平面向量全章复习

平面向量全章复习

推论及公式：

● 设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=x 2+y 2． ● 两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB = ()()221212x x y y -+-．

● a =(x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有1212

2222

1122

cos x x y y x y x y θ+==+⋅+a b a b

●

0⊥⇔=a b a b 1212x x y y ⇔+=0．

二．典型例题分析

例1. 在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?

例2. 化简：（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____． 例3. 若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，判断四边形ABCD 的形状． 例4. 若1

12()(3)032

x a b c x b --+-+=，则x =__________．

例5. 已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a +(10－y )b =2x b +(4y +4)a ,则x =_____________,y =_____________．

例6. 向量(1,1)a =，且与b a 2+的方向相同，则b a

⋅的取值范围是 ),1(+∞-． 例7. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．

例8. 已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则

m

n

等于__________. 例9. 已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是_____．

例10. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．

例11. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求

OD OC OA OD ,时=+的坐标．

例12. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直，求实数k 的值．

例13. 已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，求以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长．

例14. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 试判断△ABC 的形状．

例15. 已知|a |=3 ，|b |=4， (且a 与b 不共线)， 当且仅当k 为何值时， 向量a +k b 与a －k b 互相垂直?

例16. 已知向量a 、b 满足b b a b a a 求，

5,53=-=+=． 例17. 若向量a ，b 满足12a b ==，

且a 与b 的夹角为3

π

，则a b +=________． 例18. △ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB ______（答：－9）

例19. 已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象

限的角平分线上（答：

12

）； 例20. 已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；

例21. 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标．

例22. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 例23. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，则cos θ=_______．(

31010

)

例24. 设向量(3,1),(1,2O A O B ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求

,OD OA OC OD +=时的坐标．

例25. 已知13(3,1),(,),22

a b =-=若存在不为零的实数k 和角α，使得

()sin 3,sin c a b d ka b αα=+-=-+⋅，且c d ⊥，试求实数k 的取值范围．

例26. 已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =OM ·ON (O 是坐标原点)⑴求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；⑵若x ∈[0，2

π

]，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +

6

π

)的图象经过怎样的变换而得到． 例27. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）。 ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；⑵若|b |=

,2

5

且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ. 例28. 平面内向量)7,1(=OA ，)1,5(=OB ，)1,2(=OP )，点X 为直线OP 上动点.

①当XB XA ∙取最小值时，求OX 的向量坐标.②当点X 满足①中条件和结论时，求cos ∠AXB 的值

1.若|a -b|=41-203，|a|=4,|b|=5，则a与b 的数量积为 （ ）

A ．103

B ．－103

C ．102

D ．10 8．已知02

=+⋅AB BC AB ，则△ABC 一定是

（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形 9．若非零向量a,b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是

（ ）

A ．a +b =a -b

B ．|a +b|=|a -b|

C ．(a +b)(a -b)=0

D ．2

(a -b)=0 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是

A.(2a,b)

B.(a-b,a+b)

C.(a+b,b-a)

D.(a-b,b-a) 14．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π3

2

，则e a 在方向上的投影为 .