计算数学系列选课指南

四．计算数学系列选课指南

概述：计算数学系列为目前全校博士、硕士研究生开设6门数学课程：《计算方法》、《高

等计算方法》、《最优化方法（一）》、《最优化方法（二）》、《偏微分方程数值方法》和《小波方法》。

科学计算的兴起是20世纪中最重要的科学进步之一。现代科学计算是在计算机不断发

展的基础上强盛起来的。计算机对科学最深刻的改变，莫过于使科学计算平行于传统的理论

分析与实验研究，成为人类探索未知和进行大型工程设计的第三种方法和手段。在独创性工

作的先行研究中，科学计算更具有突出的、不可替代的作用。人类巨大的现代计算能力当然

与计算机硬件水平有关，但更取决于计算方法的效率和有效性，历史正在把计算方法的创

新、改进和提高推向人类科学活动的最前沿。

近几十年中在各种科学和工程领域中逐步形成了一大群计算性学科分支，如计算物理、

计算化学、计算地震学、计算力学等。在气象、石油勘探、航天航空、核能技术、交通运输、

机械制造、水利建设、电子电工与许多主要的工程领域中，计算已成为日常研究和设计工作

的不可缺少的工具。计算在生命科学，医学，经济学以及人文社会科学中所起的作用也日益

增大，而且这趋势不可逆转。这些计算性的科学与工程领域，以计算方法作为共性基础和联

系纽带，使得计算数学这一古老的数学科学成为数学中一个生机勃勃的分支。它是数学科学

中最直接与实际相联系的部分，是理论到实际的桥梁。

现代科技与管理人才不会计算，就象一个人在日常生活中不会走路一样不可想象，科

学计算能力对现代科技与管理人才是不可或缺的，是科学素养的重要方面。有人认为今天的

计算机软件十分丰富，只要会用象Matlab, Mathematica等计算软件，用鼠标一点就可得到计

算结果。他以为这就具备了计算能力。这种认识非常有害。实际上，计算能力体现在用数学

解决问题的全过程中，会用现成的软件只属于一种必要的技能，但决不是计算能力的全部。

上述开设的6门有关计算的课程，从不同的方面，提高研究生的科学计算能力。这些

数学课程的一个共同特点是：理论与实践相结合，需要学生自己动手在计算机上解决实际问

题。因此，期望所有的同学（不管是否选择计算的课程）至少掌握一种编程语言。

1．课程《计算方法》 54学时/3学分第一学期开课这门课又称为数值分析，属于数值计算课程的基础部分，数值计算课程是非数学类研究生数学公共基础课程，该组课程列入计算数学系列，目前按照“分级”的原则，设置《计算方法》（基础部分）、《偏微分方程数值方法》(扩展部分) 和《高等计算方法》（提高部分）三门课程。

数值分析这门课程主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及其有关计算的数学理论。所谓数值方法，指被求解问题的数值解的原理与方法，其中数值解是相对于原被求解的数学问题的理论解而言的。例如，大量的科研与工程问题，常常需要求解线性代数方程组，在“线性代数”课程中介绍了解的存在性唯一性的条件和精确解法。但是，用这些理论还不能在计算机上解上百个（更不要说上万个，甚至更多）个未知数的方程组（原因就不在这里细说）。因此，实践中要求解这些看起来好像已经圆满解决了的计算问题，还必须用数值方法来解决，我们需要根据方程的特点（即系数矩阵的特点），构造适合计算机使用，满足精度要求，计算时间省的有效方法，研究算法的数学机理及理论。这就是数值分析的任务。具体地说：

1）面向计算机。计算机只能做加、减、乘、除四则运算与逻辑运算，所以任何问题的运算（开方、积分、微分运算等）都必须在算法中转化为上述简单运算；

2）能达到精度要求。即计算结果与理论结果的“距离”必须满足事先给定的要求；

3）具有计算可靠性。即算法必须具有收敛性、数值稳定性，因为发散的或不稳定的算法没有意义。

4）具有好的计算复杂性。这里包含两个方面：时间复杂性好是指计算机耗用时间少，或者指算法收敛得快；空间复杂性好是指节省计算机的存储量；这两个方面好象是

多余的，因为现在计算机速度那么快，硬件那么发达，还用担心计算时间或存储量

吗？事实上，如果问题本身属于“麻烦”（什么叫麻烦，这里也不说）的问题，或

者算法设计得不好，那么，你很可能花一辈子的时间都得不到所需要的结果。所以，研究出计算复杂性好的算法已经成为推动算法研究进步的另一强大动力。

5）具有通用性。称某一算法能求解一类数学问题（比如具有某种特性的线性方程组的求解），是指它能够求出这类问题的任何一个实例的解。具体的说，它包括两个方

面，一是指最坏情况分析，二是指平均情况分析。一般地说，一个算法的平均性态

分析是相当困难的工作，很多情况下比求解问题本身还要复杂。

上述是数值分析需要达到的主要要求。所以，数值分析或计算方法的研究内容包括方法和算法的设计和相应的数学理论的研究。

作为数值计算的基础部分，本课程主要介绍数值分析中的几大类数值计算问题的基本方法及其数学理论，其内容包括：函数的数值逼近，数值微分和数值积分，非线性方程数值解，线性代数方程组和代数特征值问题的数值解，常微分方程数值解。按理说，偏微分方程的数值解也是数值分析的重要内容，考虑到它的内容较多，我们另开设了《偏微分方程数值方法》一门课，所以，不包含本课程中了。

考虑到多数研究生的数学基础现状，本课程设定起点较低，具有高等数学（工科）和线性代数（工科）的基础知识，就可以学习本课程。本课程又有较多的课后练习和用计算机解实际问题的大作业，希望学生具有一定的编程能力。

本课程适应学生专业：全校的机、电、材、育、生命、和物理、力学诸大学科类，以及人文学科需要的专业。

对于在大学本科阶段已经学习过《数值分析》或《计算方法》课程，领会了数值分析的基本思想及其方法的同学，或者对于那些数学基础扎实，在自己学科方向上需要更多扎实的计算数学知识，能通过旁听或自学来掌握这些基本计算方法的同学，或对自己的学术定位较高，打算把时间更多化在高端的课程者，建议直接选修《高等计算方法》（介绍见后），或者其它课程。

本课程主要面向硕士研究生，也欢迎需要进修的博士研究生。

2．课程《高等计算方法》 36学时/2学分第一学期开课本课程属于数值计算课程的提高部分，主要面向具有计算方法基础，学科发展需要较深较广的数值分析能力的博士生和硕士生而开设。

已经学过《计算方法》基础部分，或原本就没有学过计算方法，但数学基础扎实，能通过旁听或自学来掌握这些基本计算方法的同学，可以选修本课程。希望学生具有一定编程能力。

但要注意，本课程中，《计算方法》课中介绍的基本方法，不再重复。

经反复挑选和平衡，确定以下内容为本课程的主干内容：基于变分原理的几类计算方法，基于不动点原理的计算方法，面向反问题的计算方法，以及求解偏微分方程的新技术：区域分解法和多重网格法。（最后一部分内容为选修，根据学生接受程度和授课进度确定。）