高二数学复习讲义一

高二数学复习讲义（1） ——《常用逻辑用语》
<知识点>
1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）
（1）四种命题的关系，
（2）等价关系（互为逆否命题的等价性） （a ）原命题与其逆否命题同真、同假。

（b ）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件
（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法： （i ）定义法，
（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若A=B ，则p 与q 互为充要条件。

（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。

当原命题为真时，p 是q 的充分条件。

当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。

注意：充分条件与充分非必要条件的区别：
用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）
（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

<练习题>
一、填空题
1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________． 2.⎩⎪⎨⎪⎧
x 1>3x 2>3，是⎩⎨⎧
x 1＋x 2>6，x 1x 2>9
成立的________条件． 3．命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是________． 4．下列四个命题中，是真命题的序号是________．
①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．
5．下列命题是真命题的是________(填序号)．
①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；②∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；③∃x ∈Z ，x 2＝2；④∃x ∈R ，x 2＝2.
6．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的________条件．
7．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件．
8．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若 p 是 q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．
9．命题“偶数能被2整除”的否定形式是________． 10．下列命题中，假命题是________． ①∃α、β∈R ，使sin(α－β)＝sin α－sin β； ②∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；
③∀x 、y ∈R ，x ＋y
2≥xy ；
④点(3,4)不在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0上．
11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．
12．给出下列四个命题：
①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．
其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)． 13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．
14．已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2
x 2－x ＋1
<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是
“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________.
二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；
(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；
(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
16．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x－3>x；
(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
17．命题甲：a∈R，关于x的方程|x|＝ax＋1(a>0)有两个非零实数解，命题乙：a∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－2>0的解集为空集．当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．
18．求证：关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且|b|≤4.
19．(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．20．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a<0)；命题q：实数x满足x2－x －6≤0或x2＋2x－8>0.且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
参考答案
一．填空题
1.答案：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0
2.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>6x 1·x 2>9，可知，当⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝8x 2＝2，时，不等式组成立，但不满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1>3，x 2>3，所以必要性不成立． 答案：充分不必要
3.解析：命题的条件为“x 2
≥1”，结果为“x ≥1或x ≤－1”，否定结果作条件，否定条件
作结果，即为其逆否命题． 答案：若－1<x <1，则x 2
<1
4.解析：①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不互为相反数”是真命题；②“若a 2≤b 2
，则a ≤b ”，
取a ＝1，b ＝－5，因此a 2≤b 2，但a >b ，故②是假命题；③“若x >－3，则x 2
－x －6≤0”，
解不等式x 2
－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3不是不等式的解，故是假命题；④“相等的角是对顶角”是假命题． 答案：① 5.答案：②④
6.解析：由Venn 图易知“M ∪N ≠∅” “M ∩N ≠∅”，而“M ∩N ≠∅”⇒“M ∪N ≠∅”． 答案：必要不充分
7.解析：“p 且q ”为真⇒p 真且q 真⇒“p 或q ”为真，反之不成立． 答案：必要不充分 8.解析：p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3.又 p 是 q 的充
分条件，即 p ⇒ q ，它的等价命题是q ⇒p ，所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
a －4≤2，a ＋4≥3，
解得－1≤a ≤6.
答案：－1≤a ≤6
9.答案：存在一个偶数不能被2整除 10.答案：②③
11.解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 答案：3≤m <8
12.解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；
③∵b ≤－1，∴Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥4>0，∴“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2
＋b ＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；
④∵当α＝7π
3
时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题．
答案：①③
13.解析：由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42
－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e,4]． 答案：[e,4]
14.解析：∵x 2－x ＋1>0，∴原不等式化为x 2－ax ＋2<3x 2－3x ＋3，即2x 2
＋(a －3)x ＋1>0.
∵∀x ∈R 时，2x 2
＋(a －3)x ＋1>0恒成立，
∴Δ＝(a －3)2
－8<0. ∴3－22<a <3＋22， ∴a 1＋a 2＝6. 答案：6 二．解答题
15.解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β； 否命题：若α≠β，则sin α≠sin β； 逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.
(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等； 否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形； 逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．
(3)逆命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d . 16.解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．
(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．
(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题． 17.解：当甲为真时，设y ＝|x |和y ＝ax ＋1(a >0)，即两函数图象有两个交点，则0<a <1；
当乙为真时，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1<0Δ≤0
，则－7
9≤a ≤1，
∴当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，有⎩
⎪⎨⎪
⎧
0<a <1a >1或a <－7
9或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≥1或a ≤0－7
9
≤a ≤1，
∴a ∈[－7
9
，0]∪{1}．
18.证明：先证明条件的充分性： ∵⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≥2
b ≤4⇒a 2≥4≥b ， ∴Δ＝4(a 2
－b )≥0，∴方程有实数根．① ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2b ≥－4⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
－2a ≤－4，b ≥－4. ∴(x 1－2)＋(x 2－2)＝(x 1＋x 2)－4＝－2a －4≤－4－4＝－8<0.
而(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝b ＋4a ＋4≥－4＋8＋4＝8>0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1－2＋x 2－2<0
x 1－2x 2－2>0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 1－2<0x 2－2<0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 1<2，
x 2<2.
②
由①②，知“a ≥2，且|b |≤4”⇒“方程x 2
＋2ax ＋b ＝0有实数根，且两根均小于2”．
再验证条件的不必要性：
∵方程x 2
－x ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝1，则方程的两根均小于2，而a ＝－12
<2，
∴“方程x 2
＋2ax ＋b ＝0的两根小于2” “a ≥2且|b |≤4”．
综上，a ≥2且|b |≤4是方程x 2
＋2ax ＋b ＝0有实数根且两根均小于2的充分不必要条件． 19.解：(1)x ∈M 或x ∈P ⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)，因为x ∈M 或x ∈P x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．
(2)当m ≠0时，不等式4mx 2
－2mx －1<0恒成立⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
4m <0，Δ＝4m 2
＋16m <0，⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2
－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.
20.解：命题p ：3a <x <a ；命题q ：x <－4或x ≥－2. ∵ p ⇐ q ， ∴p ⇒q ，由数轴可知a ≤－4或3a ≥－2，
即a ≤－4或a ≥－2
3
.
又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－23，0.。