江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B

13．2 14．30° 15 16 17．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨

+-=⎩得：0

2

x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴；

（2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.

():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.

18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666

x πππ

-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6

x π

-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．

（2）102sin 613f παα⎛⎫

+

== ⎪⎝

⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤

⎢⎥⎣⎦

，故12cos 13α=； 512120

sin 22sin cos 21313169

ααα==⨯

⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I

∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点 ∴1

2

CF EI ∥

∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合

进而，直线EF 与GH 相交

方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点 ∴112

EB CD HC ∥∥

∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥

又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点 ∴11

2

FG BC ∥

∴∥EH FG ，EH FG ≠

∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交

（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥ ∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C

又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点 ∴//EF AC ∴11EF AC P

∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角

（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②

∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒ 20．（1）在CAM V 中，已知3

CAM π

∠=

，sin CMA ∠=

，2AC =，由正弦定理，得

sin sin CM AC CAM CMA

=∠∠

，解得sin

233sin AC CM CMA π

⋅=

==∠．

（2）因为12BMN ACB S S =

△△，所以111

sin 22622

BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯

BM BN ⋅=

在BMN ∆中，由余弦定理得，

()2

2222cos

2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π

⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭

，

即()2

2

21BM BN ⎛=+-⨯+

⎝

⎭

， ()

(2

2

194BM BN +=+=+，

故4BM BN +=+

21．（1）由题意知111

21222

OM AD BC =

==⨯=，

3

sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=

o ，

cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯==

o ，

1132622228

PMN S MN BN ∆+∴=

⋅=⨯⨯=

，即三角形铁皮PMN

的面积为68

+； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02

x π

<≤

。

sin sin 1MN OM x CD x =+=+， cos cos 1BN OM x OA x =+=+，

()()()111

sin 1cos 1sin cos sin cos 1222

PMN S MN BN x x x x x x ∆∴=

⋅=+⋅+=+++

令sin cos 4t x x x π⎛

⎫=+=

+ ⎪⎝⎭

，由于02x π<≤，所以3444x πππ<+≤，

则有

sin 124x π⎛

⎫≤+≤ ⎪⎝

⎭

，所以1t ≤≤， 且()

2

2

sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21

sin cos 2

t x x -=， 故()()22

211111211224

4PMN

t S t t t t ∆⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭， 而函数()2

114

y t =

+

在区间⎡⎣上单调递增，

故当t =

时，y

取最大值，即

)

2

max 1

14

y =

=

，