数量积 向量积 混合积

( 2) a ⋅ b = 0 ⇐⇒ a⊥b .
证 (⇒) ∵ a ⋅ b = 0, | a |≠ 0, | b |≠ 0, ⇒ ∴ cosθ = 0, θ = π , ∴ a⊥b . 2 π (⇐) ∵ a⊥b , ∴θ = , ∴ cosθ = 0, ⇐ 2
a ⋅ b =| a || b | cosθ = 0.
数量积符合下列运算规律： 数量积符合下列运算规律： （1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a; 交换律： （2）分配律： a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ; 分配律： ( 为数： （3）若 λ 为数： ( λa ) ⋅ b = a ⋅ ( λb ) = λ ( a ⋅ b ), 为数： 若 λ 、µ为数： ( λa ) ⋅ ( µb ) = λµ ( a ⋅ b ).
a // b ∴θ = 0或 π ∴ sinθ = 0
θ = 0,
（2）分配律： (a + b ) × c = a × c + b × c . ）分配律： 为数： （3）若 λ ） 为数： (λa ) × b = a × (λb ) = λ (a × b ).
设 a = a x i + a y j + az k ,
( a ≠ 0, b ≠ 0 )
( 2) a // b ⇐⇒ a × b = 0.
证 (⇒ ) ∵ a × b = 0, ⇒
| a |≠ 0,
| b |≠ 0,
∴ sinθ = 0,
(⇐ ) ∵ a // b ⇐ | a × b |=| a || b | sinθ = 0.
向量积符合下列运算规律： 向量积符合下列运算规律： （1） a × b = − b × a . ）
∧ ∴θ = ( m × n , p ) = 0
( m × n ) ⋅ p =| m × n | ⋅ | p | cosθ = 8 ⋅ 3 = 24.
三、向量的混合积
定义 设已知三个向量a 、b 、c ，数量(a × b ) ⋅ c
称为这三个向量的混合积， 称为这三个向量的混合积，记为[ab c ]. 混合积
解
i
j ay by
2
k
i
j
k
c = a × b = ax bx
2
a z = 3 − 2 4 = 10 j + 5k , bz 1 1 − 2
∵ | c |= 10 + 5 = 5 5 ,
c 1 2 ∴c = ± j+ k . = ± 5 |c | 5
0
例4
解
在顶点为 A(1,−1,2) 、 B(5,−6,2)和
a x a y az 例如， 例如， = = ⇒ a x = 0, a y = 0 0 0 bz
补充
| a × b |表示以a 和b 为邻边
的平行四边形的面积. 的平行四边形的面积
c = a×b b
a
例 3
求 与 a = 3i − 2 j + 4k ， b = i + j − 2k 都
垂直的单位向量. 垂直的单位向量
一、两向量的数量积
实例 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动 表示位移， 到点 M 2 ，以 s 表示位移，则力 F 所作的功为
W =| F || s | cosθ
的夹角) (其中θ 为 F 与 s 的夹角 其中
启示 两向量作这样的运算 结果是一个数量 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 乘积. 数量积也称为“点积” 内积” 数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明： 关于数量积的说明：
(1) a ⋅ a =| a |2 . 2 证 ∵θ = 0, ∴ a ⋅ a =| a || a | cosθ =| a | .
数量积为 定义 向量a 与b 的数量积为a ⋅ b
a ⋅ b =| a || b | cosθ (其中θ 为a 与b 的夹角 的夹角) 其中
b
θ
a ⋅ b =| a || b | cosθ
a ∵ | b | cos θ = Pr ja b ,
| a | cos θ = Pr jb a ,
∴ a ⋅ b =| b | Pr jb a = | a | Pr ja b .
= (a × b ) ⋅ c + (a × c ) ⋅ c + 0 ⋅ c + (b × c ) ⋅ c =0 =0 + (a × b ) ⋅ a + (a × c ) ⋅ a + 0 ⋅ a + (b × c ) ⋅ a =0 =0 = (a ×b) ⋅ c = 2(a × b ) ⋅ c = 2[ab c ] = 4.
点处． 于这杠杆上 P 点处 ．力 F 与OP 的夹角为θ ， 力
F 对支点O 的力矩是一向量 M ，它的模
F
θ
| M |=| OQ || F |
L
O
P Q
=| OP || F | sinθ
M 的方向垂直于OP 与 F 所决
定的平面, 指向符合右手系. 定的平面 指向符合右手系
定义 向量 a 与b 的向量积为 c = a × b 向量积为
1 ∴V = ± x3 − x1 6 x4 − x1 x2 − x1 y2 − y1 y3 − y1 y4 − y1 z 2 − z1 z 3 − z1 z4 − z1
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致. 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致
四、小结
向量的数量积（结果是一个数量） 结果是一个数量）
两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为
a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
例 1 已知a = {1,1,−4}，b = {1,−2,2}，求（1） ） a ⋅ b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影 的夹角； ） 上的投影. ）
解 (1) a ⋅ b = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −2) + ( −4) ⋅ 2 = −9.
两两垂直，符合右手规则， 例 5 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规则，且
| m |= 4 ，| n |= 2 ，| p |= 3 ，计算( m × n) ⋅ p .
∧ 解 | m × n |=| m || n | sin( m , n )
= 4 × 2 × 1 = 8,
同向， 依题意知 m × n 与 p 同向，
证
[(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ] ⋅ c
= [(a ⋅ c )b ⋅ c − (b ⋅ c )a ⋅ c ]
= (c ⋅ b )[a ⋅ c − a ⋅ c ]
=0
∴ [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ]⊥c
二、两向量的向量积
实例 设O 为一根杠杆 L 的支点，有一力F 作用 的支点，
∴ i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1.
a ⋅ b = axbx + ayby + azbz
数量积的坐标表达式
a⋅b , a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = | a || b | axbx + ayby + azbz cosθ = 2 2 2 2 2 2 ax + ay + az bx + by + bz
b = bx i + b y j + bz k
a × b = (a x i + a y j + a z k ) × (bx i + b y j + bz k )
∵ i × i = j × j = k × k = 0, ∵ i × j = k, j ×k = i , k ×i = j, j × i = −k , k × j = −i , i × k = − j .
设 a = a x i + a y j + az k ,
b = bx i + b y j + bz k ,
c = c x i + c y j + cz k ,
ax ay az
[abc]= (a ×b) ⋅ c = bx by bz cx cy cz
混合积的坐标表达式
关于混合积的说明： 关于混合积的说明： （1）向量混合积的几何意义： ）向量混合积的几何意义：
= (aybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx )k
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
i a × b = ax bx
由上式可推出
j ay by
k az bz
a x a y az a // b ⇐⇒ = = bx b y bz
不能同时为零，但允许两个为零， b x 、 b y 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
( 2) cosθ =
a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 , =− 2
( 3) a ⋅ b =| b | Pr jb a
a⋅b ∴ Pr jb a = = −3. |b |
3π π . ∴θ = 4
垂直. 例 2 证明向量c 与向量(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a 垂直
| c |=| a || b | sinθ
右手系. 右手系.
的夹角) (其中θ 为a 与b 的夹角 其中
c 的方向既垂直于a ，又垂直于b ，指向符合
向量积也称为“叉积” 向量积也称为“叉积”、“外积”. 外积”
关于向量积的说明： 关于向量积的说明：
(1) a × a = 0.
(∵θ = 0 ⇒ sinθ = 0)
设 a = a x i + a y j + az k ,
b = bx i + b y j + bz k
a ⋅ b = (a x i + a y j + a z k ) ⋅ (bx i + b y j + bz k )
∵ i ⊥ j ⊥ k , ∴ i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0, ∵| i |=| j |=| k |= 1,
结果是一个向量） 向量的向量积（结果是一个向量）
向量的混合积（结果是一个数量） 结果是一个数量）
（注意共线、共面的条件） 注意共线、共面的条件）
思考题
已知向量 a ≠ 0 ， b ≠ 0 ， 证明| a × b | =| a | | b | − ( a ⋅ b ) .
2 2 2 2
思考题解答
| a × b |2 =| a |2 ⋅ | b |2 sin 2 (a,∧ b ) =| a |2 ⋅ | b |2 [1 − cos 2 (a,∧ b )]
） （3）三向量a 、b 、c 共面 ⇐⇒[ab c ] = 0.
例6 已知[ab c ] = 2，
计算[(a + b ) × ( b + c )] ⋅ ( c + a ) .
解
[(a + b ) × (b + c )] ⋅ (c + a )
= [a × b + a × c + b × b + b × c )] ⋅ (c + a )
C (1,3,−1)的三角形中，求 AC 边上的高BD . 的三角形中，
AC = {0,4,−3} AB = {4,−5,0}
三角形ABC的面积为 的面积为 三角形
A
B
D
C
1 1 25 2 2 2 S = | AC × AB |= 15 + 12 + 16 = , 2 2 2 1 2 2 | AC | = 4 + ( −3) = 5, S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 = ⋅ 5⋅ | BD | ∴| BD |= 5. 2 2
AC 、 AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一 为棱的平行六面体的体积的六分之一.
1 V = [ AB AC AD ] 6
∵ AB = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
AC = { x3 − x1 , y3 − y1 , z 3 − z1 } AD = { x4 − x1 , y4 − y1 , z4 − z1 }
向量的混合积 [ab c ] = (a × b ) ⋅ c 是这样 a ×b c 的一个数， 的一个数，它的绝对值表 示以向量a 、b 、c 为棱的 a 平行六面体的体积. 平行六面体的体积
b
( 2) [ab c ] = (a × b ) ⋅ c = (b ×c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b.
例 7 已知空间内不在一平面来自百度文库的四点
A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x 2 , y2 , z 2 ) 、C ( x 3 , y3 , z 3 ) 、 D( x4 , y4 , z 4 ) , 求四面体的体积 求四面体的体积.
由立体几何知， 解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB 、