高中数学 3.1变化的快慢与变化率 北师大版选修1-1
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率作业1北师大版选修1-1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第三章变化率与导数3.1 变化的快慢与变化率作业1 北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章变化率与导数3.1 变化的快慢与变化率作业1 北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第三章变化率与导数3.1 变化的快慢与变化率作业1 北师大版选修1-1的全部内容。
3。
1 变化的快慢与变化率[基础达标]1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加ΔS等于（）A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π（ΔR)2C．4πRΔR＋4π（ΔR)2D．4π（ΔR）2解析：选B.ΔS＝4π（R＋ΔR）2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.2.某质点的运动规律为s＝t2＋3,则在时间段（3，3＋Δt）中的平均速度等于（）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt解析：选A.v＝错误!＝错误!＝错误!＝6＋Δt.3。
已知点P(2，8）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2 B．4C．6 D．8解析：选D。
Δy＝2（2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2（Δx）2，错误!＝错误!＝8＋2Δx,当Δx无限趋近于0时,错误!无限趋近于常数8.4.已知物体的运动方程为s＝t2＋错误!(t是时间,s是位移),则物体在时刻t＝2时的速度为（）A.194B.错误!C.错误!D。
错误!解析:选D.错误!＝错误!＝4＋Δt－错误!，当Δt无限趋近于0时,错误!无限趋近于错误!，∴选D.5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为( )A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt）2＋16(t＋Δt)－（－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4（Δt)2。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.1 变化的快慢与变化率名师课件 北师大版选修1-1
理解概念不透彻致误 物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若当Δ t 趋于 0 时，s（1＋Δ Δt）t－s（1）趋于 9.8 m/s， 那么下列说法中正确的是( ) A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率 B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δ t)s 这段时间内的速率 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率 D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δ t)s 这段时间内的平均速 率
函数的平均变化率
对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数
值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为
．通
常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作 ，函数
值的变化 f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作 ．这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
课时作业（十二）
甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如图所 示，试比较两人的速度哪个快？
【思路探究】 比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程 的平均变化率的大小即可得出结果．
【规范解答】 在 t0 处，s1(t0)＝s2(t0)， 但 s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)， 故s1（t0）－Δs1（t t0－Δt）<s2（t0）－Δs2（t t0－Δt），
y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8
(1)试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快．
(2)如何刻画体温变化的快慢？ 【提示】 (1)从 20 min 到 30 min 变化快． (2)用平均变化率．
高中数学北师大版选修1-1课件：第3章 §1 变化的快慢与变化率
【知识点拨】 1.对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球
的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念 .
定义为函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值 y . x (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线 陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
为
二、瞬时变化率 对于函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中 (1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为___________ 平均变化率 ，
y f x1 f x 0 f (x 0 x) f x 0 记作：__________________________________. x x1 x 0 x
类型 一
求函数的平均变化率
【典型例题】1.在曲线 y=x2+1的图像上取一点(1，2)及附近 一点(1+Δ x,2+Δ y),则 y 为( ) x A. x 1 2 B. x 1 2 x x C.Δ x+2 D.2 x 1 x 2.求y=2x2+1在x0到x0+Δ x之间的平均变化率，并求x0=1，
2.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别：平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数
值在区间［x1,x2］上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在
x0点处变化的快慢.
y 趋于一个常数， x 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率
3.对瞬时变化率的两点说明 (1) 平均变化率随着自变量，区间的变化而变化，在某一点 处的瞬时变化率是一个固定值. (2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值，但在一 定精确度的情况下，不影响其取值的严谨性.
北师版高中数学选修1-1课后习题 第三章 §1 变化的快慢与变化率
第三章DISANZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于( )A.12B.24C.2D.-12-f(1)=33-3=24,∴ΔyΔx =243-1=12.故选A.2.已知函数y=2x,当x由2变为1.5时,函数的增量为( )A.1B.2C.13D.32Δy=21.5−22=13.3.某物体的运动规律符合s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是( )A.v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)ΔtB.v=s(Δt)ΔtC.v=s(t)tD.v=s(t+Δt)-s(Δt)Δt,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)Δt,故选A.4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )A.1B.-1C.2D.-2解析所求平均变化率等于ΔyΔx =1-33-1=-1.5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则ΔyΔx等于( )A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴ΔyΔx =4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx,故选A.6.函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.7.质点A做直线运动,已知其位移与时间的关系是s(t)=3t2,则在t0=2时的瞬时速度为.解析因为ΔsΔt =s(2+Δt)-s(2)Δt=12+3Δt,所以质点A在t0=2时的瞬时速度为12.8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为.v3>v2>v19.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为f(3)-f(1)3-1=32+3-(12+1)2=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为f(2)-f(1)2-1=22+2-(12+1)1=4.10.一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5 s到6 s间的平均速度和在5 s到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.v1=s(6)-s(5)6-5=36-25=11(m/s),v2=s(5.1)-s(5)5.1-5=5.12-520.1=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=12at2=t2,∴a=2(m/s2),5s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5s到5.1s间的平均速度更接近5s时的瞬时速度.。
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率3.1
速度,应先求平均速度.求瞬时速度的步骤:(1)求路程的改变量Δs;(2)
求平均速度ΔΔ������������
;(3)求瞬时速度:当Δt趋于0时,
������ ������
趋于v(常数).
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 质点M按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m, 时间单位:s).若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,则常数
������0
������0-
1 2
������������02
=(v0-gt0)Δt-12g(Δt)2,
∴ΔΔℎ������=v0-gt0-12gΔt.
当 Δt 趋于 0 时,ΔΔℎ������趋于 v0-gt0,
故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0-gt0.
反思瞬时速度是平均速度在Δt趋于0时的极限值.因此,要求瞬时
B.9.8 m/s是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速率
C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率 D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速率 错解:B 错因分析:对平均变化率和瞬时变化率的理解不透彻,导致出现 错误.
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时
变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
a=
.
解析:∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2, ∴ ΔΔ=������������ 4a+aΔt,在t=2时的瞬时速度为4a,即4a=8, ∴a=2.
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率导学案北师大版选修1-1
3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学北师大版选修1-1《变化的快慢与变化率》ppt导学课件
求此物体在 t=1 和 t=4 时的速度.
【解析】当 t=1 时,s=3t2+2,
Δ s=s(t+Δ t)-s(t)=3(1+Δ t)2+2-(3+2)=6Δ t+3(Δ t)2,
∴v= lim Δ s= lim 6Δ t+3(Δ t)2= lim (6+3Δ t)=6.
Δt→0 Δ t Δ t→0
∴ lim s(2+Δt)-s(2)= lim 2(Δ t)2+8Δ t= lim (2Δ t+8)=8.
Δ t→0
Δt
Δ t →0
Δt
Δ t→0
4 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,求第二年婴儿体 重的月平均变化率.
【解析】由图可知,第二年婴儿体重的平均变化率为: 14.25-11.25=0.25(千克/月),即第二年婴儿体重的月平均变化率
2
20
(4)由(3)得物体在 t=2 s 时的瞬时速度为 g×2=2g.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
【解析】(1)平均速度为
Δs Δt
=12g
(t
0
+Δ t )2 Δt
-12g
t
2 0
=gt0+12gΔ
t.
(2)瞬时速度为
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修1-1.ppt
对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，
它的平均变化率为______________．通常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变
量 ， 记 作 ________ ， 函 数 值 的变 化 f(x2)－ f(x1) 称作函 数 值 的改 变 量 ，记 作
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0－gt0.
求.运动物体瞬时速度的三个步骤： 1求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝st0＋Δt－st0； 2求平均速度 v ＝ΔΔst； 3求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v，即为瞬时速 度
________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
改变量之比，即______________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化
的快慢．
【答案】
fx2－fx1 x2－x1
Δx
Δy
ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1
函数 f(x)＝2x2－1 在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy等于(
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
高中数学北师大版选修1-1课件3.1.1平均变化率
)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2(Δx)2
解析:ΔΔ������������
=
������(1+������)-������(1) ������
=2(1+Δ������)2Δ-1������-2×12+1
=4+2Δx.
答案:C
-6-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知知识识梳梳理理
典型透析
典型透析
随堂演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为������(���������2���2)--������������1(������1).通常自变量的变化 x2-x1 称作自变 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即ΔΔ������������ = ������(���������2���2)--������������1(������1).我们用它刻画函数值在区间 [x1,x2]上变化的快慢. 求函数 f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率ΔΔ������������ = ������(���������2���2)--������������1(������1).
故在 x=3 附近的平均变化率最大.
典例型透析
随堂演练 -9-
3.2 双曲线的简单性质
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
北师大版高中数学选修1-1课件§1变化的快慢与变化率
变量，记作 f(x2) f(x1)y ，则有如下表示： x2 x1 x
y B(x2,f(x2))
(g 9.8m / s2 )
f(x2)-f(x1)
A(x1,f(x1))
=△y
O
x2-x1 =△x x
y f (x)
斜率的概
2.平均变化率的几何意义：
念
几何意义是曲线 线的斜率.
上经过Ａ，Ｂ两点的直
思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换 吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？ 提示:f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换，但它们 本身的式子可以同时交换，如也可以写为
思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计 算？ 提示:设x在x0附近的变化量为Δx，则平均变化率
生活中的现象.（难点）
探究点1
38.5 39 0.5 平均变20化率0 定义20
0.025(℃
min);
问题（1） 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体
经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为
s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表：
t(s) 0 2 5 10 13 15 … s(m) 0 6 9 20 32 44 … 物体在0～2s和10～13s这两段时间内，哪一段时间 运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？
3.05g（m
/
s）.
2.平均变化率的几何意义是曲线
上经过Ａ，
Ｂ两点的直线的斜率.
3.瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：
先求函数值的改变量
求平均变化率
求瞬时变化率
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
均减速_____t2_－__t1____.
4．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 当 Δx≠0 时，比值___f_x_x22_－－__fx_1x_1__＝ΔΔyx，为函数 f(x)从 x1 到 x2 的 平均变化率，即函数 f(x)图像上两点 A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) 连线的_斜__率__.
是从大于 t0 的一边趋近，平均速度都趋近于 t0 时的瞬时速度．
(2)|Δt|无限变小时，－v 无限接近于 v，故 v＝lim Δt→0
Δs Δt.
1.若函数 f(x)＝3x2＋1 的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋
Δx,1＋Δy)，
C．6＋3Δx
D．4＋2(Δx)2
(1)求自变量的增量 Δx＝x－x0. (2)求函数的增量 Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 2．要注意 Δx，Δy 的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零， 若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0.
函数
Δt＝2.1－2＝0.1，
∴ΔΔst＝00..21＝2.
3．如果质点A的运动方程是s(t)＝2t3，则在t＝3秒时的
瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
[答案] C
[解析] Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为：
物理学里我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t0
的“速度”，即 t0 时刻的瞬时速度，用 v 表示．物体在 t0 的瞬
时速度 v，就是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间的平均速度在
Δt→0 时的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
st0＋ΔΔtt－st0.
(1)当 Δt 趋近于 0 时，即无论从小于 t 的一边趋近于 t0，还
lim
Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(2Δt2＋18Δt＋54)＝54.
课堂典例探究
平均变化率
求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率， 并计算当 x0＝1，Δx＝21时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再 直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
成才之路 · 数 学
北师大 版· 选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
变化率与导数 第三章
§1 变化的快慢与变化率 第三章
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
1.了解函数平均变化率的概念． 2．掌握函数平均变化率的求法． 3．理解瞬时变化率的概念.
变化率问题
1.在气球膨胀这一变化过程中，当空气容量从V1增加到V2
[答案] C [解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋1－3－1＝6Δx＋
3Δx2，∴ΔΔyx＝6＋3Δx.
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.41
B．2
C．0.3
D．0.2
[答案] B
[解析] Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2，
取得越小，越能准确的体现函数的变化情况．
(2)某些时候我们可能求出某函数f(x)从x1到x2的平均变化 率为0，这并不一定说明函数f(x)没有发生变化，应取Δx更小
进行研究．
2．瞬时速度 我们知道，非匀速直线运动的物体，位移 s 与所经过的时 间 t 的规律是 s＝s(t)，设 Δt 为时间改变量，从 t0 到 t0＋Δt 这段 时间内，物体的位移是 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量 Δs 与时间改变量 Δt 的比，就是这段时间的平均速度－v ，即－v ＝ΔΔst.
－1 1＋ 1＋Δx 1＋Δx .
f(x) ＝
1 x
在
区
间
[1,1
＋
Δx]
内
的
平
均
变
化
率
为
[答案]
－1 1＋ 1＋Δx 1＋Δx
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝ 1＋1 Δx－1＝1－1＋1＋ΔxΔx
＝1＋
1－1－Δx 1＋Δx 1＋Δx
＝
－Δx
，
1＋ 1＋Δx 1＋Δx
∴ΔΔyx＝－1＋
1 1＋Δx
1＋Δx .
∴ 函 数 f(x) 在 区 间 [1,1 ＋ Δx] 内 的 平 均 变 化 率 为
时，气球的半径从r(V1)增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是
rV2－rV1 ___V__2－__V_1____.
2．在高台跳水这一变化过程中，高台跳水运动员的高度 ht2－ht1
从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为__t_2_－__t1______.
3．在刹车这一变化过程中，汽车行驶的速度 v 关于刹车时
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化 率为fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x30＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率的值为 3×12＋3×1×12＋122＝149.
[方法规律总结] 1.求函数 y＝f(x)从 x0 到 x 的平均变化率 的步骤为：
函数 f(x)在 x 从 x1 变到 x2 的平均变化率刻画的是函数值在 _区__间__[_x_1，__x_2_]上 ____变化的快慢；
函 数 f(x) 在 x ＝ x0 的 瞬 时 变 化 率 ， 刻 画 的 是 函 数 在 _x_＝__x0_这__一__点__处____变化的快慢.
1.关于Δx (1)函数的变化率可以表现出函数的变化趋势，当增量Δx
瞬时变化率
对一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变化到 x1 的过程中， 若设fx1Δ－x＝fxx10－ x0，Δy＝ffx(x0＋1)－Δxf(－x0)f，x则0 函数的平均变化率为ΔΔyx＝ ____x_1_－__x_0______＝_______Δ__x______.当 Δx 趋于 0 时，平均变 化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．