最新实验指导书2

实验指导书2

《数学模型》实验指导书

实验项目与学时分配表

实验项目一：预测利润问题

一、实验目的和要求：

熟悉科学计算软件MATLAB的图形功能，会用软件画图，并进行数据模拟。依照人口增长模型，掌握数据预测方法。

二、实验内容：

某乡镇企业2001-2007年的生产利润如下表；

试预测2008年和2009年的利润。

三、过程：

１．利用MATLAB软件或其它绘图软件，对所给数据画出散点图；

２．根据散点图，分析合适的函数，并试探（画图作对比）；

３．确定函数类型，作数据拟合，确定函数中的参数；

４．作误差分析．

实验项目二：梯子长度问题

一、实验目的和要求：

掌握求一元函数极值的驻点法，并会用它解决一些实际问题；熟悉科学计算软件MATLAB求极小值的命令。

二、实验内容：

一栋楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？

三、过程：

1、设温室宽为a，高为b，梯子倾斜的角度为x，当梯子与温室顶端 A处恰

好接触时，梯子的长度L只与x有关。试写出函数L（x）及其定义域。

3、在 Matlab 环境，先用命令 clear x 清除x的值，再定义函数

L(x) ，并求导。

4、将a、b赋值，画出L(x) 的图形。注意自变量x的范围选取。

5、求驻点，即求方程«Skip Record If...»的根，有什么命令求根？并计算函数在驻点的值。驻点唯一吗？

6、观测图形，选取初始点，用fminbnd 直接求L(x)的极小值。并与（5）的结果比较。

7、取a=2,b=2.8,重新运行程序，结果如何？

实验项目三：绕拐角问题

一、实验目的和要求：

学习函数极值的相关知识，熟悉科学计算软件MATLAB求极值的方法。

二、实验内容：

在某医院走廊拐角处，垂直相交的两通道宽度分别是1m与1.5m, 病床宽为0.80m，问病床至多为多长才能被推过此拐角？

三、过程

1 建立数学模型；

2 求解θ，使函数L(θ)达到最小；

3 改动模型中一些数据，再求解，观测结果。

某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米. 问：该设备能否水平移进拐角过道？

3

解由题设，我们以直线OB,OA分别为x轴，y轴建立直角坐标系，问题可转

化为：求以M(3,3)点为圆心，半径为1的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴

所截的线段 AB长的最小值。设直线AB的方程为«Skip Record If...»，∵它与圆«Skip Record If...»相切，

∴«Skip Record If...»。。。。。。（1），又∵原点O(0,0)与点M(3,3)在直线«Skip Record If...»的异侧，∴«Skip Record If...»，∴（1）式可化为«Skip Record If...»。。。。。。。。。。（2）

下面求«Skip Record If...»（a>0,b>0）的最小值。设

«Skip Record If...»代入（2）得«Skip Record If...»，。。。。。。（3）再设t=sinθ+cosθ,«Skip Record If...».«Skip Record If...»,代入（3）

得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»,记«Skip Record If...»

这里f(1)=-4<0, «Skip Record If...»在«Skip Record If...»内有解«Skip Record If...»«Skip Record If...»。这时«Skip Record If...»

这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为«Skip Record If...»，

故该设备不能水平移进过道。

另解«Skip Record If...»

∴r(t) 在«Skip Record If...»上是减函数，«Skip Record If...»。

实验项目四：鱼的游动技巧

一、实验目的和要求：

学习能耗最小的优化模型

二、实验内容：

观察鱼在水中的运动发现,它不是水平游动,而是锯齿状地向上游动和向下滑行交替进行.可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式.

（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k 倍，写出这些力。

（2）证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时（见下图），沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗

能量）。一般取k=3.

（3）根据实际观察，试对不

同的k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小

的准则估计最佳的值。

过程：1．导出二元函数p

2．作出二元函数p的曲面图，

3．如果α=11o20’，k=3，作此时一元函数p的曲线图，

4．确定P的最小值。

实验项目五：数学规划问题

一、实验目的和要求：

熟悉数学规划软件LINDO的运用，理解数学规划模型及其应用，掌握0-1规划模型的建模过程和求解方法。重点是模型的约束条件的建立和结果的分析。

二、实验内容：