2018年高考江苏卷数学第20题的分析与反思

（ ） 犕
犪２ ，０ 犮
，过右 焦 点 犉 的 直 线犾犃犅
交椭圆于犃，
犅 两点，则 犕犉 平分 ∠犃犕犅． 对 于 一 般 圆 锥 曲 线 结 论 也 是 成 立 的 ．我 们 有 ：
以曲线的焦点为坐标原点
建系（图７），准线犾：狓 ＝－狆，犾
与狓 轴 交 于 点 犕 （－狆，０）．设
犘（狓，狔）为 曲 线 上 任 意 一 点，
理解、从量上缩短“自发领悟”过 渡 时 间 的 有 效 途
径 ，是 促 进 理 解 进 入 深 层 结 构 的 有 利 措 施 ，是 显 化
“隐 性 知 识 ”的 一 个 逻 辑 铺 垫 ．［１］
第（１）问 的 情 况 比 较 简 单，我 们 分 析 的 重 点
放在第（２）问，主要从解题思 路、问 题 表 征 以 及 思
狀 －１
（ ）１
犳狀
＜ １．因 此，当 ２ ≤ 狀 ≤ 犿 ＋１ 时，数 列
｛ ｝ ｛ ｝ 狇狀－１ 单 调 递 减，故 数 列 狇狀－１ 的 最 小 值
狀 －１
狀 －１
为狇犿 ． 犿
［ ］ 因此，犱 的取值范围为 犫１（狇犿 －２），犫１狇犿 ．
犿
犿
２ 解题过程的自觉反思
进行解 题 过 程 的“自 觉 分 析”，是 从 质 上 促 进
犘 到犾 的距离为犱，由圆锥曲线
图７
的第
二
定
义
可
得犘犉 犱
＝犲，易
得
犆：（１－犲２）狓２ ＋狔２ －２狆犲２狓 －狆２犲２ ＝０ ①．
假定过焦点犉 的直线犾犃犅 的斜率为犽，则犾犃犅 ：
狔 ＝犽狓，代 入 ①，得 （１－犲２ ＋犽２）狓２ －２狆犲２狓 －
狆２犲２ ＝０．设 犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），则狓１ ＋狓２
·８· 中学数学月刊 ２０１８年第９期
２０１８年高考江苏卷数学第２０题的分析与反思
段 学 杰 （苏 州 大 学 数 学 科 学 学 院 ２１５００６）
２０１８ 年 高 考 落 下 帷 幕 ，与 前 两 年 江 苏 卷 数 列 新定义型创新题相 比，今 年 的 数 列 大 题 学 生 理 解
当犾犃犅 的斜率不存在时，由对 称 性，结 论 显 然 成立．
周志鹏 （河南省濮阳市油田第一中学
４５７００１）
范文满 梁金彪 （安徽省阜阳市第三中学
２３６０００）
韩智明 （广州大学附属中学 ５１００５０）
邬德来 （安徽省芜湖市汤沟中学 ２４１０００）
２０１８年第９期 中学数学月刊 ·９·
（２）若犪１＝犫１ ＞０来自百度文库犿 ∈ Ν ，狇∈ （１，犿槡２］，证
明：存在犱 ∈ 犚，使得狘犪狀 －犫狀狘≤犫１ 对狀 ＝２，３， …，犿 ＋１均成立，并求犱 的取值范围（用犫１，犿， 狇 表示）．
证明 （１）由 条 件 知 犪狀 ＝ （狀 －１）犱，犫狀 ＝ ２狀－１．因为狘犪狀 －犫狀狘≤犫１ 对狀 ＝１，２，３，４均成 立，即狘（狀－１）犱－２狀－１狘≤１对狀 ＝１，２，３，４均 成立，所以１≤１，１≤犱 ≤３，３≤２犱 ≤５，７≤３犱
①
当２≤狀
≤犿
时
，狇狀 －２ 狀
狇狀－１ －２ － 狀－１
＝
狀狇狀
－狇狀 －狀狇狀－１ 狀（狀 －１）
＋２
＝
狀（狇狀
－狇狀－１）－狇狀 狀（狀 －１）
＋２，
１
当１＜狇 ≤２犿 时，有狇狀 ≤狇犿 ≤２，从 而狀（狇狀 －
狇狀－１）－狇狀 ＋２＞０．因此，当２≤狀 ≤犿 ＋１时，数
｛ ｝ ｛ ｝ 列 狇狀－１ －２ 单调递增．故数列 狇狀－１ －２ 的最大
起来比较容易．本 文 基 于 波 利 亚 解 题 理 论 对 此 题 进 行 分 析 ，并 对 高 中 数 学 的 教 与 学 提 出 一 些 建 议 ．
１ 试题
设｛犪狀｝是首项为犪１、公 差 为 犱 的 等 差 数 列， ｛犫狀｝是首项为犫１、公比为狇 的等比数列．
（１）设犪１ ＝０，犫１ ＝１，狇 ＝２，若狘犪狀 －犫狀狘≤ 犫１ 对狀 ＝１，２，３，４均成立，求犱 的取值范围；
狀 －１
狀 －１
值 为狇犿
－２ ．
犿
② 设犳（狓）＝２狓 （１－狓），当狓 ＞０时，犳′（狓）
＝（ｌｎ２－１－狓ｌｎ２）２狓 ＜０，所以犳（狓）单调递减，
从而 犳（狓）＜ 犳 （０）＝１．当 ２ ≤狀 ≤ 犿 ＋１ 时，
狇狀
（ ） （ ） 狀 狇（狀－１） １
１
１
１
狇狀－１ ＝
狀
≤２犿 １－ 狀 ≤２狀 １－ 狀 ＝
时 ，犱
满 足狇狀狀－１－－１２犫１
≤犱
≤
狇狀－１ 狀 －１犫１
．因
为
狇
∈
（１，犿槡２］，则１＜狇狀－１ ≤狇犿 ≤２，从而狇狀狀－１－－１２犫１ ≤
０，狀狇狀－－１１犫１ ≥０，对狀＝２，３，…，犿 ＋１均成立．因
此，取犱 ＝０时，狘犪狀 －犫狀狘≤犫１ 对狀 ＝２，３，…，
｛ ｝ 犿 ＋１均成立．下面讨论数列 狇狀－１ －２ 的最大值 狀 －１
｛ ｝ 和数列 狇狀－１ 的最小值（狀＝２，３，…，犿 ＋１）． 狀 －１
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
其实这是 一 个 固 有 的 结 论：已 知 椭 圆 犆：狓犪２２
狔２ ＋犫２
＝１（犪
＞犫
＞ ０），其 右 准 线犾
与狓
轴交于点
≤
９，得
７ ３
≤犱
≤
５．因 此，犱 ２
的取值范围
［ ］ 为 ７，５ ． ３２
（２）由条件知犪狀 ＝犫１ ＋ （狀 －１）犱，犫狀 ＝犫１·
２狀－１．因为狘犪狀 －犫狀狘≤犫１ 对狀＝２，３，…，犿 ＋１
均 成立，即狘犫１ ＋ （狀－１）犱－犫１狇狀－１狘≤犫１ 对狀 ＝
２，３，…，犿 ＋１均成立，即当狀 ＝２，３，…，犿 ＋１
想策略三方面来进行反思．
２．１ 反思解题思路 首先提 炼 该 题 的 解 题 步 骤（整 体 分 解），有 如
下 的 逻 辑 结 构 图 （图 １）以 及 信 息 流 程 图 （图 ２）．
２狆犲２ ＝１－犲２ ＋犽２
② ，狓１狓２
－狆２犲２ ＝１－犲２ ＋犽２
③．于 是
狔１
狔２
犽犕犃 ＋ 犽犕犅 ＝ 狓１ ＋狆 ＋ 狓２ ＋狆 ＝
狓２狔１ ＋狓１狔２ ＋狆（狔１ ＋狔２），将 （狓１ ＋狆）（狓２ ＋狆）
狔１
＝犽狓１，狔２
＝
犽狓２ 结合 ②③ 式代入上式，得犽犕犃 ＋犽犕犅 ＝０，故证 得 犕犉 平分 ∠犃犕犅．