行列式的基本性质

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线性代数1.2行列式的性质

如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节行列式的性质
一行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是讨论行列式的变换遵循什么法则.

行列式转换成三角行列式技巧

行列式转换成三角行列式技巧行列式转换成三角行列式是线性代数中一个重要的操作，可以简化行列式的计算过程，并且在解线性方程组、求逆矩阵等问题中有广泛的应用。

本文将介绍一些常用的技巧，帮助读者灵活运用行列式的性质，将行列式转换成三角行列式。

一、行列式的基本性质回顾在进行行列式的转换之前，让我们先回顾一下行列式的基本性质。

设A是一个n阶方阵，其行列式记作det(A)或|A|，其中n为正整数。

行列式具有以下几个基本性质：1. 若A的某行（列）的所有元素都是0，则det(A) = 0；2. 若A的两行（列）互换位置，行列式的值变号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示互换位置后的行列式；3. 若A的某行（列）的各元素乘以同一数k后加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变；4. 若A的某行（列）的各元素乘以同一数k，行列式的值乘以k。

二、将行列式转换成三角行列式的技巧1. 利用行列式的性质进行行变换：可以通过对行进行适当的变换，使得矩阵的上三角部分全为0。

常用的变换方式有：（1）将某一行的k倍加到另一行上；（2）交换两行的位置；（3）将某一行的倍数加到另一行上；（4）将某一行乘以一个非零常数。

2. 利用行列式的性质进行列变换：可以通过对列进行适当的变换，使得矩阵的下三角部分全为0。

常用的变换方式与行变换类似。

3. 利用行列式的性质进行行列组合：可以通过将两行或两列进行适当的组合，将矩阵转换成上三角形式或下三角形式。

常用的组合方式有：（1）将某一行（列）的k倍加到另一行（列）上；（2）将某一行（列）乘以一个非零常数再加到另一行（列）上；（3）交换两行（列）的位置。

4. 利用行列式的性质进行数乘：可以通过对矩阵的某一行或某一列进行数乘，将矩阵转换成上三角形式或下三角形式。

常用的数乘方式有：（1）将某一行（列）的元素乘以一个非零常数；（2）将某一行（列）的元素除以一个非零常数。

5. 利用行列式的性质进行行列互换：可以通过对行或列进行适当的互换，将矩阵转换成上三角形式或下三角形式。

行列式的性质

k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .

简述行列式的性质

简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。

性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式性质5例题

行列式性质5例题
行列式DT称为行式列D的转置行列式。

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。

性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：则D等于下列两个行列式之和
性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。

行列式的六条基本性质是把一般的行列式变成第一节所给出的三个基本公式的钥匙，它是计算行列式必须掌握的重要理论，其难点就是如何灵活运用行列式的六条基本性质，巧妙而简捷地计算出行列式的值，掌握运算的技巧可以提高运算的速度和准确率，从而达到事半功倍的效果。

我们知道，给出行列式的定义后，用定义直接计算行列式是比较麻烦的，例如，计算4阶行列式，用定义去计算要算24项，一个n阶的如行列式要算n!个项的代数和，但只有行列式的六条基本性质之后，就可使运算化简，从而快速计算行列式。

行列式的性质有什么技巧吗

行列式的性质有什么技巧吗行列式是矩阵的一个重要性质，对于解方程组、求逆矩阵以及矩阵的特征值等计算都有着重要作用。

在计算行列式的过程中，可以根据行列式的性质来简化计算，提高计算效率。

下面将介绍一些常用的行列式的性质和计算技巧。

1. 行列互换性质：行列式的值不变，当交换行列式中任意两行（或两列）的位置。

例如，对于一个3阶行列式A，若交换第一行和第二行的位置，行列式值不变。

2. 行列式的取公因子性质：行列式的值等于公因子与剩余元素构成的行列式的值的乘积。

例如，对于一个3阶行列式A，如果第一行的元素可以取公因子k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以公因子k的行列式B的值，即A = k * B。

3. 行列式的倍性性质：行列式的某一行（或列）的元素乘以一个常数k，与行列式的值的乘积相等。

例如，对于一个3阶行列式A，如果将第一行的元素都乘以常数k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以常数k的行列式B的值，即A = k * B。

4. 行列式对行的线性关系：如果行列式中两行成比例，那么这个行列式的值为0。

例如，如果行列式的第一行的元素都等于第二行元素的两倍，那么这个行列式的值为0。

5. 行列式的行列式和斜交性质：行列式中有两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值为0。

例如，如果行列式的第一行跟第二行完全相同，那么这个行列式的值为0。

6. 行列式的二次行列和二次展开定理：对于一个n阶的行列式，可以通过二次行列和二次展开定理来计算行列式的值。

即将行列式按矩阵中的某一行（或列）展开，然后将展开后的行列式分割成若干个小行列式，这些小行列式的值与对应元素的代数余子式成正负关系。

通过递归地计算这些小行列式的值，最终可以得到行列式的值。

7. 行列式的上三角行列的性质：一个上三角阵的行列式，等于对角线上的元素的乘积。

即对于一个n阶的上三角阵A，它的行列式的值等于A的对角线上的元素的乘积。

这个性质在求解方程组的过程中特别有用。

8. 行列式的性质与矩阵求逆的关系：如果一个矩阵A可逆，那么它的行列式不等于0；反之，如果一个矩阵的行列式不等于0，那么它可逆。

行列式的基本性质

第二章
行列式
利用性质4和推论4即知。 a + x1 例2.4.1 计算行列式 D3 = a + x2 a + x3
b + x1 b + x2 b + x3
c + x1 c + x2 c + x3
a + x1 解: D3 = a + x2 a + x3
b−a c−a b−a c−a b−a c−a
=0
§2.4 行列式的基本性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为简化。
a11 a21 转置行列式：把n阶行列式 D = L an1
a21 L an1 a22 L an 2 L L L a2 n L ann
a12 L a1n a22 L a2 n L L L an 2 L ann
第二章
行列式
a11 L
a12 L
L L
a1n L
D = ai1 + bi1 ai 2 + bi 2 L ain + bin L L L L an1 an 2 L ann
a11 a12 L L = ai1 ai 2 L L an1 an 2
L L L L L
a1n a11 a12 L L L ain + bi1 bi 2 L L L ann an1 an 2
L L
b 0
L 0 L L L a −b
a + ( n − 1) b = 0 0 L 0
b
b
L
b
a −b 0 0 a −b L L 0 0
L 0 n −1 L 0 = [ a + (n − 1)b ] (a − b) L L L a −b

行列式的性质与计算方法

行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。

它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。

一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。

行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。

3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。

行列式的性质及求解方法

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

1.2 行列式的性质

1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 1 1
1 3 2
0 0 0 1 0 4 0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
两行相同，行列式的值为0
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann
D D,
D 0.
6
引例
例如：
a1 a2 kb1 kb2
k (a1b2 a2b1 ) k
a1 a2 b1 b2
n阶行列式也有此性质
性质3 行列式一行的共因数可以提出去，即
a11 ... ... a n1 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ...
即bij a ji 按定义

D 1 b1 p1 b2 p2 L bnpn 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
T
又因为行列式D可表示为
D 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .

故
D DT .
3
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 引例例如
a11 b12 a21 b22
b11 b12 b21 b22

行列式的性质

a 11 a 21 D = a n1 a 12 a 22 an2 a 1i a 2i a ni a1n a2n a nn
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4

行列式的基本概念

行列式的基本概念===========行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个由矩阵元素构成的数学表达式。

本篇文章将详细介绍行列式的定义、性质、运算、应用、发展历程、相关问题与技巧以及在数学中的地位与价值。

1. 行列式的定义--------行列式是由一个方阵的元素构成的数学表达式。

它可以看作是矩阵的一种性质，用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。

行列式的定义如下：设A是一个n阶方阵，即A是一个n行n列的矩阵，A的行列式记作det(A)，并且满足以下性质：1. 交换律：det(A)=det(AT)，其中AT为A的转置矩阵。

2. 结合律：对于任意的常数k，det(kA)=k^n * det(A)。

3. 单位元：当A为n阶单位矩阵I时，det(I)=1。

2. 行列式的性质--------行列式具有以下性质：1. 如果矩阵A中有两行或两列相等，则det(A)=0。

2. 如果矩阵A是一个对称矩阵，那么它的行列式等于它的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann - a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

3. 如果矩阵A是一个埃尔米特矩阵（即AT=A），那么它的行列式等于它的特征值的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann * a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

4. 如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么它的行列式不等于零。

即det(A)!=0。

5. 如果矩阵A是一个正定矩阵，那么它的行列式大于零。

即det(A)>0。

6. 如果矩阵A是一个负定矩阵，那么它的行列式小于零。

即det(A)<0。

7. 如果矩阵A是一个半正定矩阵，那么它的行列式大于等于零。

即det(A)>=0。

8. 如果矩阵A是一个半负定矩阵，那么它的行列式小于等于零。

即det(A)<=0。

行列式的性质.pptx

1 1 c2
1
b
b 1
13
c
c
11
1 d2 d
d
1
1 a2
1 a
11 1 b2 b
11 1 c2 c
11 1 d2 d
0.
第21页/共41页
三、余子式与代数余子式 1 、引例三阶行列式可用三个相应的二阶行列式的线性组合表示：
例如 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
其中 1i jn 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1, 则有
第4页/共41页
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
例如 1 7 5 1 7 5 17 5 715 6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
证明对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
第17页/共41页
对
D
的前
k
行作运算
ri
第2页/共41页
故 D DT .
证毕
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

行列式的求解方法

行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。

在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。

本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。

一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。

行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。

对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。

对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。

行列式及其性质

行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。

在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。

本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。

一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。

对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。

2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。

3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。

4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。

5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。

三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。

对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。

行列式基本性质.pptx

故不妨设 a11 0, 把第一行依次乘以 a111a21, , a111an1
后分别加到第2行，…，第n行，则 a11 a12
a1n
0 D
b22
b2n —（1）
0 bn2
bnn
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若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。
现对（1）中第二列的 b22, ,bn2 进行考虑，同上类列式都可以利用性质5中的行或列变换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。
a11 a12
a1n
证明：设 D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
1、先设D中第一列元素不全为零，若 a11 0, ai1 0,
则把第i行所有元素同乘1加到第一行上，则 a11 ai1 0,
在性质2中，取k=0，即知结论成立。
性质3：交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。（换法变换）
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a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
即设 D
ai1 ai2 a j1 a j2
ain ,
a jn
a j1 a j2 ai1 ai2
a jn D1
ain
an1 an2
ann
an1 an2
0
a1n a 2n a3n
a1n a 2n a3n
0
a1n a 2n a3n
0
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0
a12
a13
性质2
推论1
1 n
a12 a13
0 a23
a23 0
a1n
a 2n n为奇数
a3n Dn
a1n a 2n a3n
0
Dn 0

2.行列式的性质和展开

a12 ai 2 ai 2 an 2

ain a jn ain ann
ain ain 0 ain ann

推论如果行列式中两行(列)相同，则行列式值为0，即：

性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k 等于用数k乘此行列式，即：
a12 ai 2 ai 2 an 2

ain ain a jn ann
ain ain ain ann
a11 a j1 ai1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 a j2 ai 2 an 2
ai1 bi1 ai 2 bi 2 ain bin ai1 ai 2 ain bi1 bi 2 bin
性质3 互换行列式的两行(列) 则行列式变号即
a11 ai1 a j1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 ai 2 a j2 an 2
a b 0 例3 a b满足什么条件时有 b a 0 0 ？ 1 0 1 解 a b 0 b a 0 a2b2 1 0 1
若要a2b20 则a与b须同时等于零因此当a0且b0时给定的行列式等于零
r4r3 r3r2 解 D r2r1 a b c d abc 0 a ab 0 a 2ab 3a2bc 0 a 3ab 6a3bc r4r3 a b c d r3r2 0 a ab abc 0 0 a 2ab 0 0 a 3ab a b c d r4r3 0 a ab abc a4 0 0 a 2ab 0 0 0 a
性质4行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数推论如果行列式中有两行列成比例则行列式值为0性质5把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去行列式不变a是任意的n阶矩阵对于n阶的初等阵e有deteadetedeta以及detaedetadete推论利用上述的性质和推论结合特殊类型的行列式的结果可以计算一般的行列式