2005中国西部数学奥林匹克

2005中国西部数学奥林匹克

第一天

1.已知20052005βα+可表示成以αββα.+为变元的二元多项式．求这个多项式的系数之和。

2．如图l ，过圆外一点P 作圆的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，再过

点P 作圆的一条割线分别交圆于C 、D 两点，过切点B 作PA 的平行线分

别交直线AC 、AD 于E 、F ．求证：BE=BF ．

3．设}2005

,,2,1{ =S 。若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值．

4．已知实数)2.(,,,21>n x x x

n 满足 ).,,2,1(1||,1||1n i x x i i n

i =≤>∑=

求证：存在正整数R ，使得

.1||11≤-

∑∑+==i n k i i k i x x

第二天

5．如图2，

⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点．过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且

切⊙O 2于点C ，CA 切⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直。

过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足．求证：BD 平分线段AF ．

6．在等腰Rt△ABC 中，CA=CB=1，P 是△ABC 边界上任意一点．求

PC PB PA ⋅⋅的最大值．

7．设正实数a 、b 、c 满足a+b+c=1．证明

.1)(9)(10555333≥+++++c b a c b a

8.设n 个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识．试求n 的最大值．