高二数学复习讲义一

高二数学复习讲义（1） ——《常用逻辑用语》

<知识点>

1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）

（1）四种命题的关系，

（2）等价关系（互为逆否命题的等价性） （a ）原命题与其逆否命题同真、同假。（b ）否命题与逆命题同真、同假。 2. 充分条件、必要条件、充要条件

（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法： （i ）定义法，

（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。同时q 是p 的必要条件。

若A=B ，则p 与q 互为充要条件。 （iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。当原命题为真时，p 是q 的充分条件。 当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。 注意：充分条件与充分非必要条件的区别：

用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。 3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）

（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

<练习题>

一、填空题

1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________． 2.⎩⎪⎨⎪⎧

x 1>3x 2>3，是⎩⎨⎧

x 1＋x 2>6，x 1x 2>9

成立的________条件． 3．命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是________． 4．下列四个命题中，是真命题的序号是________．

①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．

5．下列命题是真命题的是________(填序号)．

①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；②∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；③∃x ∈Z ，x 2＝2；④∃x ∈R ，x 2＝2.

6．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的________条件．

7．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件．

8．已知p ：－40，若 p 是 q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．

9．命题“偶数能被2整除”的否定形式是________． 10．下列命题中，假命题是________． ①∃α、β∈R ，使sin(α－β)＝sin α－sin β； ②∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；

③∀x 、y ∈R ，x ＋y

2≥xy ；

④点(3,4)不在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0上．

11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．

12．给出下列四个命题：

①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．

其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)． 13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．

14．已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2

x 2－x ＋1

<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是

“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________.

二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；

(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；

(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.

16．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)正方形都是菱形；

(2)∃x∈R，使4x－3>x；

(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；

(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．

17．命题甲：a∈R，关于x的方程|x|＝ax＋1(a>0)有两个非零实数解，命题乙：a∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－2>0的解集为空集．当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．

18．求证：关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且|b|≤4.

19．(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．20．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a<0)；命题q：实数x满足x2－x －6≤0或x2＋2x－8>0.且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．