第1章 质点运动学(2)
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P
r r' R
x’ x
O’
u
O 令：
v v' u
2013-5-24
伽利略速度变换
质点运动学
物体对静系的速度，称为绝对速度 物体对动系的速度，称为相对速度 动系对静系的速度，称为牵连速度
v v ' u 两边再对时间求导：
即: a a '
解：设人为R，风为F，地为D，由相对运动原理得: v RD v FD v FR v RD
绝对速度 （风对地） 相对速度 （风对人）
牵连速度
（人对地）
v FR v FD v RD
v FD
v FR
人感到风是从东北方向吹来.
2013-5-24
质点运动学
dv dt
d dt
2013-5-24
切向单 位矢量
v
et
det
A
o
R
切向加速度:
dv at dt
d dt
d
2
v R
定义角加速度:
R
at Ret
2
dt
v2
et 2
v1
e t1
det dt
质点运动学
表示切向单位矢量随时间的变化
r
r0 8k
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
代入初始条件
2013-5-24
2 r 6t i 8t j 8k
质点运动学
例 ：一质点自原点开始沿抛物线 2y=x2 运动，它在Ox 轴上的分速度恒为 : vx=4.0m/s ，求质点位于 x=2 .0m 处的速度和加速度。
例: 两船A、B各以速度vA 、vB在平静的湖水中行驶. 问: 它们是否会相碰？ 解: 取A为参考系，B船相对于A船的速度为：vBA vBA vB vA 讨论: 若 vBA 的方向指向A船，则两船将会相碰； 若 vBA的方向不指向A船，则两船不会相碰.
vA vBA
2013-5-24
vB
vA
质点运动学
第1章 质点运动学 小结
内容提要
1.1 参考系 时间和空间的测量
1.2 质点运动的矢量描述
1.3 相对运动
2013-5-24
质点运动学
1. 位置矢量(位矢): r xi yj zk
2. 质点的运动方程: r x (t )i y (t ) j z (t ) k
2013-5-24
质点运动学
S
S’
地面参考系S：
x，y，z，t
船的参考系S’：
x’，y’，z’，t’
假定： 在t=t’=0时刻，两坐标系的原点OO’重合 船坐标系以恒定速度 沿着 的方向运动
从图中可见, 在任意时刻 t ： r r' R
2013-5-24
质点运动学
S y
S’ y’
2 2
由
2013-5-24
d dt
, v R
质点运动学
at an
a
质点作变速率圆周运动时,加速度的表达式：
dv v a at an et en dt R
2
o
r
或:
2 a Ret R en
变速率圆周运动中，由于速度的大小和方向都 在变化，所以加速度的方向不再指向圆心，其值和 方向为：
2013-5-24
质点运动学
问题：下图中a1、a2、a3 加速度各代表什么情形？
a4 的情形是否能存在？ a4
v
a3
a2
a1
2013-5-24
质点运动学
平面曲线运动
平面曲线运动的轨迹可以看作是由无限多无穷小线段连 接而成，每个无穷小线段都能与某个圆周“密切”。这样，一 个任意的平面曲线运动，就可以视为由一系列小段圆周运动所 组成。曲线在某点的曲率圆（密切圆，密接圆）半径ρ称为曲 线在该点的曲率半径。
2013-5-24
练习: 一物体做抛体运动,已知 v 0 , 讨论：
v0
质点运动学
B
g
n
A g
n
n
C
g
A
a
B
g
g
g sin
C g
g sin
a an
2013-5-24
0
gFra Baidu bibliotek
g cos
v0
2
2
g cos
2
v 0 cos g
2013-5-24
质点运动学
讨论: 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一 种是正确的：
（A）切向加速度必不为零；
（B）法向加速度必不为零 ；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
为恒矢量，它一定作匀 （E）若物体的加速度 a 变速率运动 .
地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测
量结果相同 .
v
B
A
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对
的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关， 时间和长度的 的绝对性是经典力学（牛顿力学）的基础 .
2013-5-24
质点运动学
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
速度的大小和方向依赖于参考系的选择
它与直角坐标系之间的变换关系为
2013-5-24
质点运动学
2. 圆周运动 (1) 圆周运动的角速度
y
B
角坐标: ( t )
角位移：△θ
t
t 0
R
o
A
角速度大小： lim
d dt
x
角速度方向：右手螺旋法则 角速度单位：弧度每秒（rad·-1） s
速率与角速度之间的关系：
v lim s t
t 0
R lim
t
矢量形式：
2013-5-24
v r
t 0
v R
质点运动学
(2) 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v vet
质点作变速率圆周运动时,加速度为：
a dv dv et v dt dt dt dv at et , dt
a
an an an
v dv dt
2
2
2
tg
an at
曲率半径
ρ
dv v 2 a et en dt
2013-5-24
质点运动学
(3) 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1.匀速率圆周运动 速率 v 和角速度ω 都为常量，故角加速度
v0
t0
dr v dt
,
r
r0
dr
t
v dt
a av
t0
a ax
2013-5-24
质点运动学
11. 圆周运动:
12. 平面曲线运动:
13. 相对运动:
v v' u
2013-5-24
质点运动学
例：已知
a 16 j
方程左边的速度的下标号的第一个字母必须要与方程 右边的下标号第一个字母相同，而方程左边的速度的下标 号的第二个字母也必须要与方程右边的下标号第二个字母 相同.
v物静 v物动 v动静
2013-5-24
质点运动学
应用举例: 例: 某人骑自行车以速率 v0 向东行驶. 现有风以同样 的速率由正北方吹来. 问：人感到风是从那个方向吹来？
质点运动学
1.2.4 自然坐标系 切向加速度和法向加速度 1. 自然坐标系 切向和法向 自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统. 在质点的运动轨迹上, 任取一点O作为坐标的原点. 从原点O到轨迹曲线上任意 一点P的弧长定义为P点的 坐标s.
切向单位矢量
P
et
en
s
Q
en
O
法向单位矢量 s=s(t) 质点运动方程为: 切向: 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正.
e t1
B
o
R
et
et 2
A
et 1
法向单位矢量 et d et d det d lim en v v en t 0 t dt dt dt dt
法向加速度:
d an v en dt
v 2 an R en en R v 2 an R R
结论：相对于惯性系来说, 加速度是绝对的.
2013-5-24
质点运动学
解题策略:
1. 列出所有的速度矢量； 2. 分别在所有的速度矢量下面标出下标号；
第一个小标号表示不同的物体； 第二个下标号表示它所在的参考系； 例如：v AB 表示物体A相对于B参考系的运动速度.
3. 写速度方程时采取下标法.
v0
2
g cos
g cos
质点运动学
例: 某发动机工作时, 主轴边缘一点作圆周运动方程为：
t 4t 3 (SI)
3
(1) 求： t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径D =40 cm，求t =1s时该点的速度和 加速度.
解: (1)
d dt
2013-5-24
et
质点运动学
平面极坐标系 设一质点在 Oxy 平面内
运动，某时刻它位于点 A .径
y
A
矢 r 与 x 轴之间的夹角
置可由 A ( r , ) 来确定 .
r
o
为 . 于是质点在点 A 的位
x
x r cos y r sin
以 (r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
a an a
2 2 t
1 . 2 9 . 8 9 . 87 ( m s )
2 2
2
总加速度的方向：
a
v
与 的夹角
arctan
an at 83 . 0
v
a
an
at
2013-5-24
质点运动学
1.3 相对运动
小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B .
3. 质点运动的轨迹方程:
x x(t ) 消去 t y y (t ) f ( x, y , z ) 0 z z (t )
4. 位移:
r rB rA
2013-5-24
质点运动学
5. 平均速度： 6. 瞬时速度: 7. 瞬时速率:
v
r2 r1 t
r t
v lim
t 0
r t
dr dt
ds v v
dt
a v v x v y v z i j k t t t t
8. 平均加速度：
9. 瞬时加速度：
2013-5-24
a lim
2
0
2
有切向加速度 a t 0 ，法向加速度 an R v / R
2 a an R en
2.匀变速率圆周运动 常量 如 t 0 时, 0 , 0 0 t
0 0t 1 t 2
2 2 02 2 ( 0 )
, t =0
v 时， 0 6i ,
r0 8k
求： v 和运动方程。 解: 由已知有
dv dt a 16 j
v
0
v
t dv 16dt j 0
代入初始条件
dr dt v
v -v 0 16t j v 6i 16t j
d dt
3t 4
2
(2)
v r
1 2
1 2
D
2
6t
-1
v r
D 0 . 2 3 t 4
t 2s:
16 rad s
2
a t r 6 t 0 .2 1 .2 t
a n r 3t 4
2 2
2
0 .2
v t
t 0
dv dt
d r
2
dt
2
质点运动学
10. 运动学中的两类问题
(1) 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及 加速度.
r r t v dr dt a dv dt d r
2
dt
2
(2) 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初 始条件求质点的运动方程. v t a a t d v a dt , dv a d t
12 rad s
2013-5-24
质点运动学
t 1s 时，
v 0 .2 (3 4 ) 1 .4 ( m s )
a t 1 .2 ( m s
2
1
2
)
2
a n 3 4 0 . 2 9 . 8 ( m s
)
此时，总加速度的大小为：
r r' R
x’ x
O’
u
O 令：
v v' u
2013-5-24
伽利略速度变换
质点运动学
物体对静系的速度，称为绝对速度 物体对动系的速度，称为相对速度 动系对静系的速度，称为牵连速度
v v ' u 两边再对时间求导：
即: a a '
解：设人为R，风为F，地为D，由相对运动原理得: v RD v FD v FR v RD
绝对速度 （风对地） 相对速度 （风对人）
牵连速度
（人对地）
v FR v FD v RD
v FD
v FR
人感到风是从东北方向吹来.
2013-5-24
质点运动学
dv dt
d dt
2013-5-24
切向单 位矢量
v
et
det
A
o
R
切向加速度:
dv at dt
d dt
d
2
v R
定义角加速度:
R
at Ret
2
dt
v2
et 2
v1
e t1
det dt
质点运动学
表示切向单位矢量随时间的变化
r
r0 8k
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
代入初始条件
2013-5-24
2 r 6t i 8t j 8k
质点运动学
例 ：一质点自原点开始沿抛物线 2y=x2 运动，它在Ox 轴上的分速度恒为 : vx=4.0m/s ，求质点位于 x=2 .0m 处的速度和加速度。
例: 两船A、B各以速度vA 、vB在平静的湖水中行驶. 问: 它们是否会相碰？ 解: 取A为参考系，B船相对于A船的速度为：vBA vBA vB vA 讨论: 若 vBA 的方向指向A船，则两船将会相碰； 若 vBA的方向不指向A船，则两船不会相碰.
vA vBA
2013-5-24
vB
vA
质点运动学
第1章 质点运动学 小结
内容提要
1.1 参考系 时间和空间的测量
1.2 质点运动的矢量描述
1.3 相对运动
2013-5-24
质点运动学
1. 位置矢量(位矢): r xi yj zk
2. 质点的运动方程: r x (t )i y (t ) j z (t ) k
2013-5-24
质点运动学
S
S’
地面参考系S：
x，y，z，t
船的参考系S’：
x’，y’，z’，t’
假定： 在t=t’=0时刻，两坐标系的原点OO’重合 船坐标系以恒定速度 沿着 的方向运动
从图中可见, 在任意时刻 t ： r r' R
2013-5-24
质点运动学
S y
S’ y’
2 2
由
2013-5-24
d dt
, v R
质点运动学
at an
a
质点作变速率圆周运动时,加速度的表达式：
dv v a at an et en dt R
2
o
r
或:
2 a Ret R en
变速率圆周运动中，由于速度的大小和方向都 在变化，所以加速度的方向不再指向圆心，其值和 方向为：
2013-5-24
质点运动学
问题：下图中a1、a2、a3 加速度各代表什么情形？
a4 的情形是否能存在？ a4
v
a3
a2
a1
2013-5-24
质点运动学
平面曲线运动
平面曲线运动的轨迹可以看作是由无限多无穷小线段连 接而成，每个无穷小线段都能与某个圆周“密切”。这样，一 个任意的平面曲线运动，就可以视为由一系列小段圆周运动所 组成。曲线在某点的曲率圆（密切圆，密接圆）半径ρ称为曲 线在该点的曲率半径。
2013-5-24
练习: 一物体做抛体运动,已知 v 0 , 讨论：
v0
质点运动学
B
g
n
A g
n
n
C
g
A
a
B
g
g
g sin
C g
g sin
a an
2013-5-24
0
gFra Baidu bibliotek
g cos
v0
2
2
g cos
2
v 0 cos g
2013-5-24
质点运动学
讨论: 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一 种是正确的：
（A）切向加速度必不为零；
（B）法向加速度必不为零 ；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
为恒矢量，它一定作匀 （E）若物体的加速度 a 变速率运动 .
地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测
量结果相同 .
v
B
A
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对
的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关， 时间和长度的 的绝对性是经典力学（牛顿力学）的基础 .
2013-5-24
质点运动学
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
速度的大小和方向依赖于参考系的选择
它与直角坐标系之间的变换关系为
2013-5-24
质点运动学
2. 圆周运动 (1) 圆周运动的角速度
y
B
角坐标: ( t )
角位移：△θ
t
t 0
R
o
A
角速度大小： lim
d dt
x
角速度方向：右手螺旋法则 角速度单位：弧度每秒（rad·-1） s
速率与角速度之间的关系：
v lim s t
t 0
R lim
t
矢量形式：
2013-5-24
v r
t 0
v R
质点运动学
(2) 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v vet
质点作变速率圆周运动时,加速度为：
a dv dv et v dt dt dt dv at et , dt
a
an an an
v dv dt
2
2
2
tg
an at
曲率半径
ρ
dv v 2 a et en dt
2013-5-24
质点运动学
(3) 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1.匀速率圆周运动 速率 v 和角速度ω 都为常量，故角加速度
v0
t0
dr v dt
,
r
r0
dr
t
v dt
a av
t0
a ax
2013-5-24
质点运动学
11. 圆周运动:
12. 平面曲线运动:
13. 相对运动:
v v' u
2013-5-24
质点运动学
例：已知
a 16 j
方程左边的速度的下标号的第一个字母必须要与方程 右边的下标号第一个字母相同，而方程左边的速度的下标 号的第二个字母也必须要与方程右边的下标号第二个字母 相同.
v物静 v物动 v动静
2013-5-24
质点运动学
应用举例: 例: 某人骑自行车以速率 v0 向东行驶. 现有风以同样 的速率由正北方吹来. 问：人感到风是从那个方向吹来？
质点运动学
1.2.4 自然坐标系 切向加速度和法向加速度 1. 自然坐标系 切向和法向 自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统. 在质点的运动轨迹上, 任取一点O作为坐标的原点. 从原点O到轨迹曲线上任意 一点P的弧长定义为P点的 坐标s.
切向单位矢量
P
et
en
s
Q
en
O
法向单位矢量 s=s(t) 质点运动方程为: 切向: 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正.
e t1
B
o
R
et
et 2
A
et 1
法向单位矢量 et d et d det d lim en v v en t 0 t dt dt dt dt
法向加速度:
d an v en dt
v 2 an R en en R v 2 an R R
结论：相对于惯性系来说, 加速度是绝对的.
2013-5-24
质点运动学
解题策略:
1. 列出所有的速度矢量； 2. 分别在所有的速度矢量下面标出下标号；
第一个小标号表示不同的物体； 第二个下标号表示它所在的参考系； 例如：v AB 表示物体A相对于B参考系的运动速度.
3. 写速度方程时采取下标法.
v0
2
g cos
g cos
质点运动学
例: 某发动机工作时, 主轴边缘一点作圆周运动方程为：
t 4t 3 (SI)
3
(1) 求： t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径D =40 cm，求t =1s时该点的速度和 加速度.
解: (1)
d dt
2013-5-24
et
质点运动学
平面极坐标系 设一质点在 Oxy 平面内
运动，某时刻它位于点 A .径
y
A
矢 r 与 x 轴之间的夹角
置可由 A ( r , ) 来确定 .
r
o
为 . 于是质点在点 A 的位
x
x r cos y r sin
以 (r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
a an a
2 2 t
1 . 2 9 . 8 9 . 87 ( m s )
2 2
2
总加速度的方向：
a
v
与 的夹角
arctan
an at 83 . 0
v
a
an
at
2013-5-24
质点运动学
1.3 相对运动
小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B .
3. 质点运动的轨迹方程:
x x(t ) 消去 t y y (t ) f ( x, y , z ) 0 z z (t )
4. 位移:
r rB rA
2013-5-24
质点运动学
5. 平均速度： 6. 瞬时速度: 7. 瞬时速率:
v
r2 r1 t
r t
v lim
t 0
r t
dr dt
ds v v
dt
a v v x v y v z i j k t t t t
8. 平均加速度：
9. 瞬时加速度：
2013-5-24
a lim
2
0
2
有切向加速度 a t 0 ，法向加速度 an R v / R
2 a an R en
2.匀变速率圆周运动 常量 如 t 0 时, 0 , 0 0 t
0 0t 1 t 2
2 2 02 2 ( 0 )
, t =0
v 时， 0 6i ,
r0 8k
求： v 和运动方程。 解: 由已知有
dv dt a 16 j
v
0
v
t dv 16dt j 0
代入初始条件
dr dt v
v -v 0 16t j v 6i 16t j
d dt
3t 4
2
(2)
v r
1 2
1 2
D
2
6t
-1
v r
D 0 . 2 3 t 4
t 2s:
16 rad s
2
a t r 6 t 0 .2 1 .2 t
a n r 3t 4
2 2
2
0 .2
v t
t 0
dv dt
d r
2
dt
2
质点运动学
10. 运动学中的两类问题
(1) 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及 加速度.
r r t v dr dt a dv dt d r
2
dt
2
(2) 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初 始条件求质点的运动方程. v t a a t d v a dt , dv a d t
12 rad s
2013-5-24
质点运动学
t 1s 时，
v 0 .2 (3 4 ) 1 .4 ( m s )
a t 1 .2 ( m s
2
1
2
)
2
a n 3 4 0 . 2 9 . 8 ( m s
)
此时，总加速度的大小为：