新高一数学上期末模拟试题含答案

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2023-2024学年山东省潍坊市高一上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年山东省潍坊市高一上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}N A x y x ==∈，{}4,3,2,1B =，则集合A ，B 的关系是（）A ．B A ⊆B ．A B =C ．B A∈D ．A B⊆【正确答案】A【分析】计算得到{}0,1,2,3,4A =，据此得到集合的关系.【详解】{}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣，{}4,3,2,1B =，故A B =错误；集合B 中元素都是集合A 元素，故B A ⊆正确；A B ，是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B A ∈错误；集合A 中元素存在不属于集合B 的元素，故A B ⊆错误.故选：A2．函数()()2ln 2f x x x =-的定义域为（）A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(,0][2,)-∞⋃+∞C ．()0,2D ．[]0,2【正确答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解.【详解】令220x x ->，解得02x <<，故函数()()2ln 2f x x x =-的定义域为()0,2.故选：C.3．命题“2x ∀>，240x -≠”的否定形式是（）A ．2x ∃>，240x -≠B ．2x ∀≤，240x -=C ．2x ∃>，240x -=D ．2x ∃≤，240x -=【正确答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为2x ∃>，240x -=.故选：C.4．已知0.13a =，30.3b =，0.2log 3c =，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可判断出结果.【详解】3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< ，c b a ∴<<.故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取6%的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与A 区被抽取的食品摊位数分别为（）A ．210，24B ．210，27C ．252，24D ．252，27【正确答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为()1000800100014006%252+++⨯=；A 区抽取的食品摊位数为10006%0.4527⨯⨯=.故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【正确答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立，且()()()1,2P D P E a P F ===.恰好能答对两道题为事件DEF DEF DEF ++，且DEF DEF DEF ，，两两互斥，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，整理得()2112a -=，他三道题都答错为事件DEF ，故()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a⎛⎫==--=-=⎪⎝⎭.故选：C.7．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x <，有()()21f x f x >，且()10f =，则不等式()0f x >的解集是（）A ．()1,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定()f x 的单调性，结合()()110f f -=-=可得不等式的解集.【详解】对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x <，有()()21f x f x >，()f x \在()0,∞+上单调递增，又()f x 定义域为R ，()10f =，()f x \在(),0∞-上单调递增，且()()110f f -=-=，()00f =；则当10x -<<或1x >时，()0f x >，即不等式()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．已知函数()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，若函数()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣有七个不同的零点，则实数t 的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】先以()f x 为整体分析可得：()34f x =和()f x t =共有7个不同的根，再结合()f x 的图象分析求解.【详解】令()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡，解得()34f x =或()f x t =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，()y f x =与34y =有4个交点，即方程()34f x =有4个不相等的实根，由题意可得：方程()f x t =有3个不相等的实根，即()y f x =与y t =有3个交点，故实数t 的取值范围是{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．()4f x x x=+的最小值为4B ．()4f x x x=+无最小值C ．()()3f x x x =-的最大值为94D ．()()3f x x x =-无最大值【正确答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当0x >时，44x x +≥=（当且仅当2x =时取等号）；当0x <时，()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（当且仅当2x =-时取等号），()4f x x x∴=+的值域为(][),44,-∞-⋃+∞，无最小值，A 错误，B 正确；对于CD ，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，()f x 取得最大值，最大值为94，C 正确，D 错误.故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递减的是（）A ．y x =B ．||e x y =-C ．12log y x=D ．13y x -=【正确答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在(0,)+∞上单调递减正确.【详解】y x =在()0,∞+上单调递增，A 选项错误；()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-，故||e x y =-为偶函数，当()0,x ∈+∞时e x y =-为单调递减函数，B选项正确；1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==，故12log y x =为偶函数，当()0,x ∈+∞时12log y x =为单调递减函数，C 选项正确；13y x -=是奇函数，D 选项错误.故选：BC11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（）A ．123P =B ．259P =C ．12133n n P P +=+D ．点Q 移动4次后恰好位于1C 点的概率为0【正确答案】ABD【分析】根据题意找出Q 在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点Q 在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：23，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：13，所以123P =，故A 选项正确；对于B ：22211533339P =⨯+⨯=，故B 选项正确；对于C ：()1211113333n n n n P P P P +=+-=+，故C 选项错误；对于D ：点Q 由点A 移动到点1C 处至少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点1C ，所以点Q 移动4次后恰好位于1C 点的概率为0.故D 选项正确；故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足22a a +=，22log 1b b +=，则（）A ．22a b +=B ．102a <<C ．122a b->D ．5384b <<【正确答案】ACD【分析】构建()22xf x x =+-，根据单调性结合零点存在性定理可得13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再利用指对数互化结合不等式性质、函数单调性分析判断.【详解】对B ：∵22a a +=，则220a a +-=，构建()22xf x x =+-，则()f x 在R 上单调递增，且3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在R 上有且仅有一个零点13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，B 错误；对A ：∵22log 1b b +=，则222log 20b b +-=，令22log t b =，则22t b =，即220t t +-=，∴2lo 2g a t b ==，即22a b =，故22a b +=，A 正确；对D ：∵22a b +=，则253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，D 正确；对C ：∵23211224a a ab a ---=-=>->-，且2x y =在R 上单调递增，∴11222a b-->=，C 正确.故选：ACD.方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程22340x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则1211x x +=______．【正确答案】34##0.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：1232x x +=-，122x x =-，1212121134x x x x x x +∴+==.故答案为.3414．已知函数1log (2)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．【正确答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当log (2)0a x -=时所求出的横纵坐标即是定点坐标．【详解】令log (2)0a x -=，解得3x =，此时13y =，故定点坐标为13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．将一组正数1x ，2x ，3x ，…，10x 的平均数和方差分别记为x 与2s ，若10214500i i x ==∑，250s =，则x =______．【正确答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑10211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑，代入数据得，()214500105010x -=，解得20x =.故2016．已知两条直线1l ：1y m =+和2l ：()221y m m =+>-，直线1l ，2l 分别与函数2x y =的图象相交于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，CD 的最小值为______．【正确答案】()2log 2【分析】分别求出直线1l ，2l 与函数2x y =的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求最值.【详解】由1y m =+与函数2x y =相交得21x m =+，解得()2log 1x m =+，所以()()2log 1,0C m +，同理可得()()22log 2,0D m +，所以()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+，令()2231211m g m m m m +==++-++，因为1m >-，所以()31221g m m m =++-≥+,当且仅当1m =时取最小值.所以()()22min log 2log 2CD ==所以CD的最小值为()2log 2.故答案为:()2log 2利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集U =R ，已知集合{}11A x a x a =-+≤≤+，401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．(1)若3a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){1x x <或}2x ≥；(2)23a ≤≤.【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案；（2）若A B ⋂=∅，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =，{}24A x x =≤≤，由401x x ->-得(4)(1)0x x -->，所以{1B x x =<或}4x >，{1A B x x ∴⋃=<或}2x ≥；（2）已知{}11A x a x a =-+≤≤+，由（1）知{1B x x =<或}4x >，因为A B ⋂=∅，且B ≠∅，∴11a -+≥且14a +≤，解得23a ≤≤，所以实数a 的取值范围为23a ≤≤.18．已知函数()22f x x ax a =-+．(1)若()0f x ≥的解集为R ，求实数a 的取值范围；(2)当3a ≠-时，解关于x 的不等式()()43f x a a x >-+．【正确答案】(1)[]0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在R 上恒成立可得0∆≤，由此可解得结果；（2）将所求不等式化为()()30x x a +->，分别在3a >-和3a <-的情况下解不等式即可.【详解】（1）由题意知：220x ax a -+≥在R 上恒成立，2440a a ∴∆=-≤，解得：01a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]0,1.（2）由()()43f x a a x >-+得：()()()23330x a x a x x a +--=+->；当3a >-时，()()30x x a +->的解为3x <-或x a >；当3a <-时，()()30x x a +->的解为x a <或3x >-；综上所述：当3a >-时，不等式的解集为()(),3,a -∞-+∞ ；当3a <-时，不等式的解集为()(),3,a -∞-+∞ .19．受疫情影响2022年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课注意力指数()f t 与听课时间t （单位：min ）之间满足如下关系：()()224,016log 889,1645amt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，其中0m >，0a >且1a ≠．已知()y f t =在区间[)0,16上的最大值为88，最小值为70，且()y f t =的图象过点()16,86．(1)试求()y f t =的函数关系式；(2)若注意力指数大于等于85时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听课效果最佳？请说明理由．【正确答案】(1)()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在12t ⎡⎤∈-⎣⎦内安排核心内容，能使学生听课效果最佳【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得,,m n a 的值，由此可得()f x ；（2）分别在016t ≤<和1645t ≤≤的情况下，由()85f t ≥可解不等式求得结果.【详解】（1）当[)0,16t ∈时，()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩，解得：1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩；又()16log 88986a f =+=，log 83a ∴=-，解得：12a =，()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩.（2）当016t ≤<时，令21370858t t -++≥，解得：1216t -≤<；当1645t ≤≤时，令()12log 88985t -+≥，解得：1624t ≤≤；∴教师在12t ⎡⎤∈-⎣⎦内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.20．已知函数()()33log log 39x f x x =⋅，函数()1425x x g x +=-+．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若存在实数[]1,2m Î-，使不等式()()0f x g m -≥成立，求实数x 的取值范围．【正确答案】(1)94-(2)109x <≤或27x ≥【分析】（1）将()f x 化为关于3log x 的二次函数后求最小值；（2）由题意知min ()()f x g m ≥，求得min ()g m 后再解关于3log x 的二次不等式即可.【详解】（1）()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+()233log log 2x x =--2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴显然当31log 2x =即x ,min 9()4f x =-，∴()f x 的最小值为94-.（2）因为存在实数[]1,2m Î-，使不等式()()0f x g m -≥成立，所以min ()()f x g m ≥，又()()21421524x x x g x +=-+-=+，所以()()2124m g m -=+，又[]1,2m Î-，显然当0m =时，()()02min 2414g m -=+=，所以有()4f x ≥，即()233log log 24x x --≥，可得()()33log 2log 30x x +-≥，所以3log 2x ≤-或3log 3x ≥，解得109x <≤或27x ≥.故实数x 的取值范围为109x <≤或27x ≥.21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组[)55,60，第二组[)60,65，…，第八组[]90,95，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率()P E ．①事件E ：[]0,5x y -∈；②事件E ：(]5,15x y -∈．注：如果①②都做，只按第①个计分．【正确答案】(1)0.08；81.8(2)选①：715；选②：815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为30.0650，所以第六组的频率为()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=，第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为m ，则8085m <<，由850.040.060.080.155m -++⨯=，解得81.8m ≈，故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数81.8.（2）第六组[80,85)的人数为4人，设为,a b ,,c d ，第八组[90,95]的人数为2人，设为,A B ，随机抽取两名学生，则有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况，选①：因事件[]:0,5E x y -∈发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故7()15P E =.选②：因事件(]:5,15E x y -∈发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 共8种情况，故8()15P E =.22．已知函数()f x 的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：函数()f x 在[],a b 上是单调函数且()f x 的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数()f x 是“倍缩函数”，区间[],a b 是函数()f x 的“k 倍值区间”．(1)判断函数()3f x x =是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）(2)证明：函数()ln 3g x x =+存在“2倍值区间”；(3)设函数()2841x h x x =+，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()h x 存在“k 倍值区间”，求k 的值．【正确答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取1,1,1k a b ==-=，结合题意分析说明；（2）根据题意分析可得ln 32x x +=至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明；（3）先根据单调性的定义证明()h x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，根据题意分析可得2841x kx x =+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取1,1,1k a b ==-=，∵()3f x x =在[]1,1-上单调递增，∴()3f x x =在[]1,1-上的最小值为()1f -，最大值为()1f ，且()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯，故函数()3f x x =是“倍缩函数”.（2）取2k =，∵函数()ln 3g x x =+在[],a b 上单调递增，若函数()ln 3g x x =+存在“2倍值区间”，等价于存在0a b <<，使得ln 32ln 32a a b b +=⎧⎨+=⎩成立，等价于ln 32x x +=至少有两个不相等的实根，等价于()ln 23G x x x =-+至少有两个零点，∵()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<，且()G x 在定义内连续不断，∴()G x 在区间()()3e ,1,1,2-内均存在零点，故函数()ln 3g x x =+存在“2倍值区间”.（3）对121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，且12x x <，则()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++，∵12102x x ≤<≤，则221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>，∴()()120h x h x -<，即()()12h x h x <，故函数()h x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，若函数()h x 存在“k 倍值区间”，即存在*10,2a b k ≤<≤∈N ，使得22841841a ka a b kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩成立，即2841x kx x =+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内至少有两个不相等的实根，∵0x =是方程2841x kx x =+的根，则2841k x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦内有实根，若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则[)284,841x ∈+，即[)4,8k ∈，且*k ∈N ，∴4,5,6,7k =，即{}4,5,6,7k ∈.方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。

贵州省贵阳市2023-2024学年高一上学期期末考试数学含答案

贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。

,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气，，，，，，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（）图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝＝＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。

山东省德州市2023届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

（2）已知圆心为，且与直线相切求圆的方程；
19．计算下列各式：
（1）（式中字母均为正数）；
（2） .
20．已知 .
（1）若，，求x的值；
（2）若，求的最大值和最小值.
21．在中，设角的对边分别为，已知 .
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
22．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
故选：B
10、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
所以每平方米的平均综合费用为
，
当且仅当，即时取等号，
所以公司应把楼层建成15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元，
故答案为：15，24000
16、①.14②.10
【解析】根据数量积的运算性质，计算的平方即可求出最大值，两边平方，可得，计算的平方即可求解.
【详解】
，当且仅当同向时等号成立，
【小问1详解】
依题意，，
由，即得：，而，即，
于是得或，解得或，
所以x的值是或 .
【小问2详解】
由(1)知，，当时，，
则当，即时，，当，即时，，
所以的最大值和最小值分别为：， .
21、（1）；（2）

浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。

2023届黑龙江省齐齐哈尔市高一上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知全集U =R ，集合{}2A x x =>，那么U A （） A.{}2x x ≥B.{}2x x >C.{}2x x ≤D.{}2x x < 2．已知函数()()2sin lg 12f x a x b x x =-+++，且()11f -=，则()1(f = ) A.431-B.0C.3-D.3 3．函数的图象与函数的图象的交点个数为（） A.0B.1C.2D.3 4．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为（）A.1B.2C.4D.5 5．定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，当31x -≤<-时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =.则(1)(2)(3)(2013)f f f f +++=（） A.338B.337C.1678D.2013 6．圆1:C ()()22111x y -+-=与圆2:C ()()222536x y ++-=的位置关系是A.相离B.外切C.相交D.内切7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x 1 2 3 4 ()f x 5 3 2-5- 那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（）A.()–,1∞B.()1,2C.()2,3D.()3,48．如图是正方体或四面体，P Q R S ，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）A. B.C. D.9．已知直线1:10l x y -+=和直线2:30l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.2B.22C.2D.2210．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）A.B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析

15．幂函数 y f (x) 的图象经过点 (4, 1 ) ，则 f ( 1 ) =____.
2
4
16．函数
f
x
满足
f
x
x2 2x, x 2
2 f x 2, x
2
，则
f
3
值为_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
的 17．已知函数
19．设函数
f
x
a2x
t
ax
1
（
a
0且a
1)是定义域为
R
的奇函数
（Ⅰ）求 t 的值；
（Ⅱ）若函数
f
x 的图象过点 1，32
，是否存在正数
mm
1
，使函数
g(x)
logm
a2x
a 2 x
mf
(x)
在
1，log2 3 上的最大值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由
20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
C. (2, 3)
D. (3, 4)
9．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1 与 lg1=0
1
B. 27 3
1 3
与 log27
1 3
3
C.log39=2 与 32=9
D.log55=1 与 51=5
10．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（
故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面

2023-2024学年吉林省吉林省高一上册期末数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年吉林省吉林省高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{0,1,2},{}A B x A ==∈，则B =（）A ．{0}B ．{0,2}C ．10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,4}【正确答案】D【分析】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.A 0=时，0x =1=时，1x =2=时，4x =，即{}0,1,4B =.故选：D.2．命题“对任意一个实数x ，都有240x +≥”的否定是（）A ．对任意一个实数x ，都有240x +≤B ．存在一个实数x ，使得240x +<C ．存在实数x ，使得240x +≤D ．对任意实数x ，使得240x +<【正确答案】B【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在一个实数x ，使得240x +<”.故选：B.3．已知函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．(][),21,-∞--+∞B ．[]4,2--C ．(][),42,-∞--+∞D ．[]2,1--【正确答案】C【分析】根据二次函数的性质可得22k -≥或12k-≤，解出即可得出实数k 的取值范围.【详解】函数()21f x x kx =+-的对称轴为2k x =-.若函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上单调递减，则应有22k-≥，所以4k ≤-；若函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上单调递增，则应有12k-≤，所以2k ≥-.综上所述，实数k 的取值范围是4k ≤-或2k ≥-.故选：C.4．设12log 3a =,12e b =,lg 2c =,则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c a b <<D ．a c b<<【正确答案】D【分析】根据()12log f x x =,()e xg x =,()lg h x x =的单调性,分别判断,,a b c 的大概范围,即可得出大小.【详解】解:由题知12log 3a =,12e b =,lg 2c =,因为()12log f x x =在定义域内单调递减,所以()()31f f <,即1122log 3log 10a =<=,因为()e xg x =在定义域内单调递增,所以()102g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即0121e e b >==,因为()lg h x x =在定义域内单调递增,所以()()()1210h h h <<,即0lg 21c <=<,综上:a c b <<.故选:D5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()33f x x x =-，则()2023f 等于（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【正确答案】A【分析】根据已知可得4T =，进而可得()()20231f f =-.又()12f =-，根据奇函数性质即可得出答案.【详解】由已知可得，函数()f x 为R 上的奇函数，且()f x 周期4T =.则()()()()20235054331f f f f =⨯+==-，又()311312f =-⨯=-，所以()()112f f -=-=，所以()()202312f f =-=.故选：A.6．幂函数的图像过点12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则它在[]1,3上的最大值为（）A ．13B ．－1C ．1D ．－3【正确答案】C【分析】设出幂函数的解析式()f x x α=，待定系数法求出()1f x x -=，结合函数的单调性，求出最大值.【详解】设幂函数()f x x α=，将12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，得：()122α-=-，解得：1α=-，故()1f x x -=，它在[]1,3上单调递减，故当1x =时，取得最大值，()()max 11f x f ==.故选：C7）A ．sin 5cos 5-B ．cos5sin 5-C ．sin 5cos 5+D ．cos5sin 5--【正确答案】B【分析】利用诱导公式、商数关系和完全平方关系求解===sin 5cos5=-，因为3π5,2π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 50,cos5>0<，cos5sin 5=-，故选：B.8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】B 由正弦函数的性质可得121(2(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可.【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴121(2)(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增，又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时，有102ω<≤，故选：B关键点点睛：利用整体代入法得到121(2(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.二、多选题9．下列推理正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b>D ．若a ，R b ∈，则2ab ba +≥【正确答案】BC【分析】A 选项，可举出反例；BC 选项，利用不等式的基本性质得证；D 选项，当0a =或0b =时，a b ba+无意义.【详解】A 选项，不妨设0,1a b ==-，满足a b >，但22a b <，A 错误；B 选项，因为0a b <<，所以不等式两边同时乘以a 得：2a ab >，不等式两边同时乘以b 得：2ab b >，从而22a ab b >>，B 正确；C 选项，因为0a b <<，所以0ab >，不等式两边同除以ab 得：11a b>，C 正确；D 选项，因为a ，R b ∈，故当0a =或0b =时，a b ba+无意义，D 错误.故选：BC10．若函数()2313x ax f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像经过点()31，，则（）A ．2a =-B ．()f x 在()1∞-，上单调递减C ．()f x 的最大值为81D ．()f x 的最小值为181【正确答案】AC【分析】利用函数经过点()31，,可求出a ,再应用函数性质每个选项分别判断即可.【详解】对于A :由题意得()361313a f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，得2a =-,故A 正确;对于B :令函数223u x x =--，则该函数在(),1-∞上单调递减，在[)1,∞+上单调递增．因为13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减，故B错误;对于C D :因为()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减,所以()()max 181f x f ==,()f x 无最小值．故C 正确,D 错误;故选:AC .11．已知函数()tan 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．把()f x 向左平移6π可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABD【分析】根据正切函数的函数值，周期，平移对应的解析式变化，和函数的单调性即可求解.【详解】()tan 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以tan tan 266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；()f x 的最小正周期为2T ππω==，故选项B 正确；把()f x 向左平移6π可以得到函数tan 2tan(2)666y x x πππ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项C 错误；,06x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2,626x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，tan 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 选项正确；故选：ABD.12．已知()|ln |f x x =，当b a <时，()()f a f b =，则（）A ．11a>B ．1ab =C ．e e 2ea b+>D ．21514b a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据()()f a f b =可得ln ln a b =-，再由b a <可判断AB ；利用基本不等式可判断C ；利用配方法可判断D.【详解】ln ,1()ln ln ,01x x f x x x x ≥⎧==⎨-<<⎩，因为()()f a f b =，所以|ln ||ln |a b =，可得ln ln a b =-，因为b a <，所以1a >，1ab =，故A 错误，B 正确；对于C ，因为2a b +>=，所以e e 2e +>a b ，故C 正确；对于D ，222155111442⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b b b a ，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知,x y 为正实数，且满足412x y +=，则xy 的最大值为______．【正确答案】9【分析】用基本不等式求得最值，然后化简既可得最大值.【详解】因为,x y 为正实数，且满足412x y +=，所以124x y =+≥，即39xy ⇒≤，当且仅当46x y ==即3,62x y ==时取等号，所以xy 的最大值为9.故9.14．函数lg 23y x x =+-的零点()01,5x ∈，对区间()1,5利用两次“二分法”，可确定0x 所在的区间为______．【正确答案】()1,2【分析】利用“二分法”结合零点存在定理可得出0x 所在区间.【详解】设()lg 23f x x x =+-，因为函数lg y x =、23y x =-在区间()1,5上均为增函数，故函数()f x 在区间()1,5上为增函数，因为()110f =-<，()5lg 570f =+>，()3lg 330f =+>，故()01,3x ∈，又因为()2lg 210f =+>，由零点存在定理可得()01,2x ∈.故答案为.()1,215．函数()23sin 2cos 1f x x x =--的最大值为______．【正确答案】73【分析】由已知可得，()23cos 2cos 2f x x x =--+，令cos t x =，求2217322333y t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭在11t -≤≤时的最大值，即可得出结果.【详解】()23sin 2cos 1f x x x =--()231cos 2cos 1x x =---23cos 2cos 2x x =--+，令cos t x =，11t -≤≤，令2217322333y t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，当13t =-时，有最大值为73.所以，函数()23sin 2cos 1f x x x =--的最大值为73.故答案为.7316．若函数()f x =1(Z)2ax a x +∈+在区间(2,)-+∞上单调递增，则a 的最小值为____________．【正确答案】1【分析】由12()2af x a x -=++以及复合函数的单调性可得120a -<，再根据Z a ∈可求出结果.【详解】因为1()2ax f x x +=+122a a x -=++在区间(2,)-+∞上单调递增，所以120a -<，即12a >，因为Z a ∈，所以a 的最小值为1.故答案为.1四、解答题17．已知全集[0,5],{|121}A B x m x m ==+≤≤-．(1)若2m =，求A B⋂(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){3}；(2)3m ≤.【分析】（1）当2m =时，得B ，由交集运算即可求解；（2）由题可知B 真包含于A ，分集合B =∅和B ≠∅两种情况分类讨论，即可求解m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，{}3B =，又[0,5]A =，所以A B ⋂={3}；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，于是得B 真包含于A ，①当B =∅时，211,2m m m -<+∴<；②当B ≠∅时，由B 真包含于A 得21121510m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩（等号不能同时成立），23m ∴≤≤，综上所述，3m ≤.18．已知αβ，为锐角，1tan 2α=，()cos αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求αβ-的值．【正确答案】（1）3cos 25α=；（2）4παβ-=-.【分析】（1）由于222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++，所以代值求解即可；（2）由()cos 10αβ+=-求出()sin αβ+的值，从而可求出()tan αβ+的值，而()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，进而可求得结果【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++（2）因为αβ，为锐角，所以()0αβπ+∈，，22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，又()cos 10αβ+=-，所以()sin 10αβ+===，()()()sin 10tan 7cos αβαβαβ++==-+，又22tan 4tan 21tan 3ααα==-，所以()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+47314173+==--⨯因为22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，所以4παβ-=-.19．设x ∈R ，函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω和ϕ的值；(2)列表，并在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图像；(3)若()f x >x 的取值范围．【正确答案】(1)2ω=，3πϕ=-(2)表格，图像见解析(3),124x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用最小正周期和42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合给定范围与三角函数性质即可求解；（2）列表描点即可得出答案；（3）由余弦函数的图像与性质解不等式即可得出答案.【详解】（1）函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，2T ππω∴==，2ω∴=，42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos si 422n f ϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=ππ=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πϕ-<< ，3ϕπ∴=-；（2）跟据第一问知()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：x6π512π23π1112ππ23x π-3π-2ππ32π53π()f x 1211-012函数()f x 在[]0,π上的图像如下图：（3）()32f x > ，即os 2332c x π⎛⎫ ⎪⎭>-⎝，226623x k k πππππ-<∴+-<，k ∈Z ，则26222k x k ππππ<+<+，k ∈Z ，即124k x k ππππ+<<+，k ∈Z ，x ∴的取值范围为.,124x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 20．设a ，b 为实数，已知定义在R 上的函数()21xb f x a =-+为奇函数，且其图象经过点11,3⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的x ∈R ，都有不等式()()220f x f m x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)()2121x f x =-+(2)(),1-∞-【分析】（1）根据()00f =，()113f =列出方程组，求出1,2a b ==，检验后得到解析式；（2）先用定义法判断出函数()2121x f x =-+在R 上单调递增，结合()2121x f x =-+的奇偶性，解不等式，得到实数m 的取值范围.【详解】（1）()21x b f x a =-+为定义在R 上的奇函数，故()00021bf a =-=+，又1213b a -=+，解得：1,2a b ==，故()2121x f x =-+，经检验，()2121x f x =-+是奇函数，满足题意，故()2121x f x =-+；（2）任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()()()12121212121111122222222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+==++++++，因为2x y =单调递增，所以1211220x x ++-<，又因为1211210,210x x +++>+>，故()()()()121211122202121x x x x f x f x ++--=<++，故()()12f x f x <，故()2121x f x =-+在R 上单调递增，又()2121xf x =-+是定义在R 上的奇函数，由()()220f x f m x +->得：()()()222f x m f x f x ->-=-，故22x m x ->-，所以()22211m x x x <+=+-，所以1m <-，实数m 的取值范围是(),1-∞-.21．中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100+1000,040()100007018450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部．手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】（1）()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.（1）由题意，按照040x <<、40x ≥分类，转化等量关系即可得解；（2）按照040x <<、40x ≥分类，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.【详解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.22．已知函数()πcos 14f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．(1)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(2)将函数()f x 的图像向右平移π4个单位长度后，再将得到的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，再将得到的图像向下平移m 个单位长度得到函数()g x 的图像．若函数()g x 在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2，求m 的取值范围．【正确答案】(1)⎡-⎣；(2)⎡-⎣.【分析】(1)利用三角函数两角和的正弦公式以及二倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可.(2)根据三角函数的图像变换关系求出函数()g x 的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】（1）由题知，()πcos 14f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭=cos 1x x x ⎫⋅-⎪⎪⎭22sin cos 2cos 1x x x =+-，则()πsin2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，则ππ3π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴当ππ244x +=-，即π4x =-时，()f x 有最小值，且()min 12f x ⎛=-=- ⎝⎭.当ππ242x +=，即π8x =时，()f x 有最大值，且()max 1f x =()f x \的值域为⎡-⎣.（2）由(1)知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像向右平移π4个单位长度可得ππ244y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，纵坐标变为原来的2倍可得π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向下平移m 个单位长度得()π24g x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0g x =，则有πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3π,244x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ5π2434x ⎡⎤∴-∈-⎢⎣⎦，设ππ5π2,434t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则sin y t =，π5π,34t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如图所示，sin y t =与y =则sin y t ⎡⎫=∈⎪⎢⎪⎣⎭，即12-≤，所以m 的取值范围为⎡-⎣.。

河南省漯河市2023届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

A.1
B. 1
C.4
D. 4
9．若 A 、 B 是全集 I 真子集，则下列四个命题① A B A ；② A B A ；③ ACI B ；④ A B I 中
与命题 A B 等价的有
的 A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
10．设 x＞0 ， 0＜bx＜ax＜1，则正实数 a ， b 的大小关系为
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．下列函数中，既是奇函数又在区间 , 0 上单调递增的是（）
A. f x cosx
B. f x sinx
C. f x tanx
D. f x x3 x1
2． cos660
A.
1 2
B. 3 2
C. 3 2
D. 1 2
3．已知点 A2, 3, B3, 2，直线 l : mx y m 1 0 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）
①函数 f x x2 2 a x 4 在定义域b 1,b 1 上为偶函数；
②函数 f x ax b,a 1 在1,2 上的值域为2, 4 ；
18．解答题
（1） lg12.5 lg 5 lg 0.5 ； 8
（2）lg20+log10025
19．（1）求函数
y
tan
3x
6
的单调递增区间；
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行
四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向
量是和）.
9、B
【解析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论

河南省郑州二中2023届高一上数学期末检测模拟试题含解析

【解析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求 .
【详解】由题设，，可得，
所以 .
故选：A
9、D
【解析】由题意利用角在各个象限符号，即可得出结论.
【详解】由题意，点在第二象限，
则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
【解析】（1）由结合正弦面积公式及余弦定理得到，进而得到结果；（2）由结合内角和定理可得分两类讨论即可.
试题解析：
（1），由余弦定理得，
（2）
即或（ⅰ）当时，由第（1）问知，是等腰三角形，（ⅱ）当时，由第（1）问知，又，矛盾，舍.
综上是等腰三角形，其面积为
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
C.[0，4)D.(0，4]
5．已知，，则的值为
A. B.
C. D.
6．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（）
A 或2B.2
C. D.1
7．已知向量，，，则
A. B.
C. D.
8．已知角终边经过点，且，则的值是（）
A. B.
C. D.
9．已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为
故可设PA：，PB：
由，得，
因为的横坐标一定是该方程的解，，
同理可得
由于AB的斜率的斜率，
所以直线AB和OP一定平行

2024届山东省青岛市高一上数学期末综合测试试题含解析

2024 届山东省青岛市高一上数学期末综合测试试题
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
BD1 3 3 【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线 AD1 与 EF 所成角即为∠AD1B ，难度中等 12、 2 【解析】根据直线一般式，两直线平行则有 A1B2 A2B1 0 ，代入即可求解. 【详解】由题意，直线 x y 2 0 与直线 ax 2y 0 平行，
则有1 (2) 1 a 0 a 2 故答案为： 2
3
，
则反射光线所在直线方程 y 3 3 1 x 4 4 1
即： 4x 5y 1 0
故选 A 10、D 【解析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 对应的二次函数设为： f x x2 (m 2)x 2m 1
(m 2)2 42m 1 0 ，解得 m 6 2 7 ，
当 m 6 2 7 时，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 2 7 ，不合题意；
若 m 6 2 7 ，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 7 2 ，符合题意
综上：实数
m
的取值范围为
不一定有对任意 x R ， f x 0 ，所以 A 错误，
对于 B，当函数 y f x 的图像关于原点成中心对称，可知 f (x) f (x) ，函数 f (x) 为奇函数，所以 B 错误，

2022～2023学年高一年级数学上册期末备考模拟试卷(4)【含答案】

期末模拟试卷(4)一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．设全集=U R ，集合=−−A x x x {|20}2，=>B x lgx {|0}，则=A B ( ) A ．−x x {|12} B ．<x x {|12} C ．<<x x {|12} D ．−x x {|1}2．=A x x {|02}，=B y y {|12}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是A ．B ．C ．D ．3．单位圆上一点P 从(0,1)出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为A ．−2(1B ．−2()1C ．−2(,1D ．2()14．不等式>+x 216|21|的解集为 A ．+∞2[,)3 B ．−∞−+∞22(,)(,)53C ．−∞−+∞22(,](,)53D ．−∞−2(,)55．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 A ．415 B ．154 C ．815 D ．1206．设=a =b 0.90.8，=c log 0.80.9，则 A ．>>c a b B ．>>a c b C ．>>a b c D ．>>c b a7．已知函数=−−f x x x ()log (45)212，则函数f x ()的减区间是A ．−∞(,2)B ．+∞(2,)C ．+∞(5,)D ．−∞−(,1)8．已知实数>>x y 0，且+−+=x y 216111，则−x y 的最小值是 A ．21 B ．25 C ．29 D ．33二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求） 9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是 A ．∃∈x R ，x ||0B ．存在∈x R ，使得++=x x 102C ．至少有一个无理数x ，使得x 3是有理数D ．有的有理数没有倒数10．下列说法正确的是A ．若⋅>ααsin cos 0，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−︒30C ．终边经过点≠a a a ,0)()(的角的集合是Z =+∈ααππk k 4,}{ D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为πcm 23211．已知函数−=x f x ||2()1，则下列结论中正确的是A ．f x ()是偶函数B ．f x ()在−∞−(,2)上单调递增C ．f x ()的值域为RD ．当∈−x (2,2)时，f x ()有最大值12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着→→→A B C D 的方向运动，设∠AOP 为x ，阴影部分的面积为f x ()，则下列说法中正确的是A ．f x ()在π2(，π)上为减函数B ．=πf 42()1C ．+−=πf x f x ()()4D ．f x ()图象的对称轴是=πx 2三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．求值：2617sin cos()34ππ+−= ．14．已知幂函数2()(57)m f x m m x =−+是R 上的增函数，则m 的值为．15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a −<<+”，则实数a 的取值范围是．16．已知函数{25,2()(2),2x x f x xlg x x −−=+>−，若方程()1f x =的实根在区间(k ，1)()k k Z +∈上，则k 的所有可能值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套(含答案)

2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．若a b >，则下列各式一定成立的是（）A ．22a b >B ．22ac bc >C ．33a b >D ．2211a b <【答案】C【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD 选项，1,1a b ==-，则a b >，但222211,a b a b==，所以AD 选项错误.B 选项，若0c =，则22ac bc =，所以B 选项错误.C 选项，若a b >，由于3y x =在R 上递增，所以33a b >，所以C 选项正确.故选：C2．若角θ满足cos 0,tan 0θθ<<，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【分析】根据三角函数四个象限符号确定.【详解】cos 0,θθ<∴ 为第二，三象限角或者x 轴负半轴上的角；又tan 0,θθ<∴ 为第二，四象限角所以θ为第二象限角.故选：B3．下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为R 的是（）A ．2x y =B ．3(1)y x =-C ．1y x x=+D ．|ln |y x =【答案】B【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A ，2x y =在定义域上单调递增且值域为()0,∞+，故A 不正确；对于B ，3(1)y x =-在定义域上单调递增值域为R ，故B 正确；对于C ，由双勾函数的图象知，1y x x=+在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故C 不正确；对于D ，|ln |y x =的值域为[)0,∞+，故D 不正确.故选：B.4．设集合ππ,Z 2A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合π2π,Z 2B k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，则A 与B 的关系为（）A ．AB =B ．ABC ．BAD ．A B ⋂=∅【答案】A【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.【详解】由于集合ππ,Z 2A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，所以集合A 表示终边落在y 轴上的角的集合；由于集合π2π,Z 2B k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，所以集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合；所以A B =.故选：A5．声强级1L （单位：dB ）出公式11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W /m ）．若平时常人交谈时的声强约为6210W /m -，则声强级为（）A ．6dB B ．12dBC ．60dBD ．600dB【答案】C【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意661121010lg 10lg1060dB 10L --⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：C6．已知0a >，0b >，则“2a b +≤”是“1ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当0a >，0b >时，a b +≥，则当2a b +≤时，有2a b ≤+≤，解得1ab ≤，充分性成立；当2a =，12b =时，满足1ab ≤，但此时522a b +=>，必要性不成立，综上所述，“2a b +≤”是“1ab ≤”的充分不必要条件.故选：A.7．已知函数31()31x x f x -=+，有如下四个结论：①函数()f x 在其定义域内单调递减；②函数()f x 的值域为()0,1；③函数()f x 的图象是中心对称图形；④方程()1f x x =-+有且只有一个实根．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【答案】D【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.【详解】31()31x x f x -=+的定义域为R ，3122()13131x x xf x +-==-++，所以()f x 在R 上递增，①错误.由于1311,0131xx +><<+，22202,20,111313131x x x <<-<-<-<-<+++，所以()f x 的值域为()1,1-.由于()()31133113x xx xf f x x ----+-==-+=，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，③正确.由()1f x x =-+得2211,03131x x x x -=-+-=++构造函数()231x g x x =-+，()g x 在R 上单调递增，()()2210010,1101142g g =-=-<=-=>+，所以()g x 在R 上存在唯一零点，也即方程()1f x x =-+有且只有一个实根，④正确.所以正确结论的序号是③④.故选：D8．已知角α为第一象限角，且sincos 22αα>，则sin 2α的取值范围是（）A ．2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛-- ⎝⎭C ．2⎛ ⎝⎭D ．,12⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【分析】先确定2α的取值范围，由此求得sin2α的取值范围.【详解】由于角α为第一象限角，所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈，所以πππ,Z 24k k k α<<+∈，由于sin cos 22αα>，所以5π2ππ2π,Z 24l lk l α+<<+∈，所以sin 022α<<.故选：A9．某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润210031x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A ．2千克/小时B ．3千克/小时C ．4千克/小时D ．6千克/小时【答案】C【分析】生产100千克该产品获得的利润为()100210031f x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎝⎭，令1t x =，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为()2210021211100311000031000023f x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+-=+-=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，110x ≤≤，令1t x =，1110t ≤≤，则()()22251000023200010641f t t t t ⎡⎤⎛⎫=-++=--⎢⎥ ⎪⎝⎢⎣-⎭⎥⎦，故当14t =时，()f t 最大，此时4x =.故选：C10．定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)()f x f x -=-，且在[0,1]上单调递增，2023,(2022)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a>>【答案】A【分析】由(1)()f x f x -=-得(2)()f x f x -=，则()f x 的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a ，b ，c ，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f x f x -=-得(2)(1)()f x f x f x -=--=，∴()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数，则202311110122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2022)(0)c f f ==，∵10ln ln 2<，()f x 在[0,1]上单调递增，∴c b a <<.故选：A 二、填空题11．已知集合{20}A x x =-<<，集合{}01B x x =≤≤，则A B ⋃=____________．【答案】{}21x x -<≤【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为{20}A x x =-<<，{}01B x x =≤≤，所以{}21A B x x ⋃=-<≤，故答案为：{}21x x -<≤12．设1a >且1b >，22log log 1a b ⋅=，则2log ()ab 的最小值为__________.【答案】2【分析】对2log ()ab 利用对数运算公式，得到22log log a b +，再由基本不等式以及条件中的22log log 1a b ⋅=，得到答案.【详解】因为1a >且1b >，所以2log 0a >且2log 0b >而()222log log log ab a b =+，且22log log 1a b ⋅=所以由基本不等式可得()222log log log 2ab a b =+=≥，当且仅当22log log a b =，即2a b ==时，等号成立.【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.13．设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，已知函数()f x 的最大值为2，则()f x 可以是___________．【答案】()2cos f x x =（答案不唯一）【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的()f x .【详解】依题意可知()f x 是偶函数，且最大值为2，所以()2cos f x x =符合题意.故答案为：()2cos f x x =（答案不唯一）14．已知下列五个函数：21,,ln ,,e x y x y y x y x y x=====，从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =______________．【答案】1e x x+【分析】观察图象确定函数()F x 的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()F x 的解析式.【详解】由已知()()()F x f x g x =+，()()21,,,,ln ,e x f x g x y x y y x y x y x ⎧⎫∈=====⎨⎬⎩⎭，观察图象可得()F x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()f x 或()g x 中必有一个函数为1y x=，且另一个函数不可能为ln y x =，又()F x 的图象不关于原点对称，所以1()F x x x ≠+，所以21()F x x x=+或1()e x F x x=+，若21()F x x x =+，则1(1)101F -=+=-与函数()F x 图象矛盾，所以1()e x F x x=+，故答案为：1e xx+.15．已知函数()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，给出以下四个结论：①存在实数a ，函数()f x 无最小值；②对任意实数a ，函数()f x 都有零点；③当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；④对任意(0,1)a ∈，都存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是________________．【答案】①②④【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，当1a =-时，()3,1,1x x f x x x ⎧>-⎪=⎨≤-⎪⎩，()f x 的图象如下图所示，由图可知，()f x 没有最小值，①正确.②，由于()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，当a<0时，()3000f ==；当0a ≥时，()000f ==，所以对任意实数a ，函数()f x 都有零点，②正确.③当12a =时，()31,21,2x x f x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，311112822⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，即函数()f x 在(0,)+∞上不是单调递增函数，③错误.④，当01a <<时，()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，当01x <<时，()32310,x x x x x x -=-<<，画出()f x 的图象如下图所示，由图可知存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根，④正确.综上所述，正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④三、双空题16．已知角3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1sin(π)2α+=，则α=__________；πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】7π6##7π63【分析】由条件结合诱导公式求sin α，根据特殊角三角函数值求出α，πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】因为1sin(π)2α+=，所以1sin 2α-=，故1sin 2α=-，又3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π6α=，所以ππ7π5πππ3sin sin sin sin 2πsin 2263332α⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：7π6，32.四、解答题17．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin cos αα+和sin 2α的值；(2)求πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)124sin cos ,sin 2525α+α=α=-(2)1731【分析】（1）根据三角函数的定义求出sin ,cos αα，再根据二倍角的正弦公式即可求得sin 2α；（2）先根据二倍角的余弦公式求出cos 2α，再根据商数关系求出tan 2α，再根据两角和的正切公式即可得解.【详解】（1）解：由题意得43sin ,cos 55αα==-，所以14324sin cos ,sin 2255525⎛⎫α+α=α=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：227cos 2cos sin 25ααα=-=-，所以sin 224tan 2cos 27ααα==，所以241π177tan 22443117α-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+.18．已知函数2()21,R f x ax ax a =--∈．(1)当1a =时，解不等式()0f x <；(2)若命题“R x ∀∈，不等式()0f x <恒成立”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)8a ≤-或0a >【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式()0f x <的解集.（2）结合开口方向以及判别式求得a 的取值范围.【详解】（1）当=1a 时，()221f x x x =--，()0f x <即2210x x --<，()()2110x x +-<，解得112x -<<所以不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）当()2210f x ax ax =--<恒成立，当a 不为0时，a<0且280a a ∆=+<，即80a -<<，当0a =时,()10f x =-<成立，所以80a -<≤命题“R x ∀∈，不等式()0f x <恒成立”是假命题所以a 的取值范围为：8a ≤-或0a >．19．已知函数2π()2cos 2,0,2f x x x a x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．(1)求a 的值；(2)求()f x 的最小值，以及取得最小值时x 的值．条件①：()f x 的最大值为6；条件②：()f x 的零点为π2．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)若选条件①，则3a =；若选条件②，则0a =(2)若选条件①，则当ππ,Z 3x k k =-∈时，()f x 取得最小值2；若选条件②，则当ππ,Z 3x k k =-∈时，()f x 取得最小值1-【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据条件①或②求得a 的值.（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】（1）2()2cos 2f x x x a =++π1cos 2sin 22sin 216x x a x a ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭.若选条件①，则216,3a a ++==.若选条件②，则ππ12sin π1210262f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）若选条件①，由（1）得()π2sin 246f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则当πππ22π,π,Z 623x k x k k +=-=-∈时，()f x 取得最小值为242-+=.若选条件②，由（1）得()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则当πππ22π,π,Z 623x k x k k +=-=-∈时，()f x 取得最小值为211-+=-.20．已知函数()12()log 21,xf x mx m =+-∈R ．(1)当0m =时，解不等式()1f x >-；(2)若函数()f x 是偶函数，求m 的值；(3)当1m =-时，若函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)(),0∞-(2)12-(3)(),0∞-【分析】（1）()1f x >-即()11222log 21log x+>，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-，即可由数形结合判断b 的取值范围.【详解】（1）当0m =时，()1f x >-即()11222log 211log x+>-=，即212x +<，解得(),0x ∈-∞；（2）函数()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即()()1122log 21log 21x x mx mx -+-=++，即1221log 221xx mx -+=+，即12log 22xx mx =-=，∵x ∈R ，故12m =-；（3）当1m =-时，()()1111122222211()log 21log 21log log lo 2g 221x xxxx x f x x -⎪++⎛⎫=++=++== ⎝⎭，x ∈R .∵112x y =+为减函数，故121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-∵函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，故实数b 的取值范围为(),0∞-.21．设全集(){1,2,,}U n n *=∈N ，集合A 是U 的真子集．设正整数t n ≤，若集合A 满足如下三个性质，则称A 为U 的()R t 子集：①t A ∈；②,U a A b A ∀∈∀∈ð，若ab U ∈，则ab A ∈；③,U a A b A ∀∈∀∈ð，若a b U +∈，则a b A +∉．(1)当6n =时，判断{1,3,6}A =是否为U 的(3)R 子集，说明理由；(2)当7n ≥时，若A 为U 的(7)R 子集，求证：2A ∉；(3)当23n =时，若A 为U 的(7)R 子集，求集合A ．【答案】(1){1,3,6}A =不是U 的(3)R 子集；(2)证明见解析；(3)集合{}7,14,21A =.【分析】（1）取1,2a b ==，由2ab A =∉不满足性质②可得A 不是U 的(3)R 子集；（2）通过反证法，分别假设1A ∈，2A ∈的情况，由不满足(7)R 子集的性质，可证明出2A ∉；（3）由（2）得，1U A ∈ð，2U A ∈ð，7A ∈，再分别假设3A ∈，4A ∈，5A ∈，6A ∈四种情况，由不满足(7)R 子集的性质，可得出3,4,5,6A ∉，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.【详解】（1）当6n =时，{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,6}A =，{}2,4,5U A =ð，取1,2a b ==，则2ab U =∈，但2ab A =∉，不满足性质②，所以{1,3,6}A =不是U 的(3)R 子集.（2）当7n ≥时，A 为U 的(7)R 子集，则7A ∈；假设1A ∈，设U x A ∈ð，即x A∉取1,a b x ==，则ab x U =∈，但ab x A =∉，不满足性质②，所以1A ∉，1U A ∈ð；假设2A ∈，取2,1a b ==，3a b U +=∈，且3a b A +=∉，则3U A ∈ð，再取2,3a b ==，6ab U =∈，则6ab A =∈，再取6,1a b ==，7a b U +=∈，且7a b A +=∉，但与性质①7A ∈矛盾，所以2A ∉.（3）由（2）得，当7n ≥时，若A 为U 的(7)R 子集，1U A ∈ð，2U A ∈ð，7A ∈，所以当23n =时，{1,2,,23}U = ，若A 为U 的(7)R 子集，1U A ∈ð，2U A ∈ð，7A ∈；若3A ∈，取3,1a b ==，4a b U +=∈，则4A ∉，4U A ∈ð，再取3,4a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则3A ∉，3U A ∈ð；若4A ∈，取4,3a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则4A ∉，4U A ∈ð；若5A ∈，取5,2a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则5A ∉，5U A ∈ð；若6A ∈，取6,1a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则6A ∉，6U A ∈ð；取7,1,2,3,4,5,6a b ==，8,9,10,11,12,13a b U +=∈，则8,9,10,11,12,13A ∉，,8,9,10,1112,13U A ∈ð；取7,2a b ==，14ab U =∈，则14A ∈；取14,1,2,3,4,5,6a b ==，15,16,17,18,19,20a b U +=∈，则15,16,17,18,19,20A ∉，81,16,17,1,0519,2U A ∈ð；取7,3a b ==，21ab U =∈，则21A ∈；取21,1,2a b ==，22,23a b U +=∈，则22,23A ∉，22,23U A ∈ð；综上所述，集合{}7,14,21A =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．5πtan4等于（）A ．B ．1-C ．2D ．1【答案】D【分析】根据诱导公式以及特殊角的正切值即可求解.【详解】5πππtan tan πtan 1444⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．故选：D ．2．若集合{0,1},{0}A B xx ==≥∣，则下列结论正确的是（）A ．{0}B ∈B ．A B ⋂=∅C ．A B⊆D ．A B = R【答案】C【分析】根据元素与集合的关系可判断A ，求出 A B 可判断BC ；求出 A B 可判断D.【详解】 {}|0B x x =≥，0B ∴∈，{}0∴⊆B ，故A 错误；{}{}{} |00,10,1=≥= A B x x ，所以A B ⊆，故B 错误，C 正确；{}{}{} |00,1|0=≥=≥ A B x x x x ，故D 错误.故选：C.3．下列函数中是奇函数的是（）A ．y =B ．ln y x=C ．22x xy -=+D ．3y x =【答案】D【分析】利用奇偶函数定义即可判断每个选项【详解】对于A ，令()f x R ，且()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，故A 不正确；对于B ，令()ln g x x =，其定义域为()0,∞+，不关于原点对称，故不是奇函数，故B 不正确；对于A ，令()22x x h x -=+，其定义域为R ，且())2222(x x x xh x h x ---=++==，所以()h x 为偶函数，故C 不正确；对于A ，令()3F x x =，其定义域为R ，且()33()()F x x x F x -=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D 正确；故选：D4．已知(2)(3),2(1),M a a N a a a =+-=-∈R ，则M ，N 的大小关系是（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤【答案】C【分析】利用作差法即可判断M ，N 的大小【详解】因为2(2)(3)2(1)6M N a a a a a a -=+---=-+-221236024a a a ⎛⎫=-+-=---< ⎪⎝⎭，所以M N <，故选：C5．已知sin 36a ︒=，则sin 54︒等于（）AB ．aC ．D ．a-【答案】A【分析】由题知cos 36= .【详解】解：因为sin 36a ︒=，22sin 36cos 361=+所以cos 36= ，所以()sin 54sin 9036cos 36︒=-== 故选：A6．已知20.320.3,log 0.3,2a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b c a<<【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数函数的单调性，将b 与0比大小，c 与1比大小，即可求出结论【详解】因为20.322010.3,log 0.3log 10,0.0922a b c ==>=<===，所以b a c <<故选：B7．下列函数中，最小正周期为π的是（）A ．()tan 2x f x =B ．()1sin f x x=+C ．()|sin |f x x =D ．()sin cos 2f x x x=+【答案】C【分析】根据三角函数的图像性质可判断ABC ，利用周期的定义可判断D 【详解】对于A ，()tan 2xf x =的最小正周期为π2π12=⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 不正确；对于B ，()1sin f x x =+的最小正周期为2π，故B 不正确；对于C ，()|sin |f x x =的最小正周期为π，故C 正确；对于D ，因为()(π)sin(π)cos 2(π)sin cos 2f x x x x x f x+=+++=-+≠，故D 不正确，故选：C8．“0a <”是“函数()2x f x a =+存在零点”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若函数()2x f x a =+存在零点，则()20x f x a =+=有实数解，即2x a =-有实数解，因为20x >，所以20x a =-<，而0a <，由()0f x =得()2log x a =-，则“0a <”是“函数()2x f x a =+存在零点”的充分必要条件.故选：C9．在平面直角坐标系xOy 中，角,,αβγ均以Ox 为始边，α的终边过点,221⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将α的终边关于x轴对称得到角β的终边，再将β的终边绕原点按逆时针方向旋转180︒得到角γ的终边，则sin γ的值为（）A．B．2C ．12-D ．12【答案】D【分析】利用三角函数的定义得到cos ,sin αα，继而得到cos ,sin ββ，通过题意可得到180γβ=+︒，利用诱导公式即可求解【详解】因为α的终边过点221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且22121⎛⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以cos 1sin 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α的终边与角β的终边关于x轴对称，所以cos 21sin 2ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为角γ的终边是β的终边绕原点按逆时针方向旋转180︒得到，所以180γβ=+︒，所以()1sin sin 180sin 2γββ=+︒=-=，故选：D10．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg10xf x -=．若喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ，一般人说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的（）A ．610倍B ．810倍C ．1010倍D ．1210倍【答案】B【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算求12x x 的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg 14010x f x -=⨯=，解得2110x =，()221210lg6010x f x -=⨯=，解得6210x -=，所以81210x x =，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的810倍.故选：B 二、填空题11．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第___________象限角．【答案】第三象限角【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，则α是第三象限角．【解析】三角函数值的象限符号.12．已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则(2)f -=___________．【答案】4【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．【详解】设()af x x =，则24a =，2a =，即2()f x x =，所以(2)4f -=．故答案为：413．设函数()f x 的定义域为D ，若1x D ∀∈，存在唯一的2x D ∈，使()()122f x f x a +=（a 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为a ．给出下列4个函数：①3y x =；②4sin y x =；③lg y x =；④2x y =．其中，所有满足在定义域上的均值为2的函数序号为___________．【答案】①③【分析】对于①③根据定义给定任意一个1x 求出2x 判断是否存在定义域内，是否唯一.对于②根据定义得知周期函数不符合题意.对于④特殊值验证不成立.【详解】对于函数①3y x =，取任意的1R x ∈，()()33121222,22f x f x x x x ++===可以得到唯一的2x D ∈，故满足条件，所以①正确；对于函数②4sin y x =，因为4sin y x =是R 上的周期函数，存在无穷个2x D ∈，使()()1222f x f x +=成立，故不满足题意，所以②不正确；对于函数③lg y x =，定义域为()0,x ∈+∞，值域为R ，且单调，必存在唯一2x D ∈使()()1222f x f x +=成立，故满足题意，所以③正确；对于函数④2x y =定义域为R ，值域为()0,y ∈+∞对于()113,8x f x ==要使()()1222f x f x +=成立，则()24f x =-不成立，所以④不正确.故答案为：①③三、双空题14．已知函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则(0)f =___________；13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．【答案】113【分析】直接根据分段函数解析式计算即可.【详解】因为()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，所以()13121,230f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以11332112log 233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：1；13．15．若直角三角形斜边长等于12，则该直角三角形面积的最大值为___________；周长的最大值为___________．【答案】36；12【分析】由条件，利用基本不等式可求面积的最大值和周长的最大值.【详解】设两条直角边的边长分别为,a b ，则0a >，0b >，22144a b +=，由基本不等式可得222a b ab +≥，故1442ab ≥即72ab ≤，当且仅当a b ==时等号成立，故直角三角形面积的最大值为172362⨯=，又()()2222a b a b +≤+，22144a b +=，所以()2288a b +≤，即a b +≤a b ==号成立，所以直角三角形周长的最大值为12，故答案为：36，12+.四、解答题16．已知命题2:,210p x x x ∀∈++>R ．(1)写出命题p 的否定；(2)判断命题p 的真假，并说明理由，【答案】(1)2000,210x x x ∃∈++≤R (2)假，理由见解析【分析】（1）根据全称命题的否定为特称命题即可求解；（2）因为()222110y x x x =++=≥+即可判断命题p 【详解】（1）由命题2:,210p x x x ∀∈++>R ，可得命题p 的否定为2000,210x x x ∃∈++≤R ，（2）命题p 为假命题，因为()222110y x x x =++=≥+（当且仅当=1x -时取等号），故命题2:,210p x x x ∀∈++>R 为假命题17．已知3πcos ,0,52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．(1)求sin ,tan αα的值；(2)求2sin (π)πcos tan(π)cos(π)2αααα--⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭的值．【答案】(1)4sin ,tan 534αα==(2)0【分析】（1）根据同角三角函数之间的关系即可求解，（2）根据诱导公式以及弦切互化关系即可求解.【详解】（1）由3πcos ,0,52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭得sin 0α>，所以4sin 5α===，sinα4tanα=cosα3=，（2）22sin (π)πsin cos tan(π)=sin tan cos(π)2cos αααααααα--⎛⎫+--+ ⎪+-⎝⎭sin sin sin tan sin tan sin tan =0cos ααααααααα=+=-+-18．已知函数π()2sin 2,3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(3)比较3π7f ⎛⎫⎪⎝⎭与6π7f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小．【答案】(1)π(2)最大值为1，最小值为2-(3)6π3π77f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据周期的计算公式即可求解，（2）根据整体法求解函数的值域，即可求解最值，（3）代入求值，结合正弦函数的性质即可求解，【详解】（1）由π()2sin 2,3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 知：周期2π==π2T ，故()f x 的最小正周期为π（2）由于ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()[]21f x Î-，，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为2-（3）3π6ππ6ππ10π2sin =2sin π=2sin 7737321f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，6π12ππ12ππ13π13π2sin =2sin 2π=2sin=2sin 773732121f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于()()13π10π0,π0,π2121，∈∈，所以13π10πsin 0sin 02121，>>，因此6π13π2sin 0721f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，3π10π2sin 0721f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故6π3π77f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知函数,,log ,1xa y x y a y x a ===>的图象如图所示．(1)函数x y a =的图象的序号是___________；log a y x =的图象的序号是___________；(2)在同一直角坐标系中，利用已有图象画出g 1lo ay x=的图象，直接写出关于x 的方程1log 0x a a x --=在()1+∞，中解的个数；(3)分别描述这三个函数增长的特点．【答案】(1)①；③(2)图象见解析；解得个数为0(3)答案见解析【分析】（1）利用指数函数，对数函数的单调性和定点进行判断即可；（2）由于log log 1a a x xy =-=，该函数与log a y x =关于x 轴对称，故画出对应图象，1log 0x a a x --=看作是x y a -=和g 1lo ay x =的交点个数，通过画图观察即可；（3）根据图象特征进行描述即可【详解】（1）函数1x y a a =>,为单调递增的指数函数，恒过定点()0,1，故为序号①；函数log 1a y x a =>,为单调递增的对数函数，恒过定点()1,0，故为序号③；（2）因为o 11l g l ,o g a a y x a x==->，所以该函数与log 1a y x a =>,关于x 轴对称，如图所示方程1log 0x a a x --=解的个数即1log x a a x-=解得个数，可看作是x y a -=和g 1lo ay x =的交点个数，由于x y a -=与x y a =关于y 轴对称，画出图象x y a -=，从图像可得两个函数在()1+∞，没有交点，故1log 0x a a x--=在()1+∞，中解的个数0；（3）函数1x y a a =>,的图象是下凸的，所以其增长特点：先缓后快；函数y x =的图象是直线，所以其增长特点：匀速增长；函数log 1a y x a =>,的图象是上凸的，所以其增长特点：先快后缓20．已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =--+(1)求911f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(3)判断()f x 的单调性，并说明理由．【答案】(1)1-(2)奇函数，理由见解析(3)()f x 在()1,1-上为减函数，理由见解析【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解；（2）先求出函数定义域，然后利用奇偶性的定义进行判断即可；（3）根据函数单调性定义进行判断即可【详解】（1）因为()lg(1)lg(1)f x x x =--+，所以92202111()lg lg lg()lg 1111111112010f =-=⨯==-（2）()f x 为奇函数证明：要使()lg(1)lg(1)f x x x =--+有意义，只需1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<，所以()f x 的定义域为()1,1-；又()[]()lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)f x x x x x f x -=+--=---+=-，所以()f x 为奇函数，（3）1()lg(1)lg(1)lg 1x f x x x x-=--+=+在()1,1-上为减函数.证明：任取()12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()12121211lg lg 11x x f x f x x x ---=++121211lg 11x x x x ⎛⎫-+=⨯ ⎪+-⎝⎭()()211212121lg 1x x x x x x x x +--=+--，∵()21121x x x x +--()()()2112121110x x x x x x >---=+->，∴()()21121212111x x x x x x x x +-->+--，得()()120f x f x ->，得到()()12f x f x >，∴()f x 在()1,1-上为减函数21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若a cb d>，那么称点(),a b 是点(),c d 的“上位点”．同时点(),c d 是点(),a b 的“下位点”；(1)试写出点()3,5的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，判断点,22a c b d P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是否是点(),a b 的“下位点”，证明你的结论；(3)设正整数n 满足以下条件：对集合{}02022,t t t Z <<∈内的任意元素m ，总存在正整数k ，使得点(),n k 既是点()2022,m 的“下位点”，又是点()2023,1m +的“上位点”，求满足要求的一个正整数n 的值，并说明理由．【答案】(1)“上位点”为()3,4，“下位点”为()3,7；(2)是，证明见解析(3)4045【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.（2）先由点(),a b 是点(),c d 的“上位点”得a c b d>，作差化简得0ad bc ->，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点,22a c b d P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是否是点(),a b 的“下位点”.（3）借助（2）的结论证明点(),P a c b d ++既是点(),c d 的“上位点”，又是点(),a b 的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数n 的值.【详解】（1）根据题设中的定义可得点()3,5的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为()3,4和()3,7；（2）点,22a c b d P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是点(),a b 的“下位点”，证明：点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，a c b d∴>又,,,a b c d 均大于0，ad bc ∴>，∴0ad bc ->∴()()()()0b a c a b d a c a bc ad b d b b b d b b d +-++--==<+++，即a a c b b d+>+，所以点,22a c b d P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是点(),a b 的“下位点”.（3）可证点(),P a c b d ++既是点(),c d 的“上位点”，又是点(),a b 的“下位点”，证明：点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，∴a cb d >,,,a bcd 均大于0，∴ad bc >，∴0ad bc ->∴()()()()()0d a c c b d a c c ad cd bc cd ad bc b d d d b d d b d d b d +-+++----===>++++，即a c cb d d +>+，所以点(),P ac bd ++是点(),c d 的“上位点”，同理可得()()()()0b a c a b d a c a bc ad b d b b b d b b d +-++--==<+++，即a a c b b d+>+，所以点(),P a c b d ++是点(),a b 的“下位点”，所以点(),P a c b d ++既是点(),c d 的“上位点”，又是点(),a b 的“下位点”．根据题意知点(),n k 既是点()2022,m 的“下位点”，又是点()2023,1m +的“上位点”对{}02022,m t t t Z ∈<<∈时恒成立，根据上述的结论可知，当202220234045n =+=，21k m =+时，满足条件.故：4045n =【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.。

2023-2024学年山东省临沂高一上学期期末数学质量测试题(含答案)

2023-2024学年山东省临沂高一上册期末数学质量测试题一、单选题1．已知1sin3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tanα的值为（）A．4BC．-D．【正确答案】A根据同角三角函数的基本关系求出cosα，tanα；【详解】解：因为1sin3α=，22sin cos1αα+=，所以cos3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos3α=-，所以1sin3tancos43ααα==-故选：A2．已知命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为（）A．0x∀>，2log2x x≤B．00x∃>，002log2x x≤C．00x∃>，002log2x x<D．00x∃≤，002log2x x≤【正确答案】B根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为“00x∃>，002log2x x≤”，故选：B．3．已知函数()xf x a=（0a>且1a≠）在(0,2)内的值域是2(1,)a，则函数()y f x=的函数大致是（）A ．B．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知21a>，所以1a>，所以()f x是指数型的增函数.故选B.指数函数的图象与性质.4．若正实数a ，b ，c 满足1b a c c c <<<，则a ，b 的大小关系为（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1b a <<D ．1a b<<【正确答案】A【分析】根据已知可得01c <<，根据指数函数的单调性，即可得出答案.【详解】因为c 是正实数，且1c <，所以01c <<，则函数x y c =单调递减.由1b a c c c <<<，可得10b a c c c c <<<，所以01a b <<<．故选：A.5．若0a >且1a ≠，函数()(),140.52,1x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【正确答案】D【分析】由已知可得函数()f x 在R 上单调递增，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ ，∴对任意的实数12x x ≠都有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，可知函数()f x 在R 上单调递增，1140.50(40.5)12a a a a >⎧⎪∴->⎨⎪≥-⨯+⎩，解得[4,8)a ∈，故选：D.6．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,4【正确答案】C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤，解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+，由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4.故选：C.本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.7．已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且当π3x =时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[,0]a 上单调递减，则a 的最小值是（）A ．π6-B ．5π6-C ．2π3-D ．π3-【正确答案】A【分析】根据最小正周期求出2ω=，根据当π3x =时，函数取最小值，求出π3ϕ=，从而π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[,0]x a ∈得到22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由单调性列出不等式，求出06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】因为0ω>，所以2π2π2πT ω===，故13πcos(2)ϕ⨯+=-，所以2ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π||2ϕ<，所以只有当0k =时，π3ϕ=满足要求，故π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[,0]x a ∈，所以22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故π2,33π0a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，解得：06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故a 的最小值为π6-.故选：A8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“21p -”（p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21p -”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为（）（参考数据：lg 20.3010≈）A ．18010B ．17710C ．14110D ．14610【正确答案】B【分析】根据题意，得到6076075901717212==2212N M -≈-，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，，可得6076075901717212=212N M -≈-，令5902k =，两边同时取对数，则590lg 2lg k =，可得lg 590lg 2k =，又lg 20.3010≈，所以lg 5900.3010177.59k ≈⨯=，17710k ≈与NM最接近的数为17710.故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若,a b 为正实数，a b ¹，则3223+a b a b b a +>B ．若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若,a b R ∈，则“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是【正确答案】AC利用作差法可考查选项A 是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B 是否正确；利用不等式的性质可考查选项C 是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D 是否正确.【详解】对于A ，若a ，b 为正实数，a b ¹，()()()233220a b a b ab a b a b +-+=-+>，3322a b a b ab ∴+>+，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a b <，()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++，则a m ab m b+>+，故B 错误；对于C ，若11a b <，则110b aa b ab--=<，不能推出0a b >>，而当0a b >>时，有0>0b a ab -<，，所以0b aab -<成立，即11a b<，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，2sin sin x x +≥=，当且仅当()sin 0,1x =时取等号，故D 不正确.故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．已知关于x 的方程23xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】CD【分析】化简方程得23x m =±，利用指数函数的值域，列式求解得出答案.【详解】23xm -= ，23x m ∴-=±，23x m -= 有两个不等实根，即23x m =±有两个不等实根，则3030m m +>⎧⎨->⎩，解得3m >，显然选项A ，B 不满足，选项C ，D 满足.故选：CD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，则下列说法正确的是（)A ．ππsin cos 66f f⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos 2)(sin 2)f f >【正确答案】BD【分析】根据函数的周期性可得()f x 在[]1,1-上的解析式以及函数在[0,1]上的单调性.比较自变量的大小，即可根据单调性判断A 、B 项；又易知()f x 在[1,1]-上为偶函数，则根据()()f x f x =，可将[1,0]-上的自变量转化为[0,1]上，进而根据单调性，即可判断C 、D 项.【详解】当[1,1]x ∈-时，则[45]3,x +∈，于是()(2)(4)2||f x f x f x x =+=+=-，当01x ≤≤时，()2f x x =-，所以函数()f x 在[0,1]上单调递减；当10x -≤<时，()2f x x =+，所以函数()f x 在[1,0]-上是增函数.()f x 的定义域[1,1]-关于原点对称，且此时()()22-=--=-=f x x x f x则()f x 在[1,1]-上为偶函数.对于A 项，因为ππ0sincos 166<<<，所以ππsin cos 66f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为0cos1sin11<<<，所以(cos1)(sin1)f f >，故B 正确；对于C项，因为2π12π0cossin 1323<==<，所以2π2πcossin 33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，所以2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为ππ0|cos 2|cos sin |sin 2|144<<=<<，所以(|cos2|)(|sin 2|)f f >，所以(cos 2)(sin 2)f f >，故D 正确．故选：BD.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中错误的是（）A ．当121122x x -<<<时，恒有()()12f x f x >B ．若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，则34a =-【正确答案】ACD【分析】根据奇函数的定义确定()f x 在(1,0)-上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A ，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B ，由直线y kx =与函数()f x 的图象交点个数判断C ，求出3()4f x =的根是17,26，然后确定a 值使()f x a =根的和为53-即可判断D ．【详解】选项A ，()f x 是奇函数，10x -≤<时，22()()[()()1]1f x f x x x x x =--=----+=---213()24x =-+-，在1(,0)2-上递减，且()0f x <，()f x 是奇函数，则(0)0f =，01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，在1(0,)2上递减，但()0f x >，因此()f x 在11(,)22-上不是增函数，A 错；选项B ，当01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，13()24f =，因此12m ≥，当1m >时，1()21f x x =-是减函数，由13214x =-得76x =，因此76m ≤，综上有1726m ≤≤，B 正确；选项C ，易知0x =是()F x 的一个零点，由于(1)1f =，y kx =过点(1,1)时，1k =，此时由21y xy x x =⎧⎨=-+⎩得21x x x -+=，2(1)0x -=，121x x ==，即直线y x =与21y x x =-+在点(1,1)处相切，因此1k >时，直线y kx =与21(01)y x x x =-+<<的图象只有一交点，在01k <<时，直线y kx =与1(1)21y x x =>-只有一个交点，从而0k >时，直线y kx =与()F x 的图象有三个交点，而0x >时，()0f x >，因此0k ≤，直线y kx =与()F x 的图象无交点，所以直线y kx =与()F x 的图象不可能是5个交点，即函数()()F x f x kx =-不可能有5个不相等的零点，C 错；选项D ，由上讨论知3()4f x =的解为12x =和76x =，因此若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，由()f x 是奇函数知若34a =-，则()f x a =的解是12x =-和76x =-，符合题意，但513(537213f ==⨯-（由此讨论知3()7f x =只有一解），即53()37f -=-，即37a =-时，关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和也为0，D 错．故选：ACD ．方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路．三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知函数()()22,1log 1,1x ax f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________．先求()03f =，再代入求()3f ，求实数a 的值.【详解】()00223f =+=，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，即22a =，又0a >，且1a ≠，所以a =15．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【正确答案】3【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出a 和m 的值，最后根据()g x 的单调性检验即可得到.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 42a f ==，解得2a =，所以21log 12m ==-，此时()g x =[)0,∞+上是增函数，符合题意，因此()213a m -=--=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有11log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a =44m ==-，此时()g x =-在[)0,∞+上是减函数，不符合题意.综上所述，2a =，1m =-，3a m -=.故3.16．若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．【正确答案】2π根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=.故答案为.2π四、解答题17．在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<(1)若2a =，求()()U UC A C B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1{}1|x x x ≤-≥或(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }031011x x A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.（2）由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i ）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii ）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii ）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.18．（1）已知sin 2cos 0αα-=，求22sin cos sin 3sin cos 2cos αααααα--的值；（2）已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，求()()()2sin 3tan 34cos παπααπ----的值.【正确答案】（1）12-；（2）73.【分析】（1）先求出tan 2α=，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出4sin 5α=-，3cos 5α=，得到4tan 3α=-，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】（1）由sin 2cos 0αα-=知tan 2α=∴原式=2tan 21tan 3tan 24622ααα==-----（2） 4sin()5απ+=∴4sin 05α=-<又sin cos 0αα<∴cos 0α>∴3cos 5α==∴4tan 3α=-原式=()()2sin 3tan 4cos απαπα---=2sin 3tan 4cos ααα+-=44237533345⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯19．已知函数()323log 1x f x x -=-．(1)求函数()f x 的解析式及定义域；(2)求函数()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【正确答案】(1)()()12031xf x x =-≠-，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U (2)()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.（2）结合3x 的取值范围来求得()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【详解】（1）对于3log x ，需0x >；对231x x --，需1x ≠；则()()3log ,00,x ∈-∞⋃+∞，令3log t x =，则0t ≠，3t x =，()()231123312313131tt t t t f t ⋅--⋅-===----，所以()()12031x f x x =-≠-，即()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U .（2）当0x <时，11031,1310,1,13131x xxx <<-<-<<-->--，12331x ->-.当02x <<时，1111139,0318,,318318x xx x <<<-<>-<---，1115223188x-<-=-.所以()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域为()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.20．已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【正确答案】（1）最小正周期为π，单调减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）max ()f x =，此时8x π=，min ()1f x =-，此时2x π=.【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出24x π-的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期22||2T πππω===.令2224k x k ππππ≤-≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，此时时，()f x 单调递减，()f x ∴的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故cos 2,142x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()24f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，max ()f x ∴=cos 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即204x π-=，即8x π=；min ()1f x =-，此时cos 242x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3244x ππ-=，即2x π=.方法点睛：解决三角函数()cos y A x ωϕ=+的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.21．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度(y 单位：毫克/立方米)随着时间(x 单位：小时)变化的关系如下：当04x 时，1618y x =--；当410x <时，15.2y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒(14)a a 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【正确答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，由()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，64448x-≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤，当410x <≤时，2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤，综上08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，其浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1616101441414a ax a x a x x=-+-=-+----，因为[][]144,8,1,4x a -∈∈，所以161444414a x a a a x -+--≥--=---，当且仅当161414ax x-=-，即14x =-时，等号成立；所以其最小值为4a --，由44a -≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24 1.6-≈.22．我们知道，指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）与对数函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）互为反函数.已知函数()2xf x =，其反函数为()g x .(1)求函数()()()223F x g x tg x =-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈的最小值；(2)对于函数()x ϕ，若定义域内存在实数0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则称()x ϕ为“L 函数”.已知函数()()()223,1,3,1f x mf x x h x x ⎧⎡⎤--≥-⎪⎣⎦=⎨-<-⎪⎩为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,∞-+【分析】（1）利用换元法令2log ,[1,3]p x p =∈，可得所求为关于p 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在[1,1]-、(,1)-∞-和(1,)+∞上存在实数0x ，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【详解】（1）由题意得2()log g x x=所以()()()()222223log 2log 3F x g x tg x xt x =-+=-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈，令2log ,[1,3]p x p =∈，设2()23,[1,3]M p p tp p =-+∈则()M p 为开口向上，对称轴为p t =的抛物线，当1t ≤时，()M p 在[1,3]上为单调递增函数，所以()M p 的最小值为(1)42M t =-；当13t <<时，()M p 在(1,)t 上单调递减，在(,3)t 上单调递增，所以()M p 的最小值为2()3M t t =-；当3t ≥时，()M p 在[1,3]上为单调递减函数，所以()M p 的最小值为(3)126M t =-；综上，当1t ≤时，()F x 的最小值为42t -，当13t <<时，()F x 的最小值为23t -，当3t ≥时，()F x 的最小值为126t-（2）①设在[1,1]-上存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则0000114234230x x x x m m +--+-⋅-+-⋅-=，令0022x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号，又0[1,1]x ∈-，所以115222t -≤+=，即52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以00001124234232260x x x x m m t mt +--+-⋅-+-⋅-=---=，所以28471,2220t t m t t -⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦所以71,20m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦②设在(,1)-∞-存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则00134230x x m --+-+-⋅-=，即001232x x m --=-⋅有解，因为1232x x y --=-⋅在(,1)-∞-上单调递减，所以12m >-，同理当在(1,)+∞存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-时，解得12m >-，所以实数m 的取值范围[)1,∞-+解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题。

陕西省西安市长安区2023届高一上数学期末监测模拟试题含解析

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．设函数f(x)＝ x－lnx，则函数y＝f(x)（）
A.在区间，(1，e)内均有零点
B.在区间，(1，e)内均无零点
C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D. 区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
（2）由已知公式计算
【小问1详解】
根据对数的运算性质，有 .
在上，随着的增大，减小，
相应地，也减小，即减小，
所以，随着的增大，减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
【小问2详解】
当时， .
17、（1）（2）见解析（3）当为线段的中点时，满足使平面
【解析】（1）根据线面垂直确定高线，再根据锥体体积公式求体积（2）先寻找线线平行，根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据面面平行判定定理得结论（3）由题意可得平面，即，取线段的中点，则有，而，根据线面垂直判定定理得平面
2．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（）
A.1：3B.1：（）
C.1：9D.
3．已知，，，则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
4．设，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
5．若，则是第（）象限角
A.一B.二
C. D.
10．已知函数，则（）
A.2B.5
C.7D.9
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时， ,则 __________.

2023届四川省成都市成都市第七中学数学高一上期末统考模拟试题含解析

【详解】对于A选项，如下图所示，连接，
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
【详解】 = ,所以，D为△ABC的边BC中点，∴ ∴如图，D为AP的中点；
∴ ,又，所以 -2.故答案为-2.
【点睛】本题考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，及向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，属于中档题.
14、
【解析】由，且，得到是第二象限角，由此能化简
对于C选项，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、中点，则，，
平面，平面，平面；
对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，
若平面，平面，平面平面，则，
则，
由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，
8、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】，都有的否定是，使得 .
故选：D
9、B
【解析】由题意求出得方程，将四个选项逐一代入，即可验证得到答案.
【详解】由题直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，则的倾斜角为45，斜率由点斜式可得的方程为即四个选项中只有B满足方程.
C. D.
3．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A. B.
C. D.

2023-2024学年四川省绵阳市高一上期末数学模拟卷(含答案)

2023-2024学年四川省绵阳市高一上期末数学模拟卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（）A.2a ≥B .1a ≤ C.1a ≥ D.2a ≤【正确答案】A【分析】根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a 的范围判断作答.【详解】集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，因A B ⊆，于是得(1,2),x x a ∀∈<，因此有2a ≥，所以a 的取值范围是2a ≥.故选：A2．设α∈R ，则3sin 2α=是π3α=的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要【正确答案】B【分析】由已知，根据题意，由3sin 2α=可得()π2πZ 3k k α=+∈或()2π2πZ 3k k α=+∈，而当π3α=时，可以得到3sin 2α=，即可做出判断.【详解】由已知，α∈R ，3sin 2α=可得()π2πZ 3k k α=+∈或()2π2πZ 3k k α=+∈，此时不一定能得到π3α=；而π3α=时，可以得到3sin 2α=.所以：3sin 2α=是π3α=的必要不充分条件.故选：B.3．命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是（）A．22,10x x ∀>-≤B．22,10x x ∀≤-≤C．22,10x x ∃>-≤D．22,10x x ∃≤-≤【正确答案】C【分析】利用全称命题的否定的定义求解即可．【详解】∵命题2:2,10p x x ∀>->，由全称命题的否定可知，命题2:2,10p x x ⌝∃>-≤．故选：C4.函数()1lg(1)f x x x =-++的定义域是A.(1,)-+∞ B.(1,1)- C.(]-11，D.(,1)-∞-【正确答案】C【分析】由分式及对数成立的条件可得1010x x -≥⎧⎨+⎩＞，解不等式可求答案．【详解】由题意可得，1010x x -≥⎧⎨+⎩＞解不等式可得，﹣1＜x≤1∴函数的定义域为（﹣1，1]故选C.5．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（）A．()3,0-B．[)3,0-C．[]3,0-D．(]3,0-【正确答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩，解得,0()3k ∈-，综上(3,0]k ∈-.故选：D6.设函数()22f x x =-，用二分法求()0f x =的一个近似解时，第1步确定了一个区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是（）A.1,32⎛⎫⎪⎝⎭B.54,32⎛⎫⎪⎝⎭ C.118,32⎛⎫⎪⎝⎭ D.1123816,⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用二分法可得出结果.【详解】()110f =-< ，31024f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，570416f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，第2步所得零点所在区间为53,42⎛⎫⎪⎝⎭；取区间53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭的中点35112428x +==，1170864f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ，因此，第3步求得的近似解所在的区间应该是113,82⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+单调递减，设233231log ,2,24a f b f c f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A．a c b <<B．b c a<<C．c b a<<D．b a c<<【正确答案】A【分析】根据()f x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数形成将a 化为()34log f ；利用指数、对数函数的性质判定23323log 4,2,2--的大小关系，结合函数单调性可得结果.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减则：()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭33log 4log 3=1> ，2303202221--<<<=，∴23323log 422-->>，()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：a c b <<故选：A.8.设22222(0)(){(4)(3)(0)k x a kx f x x a a x a x +-≥=+++-<，其中R a ∈．若对任意的非零实数x 1，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为A.RB.[4,0]- C.[9,33]D.[33,9]--【正确答案】D【详解】设22()g x k x a k =+-，222()(4)(3)h x x a a x a =+++-，因为设22222(0)(){(4)(3)(0)k x a kx f x x a a x a x +-≥=+++-<，对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，∴函数必须为连续函数，即在x =0时，两段的函数值相等，∴(3−a )2=a 2−k ，即−6a +9+k =0，即k =6a −9，且函数在y 轴两侧必须是单调的，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即240a a +≤，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即(0)(0)g h =，()223a k a -=-，所以，69k a =-在[4,0]-上有解，从而[33,9]k ∈--，故答案为D.考点：二次函数的图象和性质.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知正数a ，b ，则下列不等式中恒成立的是（）A.a b++B.()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C.22≥D.2aba b>+【正确答案】ABC 【分析】由正数a ，b ，结合基本不等式依次判断选项，即可得结果.【详解】对于A ，a b++≥≥=当且仅当22a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，11()224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故B 正确；对于C 22≥=，当且仅当a b =时，等号成立，故C 正确；对于D ，a b +≥，2ab a b ∴≤=+a b =时，等号成立，故D 错误；故选：ABC10．已知ππ,,cos sin 122θθθ⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（）A ．sin 0θ=B ．cos 0θ=C ．tan 0θ=D ．cos sin 1θθ+=11.关于x 的方程()2310x a x +-+=有两个大于12的实数根的充分条件可以是（）A.1324a << B.213a <<C.1a ≤ D.223a <≤【正确答案】AB【分析】由一元二次方程根的分布列式求解，再由充分条件的概念判断，【详解】设2()(3)1f x x a x =+-+，若x 的方程()2310x a x +-+=有两个大于12的实数根，由2Δ(3)403122113(10242a a a f ⎧⎪=--≥⎪-⎪->⎨⎪-⎪=++>⎪⎩，解得112a <≤，故1324a <<，213a <<满足题意，故选：AB12.已知函数1ln e xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的两个零点分别为12,x x ，且12x x >，则（）A.11211x x x << B.21211x x x <<C.21211x x x << D.21211x x x <<【正确答案】AC【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案.【详解】函数1ln e x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的两个零点即函数1e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与ln y x =的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：则201x <<，11x >，即1101x <<，211x >，故D 错误；由图可知1211e e xx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111ln e xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221ln e xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12ln ln x x <，由201x <<，11x >，则12ln ln x x <-，即121ln lnx x <，可得121x x <，即211x x >，故A 、C 正确，B 错误.故选：AC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()222()1m mf x m m x +=--的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【正确答案】-1【分析】根据函数()()2221m mf x m m x+=--是幂函数，由211m m --=求得m ，再图象不经过原点确定.【详解】因为函数()()2221mmf x m m x+=--是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()1f x x -=，图象不经过原点，满足题意；当2m =时，()8f x x =，图象经过原点，不满足题意；所以1m =-.故答案为.1-14．若tan (π)3θ+=，则2cos sin cos θθθ+=________．15.已知函数()(||4)f x x x =+，且()2()0f a f a +<，则a 的取值范围是______.【正确答案】(1,0)-【分析】先得到函数的奇偶性，从而得到函数的单调性，即可将不等式变形求解.【详解】()(||4)(||4)()f x x x x x f x -=--+=-+=- ∴函数()(||4)f x x x =+为奇函数，又224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，由()f x 的图象知，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，由()2()0f a f a +<，得()2()()f a f a f a <-=-，得2a a <-，解得10a -<<，故答案为.(1,0)-16.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1o C ，空气的温度是θ0℃，那么t min 后物体的温度θ（单位：o C ）可由公式()kt010e θθθθ-=+-（k 为正常数）求得.若1ln 22k =，将55o C 的物体放在15o C 的空气中冷却，则物体冷却到35o C 所需要的时间为___________min .【正确答案】2【分析】将数据1ln 22k =，155C θ=︒，015C θ=︒，35C θ=︒代入公式，得到ln 221e 2-=，解指数方程，即得解【详解】将1ln 22k =，155C θ=︒，015C θ=︒，35C θ=︒代入()010e ktθθθθ-=+-得1(ln 2)23515(5515)e t -=+-，所以ln 223515(5515)e t -=+-，ln 221e2t -∴=，所以ln 21ln ln 222t -==-，即2min t =.故2四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分.17.计算（1）21log 42-23lg181lg1)27100-⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23+++【正确答案】（1）3-；（2）3.【分析】（1）综合利用指数对数运算法则运算；（2）利用对数的运算法则化简运算.【详解】解：（1）原式)2303222192lg101213344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--⎛⎫=-++-=--+=- ⎪⎝⎭；（2）原式()()()222lg 52lg 2lg 52lg 2lg 5lg 22lg 2lg 53++++++＝＝＝．18.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点( 4,3)P -.（1）求sin α，cos α；（2）求cos()2cos()2()sin()2cos()f παπααπαα+-+=-+-的值.【正确答案】（1）3sin 5α=，4cos 5α=-；（2）115.【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入sin α，cos α的值，即可求出结果.【详解】解：（1）因为角α的终边经过点(4,3)P -，由三角函数的定义知3sin 5yrα∴===，4cos 5x rα===-（2）诱导公式，得342()sin 2cos 1155()34sin 2cos 52(55f ααααα-+⨯--+===++⨯-.19.函数()13133x x f x +-+=+.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在定义域上的单调性.【正确答案】（1）()f x 为奇函数，证明见解析；（2）在R 上为减函数，证明见解析.【分析】（1）由奇偶函数的定义即可证明；（2）由函数单调性的定义即可证明.【小问1详解】()f x 为奇函数，()()1311333313x x x x f x +-+-==++ ，定义域为R ，关于原点对称，又()()()()()()31313313133313331x x x x x x x xf x f x --------====-+⨯⨯++，所以函数()f x 为奇函数.【小问2详解】()f x 在R 上为减函数，()()()()()21313213313313313x x x x xf x -+-===-+++ ，任取12R x x ∈､且12x x <，则()()()()1212212133313313x x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()2112122332231331331313x x x x x x -=-=++++()()21121212,330,130,130,0x x x x x x f x f x <∴->+>+>∴-> ，即()()12f x f x >.因此，函数()13133x x f x +-+=+在R 上为减函数.20.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R (x )万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润W (x )（万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】（1）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；（2）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．【分析】（1）根据销售额减去成本（固定成本250万和成本()R x ）求出利润函数即可．（2）根据（1）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值．【详解】（1）当040x <<时，()()227001010025010600250W x x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070194502509200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()210600250,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）若040x <<，()()210308750W x x =--+，当30x =时，()max 8750W x =万元．若40x ≥，()10000920092009000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=时，即100x =时，()max 9000W x =万元．∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．21.已知函数()()()9log 91,R xf x kx k =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若()102b x x f ⎛⎫-+>⎪⎝⎭对于任意x ∈R 恒成立，求b 的取值范围.【正确答案】（1）12k =-（2）0b ≤【分析】（1）由偶函数的定义即可求得k ；（2）分离常数b ，利用单调性求()91log 19xg x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的范围即可.【小问1详解】因为函数()()()9log 91,R xf x kx k =++∈是偶函数、则满足()()=f x f x -，所以()()99log 91log 91xxkx kx -++=-++即()()99919912log log log 991991xx x xx x kx x --++====-++，所以21k =-，解得12k =-.【小问2详解】由（1）可知，()()91log 912x f x x =-++，()102b x x f ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭对于任意x ∈R 恒成立，代入可得()9log 910x x b +-->，所以()9log 91xb x <+-对于任意x ∈R 恒成立，令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xg x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭，因为1119x +>，所以由对数函数的图像与性质可得91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0b ≤.22.已知函数f （x ）=x 2﹣3mx +n （m ＞0）的两个零点分别为1和2．（1）求m 、n 的值；（2）若不等式f （x ）﹣k ＞0在x ∈[0，5]恒成立，求k 的取值范围．（3）令g (x )=()f x x，若函数F （x ）=g （2x ）﹣r 2x在x ∈[﹣1，1]上有零点，求实数r 的取值范围．【正确答案】（1）m =1，n =2；（2）k ＜﹣14；（3）[﹣18，3]．【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．（2）求出函数f （x ）的最小值，即可求解k 的范围．（3）问题转化为r =1+2•（12x ）2﹣3•12x在x ∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r =2t 2﹣3t +1在t ∈[12，2]上有解，求出k 的范围即可．【详解】（1）函数f （x ）=x 2﹣3mx +n （m ＞0）的两个零点分别为1和2．可得：1﹣3m +n =0，4﹣6m +n =0，解得m =1，n =2，（2）由（1）可得f （x ）=x 2﹣3x +2，不等式f （x ）﹣k ＞0在x ∈[0，5]恒成立，可得不等式f （x ）＞k 在x ∈[0，5]恒成立，f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（32）=﹣14，可得k＜﹣14．（3）g(x)=()f xx=x+2x﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r•2x在x∈[﹣1，1]上有零点，即g（2x）﹣r•2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，即r=1+2•（12x）2﹣3•12x在x∈[﹣1，1]上有解，令t=12x，则r=2t2﹣3t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[12，2]，即r=2t2﹣3t+1在t∈[12，2]上有解，r=2k2﹣2t+1=2（t﹣34）2﹣18，（12≤t≤2），∴﹣18≤r≤3，∴r的范围是[﹣18，3]．。

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新高一数学上期末模拟试题含答案一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（） A ．12B ．2C ．22D ．23．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．若x 0＝cosx 0，则（）A ．x 0∈（3π，2π）B ．x 0∈（4π，3π）C ．x 0∈（6π，4π）D ．x 0∈（0，6π） 7．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}10．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =11．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是．14．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.15．已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.16．已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑nin i xx x x L ，则1ni i x ==∑__________．17．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 18．函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.19．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.20．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.三、解答题21．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或．（1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．22．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.23．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增） 24．已知函数()224x x a f x =-+，()()log 0,1a g x x a a =>≠. （1）若函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若()()11f g =，设()112t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.25．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26．设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，A ∪(∁R B )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>，据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<，即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===，且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ．【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．4．C解析：C 【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为()133331log log 4log 3,log334a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．B解析：B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C 【解析】【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．D解析：D 【解析】【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +，其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.8．C解析：C 【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.9．D解析：D 【解析】【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.10．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A11．B解析：B 【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 342a =<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈，所以a c b <<，故选B.12．C解析：C 【解析】【分析】【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立，即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,12)成立，设y =−x −1x ,则函数在区间(0,12〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】故答案为解析：【解析】【分析】【详解】故答案为.14．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的解析：(,1]-∞【解析】【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,，当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣U ，所以，此时有22a ≤，解得01a ≤≤，当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意，综上所述，实数a 的范围为(],1-∞.故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.15．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数解析：()23log 11,1-+【解析】【分析】根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23log x a x+=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】由题：关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，所以()224log 3log +-=x x a 可以转化为：23log x a x+=， ()3,8x ∈，33111,28x x x +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以()23log 11,1a ∈-+ 故答案为：()23log 11,1-+ 【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.16．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以解析：1-【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.17．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝解析：0232m <<-【解析】【分析】【详解】试题分析：由{},min ,{,aa ba b b a b≤=>可知{}()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2| 当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x ∵f （4﹣23）＝232-其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点故答案为0232m -＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.19．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【解析】【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.20．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】【分析】将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤Q ,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.三、解答题21．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<，（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．22．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m << 【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明；（2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数. (2)由(1)可知()()()221log log 117x mf x x x x +=>---，[]2,6x ∈，所以()()10117x mx x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =.所以07m <<. 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．23．（Ⅰ）()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值. 【详解】（Ⅰ）当040x << 时,()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. ()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+，()()max 308750Q x Q ∴==万元；当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题. 24．（1）()1,+∞；（2）12t t > 【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性得到答案.（2）计算得到2a =，再计算()2110x t ->=，22log 0t x =<，得到答案. 【详解】（1）函数()224x x a f x =-+的对称轴为1x =，函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，故1m >，即()1,m ∈+∞. （2）()()11f g =，即24log 10a a -+==，故2a =. 当()0,1x ∈时，()()212212110x xx t f x -+=-=>=；()22log 0t g x x ==<. 故12t t > 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.25．（1）()g x 为奇函数；（2）20 【解析】【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值. 【详解】（1）12()12xxg x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈.因为11112212()()112212xx x x x x g x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=.所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题. 26．见解析【解析】【分析】根据题意，在数轴上表示出集合,A B ，再根据集合的运算，即可得到求解. 【详解】解：如图所示．∴A ∪B ＝{x |2<x <7}， A ∩B ＝{x |3≤x <6}．∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥7}，∁R(A∩B)＝{x|x≥6或x<3}．又∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3}．又∵∁R B＝{x|x≤2或x≥6}，∴A∪(∁R B)＝{x|x≤2或x≥3}．【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集与补集的混合运算问题，其中解答中正确在数轴上作出集合,A B，再根据集合的交集、并集和补集的基本运算求解是解答的关键，同时在数轴上画出集合时，要注意集合的端点的虚实，着重考查了数形结合思想的应用，以及推理与运算能力.。