数学之十字交叉法

如果题目中给出两个平行的情况A, B, 满足条件a, b ; 然后A和B按照某种条件混合在一起形成的情况C, 满足条件c. 而且可以表示成如下的表达式. 那么这个时候就可以用十字交叉法.

判断式: A*a+B*b=(A+B)*c=C*c

用十字交叉法表示:

A a c-b

c A/B=(c-b)/(a-c).

B b a-c

我们常见利用十字交叉法的情形有: 溶液混合问题, 增长率问题, 收益率问题, 平均数问题等.

【例1】一杯含盐15％的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐（）克。

A.14.5

B.10

C.12.5

D.15

【解析】假设加盐x克, 15％的盐水200克, 100%的盐x克, 混合成20%的200+x. 满足: 15%*200+100%*x=20%*(200+x),所以可以用十字交叉法.

200 15% 100%-20%

20% , 200/x= (100%-20%)/(20%-15%)=80/5

x 100% 20%-15%

解出x=12.5克.

【例2】一块试验田，以前这块地所种植的是普通水稻。现在将该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前总产量的1.5倍。如果普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是（）。

A. 5∶2

B. 4∶3

C. 3∶1

D. 2∶1

【解析】假设超级水稻的产量是x, 普通水稻的产量是1; 超级水稻是1/3, 普通水稻是2/3; 产量分别是x, 1; 那么混合就是1,产量是1.5,满足1/3*x+2/3*1=(1/3+2/3)*1.5, 所以可以利用十字交叉法.

1/3 x 1.5-1

1.5 , (1/3)/ (2/3)=(1.5-1)/(x-1.5). 解出x=

2.5, 比是2.5:1=5:2. 2/3 1 x-1.5

【例3】在一次法律知识竞赛中，甲机关20人参加，平均80分，乙机关30人参加，平均70分，问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少?

A．76 B．75 C．74 D．73

【解析】假设总平均成绩是x, 满足20*80+30*70=(20+30)*x,所以可以用十字交叉法做.

20 80 x-70

x , 20/ 30=( x-70)/ 80-x). 解出x=74分.

30 70 80-x

【例4】某市现有人口70万, 如果5年后城镇人口增加4%, 农村人口增加5.4%, 则全市人口将增加4.8%, 那么这个市现有城镇人口多少万?

A.30万

B.31.2万

C.40万

D.41.6万

【解析】假设现有城镇人口x万, 农村人口70-x万,满足: 4%*x+5.4%*(70-x)=(x+70-x)*4.8%

所以可以用十字交叉法.

x 4% 5.4% -4.8%

4.8% , x/ (70-x)=(

5.4% -4.8%)/ (4.8%-4%). 解出x=30.

70-x 5.4% 4.8%-4%

练习

1.一批商品，按期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为了尽快把剩下的商品全部卖出，商店决定按定价打折扣出售，这样所获得的全部利润是原来期望利润的82%，则打了多少折出售？( )

A. 八折

B. 八五折

C. 九折

D. 九五折

2. 把浓度为20％、30％和50％的某溶液混合在一起，得到浓度为36％的溶液50升。已知浓度为30％的溶液用量是浓度为20％的溶液用量的2倍，浓度为30％的溶液的用量是多少升？( )

A.18

B.8

C.10

D.20

3.某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2／3的人得80分以上(含80分)，他们的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少? ( )

A．68 B．70 C.75 D．78

4.某工厂有A,B两个车间,A车间男占90%,B车间男占80%, A和B车间男占82%, 问A,B 车间人数之比( )

A．2:5 B．1:3 C.1:4 D．1:5

希望大家平时对十字交叉方法要加强联系, 要熟练这种方法. 而且经过做一定量的练习题之后要能够达到看到题目就能想到能否用十字交叉法来快速解决, 而不再需要借助判断式A*a+B*b=(A+B)*c来判断,这样才能达到公务员考试的要求

原理介绍

通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。

方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A，女生有B。

（A*75+B85）/（A+B）=80

整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：

男生：75 5

80

女生：85 5

男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。

AX+B（1-X）=C

X=（C-B）/（A-B）

1-X=（A-C）/A-B

因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）

上面的计算过程可以抽象为：

A C-B

C

B A-C

这就是所谓的十字相乘法。