旋转变换公式来实现坐标系的旋转：假设原始坐标系中的一个点的坐标为(x,y)，经过旋转角度为$\\theta$后，该点的新坐标为(x′,y′)。
那么，新坐标可以通过以下公式计算得到：$x' = x * \\cos(\\theta) - y * \\sin(\\theta)$$y' = x * \\sin(\\theta) + y * \\cos(\\theta)$其中，$\\theta$为旋转角度，单位为弧度。
通过这两个公式，我们可以将原始坐标系中的点绕原点进行旋转。
2. 三维坐标系的旋转变换对于三维坐标系，旋转变换会更加复杂一些。
我们通常使用旋转矩阵来实现三维坐标系的旋转。
假设原始坐标系中的一个点的坐标为(x,y,z)，经过绕x轴、y轴和z轴分别旋转角度$\\alpha$、$\\beta$和$\\gamma$后，该点的新坐标为(x′,y′,z′)。
那么，新坐标可以通过以下矩阵乘法计算得到：\[ \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\gamma \cos\beta & -\sin\gamma \cos\alpha + \cos\gamma \sin\beta \sin\alpha &\sin\gamma \sin\alpha + \cos\gamma \sin\beta \cos\alpha \\ \sin\gamma\cos\beta & \cos\gamma \cos\alpha + \sin\gamma \sin\beta \sin\alpha & -\cos\gamma \sin\alpha + \sin\gamma \sin\beta \cos\alpha \\ -\sin\beta &\cos\beta \sin\alpha & \cos\beta \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]以上矩阵表示了绕z轴、y轴、x轴旋转的变换矩阵，在乘法的过程中，我们可以得到旋转后的新坐标。
4坐标系中的旋转变换(2017年)
1. (2017 山西省太原市) 如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，4），B （-1，1），C （-2，2）．将△ABC 向右平移4个单位，得到A B C '''∆，点A 、B 、C 的对应点分别为,,A B C '''，再将A B C '''∆绕点B '顺时针旋转90，得到A B C ''''''∆，点,,A B C '''的对应点分别为,,A B C ''''''，则点A ''的坐标为 ．答案：答案（6，0）．考点：平移的性质；旋转的性质；综合题．20171012112653390308 4 坐标系中的旋转变换 填空题 基础知识 2017-10-122. (2017 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 2017湖北天门，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A (﹣1，1)，B (0，﹣2)，C (1，0)．点P (0，2)绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4，……，按此作法进行下去，则点P 2017的坐标为 ．答案：思路分析根据旋转可得：P1(﹣2，0)，P2(2，﹣4)，P3(0，4)，P3(0，4)，P4(﹣2，﹣2)，P5(2，﹣2)，P6(0，2)，故6个循环，2017÷6＝336…1，故P2017(﹣2，0)．标准答案（﹣2，0），点评本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记旋转变换性质，掌握网格结构准确找出对应点的位置，弄清坐标的变化规律是解本题的关键，再利用规律解决问题．20171012080137015698 4 坐标系中的旋转变换填空题基础知识2017-10-123. (2017 福建省龙岩市) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B''和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区答案：答案D解析如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.O点睛：本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.20171011145917359123 4 坐标系中的旋转变换选择题基础知识2017-10-114. (2017 四川省宜宾市) 在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是．答案：（﹣3，1）．考点R6：关于原点对称的点的坐标．分析根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．解答解：点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．20170919140904218950 4 坐标系中的旋转变换填空题基础知识2017-9-195. (2017 山东省威海市) 】．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是（1，1）或（4，4）．答案：】．（1，1）或（4，4）．分析分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．解答解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），∴E点的坐标为（1，1）；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），∴M点的坐标为（4，4）．综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．故答案为：（1，1）或（4，4）．点评本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．20170919110517062760 4 坐标系中的旋转变换 填空题 基础知识 2017-9-196. (2017 山东省青岛市) 如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°则顶点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A.)2,4(-B.)4,2(-C. )2,4(-D.)4,2(-答案：答案B解析试题分析：将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后，图形如下图(所以B1的坐标为)4,2故选：B考点：1、同底数幂的乘除法运算法则；2、积的乘方运算法则；3、幂的乘方运算20170919094359062173 4 坐标系中的旋转变换选择题基础知识2017-9-197. (2017 青海省西宁市) 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．（1）把△ABC平移后，其中点 A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．答案：分析（1）根据图形平移的性质画出平移后得的△A1B1C1即可；（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2 B2C2即可．解答解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2 B2C2即为所求．点评本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．20170919092701984680 4 坐标系中的旋转变换 画(作)图题 基础知识 2017-9-198. (2017 湖北省咸宁市) 如图，边长为4的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点O 重合，x AF //轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转 60，当2017 n 时，顶点A 的坐标为 ．答案：答案（2，）试题分析：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转1次时点A 的坐标是一样的．当点A 按顺时针旋转60°时，与原F 点重合．连接OF ，过点F 作FH ⊥x 轴，垂足为H ；由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），∴△OEF 是等边三角形，∴OF=EF=4，∴F （2，），即旋转2017后点A 的坐标是（2，.考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．20170915084200640647 4 坐标系中的旋转变换 填空题 数学思考 2017-9-159. (2017 黑龙江省佳木斯市) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标．（2）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标．（3）画出△A 2B 2C 2关于原点O 成中心对称的△A 3B 3C 3，并写出A 3的坐标．答案：考点R8：作图﹣旋转变换；P7：作图﹣轴对称变换．分析根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．解答解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．20170914103800296817 4 坐标系中的旋转变换画(作)图题数学思考2017-9-1410. (2017 广西钦州市) 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为．答案：考点R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标．分析首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．解答解：第一次P1（5，2），第二次P2（5，1），第三次P3（7，1），第四次P4（10，2），第五次P5（14，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为1，横坐标为5+3×504=1517，∴P2017，故答案为．20170913142959531482 4 坐标系中的旋转变换填空题数学思考2017-9-1311. (2017 广西河池市) 点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是．答案：（﹣2，﹣1）．考点R6：关于原点对称的点的坐标．分析根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．解答解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．20170913140828937226 4 坐标系中的旋转变换填空题双基简单应用2017-9-13。
坐标变换与旋转
坐标变换与旋转在计算机图形学和几何学领域，坐标变换和旋转是非常重要的概念。
通过对坐标系统进行变换和旋转操作，我们可以实现对图形的平移、旋转、缩放和扭曲等变换，从而得到想要的效果。
一、坐标变换1. 平移变换平移变换是将坐标系统在平面上按照指定的位移量进行移动的操作。
通过平移变换，我们可以将图形在平面上沿指定的方向进行移动，而不改变其形状和大小。
平移变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x轴和y轴上的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是将图形在平面上按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
通过缩放变换，我们可以改变图形的大小，同时保持其形状不变。
缩放变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x 轴和y轴上的缩放比例。
3. 扭曲变换扭曲变换是将图形在平面上按照指定的变换矩阵进行扭曲的操作。
通过扭曲变换，我们可以实现图形在平面上的形状变换，包括旋转、拉伸和错切等。
扭曲变换通常使用一个二维变换矩阵来表示，其中矩阵的元素表示了图形在进行扭曲变换时的各种变化。
二、旋转操作旋转操作是将图形在平面上按照指定的角度进行旋转的操作。
通过旋转操作，我们可以改变图形在平面上的朝向和角度，从而实现不同的视觉效果。
旋转操作通常使用一个旋转矩阵来表示，其中旋转矩阵的元素通过余弦和正弦函数的计算得到。
三、应用场景1. 计算机图形学在计算机图形学中，坐标变换和旋转是非常重要的操作。
通过对图形进行坐标变换和旋转，可以实现三维图形的显示和交互效果，从而呈现出真实世界的虚拟场景。
同时，在计算机游戏开发和动画制作中，坐标变换和旋转也被广泛应用。
2. 机器人和自动化控制在机器人和自动化控制领域，坐标变换和旋转是实现精准定位和控制的重要工具。
通过对坐标系统进行变换和旋转，可以实现机器人的精准定位和轨迹规划，从而实现各种复杂的自动化任务。
3. 地理信息系统在地理信息系统中，坐标变换和旋转被用于地理空间数据的处理和分析。
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则1. 引言平面直角坐标系中，图形的旋转是一种常见的几何变换。
本文介绍了图形旋转的变换规则。
2. 图形旋转的基本概念图形旋转是指将一个图形绕一个中心点旋转一定角度后得到新的图形。
旋转的中心点可以位于坐标原点或任意其他点。
3. 旋转变换的规则根据旋转变换的规则，对于同一图形的旋转变换，可以得到以下规律：- 旋转360度（或2π弧度）等于恢复原状，即旋转后的图形与原图形完全相同。
- 旋转180度（或π弧度）等于将图形沿旋转中心点对称。
- 旋转90度（或π/2弧度）等于将图形逆时针旋转90度。
- 旋转270度（或3π/2弧度）等于将图形顺时针旋转90度。
4. 旋转的计算方法为了进行图形的旋转变换，可以利用旋转矩阵进行计算。
旋转矩阵是一个二维的矩阵，在平面直角坐标系中描述了图形的旋转变换。
旋转矩阵的公式如下：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度。
5. 应用举例以矩形图形为例，假设原始矩形的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂,y₁), C(x₂, y₂), D(x₁, y₂)。
若要将该矩形逆时针旋转90度得到新的矩形A'(x₁', y₁'), B'(x₂', y₁'), C'(x₂', y₂'), D'(x₁', y₂')，可以通过旋转矩阵计算得出新的坐标。
新的坐标计算公式如下：x₁' = x₁ * cos90 - y₁ * sin90y₁' = x₁ * sin90 + y₁ * cos90x₂' = x₂ * cos90 - y₁ * sin90y₂' = x₂ * sin90 + y₁ * cos906. 结论图形在平面直角坐标系中的旋转变换遵循一定的规则和计算方法。
通过理解和应用这些规则和计算方法，我们可以对图形进行准确的旋转变换。
坐标系旋转变换，内在旋转，外在旋转
坐标系旋转变换，内在旋转，外在旋转从⼀个坐标系到另⼀个坐标系的转换有多种⽅法：欧拉⾓法、⽅向余弦矩阵法、四元数法等。
其中欧拉⾓法的核⼼思想是：⼀个坐标系可以⽤另⼀个参考坐标系的三次空间旋转来表达。
旋转坐标系的⽅法⼜有两种：Proper Euler angles, 第⼀次与第三次旋转相同的坐标轴（z-x-z,x-y-x, y-z-y,z-y-z, x-z-x, y-x-y）。
Tait–Bryan angles, 依次旋转三个不同的坐标轴（x-y-z,y-z-x, z-x-y,x-z-y, z-y-x, y-x-z）；Tait–Bryan angles are 也叫作 Cardan angles; nautical angles; heading, elevation, and bank; or yaw, pitch, and roll. 有时候这两种变换序列都叫做 "Euler angles". 这种情况下，前者叫做 proper or classic Euler angles.对于每个旋转序列，⼜有内在旋转（intrinsic rotations）和外在旋转（extrinsic rotations）两种⽅式。
设有两个坐标系OX i Y i Z i和OX j Y j Z j，OX i Y i Z i是固定不动的参考系，OX j Y j Z j是需要被旋转的坐标系，初始时两个坐标系重合。
内在旋转指每次旋转的旋转轴都是上次变换后新系OX j Y j Z j的坐标轴，外在旋转指每次旋转的旋转轴都是固定参考系OX_iY_iZ_i的坐标轴。
1. 转动矩阵1.1 ⽅向余弦矩阵设有两个共原点的右⼿坐标系OX_iY_iZ_i和OX_jY_jZ_j，空间有⼀点 P，该点在i, j坐标系内的坐标分别为[x_i \quad y_i \quad z_i]^T[x_j \quad y_j \quad z_j]^TP点从j系变换到i系的坐标变换关系为（j坐标系下各坐标轴分量投影到i坐标轴的⽮量和）：\left\{ \begin{array}{l} x_i = x_j \cos(x_i,x_j) + y_j \cos(x_i,y_j) + z_j \cos(x_i, z_j) \\ y_i = x_j \cos(y_i,x_j) + y_j \cos(y_i,y_j) + z_j \cos(y_i, z_j) \\ z_i = x_j \cos(z_i,x_j) + y_j \cos(z_i,y_j) + z_j \cos(z_i, z_j) \end{array} \right. \tag{1-1}[r]_i = [^iR_j][r]_j \tag{1-2}[^iR_j] = \left\{ \begin{array}{l} \cos(x_i,x_j) & \cos(x_i,y_j) & \cos(x_i,z_j) \\ \cos(y_i,x_j) & \cos(y_i,y_j) & \cos(y_i,z_j) \\ \cos(z_i,x_j) &\cos(z_i,y_j) & \cos(z_i,z_j) \end{array} \right\} \tag{1-3}即为⼀般形式的转动矩阵，也称为从j系向i系变换的转动矩阵。
坐标系平移和旋转
坐标系平移和旋转3.4平面上的坐标系地理坐标是一种球面坐标。
由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系，使地球表面上任一点由地理坐标（©、入）确定的点, 在平面上必有一个与它相对应的点，平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。
平面直角坐标系的建立在平面上选一点0为直角坐标原点，过该点0作相互垂直的两轴X'OX和Y' 0丫而建立平面直角坐标系，如图5所示。
直角坐标系中，规定OX 0Y方向为正值，OX 0Y方向为负值，因此在坐标系中的一个已知点P,它的位置便可由该点对0X与0Y轴的垂线长度唯一地确定, 即x=AP, y=BP,通常记为P（x，y）。
平面极坐标系（Polar Coordinate ）的建立平面頁角坐标系图4-5 :平面直角坐标系和极坐标系如图5所示，设0'为极坐标原点，0' 0为极轴，P是坐标系中的一个点，则O' P 称为极距，用符号p表示，即p =0 P。
/ 00 P为极角，用符号S表示, 则/00 P=S。
极角S由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。
极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。
由图5可知，直角坐标的x轴与极轴重合，二坐标系原点间距离OO用Q表示，则有：X=Q-p cos SY=p sin S直角坐标系的平移和旋转坐标系平移如图1所示，坐标系XOY与坐标系X O Y'相应的坐标轴彼此平行，并且具有相同的正向。
坐标系X' O Y'是由坐标系XOY平行移动而得到的。
设P点在坐标系XOY中的坐标为（x，y），在X O Y'中坐标为（x '，y'），而（a，b）是O'在坐标系XOY中的坐标，于是：x=x +ay=y' +b上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。
坐标系旋转
坐标系旋转
在直角坐标系x，y，z中。
饶坐标轴旋转一定的角度，旋转的方向一定要搞清楚。
将坐标系排成x，y，z，x，y，z。
饶x轴旋转的方向是从y到z。
饶y轴旋转的方向是从z到x。
饶z轴旋转的方向是从x到y。
转轴公式
数学坐标系旋转公式的简称
转轴公式是坐标轴的旋转公式的简称。
转轴公式分为平面直角坐标系中的转轴公式和空间直角坐标系中的转轴公式。
例如在平面直角坐标系中，不改变原点的位置和坐标轴的长度单位，将两坐标轴按同一方向绕原点旋转同一角度的坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称转轴。
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1. (2011 甘肃省天水市) 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD 顶点都在格点上，其中，点A 的坐标为（1，1）.
（1）若将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 到达点1B ，点C 到达点1C ，点D 到达点1D ，求点111,,B C D 的坐标；
（2）若线段1AC 的长度．．与点1D 的横坐标．．．的差．
恰好是一元二次方程210x ax ++=的一个根，
求a 的值.
答案：解：（1）由已知111(21)(40)(32)B C D -，
，，，，
（2）由勾股定理得：AC =
则3)是方程2
10x ax ++=的一根，
设另一根为0x ，则0x 3)=1.
03x ==
3)3)]a ∴=-+=-
另解：2
3)3)10a a ++==，
20110905104308812749 4 坐标系中的旋转变换 复合题 解决问题 2011-09-05
2. (2011 黑龙江省牡丹江市) AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，60AOB =∠，
12AO AC ==，，
AOBC O 把绕点逆时针旋转，使点A 落在y 轴上，则旋转后点C 的对应点C ′的坐标为_____________.
答案：3,2)(3,2)--或
20110824144100171200 4 坐标系中的旋转变换 填空题 数学思考 2011-08-24
3. (2011 宁夏回族自治区) 如图，ABO △的顶点坐标分别为()()()142100A B O ，、，、，，如果将ABO △绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到A B O △′′，那么点A ′、B ′的对应点的坐标是（ ）
A ． ()()4211A
B --′，、′， Ｂ．()()4112A B --′，、′，
Ｃ．()()4111A B --′，、′， Ｄ．()()
4212A B --′，、′，
答案：B
20110818094327187062 4 坐标系中的旋转变换 选择题 双基简单应用 2011-08-18
4. (2011 辽宁省本溪市) 菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O的坐标是
，．若把菱形(00)
，，点A在y轴的正半轴上，点P是菱形对角线的交点，点C坐标是(33)
OCAB绕点A逆时针旋转90°，则点P的对应点P 的坐标是_____________．
，
答案：(36)
20110817095913921537 4 坐标系中的旋转变换填空题解决问题2011-08-17。