矩阵论第二章-4

§4.数字矩阵的Jordan标准形

一、数字矩阵的Jordan标准形

二、数字方阵的有理标准形

1

2

一、数字矩阵的Jordan标准形

一个n阶的正规矩阵 ，可以

经过酉变换（相似变换）化成一个对角矩阵（标准形）

,H

H

n n

A AA A A ×=()1

2

,,,.

n diag λλλ⋯ 问题: 一般地n阶数字矩阵 相似于什么

样的（最简）形式?

n n A ×

3

例1 将3

23

11()125A λλλλλλλ⎛⎞−+⎜⎟

=−⎜⎟⎜⎟+⎝⎠写成数字阵为系

数的

的多项式.

解:

10000111()1001010012000015A λλλλ−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

多项式矩阵与数字矩阵的关系：每一个m ×n 的多项式矩阵都可以化成一个数字矩阵为系数的多项式。

4

一般地，设)()()ij m n A a λλ×

=,)()ij i j

s a λ=,max deg ， 其中A 为m n

数字阵,且这种表示法唯一. 此时称

)A λ是

次多项式矩阵,记作

)deg[]A s λ=.

则 ()1

011s s s s

A A A A A

λλλλ−−=++++⋯当s =时,)A λ是数阵. 当

det A ≠时,称

)A λ是正则多项式矩阵.

当

)A λ，)B λ中有一个是正则多项式时,

)()()()()deg deg deg A B A B λλλλ=,

即

0A B ≠。

若

)A O λ=,则不定义次数.

5

1. 存在唯一的n 阶多项式矩阵)n n

P λ×,及唯一的数字矩阵n n R ，使)()()B E A P R λλλ=−+

引理 对任意的n 阶多项式矩阵)n n B λ×

和数阵n n A , 2. 存在唯一的n 阶多项式矩阵

)n n Q λ×及数字矩阵n n

S 使

)()()B Q E A S λλλ=−+

证明:设

=B m λ (m ≠0)，且

011()m m m m

B B B B B λλλλ−

−=++++⋯

其中

m B B ⋯,,为阶数阵,且

0≠B .

(若

=m ,则取

)0P λ=,

()==R B B λ即可.)

6

设

)1

2

1

21

m m m m P P P P P λλλλ−−−−=++++⋯代入

)()()B E A P R

λλλ=−+,比较系数, )()E A P λλ−+

=

)1

2

1

2

1

()

m m m m E A P P P P λλ

λ

λ−−−−−++++⋯+

1

011m

m m m

B B B B λλ

λ−−=++++⋯1

1

1

2

1

()()()

m

m m m m P P AP P AP R AP λλ

λ−−−−=+−++−+−⋯令

1

1

1

,,,,

m m P B P B AP R B AP −==+=+⋯即得要证的结论。

7

即E A λ与E B λ等价.

⇒

设A 与B 相似,则存在可逆矩阵T 使

−

=T AT B .

证明证明:

:1

1

()E B E T AT T E A T

λλλ−−−=−=−定理1 设

×

×

n n n n A B 为数字阵, 则A 与B 相似⇔~−−E A E B

λλ.

⇐ 略（用引理）

8

例2 设010,010011011A B ⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠,问A 与B

是否

相似?

解

01001

1E A λλλλ−−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠

010

11E B λλλλ−⎛⎞

⎜⎟−=−⎜⎟⎜

⎟−−⎝⎠

()()()()()

3

1

2

3

1,1,1A

A

A

D D D λλλλλ==−=−()()()()()

3

1

2

3

1,1,1B

B

B

D D D λλλλλ==−=−λ−与λ−有相同的秩及相同的行列式因子,因此λ−

与

λ−

等价,故A 与B 相似.

9

解

01−⎛⎞−=⎜⎟−⎝⎠E A λλλ,

11−⎛⎞

−=⎜⎟−

−⎝⎠E B λλλ

E A λ的不变因子为

λ−,

λ−.

B E λ的不变因子为1,

(1)λ−.

也可用初等变换直接证特征方阵等价.

因此A 与B 不相似.事实上,A 是单位阵,与单位阵相

似的方阵只有单位阵本身.

例3 设0111,A B ⎛⎞⎛⎞

==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠, 问A 与B 是否相似?