1.5 事件的独立性与相关性

P ( A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( AB ) P ( A ) P ( A ) P ( B ) P ( A )( 1 P ( B )) P ( A ) P ( B )
其他类似可证. 注意: 判断事件的独立性一般有两种方法:
① 由定义判断,是否满足公式;
贝努里公式：在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试 验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功”出现k 次”,则 k k nk
P( Bk ) Cn p (1 p) (k 0,1,2,, n)
例1.5.7 同时掷四颗均匀的骰子,试计算:
(1)恰有一颗是6点的概率;
(2)至少有一颗是6点的概率. 解: 这是一个4重贝努里试验,
但 P( ABC ) 0 1 / 8 P( A) P( B) P(C ) 本例说明: 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立
1.5.3 相互独立事件的性质
性质1: 如果 将其中任何
n
个事件 A1 , A 2 , , A n 相互独立，则 个事件改为相应的对立事
m (1 m n )
A
) 0 . 03
P ( A ) P ( B ) 0 . 03 0 . 07 0 . 021 P ( AB )
所以事件 A 与 B 不独立，即该校学生视力与听力
缺陷有关联.
（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺 陷的概率是多少？ 这要求计算条件概率 P ( B
P (B A) P ( A)
率最大的击中目标次数为(n+1)p的整数部分.
1.5.4 Bernoulli概型
若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点:
(1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败; (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变; (3) 基本试验之间相互独立; (4) 在相同条件下,试验可以重复进行. 则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由 于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验.
例1.5.2 随机投掷编号为1与2的两个骰子，事件A表 示1号骰子向上一面出现奇数，B表示2号骰子向上一 面出现奇数，C表示两骰子出现的点数之和为奇数。 则 P( A) P( B) P(C ) 1 / 2
P( AB) P( BC ) P(CA) 1 / 4
P( A) P( B) P( B) P(C ) P(C ) P( A)
2 2
2
P ( S 2 ) P ( S1 )
例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击 中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数. 解：击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,…,5) 表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5), 则Ai (i=1,2,...,5)相互独立, P(B0)= P( A1 A2 A3 A4 A5 ) =(1-0.6)5 =0.45 C50 0.6 0 ( 1 0.6 )5 P(B1)= P( A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5
(3)
1.5.2 有限个事件的独立性
定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事A1,A2,…,An,若 对任何正整数m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n, 都有 P（Ai1 Ai2 Aim ) P（Ai1 ) P( Ai2 ) P( Aim )
则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立. 注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个 事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的 影响.
推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0,则A与B独立等价于 P(B|A)=P(B).若P(B)>0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明：A，B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
推论2 在 A与B, A与B，A与 B ，A与 B 这四对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A,B独立,则
② 由问题的性质从直观上去判断.
例1.5.1 某高校的一项调查表明：该校有30%的学 生视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力 与听力都有缺陷，
P =“学生视力有缺陷”，( A ) 0 . 30 P( B =“学生听力有缺陷”， B ) 0 . 07 P AB =“学生听力与视力都有缺陷”， ( AB 现在来研究下面三个问题： （1）事件 A 与 B 是否独立？ 由于
P ( B | A) P ( B ) 7 10
由乘法公式即得
P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的 概率彼此不受影响.
定义: 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。 注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
注意：不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要 发生．
例1.5.5
系统的可靠性问题
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系 统)的可靠性. 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联 并联 2
1
1
2
设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的 概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的 连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性. A1 S1: A2 B2
A Ai
i 1 100
P ( A) 1 1 P ( Ai )
i 1
100
1 (1 0.004)
100
0.33
若Bn表示n个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则
P ( Bn ) 1 (1 ) , n 1,2,
n
01
n
lim P ( Bn ) 1
1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-0.168=0.832
例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件
事件 A 与 B C 也相互独立.
证: PA ( B C ) P( B C ) P A( B C )
P ( B ) P (C ) P ( BC ) P ( AB ) P ( AC ) P ( ABC )
P( A )P( B) P(C ) P( BC )
P( A ) P( B C )
例1.5.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为 0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含 有肝炎病毒的概率. 解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为 事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai (i =1,2,…,100 ). 则
P(B4) C54 0.6 4 ( 1 0.6 )1
P(B5) C55 0.6 5 ( 1 0.6 )0
即
P(Bi ) C 5 0.6 (1 0.6)
i i
5 i
(i=0,1,2,3,4,5)
易计算：概率最大的击中目标次数为3.
一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率 为p，则：当(n+1)p为整数时，概率最大的击中目标 次数为(n+1)p和(n+1)p-1；当(n+1)p不为整数时，概
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
1.5 事件的独立性与相关性
1.5.1 两个事件的独立性与相关性 1.5.2 有限个事件的独立性 1.5.3 相互独立事件的性质 1.5.4 Bernoulli概型
1.5.1 两个事件的独立性与相关性
例如 箱中装有10件产品。7件正品，3件次品。甲买走 1件正品，乙要求另开一箱,也买走1件正品. 记甲取到正品为事件A，乙取到正品为事件B，则
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件，形成新的 n 个事件仍然相互独立. 性质2: 如果
n
n
个事件 A1 , A 2 , , A n 相互独立，则有
n n
P ( A i ) 1 P ( A i ) 1 ( 1 P ( A i ))
i1 i1 i1
例1.5.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电, 则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)=
( x3 4) ( x3 4) ( x3 3)
( x3 4) : 1,1,2,3,3;
1,1,4,4,5;
1,1,2,3,4; 1,1,4,5,8;

所取的5个数字中至少有3个数字不大于4
称
( A, B )
P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( A )( 1 P ( A )) P ( B )( 1 P ( B ))
为事件 A 与 B 的相关系数 定理1.5.1 (1) (2)
( A , B ) 0 当且仅当 A
与 B 相互独立；
( A, B ) 1 ; ( A , B ) 0 P ( A B ) P ( A ) P ( B A ) P ( B ). ( A , B ) 0 P ( A B ) P ( A ) P ( B A ) P ( B ).
掷每一颗骰子就是一个基本试验.
每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以 (1) 恰有一颗是6点的概率为 (2) 至少有一颗是6点的概率为
1 C4 ( ) (1 ) 6 6
0 0
C4 ( ) (1 ) 6 6
1 1
1
1
4 1
C4 ( ) ( ) 6 6
1 1
0
1
5
3
1
1
40
1 C4 ( ) ( ) 1 ( ) 6 6 6
B1
P(S1 ) P( A1 A2 ) P( B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 )
2 p p p (2 p )
2 4 2 2
S2:
A1 B1
2
A2 B2
P( S 2 ) P( Ai Bi ) 2 p p
i 1

2
2 2

p (2 p) p (2 p )
A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 )
=5×0.6×(1-0.6)4
C5 0.6 ( 1 0.6 )
1 1
4
类推得
P(B2) C52 0.6 2 ( 1 0.6 )3
P(B3) C53 0.6 3 ( 1 0.6 )2
A)

,由定义知
0 . 03 0 . 30 1 10
P ( AB )
（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？ 类似地可算条件概率
P(A B) P ( AB ) P(B ) 0 . 03 0 . 07 3 7
定义 设
0 P ( A ) 1 ,0 P ( B ) 1 ,
1
k k 8 k C8 0.6 0.4 k 0
0.9914
例1.5.9 从1,2, …,10十个数字中有放回地任取5个数字, 求 取出的5个数字中按由小到大排列, 中间的那个数等于 4 的概率. 解: 设取出的5个数按由小到大排列为
x1 x2 x3 x4 x5
令 ( x3 4) 表示所求的事件
0 4
1
5
5
4
例1.5.8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹, 若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每 门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被击毁的概率. 解：设一门炮击中目标为事件A, P(A)=0.6 设目标被击毁为事件B, 则
8 1
P( B)
k k 8 k C8 0.6 0.4 k 2