数学建模优秀讲座之聚类分析及其应用
聚类分析法ppt课件
进行了规格化变换后的数据特点是,将每列的最大数
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xij
1.1 聚类与聚类分析
1.1.2聚类分析的原理 ▪对数变换
对数变换主要是对原始数据取对数。即
对数变换后的数据特点是，可将具有指数特征的数据结 构化为线性数据结构。
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1.1 聚类与聚类分析
1.1.2聚类分析的原理
尺度分析的知识地图,探讨了国内数字图书馆领域的研究现状 与热点。
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用共词分析法分析国内数字图书馆领域的研究热点, 需要通过四个步骤完成:第一,确定国内该研究领域主要关 键词;第二,建立关键词共词矩阵;第三,选取多元统计方法( 聚类分析,因子分析,多维尺度分析)对所建矩阵进行统计分 析;第四,对所获得的数据进行分析。
出不同的分类结果。
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2.常用系统聚类分析方法
D min d （1）最短距离法pq
xiGp ,x j Gq ij
（2）最长距离法Dpq
max
xiGp ,x j Gq
dij
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（3）中间距离法
Dir
（4）重心法
1 2
Di2p
1 2
Di2q
1 4
Dp2q
Di2r
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1.1 聚类与聚类分析
1.1.2聚类分析的原理 （3）距离以及相似系数的选择原则
一般说来，同一批数据采用不同的相似性尺度，就 会得到不同的分类结果，这主要是因为不同指标代表了不同 意上的相似性。因此在进行数值分类时，应注意相似性尺度 的选择，选择的基本原则是：
聚类分析定义及其应用
在生物信息学中，聚类分析被广泛用于基因组、蛋白质组和代谢组学的研究。 例如，可以将基因表达数据聚类为不同的模式，以发现潜在的生物过程；或者 将蛋白质相互作用网络中的节点聚类为不同的模块，以发现潜在的功能单元
聚类分析的应用
3. 市场细分
在商业中，聚类分析被用来进行市场细分。通过分析消费者的购买行为、人口 统计信息和其他特征，可以将消费者分为不同的群体，并针对每个群体制定不 同的营销策略
20XX
聚类分析定义及其应用
演讲者：xxx
-
聚类分析的定义
目录
聚类分析的应用
聚类分析定义及其应用
聚类分析是一种无监督学习方法，它在统计学、机器 学习、生物信息学等领域有着广泛的应用。聚类分析 的主要目的是将数据集中的对象分组，使得同一组 (即，一个聚类)内的对象相互之间更相似(根据所选 的相似性度量)，而不同组的对象尽可能不同
聚类分析的定义
评估和解释聚类结果
评估聚类结果的常见度量包 括轮廓系数(Silhouette Coefficient)、DaviesBouldin Index、CalinskiHarabasz Index等。此外， 为了解释聚类结果，我们通 常需要使用某种可视化工具 (如散点图、树状图、热力 图等)来展示聚类结果
聚类分析的定义
聚类算法
聚类算法是用于发现聚类的算法。这些算法可以大致分为以下几类 划分方法：这种方法首先将数据集随机划分为K个聚类，然后逐步改进聚类 以更好地匹配数据。代表性的算法有K-Means和K-Medoids
聚类分析的定义
层次方法：这种方法通过反复合 并最相似的聚类来形成一棵聚类 树。用户可以选择合并的次数， 或者通过剪切树来获得不同的聚 类数目。代表性的算法有BIRCH 和Agglomerative Hierarchical
聚类分析及其应用实例ppt课件
Outlines
聚类的思想 常用的聚类方法 实例分析：层次聚类
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3. 实例分析：层次聚类算法
定义：对给定的数据进行层次的分解
第4 步
➢
凝聚的方法（自底向上）『常用』
思想：一开始将每个对象作为单独的
第3 步
一组，然后根据同类相近，异类相异 第2步 的原则，合并对象，直到所有的组合
并成一个，或达到一个终止条件。 第1步
a, b, c, d, e c, d, e d, e
X3 Human（人） X4 Gorilla（大猩猩） X5 Chimpanzee（黑猩猩） X2 Symphalangus（合趾猿） X1 Gibbon（长臂猿）
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
离差平方和法（ ward method ）：
各元素到类中心的欧式距离之和。
Gp
Cluster P
Cluster M
Cluster Q
D2 WM Wp Wq
G q
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
凝聚的层次聚类法举例
Gp G q
Dpq max{ dij | i Gp , j Gq}
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
数学建模优秀课件聚类分析与判别分析
备注
在计算时，各种点间距离和类间距离的选 择是通过统计软件的选项实现的。不同的 选择的结果会不同，但一般不会差太多。
另外还有一些和距离相反但起同样作用的 概念，比如相似性等，两点越相似度越大， 就相当于距离越短。
相似性的度量 (样本点间距离的计算方法)
Euclidean距离 Squared Euclidean距离
1、点间距离的计算方法主要有: 欧氏距离(Euclidean distance) 平方欧氏距离(Squared Euclidean distance) Block距离(Block distance) Chebychev距离(Chebychev distance) 马氏距离(Minkovski distance) 最常用的是平方欧氏距离
样品聚类：
对观测量(Case)进行聚类（不同的目的选 用不同的指标作为分类的依据，如选拔运动员 与分课外活动小组）。
变量聚类：
找出彼此独立且有代表性的自变量，而又 不丢失大部分信息。在生产活动中不乏有变量 聚类的实例，如：衣服号码（身长、胸围、裤 长、腰围）、鞋的号码。变量聚类使批量生产 成为可能。
2 G8 1 G6 1.5 G7 3.5 G9
第三部分 聚类分析的SPSS过程
在AnalyzeClassify下：
1、快速聚类（K-Means Cluster）： 观测量 快速聚类分析过程。 2、分层聚类（Hierarchical Cluster）：分层 聚类（进行观测量聚类和变量聚类的过程。
类和类之间的距离
由一个点组成的类是最基本的类；如 果每一类都由一个点组成，那么点间的距 离就是类间距离。但是如果某一类包含不 止一个点，那么就要确定类间距离。 类间距离是基于点间距离定义的：比如两 类之间最近点之间的距离可以作为这两类 之间的距离，也可以用两类中最远点之间 的距离作为这两类之间的距离；当然也可 以用各类的中心之间的距离来作为类间距 离。
数学建模里的聚类分析
聚类分析聚类，或称分集，即所谓“物以类聚”，它是按某种相似规则对给定样本集、指标簇进行某种性质的划分，使之成为不同的类．将数据抽象化为样本矩阵()ij n m X X ⨯=，ij X 表示第i 个样本的第j 个变量的值．聚类目的，就是从数据出发，将样本或变量分成类．其方法大致有如下几个．（1） 聚类法．即谱系聚类法．将n 个样本看成n 类，将性质最接近的两类并为一新类，得1-n 类；再从1-n 类中找出最接近的两类加以合并，得2-n 类；继之，最后所有样本都成一类，得一聚类谱系，从谱系中可确定划分多少类，每类含有哪些样本．（2） 分解法．它是系统聚类的逆过程，将所有样本视为一类，按某种最优准则将它分成两类，继之，每一类都分到只含一个样本为止．（3） 动态聚类．即快速聚类法．将n 个样本粗糙地分成若干类，然后用某种最优准则进行调整，直至不能调整为止．（4） 有序样本聚类．按时间顺序，聚在一类的样本必须是次序相邻的样本．（5） 模糊聚类．它是将模糊数学用于样本聚类．（6） 运筹学聚类．它是将聚类问题化为线性规划、动态规划、整数规划模型的聚类．（7） 神经网络聚类．它是将样本按自组织特征映射的方法进行，也是我们要加以叙述的一个重点．（8） 预测中聚类．它是聚类在预测中的应用，以弥补非稳定信号回归的预测与分析．这里主要介绍谱系聚类法和快速聚类法． 一、距离定义样本矩阵()ij n m X x ⨯=，是m 维空间中n 个点，以距离度量样本之间的贴近度，就是距离聚类方法．最常用的第i 个与第j个样本的Minkowski 距离为p mk p jk ik ijx x d /11)||(∑=-=式中p 为一正整数．当2=p , ij d 就是欧几里德距离；当1=p ，ij d 就是绝对距离，或称“布洛克（cityblock ）”距离．而切比雪夫距离为||max 1jk ik mk ij x x d -=≤≤设m m C ⨯是变量的协方差矩阵，i x ,j x 为第i 行与第j 行m 个变量构成的向量，则马哈兰罗比斯距离定义为1()()T ij i j i j d x x C x x -=-- 根据距离的定义，就获得距离矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n d d d d d d d d d d 212222111211 由距离性质可知，d 为实对称矩阵，ij d 越小，两样本就越相似，其中01211====nn d d d ，根据)(j i d ij ≠的n 个点分类，依聚类准则分为不同的类．对d 常用的系统聚类准则有： 1、类间距离定义（1） 最短距离；,min p qpq ij i Gj GD d ∈∈= （2） 最长距离；,maxpqpq ij i G j GD d ∈∈=（3） 质心距离；(,)pq p q D d x x = （4） 平均距离；1p qpq iji G j G p qD d n n ∈∈=∑∑（5） 平方距离：2()()p q T pqp q p q p qn n D x x x x n n =--+2．类间距离的递推公式（1）最短距离：min{,}rk pk qk D D D = （2）最长距离：max{,}rk pk qk D D D = （3）类平均距离：p q rk pk qk rrn n D D D n n =+（4）重心距离：2222pqp q rkpkqkpq r r r rn n n n D D D D n n n n =+-⋅（5）离差平方和距离：2222p k q k krkpk qk pq r kr kr kn n n n n D D D D n n n n n n ++=+-+++二、谱系聚类法例: 假如抽取5个样本，每个样本只测一个指标，即数据为x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0] 试以最短距离准则进行距离聚类说明．解 这时，样本间的绝对距离、欧几里德距离或切比雪夫距离均一致，见表3.1．以最短距离准则聚类．根据定义，当令p Ω与q Ω中分别有pn 与q n 个样本，则最短距离为：},|min{),(q p ij nearj i d q p Ω∈Ω∈=δ于是，对于某步，假定具有样本为p n 的第p 集合与样本为q n 的第q 集合，聚成为具有样本为q p s n n n +=的第s 集合，则第k 集合与第s 集合的最短距离，可写为)},(),,(min{),(q k p k s k near near nearδδδ=(1)表1 绝对距离数据表中数据1、2、4.5、6、8视为二叉树叶子，编号为1、2、3、4、5．当每一个样本看成一类时，则式子(1)变为ij neard j i =),(δ，最小距离为1，即1与2合聚于6号，得表2．表中5.2)5.2,5.3min()}2,3(),1,3(min{)6,3(===δδδnear near near表2 一次合聚表2中最小距离为1.5，即4.5与6合聚于7，得表3．表中(6,7)min{(6,4.5),(6,6)}min(2.5,4) 2.5near nearnearδδδ===．表3 二次合聚表3中最小距离为2，即{4.5，6}元素（为7号）与8（为5号）合聚于8号，得表4．表中5.2)6,4,5.2min()}8,6(),6,6(),5.4,6(min{)8,6(===δδδδnear near near near表4 三次合聚最后集合{1，2}与{4.5，6，8}聚成一集丛．此例的Matlab 程序如下：x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0])();'sin ',();'',(z dendrogram gle y linkage z CityBlock x pdist y ==绘得最短距离聚类谱系如图1所示，由图看出分两类比较合适．1号、2号数据合聚于6号，最小聚距为1；3号、4号数据合聚于7号，最小聚距为1.5；7号于5号数据合聚于8号，最小聚距为2；最后6号和8号合聚，最小聚距为2.5。
数学建模优秀讲座之聚类分析及其应用
• 解释性-可用性 用户希望聚类结果是可解释的，可理解的，和可用的。 也就是说，聚类可能需要和特定的语义解释和应用相 联系。应用目标如何影响聚类方法的选择也是一个重 要的研究课题。 记住这些约束，我们对聚类分析的学习将按如下的步 骤进行。首先，学习不同类型的数据，以及它们对聚 类方法的影响。接着，给出了一个聚类方法的一般分 类。然后我们详细地讨论了各种聚类方法，包括划分 方法，层次方法，基于密度的方法，基于网格的方法， 以及基于模型的方法。最后我们探讨在高维空间中的 聚类和孤立点分析（outlier analysis）。
cophenet相关系数。 • cluster 函数 • 调用格式：T=cluster(Z,…) • 说明：根据linkage函数的输出Z 创建分类
利用spass进行聚类分析
两步聚类法
• 基本思想： 一种探索性的聚类方法，是随着人 工智能的发展起来的智能聚类方法中的一种。用 于解决海量数据或具有复杂类别结构的聚类分析 问题。
对象之间的距离 X：一个m×n的矩阵，它是由m个对象组成的数据 集，每个对象的大小为n。 • linkage函数 • 调用格式：Z=linkage(Y,’method’)
• 说 明：用‘method’参数指定的算法计算系统聚类 树。
• Y：pdist函数返回的距离向量
• cophenet函数 • 调用格式：c=cophenetic(Z,Y) • 说明：利用pdist函数生成的Y和linkage函数生成的Z计算
小于允许值，输出聚类结果。
Kmeans函数
• 使用方法：
Idx=Kmeans(X,K) [Idx,C]=Kmeans(X,K) [Idc,C,sumD]=Kmeans( X,K) [Idx,C,sumD,D]=Kmean s(X,K)
数学建模-聚类分析
满足输出；不满足循环；
（7）重复；
初始聚类中心的选择
初始聚类中心的选取决定着计算的迭代 次数，甚至决定着最终的解是否为全局最优， 所以选择一个好的初始聚类中心是很有必要 的。
（1）方法一：选取前k个样品作为初始凝聚点。
(2)方法二： 选择第一个样本点作为第一个聚类 中心。然后选取距离第一个点最远的点作为第二个 聚 类中心。……
数据变换：进行[0,1]规格化得到
初始类个数的选择； 初始类中心的选择；
设k=3，即将这15支球队分成三个集团。现抽取日 本、巴林和泰国的值作为三个类的种子，即初始化三 个类的中心为 A：{0.3, 0, 0.19}； B：{0.7, 0.76, 0.5}； C：{1, 1, 0.5}；
样品到类中心的距离； 归类；
计算所有球队分别对三个中心点的欧氏 距离。下面是用程序求取的结果：
第一次聚类结果： A：日本，韩国，伊朗，沙特； B：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜； C：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰 国，越南，阿曼，印尼。
重新计算类中心；
下面根据第一次聚类结果，采用k-均值法调整各个类的 中心点。
A类的新中心点为：{(0.3+0+0.24+0.3)/4=0.21,
数据变换
（5）极差正规化变换:
x*ij
=
xij
min 1t n
xij
Rj
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
（6）对数变换x*:ij = log xij
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
k
样品间的距离
（1）绝对值距离：
m
dij
xit x jt
t 1
聚类分析及其应用实例.ppt
Gp Gq
D pq ? max{ d ij | i ? G p , j ? G q }
类平均距离（ average linkage ）：
Gp和Gq中每两两样本间距离的平均值作为两个类之间的距离。
Gp Gq
?? D pq
?
1 t ptq
tp i?1
? 相似系数----常用于对变量的聚类
? Pearson相关系数：两个连续变量间呈线性相关 ? Spearman相关系数：利用两变量的秩次大小作线性相关分析 ? Kendall等级相关系数，。。。
凝聚的层次聚类示意图
C3
X4 X3
C4
X5 X2
X1
X1：Gibbon （长臂猿） X2：Symphalangus （合趾猿） X3：Human （人） X4：Gorilla （大猩猩） X5：Chimpanzee （黑猩猩）
tq
X (q) i i ?1
用Gp和Gq表示两个类，它们所包含的样本数目分别为tp和tq，类Gp和Gq之间
的距离用Dpq表示。
离差平方和法（ ward method ）：
各元素到类中心的欧式距离之和。
Gp
Cluster P
Cluster M
Cluster Q
Gq
D 2 ? WM ? W p ? Wq
凝聚的层次聚类示意图
Oh？
X4 X3
X5 X2
X1
X1：Gibbon （长臂猿） X2：Symphalangus （合趾猿） X3：Human （人） X4：Gorilla （大猩猩） X5：Chimpanzee （黑猩猩）
常用的聚类统计量
数学建模-3-第六章--聚类分析
二、相似系数
❖ 聚类分析方法不仅用来对样品进行分类, 而且可用 来对变量进行分类, 在对变量进行分类时, 常常采用 相似系数来度量变量之间的相似性。
❖ 变量之间的这种相似性度量, 在一些应用中要看相 似系数的大小, 而在另一些应用中要看相似系数绝 对值的大小。
2.相关系数
❖ 变量xi与xj的相关系数为
n
xki xi xkj x j
cij
2
n k1
k 1
xki xi
2 n k1
xkj x j
12
2
❖ 如果变量xi与xj是已标准化了的, 则它们间的夹角余
弦就是相关系数。
❖ 相似系数除常用来度量变量之间的相似性外有时也 用来度量样品之间的相似性, 同样, 距离有时也用来 度量变量之间的相似性。
❖ 名义尺度变量: 变量用一些类表示，这些类之间既 无等级关系也无数量关系，如性别、职业、产品的 型号等。
❖ 本章主要讨论具有间隔尺度变量的样品聚类分析方 法。
一、距离
❖ 设xij为第i个样品的第j个指标, 数据矩阵列于表6.2.1。
表6.2.1
数据矩阵
变量
样品
x1
x2
⋯
xp
1
x11
x12
⋯
x1p
❖ (3)计算新类GM与任一类GJ之间距离的递推公式为
DMJ
min iGM , jGJ
dij
min
min
iGK , jGJ
dij
,
min
iGL , jGJ
dij
minDKJ , DLJ
递推公式的图示理解
数学建模聚类分析马莎莎
(1)
每个样本 x i 可看成是 p 维空间的一个点。于是, 可用各点之间 样本 x i 和 x j 之间的距离 d ( xi , x j ), 一般应满足如下条件: (ⅰ) d ( xi , x j ) 0 , 且 d ( xi , x j ) 0 时当且仅当 xi x j ; ;
x11• x12•
d12
x22•
x21•
G p 与Gq 中最近的两个样本的距 即定义G p 与Gq 之间的距离为
离。
D pq D (G p , Gq ) min d ij i G p , j Gq
最短距离法进行聚类分析的步骤如下：
（1）定义样品之间距离，计算样品的两两距离，得一距离 阵记为D（0） ，开始每个样品自成一类，显然这时Dij = dij。 （2）找出距离最小元素，设为Dpq，则将Gp和Gq合并成一个 新类，记为Gr，即Gr = ｛Gp，Gq｝。 （3）按（5.12）计算新类与其它类的距离。 （4）重复（2）、（3）两步，直到所有元素。并成一类为 止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应这些 最小元素的类可以同时合并。
q dij ( xik x jk ) k 1
p
1
q
dij xik x jk
k 1
p
2 d ij ( xik x jk ) k 1 4、切比雪夫距离(Chebychev)
p
1
2
dij () max xik x jk
度量中常常包含有许多主观上的考虑，但是最重要
的是考虑指标性质或观测的尺度。 对样本进行聚类时，“靠近”往往是距离。 对指标进行聚类时，根据相关系数或某种关联性 度量来聚类。
国赛数模冲刺必看聚类分析及MATLAB应用
聚类分析人类认识世界往往首先将被认识的对象进行分类，聚类分析是研 究分类问题的多元数据分析方法，是数值分类学中的一支。
多元数据形成数据矩阵，见下表 1。
在数据矩阵中，共有 n 个样 品 x ，x ，…，x （列向），p 个指标（行向）。
聚类分析有两种类 1 2 n 型：按样品聚类或按变量（指标）聚类。
表 1 数据矩阵样品 指标x , x , ... , x , ... , x12jnx 1 x 11 x 21 ... x x 12 x 22 (x)x 1px2 p... x ... x np... x n 1... x n 2 j 1 x 2x pj 2 jp 聚类分析的基本思想是在样品之间定义距离，在变量之间定义相 似系数，距离或相似系数代表样品或变量之间的相似程度。
按相似程 度的大小，将样品（或变量）逐一归类，关系密切的类聚到一个小的 分类单位，然后逐步扩大，使得关系疏远的聚合到一个大的分类单位， 直到所有的样品（或变量）都聚集完毕，形成一个表示亲疏关系的谱 系图，依次按照某些要求对样品（或变量）进行分类。
一、分类统计量----距离与相似系数1．样品间的相似性度量----距离用样品点之间的距离来衡量各样品之间的相似性程度（或靠近程度）。
设d (x , x ) 是样品 x , x 之间的距离，一般要求它满足下列条件：i j i j 1) d (x , x ) 0 , 且 d (x , x ) 0 x x ; i j i j i j2) d (x , x ) d (x , x ) ;i j j i 3) d (x , x ) d (x , x ) d (x , x ) .i j i k k j 在聚类分析中，有些距离不满足 3），我们在广义的角度上仍称 它为距离。
1.1 欧氏距离12pd (x , x ) (x x ) 2 i j ik jkk 1 1.2 绝对距离pd (x , x )| xx |i j ikjk k 11.3 Minkowski 距离1pmd (x , x ) (x x ) m i j ik jkk 1 1.4 Chebyshev 距离d (x , x ) max | x x | i j ik jk1k p1.5 方差加权距离122p(x ik x ) jk d (x , x ) i j s 2k 1 k1 n 1 n 1 n 其中 x x , s ik2 k (x x ) . 2n ik k i 1 i 1 1.6 马氏距离1 2d (x , x ) (x i x ) T1(x i x ) Sjijj其中 S 是由样品 x , x , ... , x , ... , x 算得的协方差矩阵：1 2 j n1 n 1 n 1 nx x , S i(xx )(x x )Tn ii i 1 i 1样品聚类通常称为 Q 型聚类，其出发点是距离矩阵。
聚类分析及其应用
4.005 9.11 19.409 11.102 4.383 10.706 11.419 9.521 18.106 26.724
4.066 4.484 5.721 3.133 4.615 6.053 6.442 7.881 5.789 7.162
0.015 0.002 5.055 0.01 0.011 0.154 0.012 0.069 0.048 0.092
一、基本思路
概念：根据地理变量（或指标或样品）的属
性或特征的相似性、亲疏程度，用数学的方 法把它们逐步地分型划类，最后得到一个能 反映个体或站点之间、群体之间亲疏关系（ 相似程度）的分类系统。 基本特点：事先无需知道分类对象的分类结 构，而只需要一批地理数据；然后选好分类 统计量，并按一定的方法步骤进行计算；最 后便能自然地、客观地得出一张完整的分类 系统图。
实例：实现我国基本地貌类型的定量化及自动分类
概述：应用系统聚类思想，结合遥感影像的监督、非监督分类法 ，利用我国1：100万DEM数据，有效地实现了我国基本地貌 类型的定量化及自动分类。 基本过程 选取地形起伏度、地表切割度、高程变异系数、地表粗糙度 、平均高程、平均坡度六个地形因子 按极差标准化法对因子进行标准化处理，将标准化后的各因 子作为单波段图像 按平均高程、地形起伏度、地表切割度、粗糙度、高程变异 系数、平均坡度的顺序分别放入6个通道中，组合成多波段图 像 采用遥感中的ISODATA算法进行非监督分类 选择典型样区进行训练，采用Bayes最大似然法作监督分类， 实现对地貌的自动划分 通过分层采样法对实验结果进行精度评估 返回
2、地学中的实例分析
（2）DEM及地学分析中的应用——总结 相似性统计量
• 描述要素间相似程度较常用的指标 • 包括：距离系数，相似系数和相关系数三个量
2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类
2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类一、概述研究生数学建模竞赛一直是我国研究生数学教育中的重要组成部分，对于培养学生的数学建模能力和创新思维起到了至关重要的作用。
2023年研究生数学建模竞赛的e题涉及到k-means聚类问题，k-means聚类作为一种经典的数据聚类方法，具有广泛的应用价值和理论研究意义。
本文将对2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类进行深入分析和讨论。
二、k-means聚类的原理和算法1. k-means聚类的原理k-means聚类是一种基于样本的无监督学习方法，其原理是将n个样本分成k个簇，使得每个样本点都属于离它最近的均值所对应的簇。
具体而言，k-means聚类的目标是最小化簇内点与簇中心的距离的平方和，即最小化目标函数：\[J = \sum_{i=1}^{k}\sum_{x∈C_i}||x-μ_i||^2\]其中，μ_i是第i个簇的均值向量，C_i是第i个簇的样本集合。
2. k-means聚类的算法k-means聚类的算法主要包括以下几个步骤：1）初始化簇中心：随机选择k个样本点作为初始的簇中心。
2）分配样本点：对每个样本点，计算其与各个簇中心的距离，并将其分配到离它最近的簇中心所对应的簇。
3）更新簇中心：对每个簇，重新计算其均值向量作为新的簇中心。
4）重复步骤2和步骤3，直至簇中心不再发生变化或达到最大迭代次数。
三、k-means聚类的应用领域k-means聚类作为一种简单而有效的聚类方法，在各个领域中都有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：1. 图像分割：将图像中相似的像素点聚类到同一簇，从而实现图像的分割和分析。
2. 文本聚类：将文本数据按照其语义和主题进行聚类分析，用于信息检索和文本分类。
3. 生物信息学：基因序列、蛋白质结构等生物学数据的聚类分析。
4. 社交网络分析：对社交网络中的用户行为、关系等进行聚类研究，挖掘其中的规律和特征。
数学建模服务点设置人数均衡聚类分析
数学建模服务点设置人数均衡聚类分析数学建模之聚类分析1.聚类分析聚类分析所研究的样本或者变量之间存在不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些将样本或者变量进行分类。
系统聚类分析：将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成一个新类，依次类推。
最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）。
2.系统聚类分析的步骤1计算n个样本两两之间的距离。
2构成n个类，每类只包含一个样品3合并距离最近的两类为一个新类4计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离的最小值），若类的个数等于1，转5，否则转35画聚类图6 决定类的个数和类。
3.系统聚类分析主要介绍系统聚类分析方法。
系统聚类分析法是聚类分析中应用最为广泛的一种方法。
它的基本原理是：首先将一定数量的样品或者指标各自看成一类，然后根据样品（或者指标）的亲疏程度，将亲疏程度最高的两类进行合并。
然后考虑合并后的类与其他类之间的亲疏程度，再进行合并。
重复这一过程，直至将所有的样品（或者指标）合并为一类。
系统聚类分析用到的函数：4.聚类分析研究对于样品或者指标进行分类的一种多元统计方法，是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。
聚类分析把分类对象按照一定规则分成若干类，这些类非事先给定的，而是根据数据特征确定的。
在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋向于不相似。
职能是建立一种能按照样品或者变量的相似程度进行分类的方法。
5.聚类分析种类聚类分析有两种：一种是对样品的分类，称为Q型，另一种是对变量（指标）的分类，称为R型。
R型聚类分析的主要作用：1.不但可以了解个别变量之间的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。
2.根据变量的分类结果以及它们之间的关系，可以选择主要变量进行Q型聚类分析或回归分析。
（回归系数R^2为选择标准）Q型聚类分析的主要作用：1.可以综合利用多个变量的信息对样本进行分析。
数学建模---4聚类分析
分别表示第i个样品和第j样品的p指标观测值所组成的列向 量，即样本数据矩阵中第i个和第j个行向量的转置，Σ表示观测 变量之间的协方差矩阵。在实践应用中，若总体协方差矩阵Σ未 知，则可用样本协方差矩阵作为估计代替计算。
马氏距离又称为广义欧氏距离。显然，马氏距离与上述 各种距离的主要不同就是马氏距离考虑了观测变量之间的相 关性。如果假定各 变量 之间相互独立，即观测变量的协方差 矩阵是对角矩阵， 则马氏距离就退 化为用各个 观测指标的标 准差的倒数作为权数进行加权的欧氏距离。 因此，马氏距离 不仅考虑了观测变量之 间的相关性 ，而且也 考 虑到了各个观 测指标取值 的差异程度，为了对马氏距离和 欧氏距离进行一 下比较，以便更清楚地 看清二者的区别和联 系 ，现考虑一个 例子。
p 1 q
（4）兰氏距离(Canberra)
d ij (L ) = ∑
p
xik − x jk xik + x jk
k =1
（5）马氏距离(Mahalanobis)
′ d ij (M ) = (xi − x j ) S −1 (xi − x j )
1 2
（6）切比雪夫距离(Chebychev)
d ij = d ji 对一切的i和j成立;
d ij ≤ d ik + d kj 对于一切的 i和j成立.
2、常用距离的算法
x i = ( xi1 , xi 2 ,L , xip )′
x j = ( x j1 , x j 2 ,L, x jp )′
把n个样本点看成p维空间的n个点 （1）绝对距离（Block距离）
2 p
2 ∑ x x x x [ k∑ ( − ) ][ ( − ) ] ik i jk j =1 k =1
聚类分析的算法及应用共3篇
聚类分析的算法及应用共3篇聚类分析的算法及应用1聚类分析的算法及应用聚类分析（Cluster Analysis）是一种数据分析方法，它根据数据的相似度和差异性，将数据分为若干个组或簇。
聚类分析广泛应用于数据挖掘、文本挖掘、图像分析、生物学、社会科学等领域。
本文将介绍聚类分析的算法及应用。
聚类分析的算法1. 基于距离的聚类分析基于距离的聚类分析是一种将数据点归类到最近的中心点的方法。
该方法的具体实现有单链接聚类（Single-Linkage Clustering）、完全链接聚类（Complete-Linkage Clustering）、平均链接聚类（Average-Linkage Clustering）等。
其中，单链接聚类是将每个点最近的邻居作为一个簇，完全链接聚类是将所有点的最小距离作为簇间距离，平均链接聚类是将每个点和其他点的平均距离作为簇间距离。
2. 基于密度的聚类分析基于密度的聚类分析是一种将数据点聚集在高密度区域的方法。
该方法的主要算法有密度峰（Density Peak）、基于DBSCAN的算法（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）等。
其中，密度峰算法是通过计算每个点在距离空间中的密度，找出具有局部最大密度的点作为聚类中心，然后将其余点分配到聚类中心所在的簇中。
而基于DBSCAN的算法则是将高密度点作为聚类中心，低密度点作为噪声，并将边界点分配到不同的聚类簇中。
3. 基于层次的聚类分析基于层次的聚类分析是通过不断将相似的点合并为一个组或将簇一分为二的方法。
该方法的主要算法有自顶向下层次聚类（Top-Down Hierarchical Clustering）和自底向上层次聚类（Bottom-Up Hierarchical Clustering）。
其中，自顶向下层次聚类从所有数据点开始，将数据点分为几个组，并不断通过将组合并为更大的组的方式，直到所有的数据点都被合并。
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聚类分析简介
• 聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组为由类似 的对象组成的多个类的分析过程。它是一种重要的 人类行为。
• 聚类分析的目标就是在相似的基础上收集数据来分 类。聚类源于很多领域，包括数学，计算机科学， 统计学，生物学和经济学。在不同的应用领域，很 多聚类技术都得到了发展，这些技术方法被用作描 述数据，衡量不同数据源间的相似性，以及把数据 源分类到不同的簇中。
• 聚类分析法是理想的多变量统计技术，主要有分层 聚类法和迭代聚类法。 聚类分析也称群分析、点群 分析，是研究分类的一种多元统计方法
聚类分析算法用途
• 在商业上，聚类可以帮助市场分析人员从消费者 数据库中区分出不同的消费群体来，并且概括出 每一类消费者的消费模式或者说习惯。它作为数 据挖掘中的一个模块，可以作为一个单独的工具 以发现数据库中分布的一些深层的信息，并且概 括出每一类的特点，或者把注意力放在某一个特 定的类上以作进一步的分析；并且，聚类分析也 可以作为数据挖掘算法中其他分析算法的一个预 处理步骤。
聚类分析的常见方法
• 划分法
划分法(partitioning methods)，给定一个有N个元组或者纪录的 数据集，分裂法将构造K个分组，每一个分组就代表一个聚类， K<N。而且这K个分组满足下列条件： （1） 每一个分组至少包含一个数据纪录； （在某2）些每模一糊个聚数类据算纪法录中属可于以且放仅宽属）于；一个分组（注意：这个要求 对于给定的K，算法首先给出一个初始的分组方法，以后通过反 复迭代的方法改变分组，使得每一次改进之后的分组方案都较 前一次好，而所谓好的标准就是：同一分组中的记录越近越好， 而不同分组中的纪录越远越好。 使用这个基本思想的算法有：K-MEANS算法、K-MEDOIDS算法、 CLARANS算法；
• 任意形状 许多聚类算法基于欧几里得或者曼哈顿距离度量来决 定聚类。基于这样的距离度量的算法趋向于发现具有 相近尺度和密度的球状簇。但是，一个簇可能是任意 形状的。提出能发现任意形状簇的算法是很重要的。 • 领域最小化 许多聚类算法在聚类分析中要求用户输入一定的参数， 例如希望产生的簇的数目。聚类结果对于输入参数十 分敏感。参数通常很难确定，特别是对于包含高维对 象的数据集来说。这样不仅加重了用户的负担，也使 得聚类的质量难以控制。
• 图论聚类法
• 图论聚类方法解决的第一步是建立与问题相适应 的图，图的节点对应于被分析数据的最小单元， 图的边（或弧）对应于最小处理单元数据之间的 相似性度量。因此，每一个最小处理单元数据之 间都会有一个度量表达，这就确保了数据的局部 特性比较易于处理。图论聚类法是以样本数据的 局域连接特征作为聚类的主要信息源，因而其主 要优点是易于处理局部数据的特性。
聚类要求
• 可伸缩性 许多聚类算法在小于 200 个数据对象的小数据集合上 工作得很好；但是，一个大规模数据库可能包含几百 万个对象，在这样的大数据集合样本上进行聚类可能 会导致有偏的结果。我们需要具有高度可伸缩性的聚 类算法。 • 不同属性 许多算法被设计用来聚类数值类型的数据。但是，应 用可能要求聚类其他类型的数据，如二元类型(binary)， 分类/标称类型（categorical/nominal），序数型 （ordinal）数据，或者这些数据类型的混合。
• 处理“噪声”
绝大多数现实中的数据库都包含了孤立点，缺失， 或者错误的数据。一些聚类算法对于这样的数据 敏感，可能导致低质量的聚类结果
• 记录顺序
一些聚类算法对于输入数据的顺序是敏感的。例 如，同一个数据集合，当以不同的顺序交给同一 个算法时，可能生成差别很大的聚类结果。开发 对数据输入顺序不敏感的算法具有重要的意义。
• 密度算法 • 基于密度的方法(density-based methods)，基于
密度的方法与其它方法的一个根本区别是：它不 是基于各种各样的距离的，而是基于密度的。这 样就能克服基于距离的算法只能发现“类圆形” 的聚类的缺点。 • 这个方法的指导思想就是，只要一个区域中的点 的密度大过某个阈值，就把它加到与之相近的聚 类中去。 • 代表算法有：DBSCAN算法、OPTICS算法、 DENCLUE算法等；
• 层次法 • 层次法(hierarchical methods)，这种方法对给定
的数据集进行层次似的分解，直到某种条件满足 为例如，在“自底向上”方案中，初始时每一个数 据纪录都组成一个单独的组，在接下来的迭代中， 它把那些相互邻近的组合并成一个组，直到所有 的记录组成一个分组或者某个条件满足为止。 • 代表算法有：BIRCH算法、CURE算法、 CHAMELEON算法等；
• 高维度 一个数据库或者数据仓库可能包含若干维或者属性。许多 聚类算法擅长处理低维的数据，可能只涉及两到三维。人 类的眼睛在最多三维的情况下能够很好地判断聚类的质量。 在高维空间中聚类数据对象是非常有挑战性的，特别是考 虑到这样的数据可能分布非常稀疏，而且高度偏斜。 • 基于约束 现实世界的应用可能需要在各种约束条件下进行聚类。假 设你的工作是在一个城市中为给定数目的自动提款机选择 安放位置，为了作出决定，你可以对住宅区进行聚类，同 时考虑如城市的河流和公路网，每个地区的客户要求等情 况。要找到既满足特定的约束，又具有良好聚类特性的数 据分组是一项具有挑战性的任务。
• 解释性-可用性 用户希望聚类结果是可解释的，可理解的，和可用的。 也就是说，聚类可能需要和特定的语义解释和应用相 联系。应用目标如何影响聚类方法的选择也是一个重 要的研究课题。 记住这些约束，我们对聚类分析的学习将按如下的步 骤进行。首先，学习不同类型的数据，以及它们对聚 类方法的影响。接着，给出了一个聚类方法的一般分 类。然后我们详细地讨论了各种聚类方法，包括划分 方法，层次方法，基于密度的方法，基于网格的方法， 以及基于模型的方法。最后我们探讨在高维空间中的 聚类和孤立点分析（outlier analysis）。