模糊控制在工程中的应用

第8章模糊控制在工程中的应用8.1 倒立摆系统的T-S模型模糊控制模糊控制在工业过程控制、机器人控制、运载工具控制及家电产品等领域有着广泛的应用，本章重点介绍几个例子。

本节课介绍基于T-S模糊模型的倒立摆控制。

8.1.1 倒立摆系统概述倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定的高阶系统，许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来，是控制理论教学的理想实验设备和进行控制理论研究的典型实验平台，也是新成果、新方法的验证平台，开发平台，一直受到教学和科研人员的广泛关注。

因此，从其肇始之日至今的半个世纪的发展历程中，先后出现了形式各异的倒立摆，大致可以分为以下五大类:直线倒立摆、平面倒立摆、斜轨道和圆轨道倒立摆以及并行倒立摆。

(1)直线倒立摆直线倒立摆是由可以沿直线导轨运动的小车以及一端铰接于小车之上的匀质长杆组成的系统，如图1.1所示。

对于单级倒立摆和二级倒立摆系统的研究已经历了很长的历程，并且有很多控制成功的报道。

在此基础上，三级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。

北京师范大学李洪兴教授分别于2001年6月和2002年8月完成了四级倒立摆系统的仿真和实物实验，是目前世界上控制成功的多级倒立摆系统中级数最多的。

(2)平面倒立摆如果小车在水平面内自由运动，即为二维倒立摆系统。

图1.2是一种旋臂式二维单级倒立摆的示意图:通过两个电机Ma和Mb分别控制后臂和前臂来控制摆杆支点在水平面的自由运动，并进一步控制摆杆的平衡。

其中①一④为4个测量角度的位置传感器。

还有一种小车式二维倒立摆:使用两个电机分别控制X轴和Y轴的运动，使得摆杆支点在水平面内自由运动，并进一步控制摆杆的平衡。

(3)斜轨道和圆轨道倒立摆如果小车运动轨迹不是水平的直线，而是在倾斜的轨道上或圆形的轨道上运动，即为斜轨道或圆轨道的倒立摆系统。

其中因斜轨道型二级倒立摆系统与实际的控制问题模型相近，对其进行的研究也比较广泛。

斜轨道二级倒立摆如图1.3所示，其轨道与水平方向成a的夹角。

图1.4为圆轨道单级倒立摆的示意图。

电机带动旋臂旋转，将摆杆的支点限制于以旋臂长度为半径的圆形轨道上，并控制倒立摆的两级摆杆平衡。

(4)并行倒立摆对一些其他类型的倒立摆系统，也有人对其进行了研究。

如图1.5所示的并行倒立摆系统。

所谓并行倒立摆系统，就是在同一个小车上安装两根互相独立的单级摆杆，通过驱动小车来实现同时保持两根摆杆平衡的控制目标。

(5)旋转式倒立摆旋转式倒立摆系统是不通过小车，直接利用电机转动进行控制的倒立摆系统。

图1.6是电机带动旋臂控制摆杆角度的倒立摆。

8.1.2 T-S 模糊模型模糊模型在形式上表现为一系列“IF —THEN —”的模糊规则的组合。

按照模糊规则后件不同的结构，我们可以将模糊模型分为三种，即Mamdani 模糊模型、模糊关系模型和T-S 模糊模型。

其中T-S 模糊模型得到了众多学者的广泛关注，也是本文研究的重点。

Takagi 和Sugeno 于1985年提出了著名的T-S 模糊模型，旨在开发从给定的输入－输出数据集产生模糊规则的系统化方法。

在T-S 模糊模型中，规则后件是模型输入的函数：Ki x f y A x R i i ii ,...,2,1),(then is If :==其中，m R x ∈是输入（前件）变量；R y ∈是输出（后件）变量；i R 表示第i 条规则；K 是规则库中的规则数；i A 是第i 条规则的前件模糊集合，通过隶属函数来定义：]1,0[:)(→m A R x iμ其前件命题“i A x is ”通常表示成对于x 单独成分定义的不变模糊集合简单命题的逻辑组合，通常为下面的组合形式：i R ：If 1x is i A 1 and 2x is i A 2 and … and m x is im A ，Then ),,(21m i x x x f y =； K i ,,2,1 = (8-1)其中i j A 为模糊子集，隶属函数可以取三角形、梯形或者高斯型；),,(21m x x x f 是后件的精确函数，通常是输入变量j x 的多项式，也可以是任意函数。

当),,(21m x x x f 为一阶多项式且带有常数项，即：i T i i b x a y += (8-2)其中，i a 是参数变量，i b 是标量补偿。

我们称这种模糊模型为仿射T-S 模糊模型。

当K i b i ,,2,1,0 ==时，结论函数成为一种特殊形式，这时模型称为齐次T-S 模型（或线性T-S 模型）：Ki x a y A x T ii i,...,2,1,then is If ==这种模型与仿射T-S 模型相比，逼近非线性系统能力是有限的。

当K i a i ,,2,1,0 ==时，模型结论部分是一常数，所得到的模型称为零阶T-S 模糊模型，也称为单点T-S 模糊模型：Ki b y A x i i i,...,2,1,then is If ==这个模型也可以看成是语言模糊模型结论模糊集简化成单一值的特殊形式。

一般意义上的T-S 模糊模型就是指仿射T-S 模糊模型。

由于T-S 模糊模型的后件为线性函数的形式，因此避免了繁琐的去模糊化过程，系统的输出可以表示为:∑∑==⋅=Ki iK i i iw y w y 11(8-3))()()(2211m im i i i x A x A x A w ∧⋅⋅⋅⋅⋅∧∧= (8-4)于是系统的输出可以转换为：∑∑∑∑=======Ki m i Ki K i i i i Ki iix x x f h y h y w w y 121111),,( (8-5)μμW 11111r y q x p Z ++=W 22222r y q x p Z ++=加权平均212211W W Z W Z W Z ++=图8-1 T-S 模糊模型推理过程图8-1为一阶T-S 模糊模型的模糊推理过程。

由于每条规则都有一个精确输出，通过加权平均可以得到整体输出，从而避免Mamdani 模型所需耗时的去模糊过程。

有时，一个简单的T-S 模糊模型可以产生复杂的行为，下面是一个两输入系统的例子例2 两输入单输出T-S 模糊模型如果X 小，and Y 小，则z=-x+y+1; 如果X 小，and Y 大，则z=-y+3; 如果X 大，and Y 小，则z=-x+3; 如果X 大，and Y 大，则z=x+y+2;图8-2（a ）给出了输入X 和Y 的隶属函数，图8-2（b ）是所产生的输入－输出曲面。

曲面是复杂的，但仍然可以看出，曲面由几个平面构成，每个平面由一条模糊规则的输出方程来描述。

00.51XD e g r e e o f m e m b e r s h i p00.51YD e g r e e o f m e m b e r s h i p（a ）input1input2o u t p u t 1(b)图8-2 例2中T-S 模糊模型：(a)隶属函数；(b)输入－输出曲面 如果T-S 模糊系统的输出作为它自身的一个输入，则得到所谓的动态T-S 模糊系统。

具体地讲，一个动态T-S 模糊系统采用的模糊规则，最常用的形式为非线性自回归NARX 模型。

在系统输入输出变量的阶次己知时，可将式(1)转述为i R ：If )(k y is i A 1 and )1(-k y is i A 2and … and )1(+-m k y is i m A ，and )(k u is i B 1 and )1(-k u is i B 2 and … and )1(+-n k u is in BThen ∑∑==++-++-=+mp nq i iq i p i c q k u b p ky a k y 11)1()1()1(；(8-6)模糊系统的输出为各子系统输出的加权平均，即∑∑==+⋅=+Ki iKi i i w k y w k y 11)1()1(. (8-7)其中模糊化采用单点模糊化，清晰化采用加权平均法。

i w 是第i 条规则的适应度，运算采用求积法，即∏∏==+-⨯+-=nq iq mp i p iq k u B p ky A w 11)]1([)]1([. (8-8)8.1.3 单级倒立摆系统的数学模型我们实验中采用的是固高科技有限公司生产的L1IP 型直线单级倒立摆。

单级倒立摆的结构如图3所示。

其中M 代表金属小车，m 代表摆杆。

摆杆与小车自由连接。

小车由电机通过皮带驱动并沿着直线轨道运动。

控制目的是通过电机驱动小车，使摆杆动态平衡在倒立状态，这一过程即平衡控制；在此前提下，将小车控制到指定位置，即位置控制。

图7-3 倒立摆系统图中，r ：小车的位移，单位（m ）；θ：摆杆与垂直位置方向夹角，单位（rad ）；M ：小车的质量，单位（kg ）； m ：摆杆的质量，单位（kg ）； l：摆杆的中心到转轴的长度，单位（m ）；J ：摆杆对重心的转动惯量,单位（kg ⋅m 2）；u ：电机对小车施加的作用力，单位（N ）； F ：小车所受的等效摩擦力，单位（N ）； μ：小车所受的等效摩擦系数,单位（kg/s ）； f：摆杆所受的摩擦阻力矩系数，单位（kg ⋅m 2/s ）；规定图示中r 的方向为位移的正方向，顺时针方向为摆角的正方向。

则该单级倒立摆动力学非线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-⋅+=⋅++-=++r ml u ml r m M f mgl J ml r mlμθθθθθθθθsin cos )(sin )(cos 22 (8-9)当选取的状态变量为r x =1；θ=2x ；rx =3；θ =4x ，T r Y ],[θ=为输出向量。

(8-9)式可化为以下一阶非线性方程组，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+++-+++--=-+++++++--===2222242232222422422222222423222222434231cos ))(()(sin )(cos cos sin cos cos ))(()(sin )()(cos sin cos x l m ml J m M fx m M x mgl m M x ml x x mlu x x x l m x x l m ml J m M u ml J x mlx ml J x ml J x x g l m x mlfx xx x x xμμ(8-10)在平衡点0====θθ rr 附近对以上方程组进行线性化处理可得(11)式， ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-++-++-+=-+++++-+-===2223424222232422234231))(()()())(()()(l m ml J m M mlu mlx fx m M mglx m M x l m ml J m M u ml J x ml J mlfx gx l m xx x x xμμ(8-11) 得到倒立摆系统的线性状态方程：⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x(8-12)其中，相应矩阵如下所示：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4443423433320010000100t t t t t t A ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4300b b B ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00100001C ；0=D 。