二次函数与三角形结合的综合运用

一、二次函数中等腰三角形存在性问题：（1）数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定 （2）函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用 （3）找动点使之与已知两点构成等腰三角形的方法：①利用“两圆一线法”； ②万能法：分别表示A 、B 、P 的坐标，在表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，再进行分类：①AB=AP ；②AB=BP;③BP=AP,列出方程进行求解。

2、在平面直角坐标系中找出所有的点C ，使得△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，且C 点的横坐标与纵坐标为自然数．画出C 点的位置并写出C 点的坐标．二、二次函数中直角三角形的存在性问题：（1）直角三角形一般涉及勾股定理，注意勾股定理的定理与逆定理；同时注意直角三角形内的特殊角度；（2）直角三角形与函数属于代数与几何的结合，把几何问题数字化，这类问题注意平面直角坐标系的作用；（3）找动点使之与已知两点构成直角三角形的方法：①利用“两线一圆”法；②万能法：分别表示出A 、B 、P 的坐标，再分别表示出线段AB 、AP 、BP 的长度，由①222AP BP AB +=;②222AP AB BP +=;③222BP AB AP +=列方程求解。

或者用“一线三直角”相似的方法来解答。

1、在平面直角坐标系中，已知点A （4，4）、B （-4，4），试在x 轴上找出点P ，使△APB 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P 点的坐标二次函数与三角形结合的综合运用一、二次函数与等腰三角形1、如图，已知二次函数y=ax 2-4x+c 的图象与坐标轴交于点A （-1，0）和点C （0，-5）． （1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标． （2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P （2，-2），连接OP ，找出x 轴上所有点M 的坐标，使得△OPM 是等腰三角形．【答案】(1) y=x 2-4x-5， B （5，0）；(2) M 的坐标是（4，0）、（2，0）、（-2√2，0）、（2√2，0）. 【解析】解：（1）根据题意， 得{0＝a ×(−1)2−4×(−1)+c −5＝a ×02−4×0+c，解得{a ＝1c =−5，∴二次函数的表达式为y=x 2-4x-5，当y=0时，x 2-4x-5=0，解得：x 1=5，x 2=-1， ∵点A 的坐标是（-1，0），∴B （5，0），答：该二次函数的解析式是y=x 2-4x-5，和它与x 轴的另一个交点B 的坐标是（5，0）．（2）令y=0，得二次函数y=x 2-4x-5的图象与x 轴的另一个交点坐标B （5，0），由于P （2，-2），符合条件的坐标有共有4个，分别是M 1（4，0）M 2（2，0）M 3（-2√2，0）M 4（2√2，0）， 答：x 轴上所有点M 的坐标是（4，0）、（2，0）、（-2√2，0）、（2√2，0），使得△OPM 是等腰三角形．变式1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x 2+2x+3；(2) P （1，2）；(3) M （1，√6）（1，-√6）（1，1）（1，0）．【解析】解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）代入抛物线y=ax 2+bx+c 中，得：{a −b +c ＝09a +3b +c ＝0c ＝3 ，解得：{a ＝−1b ＝2c ＝3∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ； ∵点A 、B 关于直线l 对称， ∴PA=PB ，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC 的解析式为y=kx+b （k ≠0）， 将B （3，0），C （0，3）代入上式，得：{3k +b ＝0b ＝3，解得：{k ＝−1b ＝3∴直线BC 的函数关系式y=-x+3；当x=1时，y=2，即P 的坐标（1，2）． （3）抛物线的对称轴为：x=- b2a=1，设M （1，m ），已知A （-1，0）、C （0，3），则： MA 2=m 2+4，MC 2=（3-m ）2+1=m 2-6m+10，AC 2=10；①若MA=MC ，则MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2-6m+10，得：m=1；②若MA=AC ，则MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m=±√6；③若MC=AC ，则MC 2=AC 2，得：m 2-6m+10=10，得：m 1=0，m 2=6；当m=6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，√6）（1，- √6）（1，1）（1，0）． 变式2、如图，抛物线y=x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式3、二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，14）；点F （0，1）在y 轴上．直线y=-1与y 轴交于点H ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y=-1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ；（3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．【答案】(1) y=14x 2；(2)见解析；(3) P 的坐标为（2√3，3）或（-2√3，3）．【解析】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O ，∴设二次函数的解析式为y=ax 2， 将点A （1，14）代入y=ax 2得：a=14，∴二次函数的解析式为y=14x 2； （2）证明：∵点P 在抛物线y=14x 2上，∴可设点P 的坐标为（x ，14x 2），过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，则BF=14x 2-1，PB=x ，∴Rt △BPF 中，PF=√(14x 2−1)2+x 2=14x 2+1，∵PM ⊥直线y=-1，∴PM=14x 2+1，∴PF=PM ，∴∠PFM=∠PMF ，又∵PM ∥y 轴，∴∠MFH=∠PMF ，∴∠PFM=∠MFH ，∴FM 平分∠OFP ； （3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt △MFH 中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM ，∴14x 2+1=4，解得：x=±2√3， ∴14x 2=14×12=3，∴满足条件的点P 的坐标为（2√3，3）或（-2√3，3）．二、二次函数与直角三角形2、已知二次函数y=x 2+bx+c 图象的对称轴是直线x=2，且过点A （0，3）． （1）求b 、c 的值；（2）求出该二次函数图象与x 轴的交点B 、C 的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O 和该二次函数图象的顶点M ．问在这个一次函数图象上是否存在点P ，使得△PBC 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) b=-4，c=3 ；(2) B （3，0），C （1，0）；(3) P 的坐标是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）.【解析】解：（1）二次函数y=x 2+bx+c 图象的对称轴是直线x=2，且过点A （0，3），代入得：- b2×1=2，3=c ，解得：b=-4，c=3，答：b=-4，c=3．（2）把b=-4，c=3代入得：y=x 2-4x+3，当y=0时，x 2-4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1， B （3，0），C （1，0），答：二次函数图象与x 轴的交点B 、C 的坐标分别是（3，0），（1，0）．（3）存在：理由是：y=x 2-4x+3，=（x-2）2-1，顶点坐标是（2，-1）， 设一次函数的解析式是y=kx+b ，把（0，0），（2，-1）代入得：{0＝b −1＝2k +b ，解得：{k ＝−12b ＝0，∴y=- 12x ， 设P 点的坐标是（x ，- 12x ）， 取BC 的中点M ，以M 为圆心，以BM 为半径画弧交直线于Q 、H ，则Q 、H 符合条件，由勾股定理得；（x-2）2+(- − 12x x −0)2=12，解得：x 1=- 65x ，x 2=2，∴Q （65，- 35），H （2，-1）；过B 作BF ⊥X 轴交直线于F ，把x=3代入y=- 12x 得：y=- 32，∴F （3，- 32），过C 作CE ⊥X 轴交直线于E ，同法可求：E （1，- 12），∴P 的坐标是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）.答：存在，P 的坐标是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）．变式1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-3）．（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x 2+2x-3；(2) P 的坐标为（- 32，- 154）；(3) （0，32）或（0，-72）或（0，-1）或（0，-3）．【解析】解：（1）由于抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A （-3，0），B （1，0），可设抛物线的解析式为： y=a （x+3）（x-1），将C 点坐标（0，-3）代入，得： a （0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，则y=（x+3）（x-1）=x 2+2x-3，所以抛物线的解析式为：y=x 2+2x-3；（2）过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点N ． 设直线AC 的解析式为y=kx+m ，由题意，得 {−3k +m ＝0m ＝−3，解得{k ＝−1m ＝−3∴直线AC 的解析式为：y=-x-3．设P 点坐标为（x ，x 2+2x-3），则点N 的坐标为（x ，-x-3），∴PN=PE-NE=-（x 2+2x-3）+（-x-3）=-x 2-3x ． ∵S △PAC =S △PAN +S △PCN ， S=12PN •OA=12×3（-x 2-3x ）=- 32（x+32）2+278，∴当x=- 32时，S 有最大值278，此时点P 的坐标为（- 32，- 154）； （3）在y 轴上是存在点M ，能够使得△ADM 是直角三角形． 理由如下：∵y=x 2+2x-3=y=（x+1）2-4，∴顶点D 的坐标为（-1，-4），∵A （-3，0），∴AD 2=（-1+3）2+（-4-0）2=20． 设点M 的坐标为（0，t ），分三种情况进行讨论： ①当A 为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM 2+AD 2=DM 2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=32，所以点M 的坐标为（0，32）； ②当D 为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM 2+AD 2=AM 2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，解得t=- 72，所以点M 的坐标为（0，- 72）； ③当M 为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM 2+DM 2=AD 2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20， 解得t=-1或-3，所以点M 的坐标为（0，-1）或（0，-3）； 综上可知，在y 轴上存在点M ，能够使得△ADM 是直角三角形，此时点M 的坐标为（0，32）或（0，- 72）或（0，-1）或（0，-3）．变式2、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标． 解：（1）∵B（4，m ）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B （4，6）在抛物线y=ax 2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．变式3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B ．（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 点B 的坐标为（3，1）；(2) y=12x 2-12x-2；(3) P 1（-1，-1），P 2（-2，1）. 【解析】解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO ， 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC ，∴△BDC ≌△COA ， ∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B 的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax 2-ax-2过点B （3，1），∴1=9a-3a-2，解得：a=12，∴抛物线的解析式为y=12x 2-12x-2；（3）假设存在点P ，使得△ACP 是等腰直角三角形， ①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，则延长BC 至点P 1使得P 1C=BC ，得到等腰直角三角形ACP 1， 过点P 1作P 1M ⊥x 轴，如图（1），∵CP 1=BC ，∠MCP 1=∠BCD ，∠P 1MC=∠BDC=90°， ∴△MP 1C ≌△DBC ，∴CM=CD=2，P 1M=BD=1，∴P 1（-1，-1），经检验点P 1在抛物线 y=12x 2-12x-2上；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP 2⊥CA ，且使得AP 2=AC ， 得到等腰直角三角形ACP 2，过点P 2作P 2N ⊥y 轴，如图（2）， 同理可证△AP 2N ≌△CAO ，∴NP 2=OA=2，AN=OC=1，∴P 2（-2，1），经检验P 2（-2，1）也在抛物线y=12x 2-12x-2上； ③若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP 3⊥CA ， 且使得AP 3=AC ，得到等腰直角三角形ACP 3，过点P 3作P 3H ⊥y 轴，如图（3），同理可证△AP 3H ≌△CAO ， ∴HP 3=OA=2，AH=OC=1，∴P 3（2，3），经检验P 3（2，3）不在抛物线y=12x 2-12x-2上； 故符合条件的点有P 1（-1，-1），P 2（-2，1）两点．如图，抛物线与x 轴交于两点A （﹣4，0）和B （y C （0，2），动点D 沿△ABC 的边AB 以每秒2个单位长度的速度由起点A 向终点B 运动，过点D 作x 轴的垂线，交△ABC 的另一边于点E ，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点F 处，设点D 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t ，使得△EFC 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO 的面积为s ，求s 关于t 的函数表达式．2y ax bx c =++【答案】（1） ，对称轴为：直线x =﹣；（2）t =或；（3）．（2）存在，∵AD =2t ，∴DF =AD =2t ，∴OF =4﹣4t ，∴D （2t ﹣4，0），∵直线AC 的解析式为： ，∴E （2t ﹣4，t ），∵△EFC 为直角三角形，分三种情况讨论：①当∠EFC =90°，则△DEF ∽△OFC ，∴，即，解得：t =；②当∠FEC =90°，∴∠AEF =90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴DE =AF ，即t =2t ，∴t =0，（舍去），③当∠ACF =90°，则AC 2+CF 2=AF 2，即（42+22）+[22+（4t ﹣4）2]=（4t ）2，解得：t =，∴存在某一时刻t ，使得△EFC 为直角三角形，此时，t =或；学科*网（3）∵B （1，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为：y =﹣2x +2，当D 在y 轴的左侧时，S =（DE +OC ）•OD =（t +2）•（4﹣2t ）=﹣t 2+4 （0＜t ＜2）；当D 在y 轴的右侧时，如图2，∵OD =4t ﹣4，DE =﹣8t +10，S =（DE +OC ）•OD =（﹣8t +10+2）•（4t ﹣4），即（2＜t ＜）．213222y x x =--+323454224(02){ 5164024(2)2t t S t t t -+<<=-+-<<122y x =+DE DF OF OC =2442t t t =-3412543454121212122164024S t t =-+-52综上所述：变式5、如图，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上一点（不与B ，C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．【答案】(1) A （-1，0），B （3，0），C （0，3）；(2) 3+3√22；(3) Q 1（1，3+√112），Q 2（1，3−√112），Q 3（1，- 14），Q 4（1，72）.【解析】解：（1）由抛物线的解析式y=-x 2+2x+3，∴C （0，3），令y=0，-x 2+2x+3=0，解得x=3或x=-1；∴A （-1，0），B （3，0）． （2）设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则有：{k +b ＝0b ＝3，解得{k ＝−1b ＝3，∴直线BC 的解析式为：y=-x+3． 设P （x ，-x+3），则M （x ，-x 2+2x+3），∴PM=（-x 2+2x+3）-（-x+3）=-x 2+3x ． ∴S △BCM =S △PMC +S △PMB =12PM •（xP-xC ）+12PM •（xB-xP ）=12PM •（xB-xC ）=32PM ． ∴S △BCM =32（-x 2+3x ）=- 32（x- 32）2+ 278．∴当x= 32时，△BCM 的面积最大． 此时P （32，32），∴PN=ON= 32，∴BN=OB-ON=3- 32= 32． 在Rt △BPN 中，由勾股定理得：PB=3√22． C △BCN =BN+PN+PB=3+3√22．∴当△BCM 的面积最大时，△BPN 的周长为3+3√22． （3）∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴抛物线的对称轴为直线x=1．在Rt △CNO 中，OC=3，ON= 32，由勾股定理得：CN= 3√52． 设点D 为CN 中点，则D （34，32），CD=ND=3√54． 如解答图，△CNQ 为直角三角形，①若点Q 为直角顶点．作Rt △CNO 的外接圆⊙D ，与对称轴交于Q 1、Q 2两点， 由圆周角定理可知，Q 1、Q 2两点符合题意．224(02){5164024(2)2t t S t t t -+<<=-+-<<连接Q 1D ，则Q 1D=CD=ND=3√54． 过点D （34，32）作对称轴的垂线，垂足为E ，则E （1，32），Q 1E=Q 2E ，DE=1-34=14． 在Rt △Q 1DE 中，由勾股定理得：Q 1E=√Q 1D 2−DE 2=√112∴Q 1（1，3+√112，Q 2（1，3−√112）； ②若点N 为直角顶点．过点N 作NF ⊥CN ，交对称轴于点Q 3，交y 轴于点F ． 易证Rt △NFO ∽Rt △CNO ，则ＯＦＯＮ=ＯＮＯＣ，即ＯＦ３２＝３３２，解得OF=３４．∴F （0，-３４），又∵N （３２，0），∴可求得直线FN 的解析式为：y=１２x-３４． 当x=1时，y=-１４，∴Q 3（1，-１４）；③当点C 为直角顶点时．过点C 作Q 4C ⊥CN ，交对称轴于点Q 4．∵Q 4C ∥FN ，∴可设直线Q 4C 的解析式为：y=１２x+b ，∵点C （0，3）在该直线上，∴b=3．∴直线Q 4C 的解析式为：y=１２x+3，当x=1时，y=７２，∴Q 4（1，７２）．综上所述，满足条件的点Q 有4个， 其坐标分别为：Q 1（1，3+√112），Q 2（1，3−√112），Q 3（1，- 14），Q 4（1，72）．。