江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案
江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一(新疆班)下学期期中考试数学试题含解析
江苏省邗江中学2019—2020学年度第二学期新疆高一数学期中试卷总分 150分 时间 120分钟 命题人：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则AB 的值是（ ） A. 5 5 C. 9 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】计算()1,2,2AB =，再计算模长得到答案.【详解】A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则()1,2,2AB =，故2221223AB =++=.故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的模，意在考查学生的计算能力.2.设(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-,且//a b , 则实数m + n 的值为（ ） A.113B.192C. 8D. 6【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行得到λa b ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，解得72m =，6n =，得到答案.【详解】//a b ，则λab ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，故()()242321232m m n n λλλ⎧=⎪-=+⎨⎪+=-⎩， 解得12λ=，72m =，6n =，故192m n +=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知,a b 分别为平面,αβ的法向量，且()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，若αβ⊥，则x 的值为（ ） A. 2 B. -2C.103D. 103-【答案】C 【解析】 【分析】根据αβ⊥得到a b ⊥，即0a b ⋅=，计算得到答案.【详解】αβ⊥，故a b ⊥，故8230a b x ⋅=--+=，解得103x =. 故选：C.【点睛】本题考查了法向量，根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4.若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ） A. 1- B. 0C. 2-D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先求出a λb +的坐标，利用()a b a λ+⊥可得()0a b a λ+⋅=，代入坐标计算即可. 【详解】解：由已知(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-， 由()a b a λ+⊥得：()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=，2λ∴=-，故选：C.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中()()0a b a a b a λλ+⊥⇔+⋅=是解题的关键，是基础题.5.已知向量(2,a =-是直线l 的方向向量，向量(1,0,0)n =是平面α的法向量，则直线l 与平面α所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A 【解析】 【分析】 计算1cos ,2a n a n a n⋅==⋅，得到向量夹角，再计算线面夹角得到答案. 【详解】21cos ,412a n a n a n⋅===⨯⋅，故向量夹角为60︒， 则直线l 与平面α所成的角为906030︒-︒=︒. 故选：A.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ） A. (2,2,4)B. 224(,,)333C. 5510(,,)333D.448(,,)333【答案】D 【解析】 【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案.【详解】设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅--- 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题. 8.函数2()1f x x x=+-在区间(,0)-∞上（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值【答案】A 【解析】 【分析】求导得到(2'()x x f x x =，得到函数的单调区间，得到最值.【详解】2()1f x x x =+-，则(222222'()1x x x f x x x x+-=-==，故函数在(,-∞上单调递增，在)⎡⎣上单调递减，故函数有最大值为(1f =-，无最小值. 故选：A.【点睛】本题考查了求函数的最值，求导确定单调区间是解题的关键. 9.直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（ ）A .eB. 2eC. e -D. 2e -【答案】C 【解析】 【分析】求导得到()'ln 1fx x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】()ln y f x x x ==，则()'ln 1fx x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C.【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.函数()ln f x x x =的单调减区间是（ ） A .(,)e -∞- B. 1(,)e-∞C. 1(0,)eD. (0,)e【答案】C 【解析】 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，取()'0f x <解得答案.【详解】()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 10f x x =+<，解得10x e<<. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11.如果函数()y f x =的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）A. 函数()y f x =在区间（3，5）内单调递增B. 函数()y f x =在区间（-2，2）内单调递增C. 当12x =-时，函数()y f x =有极大值D. 当x =2时，函数()y f x =有极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数和函数的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知：导函数在()3,5上有正有负，故函数先减后增，A 错误； 导函数在()2,2-上恒为正，故函数单调递增，B 正确；导函数在()1,0-上恒为正，函数单调递增，故12x =-不是极值点，C 错误；导函数在()0,2上为正，函数单调递增；导函数在()2,4为负，函数单调递减，故2x =是极大值点，D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了根据导函数的图像判断函数性质，确定导函数和函数的关系是解题的关键.12.若2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B. [),e +∞C. 1(,)2+∞D. 1[,)2+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到'1()220f x mx x =+-≥，即2111122m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，计算最值得到答案.【详解】2()ln 2f x mx x x =+-，则'1()220f x mx x=+-≥，0x >恒成立， 故22111111222m x x x ⎛⎫≥-+=--+ ⎪⎝⎭，当1x =时，2111122y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的最大值为12，故12m ≥. 故选：D.【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数范围，参数分离转化为求函数最值是解题的关键. 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13.设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则2a b -＝___________________． 【答案】()5,1,6-- 【解析】 【分析】直接根据向量的坐标运算得到答案.【详解】a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则()()()21,1,24,2,45,1,6a b -=---=--. 故答案为：()5,1,6--.【点睛】本题考查了向量的运算，属于简单题.14.函数32()35f x x x =-+的极小值为_______________． 【答案】1 【解析】 【分析】求导得到()'2()3632f x x x x x =-=-，得到函数单调区间，求得极小值.【详解】32()35f x x x =-+，故()'2()3632f x x x x x =-=-，取'()0f x <得到02x <<，故函数在()0,2上单调递减；取'()0f x >得到2x >或0x <，故函数在(),0-∞和()2,+∞上单调递增.故极小值为(2)1f =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了函数的极小值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15.函数()sin 1f x x =+的图像在点(,1)π处的切线方程为_____________. 【答案】10x y π+--= 【解析】 【分析】求导得到'()cos f x x =，故'()cos 1f ππ==-，得到切线方程. 【详解】()sin 1f x x =+，则'()cos f x x =，'()cos 1f ππ==-， 故切线方程为：()1y x π=--+，即10x y π+--=. 故答案为：10x y π+--=.【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则m 的取值范围是________. 【答案】(],3-∞- 【解析】 【分析】设()24f x x x =-，函数在[]0,1上单调递减，计算()()min 13f x f ==-，即可得到答案.【详解】24x x m -≥恒成立，设()()22424f x x x x =--=-，函数在[]0,1上单调递减，故()()min 13f x f ==-，故3m ≤-. 故答案为：(],3-∞-.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题（本大题共六小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.求下列函数的导数：（1）()2cos f x x x =+ （2）2(2)()1x f x x -=+【答案】（1）()'12sin f x x =-；（2）()29'()11f x x =-+【解析】 【分析】（1）直接根据导数运算法则计算得到答案. （2）利用除法的导数的运算法则得到答案.【详解】（1）()2cos f x x x =+，则()'12sin f x x =-；（2）2(2)()1x f x x -=+，则()()()()()222222(2)12289'()1111x x x x x f x x x x -+--+-===-+++.【点睛】本题考查了导数的运算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象经过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间【答案】（1）f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2；（2）f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）.【解析】【详解】分析：（1）求出导函数'()f x ，题意说明(0)2f =，()11f -=，'(1)6f -=，由此可求得,,a b d ；（2）解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间. 详解：（1）∵f（x ）的图象经过P （0，2），∴d=2， ∴f（x ）=x 3+bx 2+a x+2，f'（x ）=3x 2+2bx+a ． ∵点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0 ∴f'（x ）|x=﹣1=3x 2+2bx+a =3﹣2b+a =6①，还可以得到，f （﹣1）=y=1，即点M （﹣1，1）满足f （x ）方程，得到﹣1+b ﹣a+2=1② 由①、②联立得b=a =﹣3 故所求的解析式是f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2． （2）f'（x ）=3x 2﹣6x ﹣3．令3x 2﹣6x ﹣3=0，即x 2﹣2x ﹣1=0.解得x 1=1- ,x 2=1+.当x<1-,或x>1+时，f'（x ）>0；当1-<x<1+时，f'（x ）<0.故f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）点睛：（1）过曲线()y f x =上一点00(,())x f x 处的切线方程是000()'()()y f x f x x x -=-；（2）不等式'()0f x >解集区间是函数()f x 的增区间，不等式'()0f x <的解集区间是()f x 的减区间.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，试用空间向量知识解决下列问题（1）求证：1D F DE ⊥ （2）求证1D F ⊥平面ADE ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，得到()10,1,2D F =-，()2,2,1DE =，故10D F DE ⋅=，得到证明.（2）计算()0,2,1AE =，计算10D F AE ⋅=，得到证明.【详解】（1）如图所示：以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则()10,0,2D ，()0,1,0F ，()0,0,0D ，()2,2,1E ，()2,0,0A ，故()10,1,2D F =-，()2,2,1DE =，故10220D F DE ⋅=+-=，故1D F DE ⊥. （2）()0,2,1AE =，故10220D F AE ⋅=+-=，故1D F AE ⊥， 又1D F DE ⊥，AEDE E =，故1D F ⊥平面ADE .【点睛】本题考查了利用空间向量证明线线垂直，线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求1AB 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1AB ⊥平面1A BD .【答案】（1）24；（2）证明见解析 【解析】【分析】 （1）以,,OB OE OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(11,2,3AB =-，()2,0,0BC =-，计算夹角得到答案.（2）计算110AB AB ⋅=，10AB BD ⋅=得到11A B AB ⊥，1BD AB ⊥得到证明.【详解】（1）取BC 中点为O ，11B C 中点为E ，连接,OA OE ，正三棱柱111ABC A B C -，故OA ⊥平面11CBB C ，故OA OB ⊥，OA OE ⊥，BC 中点为O ，11B C 中点为E ，故OE BC ⊥，故,,OA OB OE 两两垂直，以,,OB OE OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()003A ,,，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()11,2,0B ，()10,2,3A ，()1,1,0D -， 则()11,2,3AB =-，()2,0,0BC =-，故1112cos ,222AB BCAB BC AB BC ⋅===-⨯⋅，故1AB 与BC 所成角的余弦值为2. （2）()11,2,3A B =--，()()111,2,31,2,30AB AB ⋅=--⋅-=，故11A B AB ⊥， ()2,1,0BD =-，故()()11,2,32,1,00AB BD ⋅=-⋅-=，故1BD AB ⊥，1BD A B B =，故1AB ⊥平面1A BD .【点睛】本题考查了异面直线夹角，利用空间向量证明线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21.已知E,F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，（1）求1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值．（2）求二面角11C D B B --的余弦值． 【答案】（1）223；（2）6 【解析】【分析】（1）以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， ()12,1,2A F =--，易知()10,1,0n =是平面1B EB 的一个法向量，计算夹角得到答案.（2）平面11CD B 的一个法向量()21,1,1n =--，平面11D B B 的一个法向量为()32,2,0n =-，计算夹角得到答案.【详解】（1）如图所示：以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则()12,0,2A ，()0,1,0F ，()12,2,2B ，()1,2,0E ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,0,2D ， 故()12,1,2A F =--，易知()10,1,0n =是平面1B EB 的一个法向量，故11111111cos ,313A F n A F n A F n ⋅===⨯⋅，故1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为22. （2）设平面11CD B 的一个法向量为()2,,n x y z =，则2112100n D B n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z +=⎧⎨+=⎩， 取1x =，则1y =-，1z =-，故()21,1,1n =--.易知AC ⊥平面11BDD B ，故平面11D B B 的一个法向量为()32,2,0n CA ==-，则2323236cos ,326n n n n n n ⋅===⋅，故二面角11C D B B --的余弦值为6.【点睛】本题考查了线面夹角，二面角，意在考查学生计算能力和空间想象能力.22.已知函数2()ln f x a x x =+ (a 为实常数) ． （1）当4a =-时，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当(1,)x ∈+∞时，讨论方程()0f x =根的个数． 【答案】（1）当x e =时，()2max 4f x e =-；（2）当2a e >-时，方程无解，当2a e =-时，方程有唯一解，当2a e <-时，方程有两解【解析】【分析】（1）求导得到(2'()x x f x x=，得到函数单调区间，得到最值.（2）2()ln 0f xa x x =+=得到2ln x a x =-，设()2ln x g x x =-，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】（1）2()4ln f x x x =-+，则(22424'()2x x x f x x x x x+-=-+==， 当x ⎡∈⎣时，'()0f x ≤，当x e ⎤∈⎦时，'()0f x >，故函数在⎡⎣上单调递减，在e ⎤⎦上单调递增，()11f =，()()241f e e f =->， 故当x e =时，函数有最大值为24e -. （2）2()ln 0f x a x x =+=，故2ln x a x =-，设()2ln x g x x =-，(1,)x ∈+∞， 则()()()212ln 'ln x x g x x -=， 当(x ∈时，()'0g x >，函数单调递增； 当)x ∈+∞时，()'0g x <，函数单调递减，且2ge =-， 画出函数图像，如图所示：当2a e >-时，方程无解，当2a e =-时，方程有唯一解，当2a e <-时，方程有两解.【点睛】本题考查了函数最值，利用导数研究方程的解的个数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，参数分离是解题的关键.。
【精准解析】江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
邗江中学高一数学期中考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线350x +-=的倾斜角为（ ） A. 30- B. 150C. 120D. 60【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为α，则3tan 3α=-，解方程即可. 【详解】由已知，设直线的倾斜角为α，则3tan 3α=-，又[0,180)α∈， 所以150α=. 故选：B【点睛】本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.2. 在ABC 中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么ABC 最大内角为（ ） A. 30 B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】 分析】根据题意，设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，利用余弦定理求得cos C 的值，即可求解.【详解】在ABC ∆中，因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，由正弦定理，可得设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，（其中0m > ）， 因为,c a c b >>，所以角C 为三角形的最大角，又由余弦定理可得222222(3)(5)(7)1cos 22352a b c m m m C ab m m +-+-===-⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以120C =. 故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中利用余弦定理求得最大角的余弦值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3. 当a 为任意实数时，直线（a –1）x –y +2a +1=0恒过的定点是 A. （2，3） B. （–2，3）C. （1，–12） D. （–2，0）【答案】B 【解析】试题分析：直线方程可化为，故选B.考点：直线方程.【方法点晴】本题主要考查直线方程，涉及方程的恒成立问题，对于绝大多数学生思维跨越较大，属中等难题．解决本题时，先将直线方程按照的降幂排列得，该方程要恒成立需，从而解得，求得定点．本题还可以通过特值法取得方程组，再解方程组即可得定点．4. 设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A. 若//,//m m αβ，则//αβB. 若//,//m n αα，则//m nC. 若,m m αβ⊥⊥，则//αβD. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβ【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可.【详解】A .同时平行于一条直线的两个平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A 错误， B .若//,//m n αα，则,m n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B 错误，C .若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，C 成立，D .若,αγβγ⊥⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误，故选：C .【点睛】本小题主要考查空间线线、面面位置关系命题的判断，属于基础题.5. 若点(,)P a b 在圆222x y r +=外，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（ ）． A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定【答案】C 【解析】【详解】由题知222a b r +>， 圆心到直线的距离2d r =<，故选C ．6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A. 1 C. 2【答案】B 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得r =故选：B点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8. 如果圆()()2231x a y a -+-+=上存在两个不同的点P ，Q ，使得2OP OQ ==（O 为坐标原点），则a 的取值范围（ ） A. 0<<3a B. 03a ≤≤ C. 1a <-或4a > D. 1a ≤-或4a ≥ 【答案】A 【解析】 【分析】由2OP OQ ==可得P ，Q 两点在圆224x y +=上，然后条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点，然后建立不等式求解即可.【详解】因为2OP OQ ==（O 为坐标原点） 所以P ，Q 两点在圆224x y +=上所以条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点因为圆()()2231x a y a -+-+=的圆心为(),3a a -，半径为1所以()22133a a <+-<，解得0<<3a故选：A【点睛】本题考查的是圆的定义、圆与圆的位置关系，解答的关键是将条件转化为两圆的位置关系，属于基础题..9. 第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A. 20︒B. 28︒C. 38︒D. 48︒【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案.【详解】依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米， 如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.583︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<， 故选：C ．【点睛】本题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题.10. 已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A. 2 5 C. 25 D. 4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆． 由于四边形PACB 面积等于122PA AC PA ⨯⨯⨯=，而21PA PC -. 故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而()22014521d ++==+-故四边形PACB 512-=， 故选A.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．11. 在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A. 1PC 与1AA 异面 B. 1PC 与1A C 垂直 C. 1PC 与平面11AB D 相交 D. 1PC 与平面11AB D 平行【答案】D 【解析】 【分析】取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.【详解】如下图所示：对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误； 对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点， 在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误；对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案． 【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ， 由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，即1212121x x y y x x +=+-， 由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=，∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离， 即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为______.【解析】 【分析】先得到圆222430x y x y +-++=的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】圆222430x y x y +-++=的圆心为：()1,2-，所以圆心到直线1x y -=的距离为d ==【点睛】本题主要考查圆的方程以及点到直线的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_________. 【答案】1- 【解析】 【分析】根据两直线平行得出实数a 满足的等式与不等式，解出即可.【详解】由于直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则()()23262a a a a ⎧-=⎪⎨≠-⎪⎩，解得1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60︒的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75︒的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）【答案】235【解析】【分析】根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.【详解】如图，根据已知可得60,75,30,ABF CBF CBD ∠=︒∠=︒∠=︒ 设飞行高度为x 千米，即CD x =，则3BC x =;在直角三角形CFB 中，75,3CBF BC x ∠=︒=,所以3sin 75CF x =︒，3cos 75BF x =︒；在直角三角形ABF 中，同理可求3cos75AF x =︒；因为飞行速度为722千米/小时，飞行时间是1分钟，所以72262ED AC ===, 所以623sin 753cos 755AF CF x x +=︒+︒=，解得235x =，故答案为235.【点睛】本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.16. 在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是______.【答案】36π 【解析】 【分析】取AC 中点D ，连接,BD SD ，利用线面垂直的判定与性质，结合三角形中位线的性质可确定,,SA SB SC 两两互相垂直，由此可将所求的外接球转化为以,,SA SB SC 为棱的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球的半径可求得结果. 【详解】取AC 中点D ，连接,BD SD .三棱锥S ABC -为正三棱锥，SA SC ∴=，AB BC =，又D 为AC 中点，SD AC ∴⊥，BD AC ⊥，,SD BD ⊂平面SBD ，SD BD D =，AC ∴⊥平面SBD ，又SB ⊂平面SBD ，AC SB ∴⊥，又,M N 分别为,SC BC 中点，//MN SB ∴，AC MN ∴⊥，又AM MN ⊥，AMAC A =，,AM AC ⊂平面SAC ，MN ∴⊥平面SAC ，SB ∴⊥平面SAC ，又,SA SC ⊂平面SAC ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，由正三棱锥特点知：,,SA SB SC 两两互相垂直，∴三棱锥S ABC -的外接球即为以,,SA SB SC 为棱的正方体的外接球， ∴三棱锥S ABC -的外接球半径3R ==， ∴三棱锥S ABC -的外接球表面积2436S R ππ==.故答案为：36π.【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够利用线面垂直的判定与性质定理得到三条侧棱两两互相垂直，进而将问题转化为正方体外接球表面积的求解问题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知ABC 顶点的坐标为()4,3A ，()5,2B ，()1,0C ，求ABC 外接圆的方程； （2）求直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长. 【答案】（1）()()22315x y -+-=（2【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标，即可由方程组解得参数，求得圆的方程. （2）利用点到直线距离公式先求得弦心距，再根据勾股定理即可求得弦长一半，进而得弦长. 【详解】（1）设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.因为点A ，B ，C 在所求的圆上，故有43250,52290,10,D E F D E F D F +++=⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩解得6,2,5.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为226250x y x y +--+=， 化为标准方程可得()()22315x y -+-=.（2）圆()()22214x y -++=，圆心()2,1-，半径2r，直线230x y +-=，所以圆心()2,1-到直线230x y +-=的距离为d =故由勾股定理可得弦长5==，.【点睛】本题考查了由三个点的坐标求圆的一般方程的方法，直线与圆相交所得弦长的求法，属于基础题.18. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足)2224S ac b=+-，b=.（1）求角B的大小；（2）当9a c时，求S.【答案】（1）60B=︒（2）【解析】【分析】（1）根据)222S a c b=+-，b=，结合三角形的面积公式和余弦定理可求角B；（2）由9a c，结合余弦定理求出20ac，则S可求.【详解】解：（1）根据余弦定理222cos2a c bBac+-=，所以2222cosa cb ac B=+-由)2224S a c b=+-，得1sin2cos24ac B ac B=，∵0ac>，∴sin B B=，∵cos0B≠，∴sintancosBBB==又0Bπ<<，∴60B=︒.（2）由（1）及余弦定理得：2222cos6021b ac ac=+-︒=，∴2221a c ac+-=，又9a c，∴()2381321a c ac ac+-=-=，20ac，故11sin2022S ac B==⨯=【点睛】考查余弦定理、三角形面积公式的应用以及恒等变形，中档题.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积． 【答案】（1）详见解析；（23【解析】 【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ， 又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ． （2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 111133313344C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7n mile 以内海域被设为警戒水域.点E 正北55n mile 处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402 n mile 的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东(其中，090θ<<)且与点A 相距1013n mile 的位置C ．（I ）求该船的行驶速度（单位：n mile /h ）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.【答案】（I1051553=（海里/小时）.（II ）船会进入警戒水域.【解析】试题分析：(I)根据同角三角函数的基本关系式求出cos θ,然后利用余弦定理求出BC 的值，从而可求出船的行驶速度.(II)判断船是否会进入警戒水域，关键是看点E 到直线l 的距离与半径7的关系，因而可求出直线l 的方程，以及E 点坐标，然后再根据点到直线的距离公式得到结论. （I ）如图，AB=402，AC=1013，26,sin .26BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ=2265261().26-= 由余弦定理得BC=222?·cos 10 5.AB AC AB AC θ+-=1051553=（海里/小时）.（II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D. 由题设有，x 1=y 12AB=40,x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k=20210=,直线l 的方程为y=2x-40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离7.=所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=⋅222.从而sin 10ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，AQ=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE=55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.在Rt QPE ∆中，PE=QE·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC∠=⋅∠=⋅-∠=157.5⨯=<所以船会进入警戒水域. 考点：正余弦定理在解三角形当中的应用，直线方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.点评：掌握正余弦定理及能解决的三角形类型是解三角形的前提.第（II ）问关键是知道如何判断船是否会进入警戒水域,实质是直线与圆的位置关系的判断.21. 已知圆M 的方程为()2221x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B.（1）若60APB ∠=︒，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程. 【答案】（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）证明见解析；定点()0,2和42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22173042x y x y +--+=【解析】 【分析】（1）设()2,P m m ，由题可知2M P =，代入两点间的距离公式可得()()22224m m +-=，求解m 可得点P 的坐标；（2）MP 的中点,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为PA 是圆M 的切线，进而可知经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线AB 的方程，且得直线AB 过定点13,42R ⎛⎫⎪⎝⎭，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果. 【详解】（1）设()2,P m m ，因为PA 是圆M 的切线，60APB ∠=︒， 所以30APM ∠=︒，2M P =，所以()()22224m m +-=，解之得0m =，45m =， 故所求点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）MP 的中点,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：()()222220x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,220,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点()0,2和42,55⎛⎫⎪⎝⎭. （3）由()22222220,430x y mx m y m x y y ⎧+--++=⎨+-+=⎩可得AB ：()22320mx m y m +-+-=，即()22230m x y y +--+=，由220,230x y y +-=⎧⎨-=⎩可得AB 过定点13,42R ⎛⎫⎪⎝⎭.因为N 为圆M 的弦AB 的中点，所以MN AB ⊥，即MN RN ⊥， 故点N 在以MR 为直径的圆上， 点N 的轨迹方程为22173042x y x y +--+=. 【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值． 试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅．由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．。
2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x|x 2＝x}，B ＝{－1,0,1,2},则A B I = （ ） A ．{－1,2} B ．{－1,0} C ．{0,1} D ．{1,2}【答案】C【解析】由题意，集合{}2{|}0,1A x x x ===，利用集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}2{|}0,1A x x x ===，{1,0,1,2}B =-，则{0,1}A B =I ，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．函数1()2f x x =+的定义域是 （ ） A ．[3,)-+∞ B ．[3,2)--C ．[3,2)(2,)--⋃-+∞D ．(2,)-+∞【答案】C【解析】分析：根据定义域求法即可. 详解：由题可得：30{320x x x +≥⇒≥-+≠且2x ≠-，故选C.点睛：考查函数的定义域，属于基础题.3．设集合{|12},{|}.A x x B x x a =<<=<若,A B ⊆则a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥ D ．2a ≤【答案】A【解析】试题分析：由,A B ⊆可知满足12x <<的数x 都在x a <内，所以2a ≥ 【考点】集合的子集关系 4．已知111f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()f x = ( ) A ．12x + B ．1xx+ C ．12x+ D ．11x-【答案】C 【解析】设1,1t x =-10,1t x t ≠=+,可求得()f t =12t+，从而可得结果. 【详解】 设1,1t x =-10,1t x t≠=+, 因为111f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， 所以()f t =11112t t ++=+，0t ≠， 可得()12f x x=+，0x ≠，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的解析式，属于中档题 . 求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.5．已知幂函数()f x 过点(216)，，则(3)f =（ ） A ．27 B ．81 C ．12 D ．4【答案】B【解析】设幂函数a f x x =（），∵f x （）过点(2,16)，∴ 2164a a ==，，∴ 43381f ==（），故选B.6．若函数()221f x x mx =-+在[)3,4上是单调函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3m ≤B ．5m ≥C ．3m ≤或4m ≥D ．3m ≥【答案】C【解析】得出函数()y f x =的对称轴方程，对该函数的对称轴与区间[)3,4分三种位置进行讨论，分析函数()y f x =在区间[)3,4上的单调性，可得出实数m 的取值范围. 【详解】二次函数()221f x x mx =-+的图象开口向上，对称轴为直线x m =.①当3m ≤时，函数()221f x x mx =-+在区间[)3,4上单调递增，合乎题意；②当34m <<时，函数()221f x x mx =-+在区间[)3,m 上单调递减，在区间(),4m 上单调递增，此时，函数()y f x =在区间[)3,4上不单调，不合乎题意； ③当4m ≥时，函数()221f x x mx =-+在区间[)3,4上单调递减，合乎题意.综上所述，实数m 的取值范围是3m ≤或4m ≥，故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数，解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴，再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 7．若集合{}2|1A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =（ ） A ．4 B ．2C ．0D ．0或4【答案】A 【解析】2=40,0 4.0.A a a a a A A ∴∆-=∴==Q 集合中只有一个元素，或又当时集合中无元素，故选【考点】该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.8．设f x （） 是奇函数，且在(0,)+∞内是单调递增的，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅-<的解集是（ ）A ．{| 3 03}x x x <-<<或B ．{|30 3}x x x -<<>或C ．{| 3 3}x x x <->或D ．{|30 03}x x x -<<<<或【答案】C【解析】先由()f x 是奇函数，以及在(0,)+∞内单调递增，得到()f x 在(,0)-∞内也单调递增，(3)0f =，作出函数()f x 的大致图像，由()0x f x ⋅-<得到0()0x f x >⎧⎨>⎩或()0x f x <⎧⎨<⎩，结合图像，即可求出结果. 【详解】∵()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 在(,0)-∞内也单调递增. 又(3)0f -=，∴(3)(3)0f f =--=，作出()f x 的大致图像如下：又0()0()0()0()0x x f x xf x xf x f x >⎧⋅-<⇔-⇔⇔⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，由图像可得3x >或3x <-；∴()0x f x ⋅-<的解集是{| 3 3}x x x <->或. 故选C. 【点睛】本题主要考查由函数的单调性解不等式，熟记函数的基本性质即可，属于常考题型.9．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．3[,4]2C ．3[,3]2D ．3[,)2+∞【答案】C【解析】根据二次函数图象可得m 的取值范围. 【详解】 因为当32x =时254y =-，当0y =时2434,0x x x -=--=或3x =，因此m 的取值范围是3[,3]2.【点睛】本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题.10．212()log (23)f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(,1)-∞- D ．(3)+∞【答案】C【解析】利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间，结合对数的真数大于0，即可求得整个函数的单调递增区间。
【数学】扬州中学2019-2020学年高一上期中考试
19. 【本题满分 12 分】 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． （1）若－1∈B，求 a 的值； （2）若 B⊆A，求 a 的值．
（3）在（2）的条件下，是否存在正．整．数．k ，使得不等式 2g(x 1) lg(kx2 ) 在区间3,5
上有解，若存在，求出 k 的最大值，若不存在，请说明理由．
22. 【本题满分 12 分】 已知函数 f (x) x2 2 x a 4 ，（其中 a 为常数） （1）若 a＝2，写出函数 f (x) 的单调递增区间（不需写过程）； （2）判断函数 f (x) 的奇偶性，并给出理由； （3）若对任意实数 x，不等式 f (x) ≥ 1恒成立，求实数 a 的取值范围．
A．[3, )
B．[3, 2)C． Fra bibliotek2, )（） D． [3, 2) (2, )
3. 设集合 A {x |1 x 2}, B {x | x a}. 若 A B ，则实数 a 的范围是 （ ）
A． a ≥ 2
B． a ≤1
C． a ≥1
4.
若
f
1 x 1
x
1 ，则
f
(x)
＝
A． 1 x 2
是
（）
A． (0,3]
B．[3 , 4] 2
C．[3 ,3] 2
10. 若函数 y log1 (x2 2x 3) 的单调递增区间为
2
A． (, 1)
B． (,1)
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一(新疆班)下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一（新疆班）下学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则AB u u u r 的值是（）A ．5BC ．9D ．3答案:D 计算()1,2,2AB =u u u r ，再计算模长得到答案.解：A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则()1,2,2AB =u u u r，故3AB ==u u u r .故选：D.点评：本题考查了空间向量的模，意在考查学生的计算能力.2．设(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-r r ,且//a b r r ,则实数m +n 的值为（）A ．113B ．192C ．8D ．6答案:B根据平行得到λa b =r r ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，解得72m =，6n =，得到答案.解：//a b r r ，则λa b =r r ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，故()()242321232m m n n λλλ⎧=⎪-=+⎨⎪+=-⎩， 解得12λ=，72m =，6n =，故192m n +=. 故选：B.点评：本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．已知,a b r r 分别为平面,αβ的法向量，且()2,1,3a =-r ，()4,2,b x =-r ，若αβ⊥，则x 的值为（）A ．2B ．-2C ．103D ．103- 答案:C 根据αβ⊥得到a b ⊥r r ，即0a b ⋅=r r ，计算得到答案.解：αβ⊥，故a b ⊥r r ，故8230a b x ⋅=--+=r r ，解得103x =. 故选：C.点评：本题考查了法向量，根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=v v ，且()a b a λ+⊥v v v ，则实数λ的值是（）A ．1-B ．0C ．2-D ．1 答案:C先求出a λb +r r 的坐标，利用()a b a λ+⊥r r r 可得()0a b a λ+⋅=r r r，代入坐标计算即可. 解： 解：由已知(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-r r ，由()a b a λ+⊥r r r 得：()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=r r r ，2λ∴=-，故选：C.点评：本题考查数量积的坐标运算，其中()()0a b a a b a λλ+⊥⇔+⋅=r r r r r r 是解题的关键，是基础题.5．已知向量(2,a =-r 是直线l 的方向向量，向量(1,0,0)n =r 是平面α的法向量，则直线l 与平面α所成的角为（）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o答案:A 计算1cos ,2a n a n a n ⋅==⋅r r r r r r ，得到向量夹角，再计算线面夹角得到答案.21cos ,412a n a n a n ⋅===⨯⋅r r r r r r ，故向量夹角为60︒， 则直线l 与平面α所成的角为906030︒-︒=︒.故选：A.点评：本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅u u u r u u u r 取最小值时，点M 的坐标为（）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)333答案:D 设OM OC λ=u u u u r u u u r ，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，计算得到答案. 解：设OM OC λ=u u u u r u u u r ，即(),,2OM OC λλλλ==u u u u r u u u r ，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅---u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.点评：本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（）A ．1B ．3C ．4D ．5答案:C根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=. 故选：C.点评：本题考查了切线方程，属于简单题.8．函数2()1f x x x=+-在区间(,0)-∞上（） A ．有最大值，无最小值 B ．有最小值，无最大值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值 答案:A求导得到(2'()x x f x x +=，得到函数的单调区间，得到最值. 解： 2()1f x x x =+-，则(222222'()1x x x f x x x x +-=-==，故函数在(,-∞上单调递增，在)⎡⎣上单调递减，故函数有最大值为(1f =-，无最小值.故选：A.点评：本题考查了求函数的最值，求导确定单调区间是解题的关键.9．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e - 答案:C求导得到()'ln 1fx x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.解： ()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =， 当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C.点评：本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．函数()ln f x x x =的单调减区间是（）A ．(,)e -∞-B ．1(,)e -∞C ．1(0,)eD ．(0,)e答案:C求导得到()'ln 1f x x =+，取()'0f x <解得答案.解： ()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 10f x x =+<，解得10x e<<. 故选：C.点评：本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．如果函数()y f x =的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间（3，5）内单调递增B ．函数()y f x =在区间（-2，2）内单调递增C ．当12x =-时，函数()y f x =有极大值 D ．当x =2时，函数()y f x =有极小值答案:B根据导数和函数的关系依次判断每个选项得到答案.解：根据图像知：导函数在()3,5上有正有负，故函数先减后增，A 错误； 导函数在()2,2-上恒为正，故函数单调递增，B 正确；导函数在()1,0-上恒为正，函数单调递增，故12x =-不是极值点，C 错误； 导函数在()0,2上为正，函数单调递增；导函数在()2,4为负，函数单调递减，故2x =是极大值点，D 错误.故选：B.。
2019-2020学年扬州中学高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年扬州中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线l:2x−2y+1=0的倾斜角为()A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o2.化简cos222.5°−sin222.5°的值为()A. √32B. 1 C. −√22D. √223.过点P(2,4)作圆C：(x−1)2+(y−2)2=5的切线，则切线方程为()A. √3x−y=0B. 2x−y=0C. x+2y−10=0D. x−2y−8=04.如图，已知平面α∩平面β=l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l=R，M，N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是()A. 直线MPB. 直线NPC. 直线PRD. 直线MR5.若tanαtanβ=3，且sinαsinβ=35，则cos(α−β)的值为()。
A. −25B. 25C. 45D. 16.已知圆O1:(x−m)2+(y−2)2=4与圆O2:(x+2)2+(y+2m)2=9有3条公切线，则m=()A. −1B. 1或−175C. −175D. −1或1757.在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形8.若直线2ax+by−2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2−2x−4y−6=0，则2a +1b的最小值是()A. 2−√2B. √2−1C. 3+2√2D. 3−2√29.ΔABC中，∠ACB=60∘，AB=4，若满足条件的ΔABC有两个，则边AC的取值范围为()A. (0,8√33) B. (2√3,4)C. (4,8√33) D. (0,4)10. 已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)，已知点P 是直线y =k(x +2)上一动点，过点P 作圆C 的两条切线分别与圆C 相切于M ，N 两点，若四边形PMCN 的面积的最小值为√5，则k 的值为 ( )A. ±1B. ±√2C. ±√3D. ±211. 已知△ABC 中，BC =2，BA =4，∠B =π3，求△ABC 的面积( )A. 2B. 4√3C. 4D. 2√312. 已知AABC 的内角A ，B.C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinB−sinAsinC=b−ca+b 则角A 的大小是( )A. π6B. π3C. π4D. π2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设平面α与平面β交于直线l ，A ∈α，B ∈α，且直线AB ∩l =C ，则直线AB ∩β=________． 14. 在△ABC 中，已知a =8，∠B =60°，∠C =75°，则b 等于______ ． 15. 如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD =5，AB =7，∠BDA =60°，∠CBD =15°，则BC =________．16. 在四边形ABCD 中，若AC =√5，BD =2，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在△ABC 中，BC 边上的高AM 所在的直线方程为x −2y +1=0，直线AB 与直线AC 垂直，直线AB 与x 轴相交于点A ，若点B 的坐标为(1,2)求：(Ⅰ)AC 和BC 所在直线的方程(II)求△ABC的面积18.已知函数f(x)=tan(3x+π4)(Ⅰ)求f(π9)的值；(Ⅱ)若α∈(π,2π),且f(α3)=2，求cos(α−π4)的值．19.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点(Ⅰ)求证：直线BD1⊥AC；(Ⅱ)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值．20.在△ABC中AB=AC=2，BC=2√3，点D在BC边上，∠ADC=45°．(1)求∠ACD.(2)求AD的长．21.ΔABC中，∠A=45∘，AD⊥BC，且BD=3,CD=2，求三角形的面积S．22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1,√3)，N(1,−√3).(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为−2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．【答案与解析】1.答案：B解析：将直线l:2x−2y+1=0的方程化为y=x+12，然后得到斜率，接着利用倾斜角即可求解；解：直线l:2x−2y+1=0的方程可化为y=x+12，∴直线l的斜率为1，设倾斜角为α，∴tanα=1，∴倾斜角α为45o.故选B．2.答案：D解析：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．利用二倍角的余弦公式求得结果．解：，故选D．3.答案：C解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据切线的定义和关系求出对应的斜率是解决本题的关键．判断点P在圆上，根据切线和直线PC的关系求出对应的斜率，进行求解即可．解：因为点P(2,4)在圆C上，所以切线与直线PC垂直，k PC=4−22−1=2，所以k⋅k PC=−1，而k PC=4−22−1=2,∴k=−12，所以切线方程为y−4=−12(x−2)，即x+2y−10=0，故选C．4.答案：C解析：利用图象，结合空间图形的公理，即可得到考查了平面的基本性质和空间图形的公理，考查数形结合思想．属于中档题解：由题易知R∈γ，且R∈β，又B∈γ，且P∈β∴R，P都在平面γ与平面β的交线上所以β∩γ=PR故选C．5.答案：C解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得cos(α−β)的值．解：若tanα⋅tanβ=sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=3，且sinα⋅sinβ=35，∴cosα⋅cosβ=15，则cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=15+35=45，故选C．6.答案：B解析：本题考查两圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，是基础题．由题意可知两圆外切，再由圆心距等于半径和列式求解．解：由题意，圆O1与圆O2外切，所以|O1O2|=2+3=5，即√(m+2)2+(2+2m)2=5，解得m=1或m=−175．故选B．7.答案：C解析：解：在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，故由正弦定理可得sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=π2．∴sinC=sinAsinB即sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故△ABC的形状为等腰直角三角形，故选：C．由条件利用正弦定理可得sinA=1，可得A=π2.再由sinC=sinB，利用正弦定理可得c=b，可得△ABC的形状为等腰直角三角形．本题主要考查正弦定理的应用，判断三角型的形状，属于基础题．8.答案：C解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．解：由题意可得直线2ax+by−2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2−2x−4y−6=0的圆心(1,2)，故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据2a +1b=2a+2ba+a+bb=3+2ba+ab≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2，当且仅当2ba=ab，且a+b=1时取等号，故2a +1b的最小值是3+2√2，故选C．9.答案：C解析：本题考查正弦定理，正弦函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，属于中档题．设AC =b ，由已知条件及正弦定理用a 表示出sin B ，由C 可知△ABC 有两个解时B 的范围，然后根据B 的范围即可求出sin B 的范围，进而求出AC 的取值范围． 解：，AB =4，∴由正弦定理得：ABsin∠ACB =ACsinB ，即sinB =AC·sin∠ACBAB=√38AC ， 由题意得：当时，满足条件的△ABC 有两个，所以√32<√38AC <1，解得：4<AC <8√33．故选C ．10.答案：B解析：本题考查直线与圆的位置关系以及圆的切线方程，属于中档题．由四边形PMCN 的面积的最小值为√5，可得|PC|的最小值为√6，即圆心C 到直线y =k(x +2)的距离为√6，进而求出k ．解：设圆C 的方程为(x −a)2+y 2=r 2(r >0)， 代入点(0,0)和(1,1)的坐标有{a 2=r 2,(1−a)2+1=r 2,解得{a =1,r =1, 则圆C 的标准方程为(x −1)2+y 2=1， 由切线的性质有S =|PM ||MC |=√|PC|2−1． 由四边形PMCN 的面积的最小值为√5， 可得|PC|的最小值为√6， 即√k 2+1=√6，解得k =±√2． 故选B ．11.答案：D解析：本题考查三角形面积公式，属于简单题． 解：△ABC 中，BC =2，BA =4，∠B =π3，则△ABC的面积为故选D.12.答案：B解析：解：由sinB−sinAsinC =b−ca+b，利用正弦定理可得：b−ac=b−ca+b．∴b2+c2−a2=bc．∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，又∵A∈(0,π)，∴A=π3．故选：B．由sinB−sinAsinC =b−ca+b，利用正弦定理可得：b−ac=b−ca+b.再利用余弦定理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：C解析：本题考查了平面的基本性质，是基础题．解：∵平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l=C，∴C∈l，C∈β∴直线AB∩β=C．故答案为C．14.答案：4√6解析：解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得：b =asinB sinA=8×sin60°sin45°=4√6．故答案为：4√6由B 与C 的度数求出A 的度数，确定出sin A 与sin B 的值，再由a 的值，利用正弦定理即可求出b 的值．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15.答案：4√2解析：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用． 设出BD =x ，利用余弦定理建立方程，整理后求得x ，进而利用正弦定理求得BC ． 解：在△ABD 中，设BD =x ，则BA 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅AD ⋅cos∠BDA ，即72=x 2+52−2⋅5x ⋅cos60°， 整理得x 2−5x −24=0，解之得x 1=8，x 2=−3(舍去)． AD ⊥CD ，∠BDA =60°， ∴∠BDC =30°，在△BCD 中，∠CBD =15°， ∴∠BCD =135°，由正弦定理：BCsin∠CDB =BDsin∠BCD ， ∴BC =8sin135∘⋅sin30°=4√2． 故答案为4√2．16.答案：1解析：解：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵AC =√5，BD =2，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1， ∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1． 故答案为1．先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论． 本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)直线方程AM ：x −2y +1=0，令y =0，求得x =−1，∴A(−1,0)， ∴直线AB 的斜率为k AB =2−01−(−1)=1， ∴直线AC 的斜率为k AC =−1kAB=−1，∴直线AC 的方程为y =−(x +1)，即x +y +1=0； 又BC 边上的高所在的直线方程为x −2y +1=0， ∴直线BC 的斜率为k =−2；∴直线BC 的方程为y −2=−2(x −1)，即2x +y −4=0； (II)直线BC 的方程为2x +y −4=0， 令y =0，解得x =2，∴P(2,0)， ∴|AP|=2−(−1)=3，又{2x +y −4=0x +y +1=0，解得x =5，y =−6，∴C(5,−6)， ∴△ABC 的面积为S △ABC =S △ABP +S △ACP =12×3×2+12×3×6=12．解析：本题考查了直线方程与三角形面积的计算问题，是中档题．(Ⅰ)根据直线方程AM 求出点A 的坐标，再求直线AB 、AC 和BC 的斜率，从而求出直线AC 、BC 的方程；(II)利用直线AC 、BC 的方程求出点P 、C 的坐标，再求△ABP 和△ACP 的面积，从而得出△ABC 的面积．18.答案：解：(Ⅰ)f(π9)=tan(π3+π4)=tan π3+tanπ41−tan π3tanπ4=√3+11−√3=−2−√3(6分)(Ⅱ)由f(α3)=2得tanα=13，(8分)由题可知α是第三象限角．sinα=−1√10,cosα=−3√10(10分)故cos(α−π4)=−2√55(12分)．解析：(Ⅰ)直接把x=π9代入函数的表达式，即可求解f(π9)的值；(Ⅱ)通过α∈(π,2π),且f(α3)=2，求出tanα的值，利用同角三角函数的基本关系式求出sinα，cosα的值，然后求cos(α−π4)的值本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．19.答案：(I)证明：在正方体ABCD中，连结BD，∴AC⊥BD，又∵DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴直线BD1⊥AC；(Ⅱ)解：取AA1的中点为B，连接BF，则有BF//CE，则∠FBD1为异面直线BD1与CE所成角，连接FD1，如图，设正方体棱长为2，则BF2=5，FD12=5，BD12=12，∴cos∠FBD1=BF2+BD12−FD122×BF×BD1=2×√5×√12=√155，∴异面直线BD1与CE所成角的余弦值√155．解析：(I)证明AC⊥BD，且AC⊥DD1，即可证明AC⊥平面BDD1，从而证明AC⊥BD1；(Ⅱ)取AA1的中点为B，连接BF，则有BF//CE，得到∠FBD1为异面直线BD1与CE所成角，借助于余弦定理求其余弦值．本题考查了正方体中的线线关系；关键是熟练正方体的性质以及线面垂直的判定定理．20.答案：解：(1)△ABC中，AB=AC=2，BC=2√3，由余弦定理可得cos∠ACD=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =2×2×2√3=√32，∴∠ACD=30°．(2)因为点D在BC边上，∠ADC=45°，又有(1)可知∠ACD=30°，在△ACD中，由正弦定理可得ADsin∠ACD =ACsin∠ADC，即AD12=2√22，解得AD=√2．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．(1)△ABC中，由条件利用余弦定理求得cos∠ACD=AC2+BC2−AB22AC⋅BC的值，可得∠ACD的值．(2)△ACD中，由正弦定理求得AD的值．21.答案：15解析：(1)若ΔABC锐角三角形，如图示，记∠BAD=α,∠CAD=β，设AD=ℎ，∴tanα=3ℎ,tanβ=2ℎ,∴tan45∘=tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=5ℎℎ2−6=1⇒ℎ2−5ℎ−6=0⇒ℎ=6(ℎ=−1不合题意，舍去)，S=12×6×5=15.(2)若ΔABC为钝角三角形，如图示，记∠BAD=α,∠CAD=β，设AD=ℎ，∴tanα=3ℎ,tanβ=2ℎ，∴tan45∘=tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=ℎℎ2+6=1⇒ℎ2−ℎ+6=0，此方程无解，故ΔABC为钝角三角形不可能，综上可知ΔABC的面积为15．22.答案：解：(1)因为圆C过点M(1,√3)，N(1,−√3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上，即在x 轴上，故设圆心为C(a,0)， 易知a >0，又圆C 与y 轴相切，所以圆C 的半径r =a ， 所以圆C 的方程为(x −a )2+y 2=a 2.因为点M(1,√3)在圆C 上， 所以(1−a )2+(√3)2=a 2，解得a =2， 所以圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)记直线OA 的斜率为k(k ≠0)，则其方程为y =kx ，联立{(x −2)2+y 2=4,y =kx,消去y ，得(k 2+1)x 2−4x =0，解得x 1=0，x 2=4k 2+1，所以A (4k 2+1,4kk 2+1)．由k OA k OB =−2，得k OB =−2k ，直线OB 的方程为y =−2k x ，在点A 的坐标中用−2k 代换k ，得B (4k 2k 2+4,−8kk 2+4)，当直线l 的斜率不存在时，4k 2+1=4k 2k 2+4，得k 2=2，此时直线l 的方程为x =43，当直线l 的斜率存在时，4k 2+1≠4k 2k 2+4，即k 2≠2， 则直线l 的斜率为4k k 2+1−−8kk 2+44k 2+1−4k 2k 2+4=4k(k 2+4)+8k(k 2+1)4(k 2+4)−4k 2(k 2+1)=3k(k 2+2)4−k 4=3k2−k 2，故直线l 的方程为y −4kk 2+1=3k2−k 2(x −4k 2+1).即y =3k2−k 2(x −43)， 所以直线l 过定点(43,0)，综上，直线l 恒过定点，定点坐标为(43,0)．解析：本题考查圆的方程求法，直线和圆的位置关系.计算量稍大，属于这部分的难题．(1)根据圆的性质判断圆心在x 轴上，再根据圆C 与y 轴相切，找到半径r =a ，从而设出方程，代入点M(1,√3)，得圆的方程；(2)设出直线OA 的斜率为k ，写出其直线方程，联立直线和圆的方程求点A 的坐标，根据k OA k OB =−2，得k OB =−2k ，写出直线OB 的方程，同理可求点B 的坐标.讨论直线l 的斜率存在不存在，斜率存在时根据A 、B 两点的坐标表示直线l ，化简得直线l 过定点(43,0)，斜率不存在时直线l 的方程为x =43，从而得结论．。
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．直线50x +-=的倾斜角为（ ） A ．30-o B ．150oC ．120oD ．60o【答案】B【解析】设直线的倾斜角为α，则tan α=，解方程即可. 【详解】由已知，设直线的倾斜角为α，则tan 3α=-，又[0,180)α∈o o ， 所以150α=o . 故选：B 【点睛】本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.2．在ABC V 中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么ABC V 最大内角为（ ） A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】根据题意，设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，利用余弦定理求得cos C 的值，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，由正弦定理，可得设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，（其中0m > ）， 因为,c a c b >>，所以角C 为三角形的最大角，又由余弦定理可得222222(3)(5)(7)1cos 22352a b c m m m C ab m m +-+-===-⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以120C =o .故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中利用余弦定理求得最大角的余弦值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3．当a 为任意实数时，直线（a –1）x –y +2a +1=0恒过的定点是 A ．（2，3） B ．（–2，3）C ．（1，–12） D ．（–2，0）【答案】B【解析】试题分析：直线方程可化为，故选B.【考点】直线方程.【方法点晴】本题主要考查直线方程，涉及方程的恒成立问题，对于绝大多数学生思维跨越较大，属中等难题．解决本题时，先将直线方程按照的降幂排列得，该方程要恒成立需，从而解得，求得定点．本题还可以通过特值法取得方程组，再解方程组即可得定点．4．设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若//,//m m αβ，则//αβB ．若//,//m n αα，则//m nC ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβD ．若,a γβγ⊥⊥，则//αβ【答案】C【解析】根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可. 【详解】A .同时平行于一条直线的两个平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A 错误，B .若//,//m n αα，则,m n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B 错误，C .若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，C 成立，D .若,a γβγ⊥⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误，故选：C . 【点睛】本小题主要考查空间线线、面面位置关系命题的判断，属于基础题.5．若点(,)P a b 在圆222x y r +=外，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（ ）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定【答案】C 【解析】【详解】 由题知222a b r +>， 圆心到直线的距离2d r =<，故选C ．6．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1BC ．2D【答案】B【解析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得r =故选：B 【点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．如果圆()()2231x a y a -+-+=上存在两个不同的点P ，Q ，使得2OP OQ ==（O 为坐标原点），则a 的取值范围（ ） A ．0<<3aB ．03a ≤≤C ．1a <-或4a >D ．1a ≤-或4a ≥【答案】A【解析】由2OP OQ ==可得P ，Q 两点在圆224x y +=上，然后条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点，然后建立不等式求解即可.【详解】因为2OP OQ ==（O 为坐标原点） 所以P ，Q 两点在圆224x y +=上所以条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点因为圆()()2231x a y a -+-+=的圆心为(),3a a -，半径为1所以()22133a a <+-<，解得0<<3a故选：A 【点睛】本题考查的是圆的定义、圆与圆的位置关系，解答的关键是将条件转化为两圆的位置关系，属于基础题..9．第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A ．20︒B ．28︒C ．38︒D ．48︒【答案】C【解析】根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案. 【详解】依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米， 如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.58︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<， 故选：C ．【点睛】本题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题. 10．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B 5C ．25D ．4【答案】A【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
扬州中学2019-2020学年上学期高一数学期中检测卷附答案解析
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解析
扬州中学 2019-2020 学年上学期期中检测 高一数学试题
一、单选题
1．已知集合 A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2},则 A B = （ ）
A．{－1,2}
B．{－1,0}
C．{0,1}
D．{1,2}
【答案】C
【解析】由题意，集合 A {x | x2 x} 0,1 ，利用集合的交集运算，即可求解.
)
A． (0, 4]
B． [
3 2
,
4]
C．
[
3 2
,
3]
D．
[
3 2
,
)
10． f (x) log 1 (x2 2x 3) 的单调递增区间是（
）
2
A． (1, )
Bห้องสมุดไป่ตู้ (,1)
C． (, 1)
D． (3 )
11．已知函数
f
x
lg 1
x
1
1 x
2
，不等式
A． m 3
B． m 5
C． m 3 或 m≥ 4 D． m 3
7．若集合 A x R | ax2 ax 1 中只有一个元素，则 a =（ ）
A．4
B．2
C．0
D．0 或 4
8．设 （f x） 是奇函数，且在 (0, ) 内是单调递增的，又 f (3) 0 ，则 x f (x) 0 的解集是（ ）
函数 y f x 在区间3, 4 上的单调性，可得出实数 m 的取值范围.
【详解】
二次函数 f x x2 2mx 1 的图象开口向上，对称轴为直线 x m .
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．直线50x +-=的倾斜角为（）A ．30-oB ．150oC ．120oD ．60o 答案：B解：设直线的倾斜角为α，则tan 3α=-，解方程即可. 解：由已知，设直线的倾斜角为α，则tan α=，又[0,180)α∈o o ， 所以150α=o .故选：B点评：本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.2．在ABC V 中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么ABC V 最大内角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 答案：C解：根据题意，设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，利用余弦定理求得cos C 的值，即可求解.解：在ABC ∆中，因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，由正弦定理，可得设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，（其中0m >）， 因为,c a c b >>，所以角C 为三角形的最大角， 又由余弦定理可得222222(3)(5)(7)1cos 22352a b c m m m C ab m m +-+-===-⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以120C =o .故选：C.点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中利用余弦定理求得最大角的余弦值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3．当a 为任意实数时，直线（a –1）x –y +2a +1=0恒过的定点是A ．（2，3）B ．（–2，3）C ．（1，–12）D ．（–2，0）答案：B 解：试题分析：直线方程可化为，故选B.【考点】直线方程.【方法点晴】本题主要考查直线方程，涉及方程的恒成立问题，对于绝大多数学生思维跨越较大，属中等难题．解决本题时，先将直线方程按照的降幂排列得，该方程要恒成立需，从而解得，求得定点．本题还可以通过特值法取得方程组，再解方程组即可得定点．4．设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A ．若//,//m m αβ，则//αβB ．若//,//m n αα，则//m nC ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβD ．若,a γβγ⊥⊥，则//αβ答案：C解：根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可. 解：A .同时平行于一条直线的两个平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A 错误，B .若//,//m n αα，则,m n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B 错误，C .若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，C 成立，D .若,a γβγ⊥⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误， 故选：C .点评：本小题主要考查空间线线、面面位置关系命题的判断，属于基础题.5．若点(,)P a b 在圆222x y r +=外，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（）．A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 答案：C解：解：由题知222a b r +>， 圆心到直线的距离2d r =< ，故选C ．6．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A ．1B C ．2 D 答案：B解：设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 解：设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πr r =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得r =故选：B点评：本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：C解：直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．解：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ． 则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===， 由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．点评：本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．如果圆()()2231x a y a -+-+=上存在两个不同的点P ，Q ，使得2OP OQ ==（O 为坐标原点），则a 的取值范围（）A ．0<<3aB ．03a ≤≤C ．1a <-或4a >D ．1a ≤-或4a ≥答案：A 解：由2OP OQ ==可得P ，Q 两点在圆224x y +=上，然后条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点，然后建立不等式求解即可.解： 因为2OP OQ ==（O 为坐标原点）所以P ，Q 两点在圆224x y +=上所以条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点 因为圆()()2231x a y a -+-+=的圆心为(),3a a -，半径为1所以13<<，解得0<<3a故选：A点评：本题考查的是圆的定义、圆与圆的位置关系，解答的关键是将条件转化为两圆的位置关系，属于基础题..9．第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）．A ．20︒B ．28︒C ．38︒D ．48︒答案：C 解：根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案.解：依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米，如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.58︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<，故选：C ．。
江苏省扬州中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题
江苏省扬州中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题第Ⅰ卷（选择题)一、单选题（每小题5分，计60分） 1.已知集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1,2} B ．{－1,0} C ．{0,1}D ．{1,2}2.函数1()2f x x +的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．[3,2)--C ．(2,)-+∞D ．[3,2)(2,)---+∞3.设集合{|12},{|}.A x x B x x a =<<=< 若A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤ 4.若111f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，则()f x ＝（ ）A ．12x + B ．1x x + C ．12x+D ．11x - 5.已知幂函数()f x 过点(216)，，则(3)f =（ ） A ．27 B ．81C ．12D ．46.若函数()221f x x mx =-+在[)3,4上是单调函数，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．3m ≤ B ．5m ≥C ．3m ≥D ．3m ≤或4m ≥7.若集合{}210A x ax ax =∈++=R 中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或48.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是单调递增的，又(3)0f -=，则不等式()0x f x ⋅-<的解集是（ ）A ．{| 3 03}x x x <-<<或B ．{|30 3}x x x -<<>或C ．{| 3 3}x x x <->或D ．{|30 03}x x x -<<<<或9.若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4--，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,3]B ．3[,4]2C ．3[,3]2D ．3[,)2+∞10.若函数212log (23)y x x =--的单调递增区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(3,)+∞11.已知函数21()=lg(1||)1f x x x+-+，不等式()()21f x f +-≤的解集是（ ） A ．(,3]-∞- B ．(,3][1,)-∞--+∞ C ．[]3,1--D ．[3,)-+∞12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x ax x =-，其中a ≤0．若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[],m n ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(]1,0-C ．(],0∞-D ．∅第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，计20分）13. 若函数2(1)y x a x a =+--为偶函数，则实数a 的值为___________． 14. 若2log 3a =，则22a a -+的值为____________．15. 已知函数2(1)()(6)(1)x ax x f x a x a x ⎧-+<=⎨--⎩≥，若对任意实数x 1≠x 2，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是__________________．16. 已知函数2()log |1|f x x =-，若关于x 的方程2[()]f x ＋()a f x ⋅＋b ＝0有6个不同的实数解，且最小实数解为－3，则a ＋b 的值为________．三、解答题（共6题，计70分） 17. 【本题满分10分】已知集合A ＝2{|230}x x x --<，集合B ＝2{|60}x x x +-<． （1）求A ∩B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A ∩B ，求实数,a b 的值．18. 【本题满分12分】已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =--， （1）求函数()f x 的表达式； （2）求方程()f x x =的解集．19. 【本题满分12分】设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}． （1）若－1∈B ，求a 的值； （2）若B ⊆A ，求a 的值．20. 【本题满分12分】已知定义在区间()1,1-上的函数()21x af x x +=+为奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,1-上的单调性； （3）解关于t 的不等式()()10f t f t -+<．21. 【本题满分12分】已知函数()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠且． （1）证明：当a 变化，函数()f x 的图象恒经过定点；（2）当10a =时，设()()1g x f x =-，且(3),(4)g m g n ==，求6l o g 45（用,m n 表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数．．．k ，使得不等式22(1)lg()g x kx +>在区间[]3,5上有解，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由．22. 【本题满分12分】已知函数2()24f x x x a =+--，（其中a 为常数）（1）若a ＝2，写出函数()f x 的单调递增区间（不需写过程）； （2）判断函数()f x 的奇偶性，并给出理由；（3）若对任意实数x ，不等式()1f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．江苏省扬州中学2019年第一学期期中考试高一数学试卷 第Ⅰ卷（选择题)一、单选题（每小题5分，计60分） 23.已知集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1,2} B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】C24.函数1()2f x x +的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．[3,2)--C ．(2,)-+∞D ．[3,2)(2,)--⋃-+∞【答案】D 25.设集合{|12},{|}.A x x B x x a =<<=< 若A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤【答案】A 26.若111f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，则()f x ＝（ ）A ．12x + B ．1x x+ C ．12x+ D ．11x- 【答案】C 27.已知幂函数()f x 过点(216)，，则(3)f =（ ） A ．27 B ．81C ．12D ．4【答案】B28.若函数()221f x x mx =-+在[)3,4上是单调函数，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．3m ≤ B ．5m ≥C ．3m ≥D ．3m ≤或4m ≥【答案】D 29.若集合{}210A x ax ax =∈++=R 中只有一个元素，则a =（ ） A ．4 B ．2C ．0D ．0或4【答案】A 30.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是单调递增的，又(3)0f -=，则不等式()0x f x ⋅-<的解集是（ ）A ．{| 3 03}x x x <-<<或B ．{|30 3}x x x -<<>或C ．{| 3 3}x x x <->或D ．{|30 03}x x x -<<<<或【答案】C 31.若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,3]B ．3[,4]2C ．3[,3]2D ．3[,)2+∞【答案】C 32.若函数212log (23)y x x =--的单调递增区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(3,)+∞【答案】A33.已知函数21()=lg(1||)1f x x x+-+，不等式()()21f x f +-≤的解集是（ ）A ．(,3]-∞-B ．(,3][1,)-∞--+∞C ．[]3,1--D ．[3,)-+∞【答案】C34. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x ax x =-，其中a ≤0．若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[],m n ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(]1,0-C ．(],0∞-D ．∅【答案】B第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，计20分）35. 若函数2(1)y x a x a =+--为偶函数，则实数a 的值为________． 【答案】136. 若2log 3a =，则22a a -+的值为_____________． 【答案】10337. 已知函数2(1)()(6)(1)x ax x f x a x a x ⎧-+<=⎨--⎩≥，若对任意实数x 1≠x 2，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是__________________． 【答案】72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦38. 已知函数2()log |1|f x x =-，若关于x 的方程2[()]f x ＋()a f x ⋅＋b ＝0有6个不同的实数解，且最小实数解为－3，则a ＋b 的值为________． 【答案】－2三、解答题（共6题，计70分）39. 【本题满分10分】已知集合A ＝2{|230}x x x --<，集合B ＝2{|60}x x x +-<． （1）求A ∩B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A ∩B ，求实数,a b 的值。
江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(wd无答案)
江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题一、单选题(★) 1. 直线的倾斜角为（）A．B．C．D．(★★★) 2. 在中，已知，那么最大内角为（）A．B．C．D．(★★) 3. 当 a为任意实数时，直线（ a–1） x– y+2 a+1=0恒过的定点是A．（2，3）B．（–2，3）C．（1，–）D．（–2，0）(★) 4. 设是三个互不重合的平面，是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★★) 5. 若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）．A．相离B．相切C．相交D．不确定(★) 6. 已知圆锥的表面积为9 π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．C．2D．(★★★) 7. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形(★★) 8. 如果圆上存在两个不同的点 P， Q，使得（ O为坐标原点），则 a的取值范围（）A．B．C．或D．或(★★) 9. 第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）．A．B．C．D．(★★★) 10. 已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是（）A．2B．C．D．4(★★★) 11. 在长方体中，为上任意一点，则一定有（）A．与异面B．与垂直C．与平面相交D．与平面平行(★★★★) 12. 在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为A．1B．2C．3D．4二、填空题(★) 13. 圆的圆心到直线的距离为 ______ .(★) 14. 直线与平行，则的值为_________.(★★★) 15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为 ________ 千米．（结果保留根号）(★★★) 16. 在正三棱锥中， M、 N分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是______.三、解答题(★★) 17. （1）已知顶点的坐标为，，，求外接圆的方程；（2）求直线被圆截得的弦长.(★★★) 18. 在中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，它的面积为 S且满足，.（1）求角 B的大小；（2）当时，求 S.(★★) 19. 如图，三棱柱中，平面平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）若，，，，求三棱锥的体积．(★★★) 20. 在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 n mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东(其中，)且与点A相距10 n mile的位置A．（I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.(★★★)21. 已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过 P点作圆 M的切线，，切点为 A， B.（1）若，试求点 P的坐标；（2）求证：经过 A， P， M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；（3）设线段的中点为 N，求点 N的轨迹方程.(★★★) 22. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且（1）证明：平面平面；（2）求棱与所成的角的大小；（3）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．。
江苏省扬州中学2019~2020高一10月月考数学试题附答案
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20. 设函数 f (x) = x2 + x − 1 . 4
（1）若定义域为[0,3] ，求 f (x) 的值域； （2）若 f (x) 在[a, a + 1] 上单调，求 a 的取值范围； （3）若定义域为[a, a + 1] 时， f (x) 的值域为[− 1 , 1 ]，求 a 的值.
2 16
则集合 A (CU B) = （
A．{3}
B．{2, 5}
） C．{1, 4, 6}
D． {2, 3, 5}
2.函数 f (x) = x −1 + ( x −1)0 的定义域为( )
x−2
A．{x | x 1且x 2}
B．{x | x 1}
C．{x | x 1且x 2}
D．{x | x 1}
3. 设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时， f (x) = 2x2 − x ，则
f（1）=（ ） A．1
B．3
C． −3
D．0
4.下列函数中，既是奇函数又在 (0, +)内单调递增的函数是（
）
A． y = −x3
B． y = x 2
C． y = x + 1 x
5.下列四组函数中,表示同一个函数的是( )
D． y = x | x |
A. f(x)= x −1 • x +1 , g(x)= x2 −1 B. f(x)= x2 , g(x)= ( x )2
,
1 a
，则称区间 a,
b
为函数
f
( x) 的一个
“倒值区间”.定义在 R 上的奇函数 g ( x) ，当 x 0, +) 时， g ( x) = −x2 + 2x
江苏省扬州中学2019-2020学年高一下学期4月阶段测试数学试题 Word版含解析
江苏省扬州中学2019-2020学年度第二学期阶段测试高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A 、B 、C 、D 四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑． 1.直线320x ++=的倾斜角是( ) A. 30 B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】D 【解析】 【分析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角. 【详解】320x +=化323y x =， 斜率为30150. 故选:D.【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题. 2.已知ABC 中，4a =，43b =，6A π=，则B 等于（ ）A. 30B. 30或150︒C. 60°D. 60︒或120︒【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理=sin sin a b A B ，得3sin B =，再根据大边对大角和三角形内角和定理即可. 【详解】解：ABC 中，4a =，43b =，6A π=，由正弦定理得，4433=,,sin sin sin sin 2sin 6a b B A B B π==，3B π=或23B π=满足b a >和A B π+< 故选：D【点睛】考查正弦定理的应用，注意大边对大角和三角形内角和定理，基础题. 3.若方程2220x y x m +--=表示圆，则m 的范围是（ ） A. (,1)-∞- B. [1,)-+∞ C. (1,)-+∞ D. (,1]-∞-【答案】C 【解析】 【分析】配方变形为圆的标准方程后可得．【详解】方程配方后得22(1)1x y m -+=+，它表示圆，则10m +>，1m >-． 故选：C ．【点睛】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆，可通过配方法化为圆的标准方程，由圆标准方程得条件．4.在ABC 中，若cos cos a B b A =，则ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】用正弦定理化边为角，再由三角函数同角关系变形可得．【详解】∵cos cos a B b A =，由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，显然cos cos 0A B ≠， ∴tan tan A B =，∴A B =，三角形为等腰三角形， 故选：B ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，掌握正弦定理的边角互化是解题关键． 5.已知1x >，则41x x +-的最小值为 A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->， 所以444112(1)()15111x x x x x x +=-++≥-⋅+=---， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6.两圆x 2+y 2=9和x 2+y 2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交C. 内切D. 外切【答案】B 【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R 和r ，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d ，比较d 与R ﹣r 及d 与R+r 的大小，即可得到两圆的位置关系． 解：把x 2+y 2﹣8x+6y+9=0化为（x ﹣4）2+（y+3）2=16，又x 2+y 2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3， 则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R ﹣r ＜d ＜R+r ，所以两圆的位置关系是相交． 故选B ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．7.过点（–1，–3）且垂直于直线x –2y +3=0的直线方程为（ ） A. 2x +y –1=0 B. x –2y –5=0 C. x –2y +7=0 D. 2x +y +5=0【答案】D 【解析】 【分析】设所求直线为m ，根据垂直关系，得到直线m 的斜率，由点斜式写出直线方程，得到答案.【详解】设直线l 为–230x y +=，所求直线为m ． 因为两直线垂直，所以斜率乘积为–1， 故直线m 的斜率为–2，所以直线m 的方程为()321y x +=-+， 整理得：250x y ++=， 故选D.【点睛】本题考查两直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，属于简单题. 8.已知角α4π+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），则sin 2α等于（ ） A .19B. 79-C. 23-D. 13【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义求解sin()4πα+，然后利用倍角公式可得.【详解】因为角4πα+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），所以1sin()43πα+=， 即2sin cos 3αα+=，212sin cos 9αα+=，所以7sin 29α=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，熟记倍角公式和基本关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.设P 点为圆C ：()222=5x y -+上任一点，动点(2,2)Q a a +，则PQ 长度的最小值为（ ）5 65C.15D.65【答案】A 【解析】 【分析】求出Q 到圆心距离的最小值，再减去半径即得． 【详解】由已知圆心为(2,0)C 5 ∴222(22)(2)548QC a a a a =-++=-+22365()55a =-+∴25a =时，min 36655QC == ∴PQ 6555=故选：A ．【点睛】本题考查圆上点到圆外点的距离的最值问题，圆上的点到圆外点的距离的最小值等于圆心到圆外点的距离减去半径．最大值为加上半径．本题点Q 在直线上运动，还可以用点到直线距离公式求得最小值．10.设点(2,3),(3,1)A B -,若直线20ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是( ) A. 5(,][1,)2-∞-⋃+∞ B. 5(1,)2-C. 5(,1)2-D.5(,1][,)2-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】动直线20ax y ++=过点P ()02-，,使其绕点P ()02-，从PB 逆时针旋转到PA 的过程，符合题意，求出斜率的变化过程即可. 【详解】如图,画出线段AB ,直线20ax y ++=过点P ()02-，,斜率为a -, 当动直线20ax y ++=，绕点P ()02-，从PB 逆时针旋转到PA 的过程，该直线始终与线段AB 有交点,因为PB k 12130+==-，PA k 325202+==---,所以1a -≥或者52a -≤-，即5(,1][,)2a ∈-∞-⋃+∞.即5(,1][,)2a ∈-∞-⋃+∞时，直线20ax y ++=与线段AB 有交点. 故选:D.【点睛】本题考查了过定点的直线与线段有交点问题，数形结合是解决本题的一个较好方法，考查直线的斜率问题，属于中档题.11.如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，若某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=，则大坝的坡角（DAC ∠）的余弦值为（ ）31 31- 2121- 【答案】A 【解析】【分析】由15BAD ∠=，45BED ∠=，可得30ABE ∠=，在ABE ∆中，由正弦定理得2062BE =，在BED ∆中，由正弦定理得sin 31BDE ∠=，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+可得结果.【详解】因为15BAD ∠=，45BED ∠=，所以30ABE ∠=.在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=，解得2062BE =.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠，所以220622sin 3120BDE ∠==.又90ACD ∠=，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+，所以cos 31DAC ∠=. 故选A.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.12.Rt ABC ∆中，090ABC ∠=，23AB =4BC =，ABD ∆中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（ ） A. [272,272] B. (4,232] C. [272,32] D. [232,232]【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D 的坐标(,)D x y ，然后分析点D 的位置，利用直线的夹角公式，求得点D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可. 【详解】由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立直角坐标系；(0,0);(23,0);(0,4)B A C设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方；当点D 可能在直线AB 的上方； 直线BD 的斜率1yk x=；直线AD 的斜率223k x =-由两直线的夹角公式可得：212123tan12031123k k xx k k xx ---=⇒=+⋅-化简整理的22(3)(1)4x y ++=可得点D 的轨迹是以点(3,1)M -为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分；此时CD 的最短距离为：22(3)(41)2272CM r -=++= 当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D 的轨迹方程：22(3)(1)4x y -+-= 此时点D 的轨迹是以点3,1)N 为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分；此时CD 的最大距离为：22(3)(41)2232CN r +=+-=所以CD 的取值范围为272,232⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13.过点()2,3A 且在x 轴，y 轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 【答案】50x y +-=或320x y -= 【解析】 【分析】当直线l 不过原点时设截距式方程1x ya a+=；当直线l 过原点时设y kx =,分别将点A 代入即可【详解】由题,当直线l 不过原点时设1x y a a +=,则231a a+=,所以5a =,则直线方程为155x y+=,即50x y +-=； 当直线l 过原点时设y kx =,则32k =,所以32k ,则直线方程为32y x =,即320x y -=, 故答案为: 50x y +-=或320x y -=【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况14.已知直线()4y k x =+与曲线24y x =-有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．【答案】303⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 【解析】 【分析】直线()4y k x =+过定点(4,0)P -，曲线24y x =-表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分．画出图形，结合图形可得所求的范围．【详解】由题意得，直线()4y k x =+过定点(4,0)P -，曲线24y x =-表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与x 轴的交点），画出图形如下图所示．当直线(4)y k x =+，即直线40kx y k --=与圆相切时，221k =+，解得213k =，3k =．结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有30k ≤<， ∴实数k 的取值范围是3[0,3． 故答案为3[0,)3． 【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题．15.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：()()225x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为______. 【答案】258【解析】 【分析】由点到直线距离公式及切线性质,可得,a b 等量关系.由圆心C 在直线l 的上方可得,a b 的符号特征.再结合基本不等式变形,即可求得ab 的最大值. 【详解】圆C ：()()225x a y b -+-= 则圆心为(),a b ,半径为5r =直线l ：20x y +=与圆C ：()()225x a y b -+-=相切222512a b +=+即25a b +=因为圆心C 在直线l 的上方,所以20a b +> 所以25a b +=由基本不等式2222a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得21525228ab ⎛⎫≤⨯= ⎪⎝⎭ 当且仅当2a b =时取等号,即55,24a b ==时取等号所以ab 的最大值为258故答案为:258【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质,点到直线距离公式的应用,由基本不等式求最值,属于中档题.16.已知ABC ∆中，3AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．【答案】52316【解析】【详解】设||2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则2(,0),(,0),3)B a C a A a --，设(,)P x y ，由22233PB PC PA +==，得2222222()()3(3)1x a y x a y x y a ⎧+++-+=⎪⎨+--=⎪⎩，即2222222322331x y a x y a y a ⎧+=-⎪⎨⎪+--+-=⎩， 则2222722323131a a a y a ⎧-=-⎪⎨⎪-≤≤-⎩， 则222222(3)23232(3)23a a a a a ---≤-≤-+- 即2222272(3)2322(3)232a a a a a ----≤-+- 解得234a ≤，即2241523233216ABC S a a a a ∆=⨯-=-≤，即ABC ∆面积的最大值为2316.三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知直线12:310,:(2)10l ax y l x a y ++=+--=． （Ⅰ）若12l l ⊥，求实数a 的值； （Ⅱ）当12l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．【答案】（Ⅰ）32a =；（Ⅱ）223. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据两直线垂直的等价条件可得所求．（Ⅱ）先由12l l 求出3a =，然后根据两平行线间的距离公式求解．【详解】（Ⅰ）∵12:310,:(2)10l ax y l x a y ++=+--=，且12l l ⊥， ∴13(2)0a a ⨯+⨯-=， 解得32a =． （Ⅱ）∵12:310,:(2)10l ax y l x a y ++=+--=，且12l l ，∴(2)31a a -=⨯且1a -≠，解得3a =，∴12:3310,:10l x y l x y ++=+-=，即12:3310,:3330l x y l x y ++=+-= ∴直线12,l l 间的距离为22312233d --==+． 【点睛】本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则①2112210A A l B B l +⇔=⊥；②121221l l A B A B ⇔=∥且1221A C A C ≠，或121221l l A B A B ⇔=∥且1221B C B C ≠．考查转化和计算能力，属于基础题．18.已知圆C 经过抛物线y =x 2-4x +3与坐标轴的三个交点． （1）求圆C 的方程；（2）设直线2x -y +2=0与圆C 交于A ，B 两点，求|AB |． 【答案】(1) （x -2）2+（y -2）2=5．(2)65【解析】 【分析】（1）求出抛物线243y x x =-+与坐标轴的交点坐标,确定圆心与半径,即可求圆C 的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,再由圆的半径,利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB |的长 【详解】解：（1）抛物线243y x x =-+与坐标轴的交点分别是()1,0,()3,0,()0,3所求圆的圆心是直线y x =与2x =的交点()2,2,圆的半径是()()2221025r =-+-=于是圆C 的方程为()()22225x y -+-= （2）圆心C 到直线220x y -+=的距离()222222521d ⨯-+==+-, ∴2224652255AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了圆C 的方程,考查直线与圆相交的性质,熟练掌握点到直线的距离公式,圆的标准方程,垂径定理,以及勾股定理是解本题的关键．19.已知a ，b ，c 分别为非等腰ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin A a c b B c+-=． （1）证明：2C B =；（2）若3b =，23c =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）详见解析；（22. 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理完成边化角，然后得到关于角的等式，分析其中2B 与C 的关系即可证明；（2）根据（1）的结论计算出cos B 的值，然后即可计算出a 的值，再根据面积公式求解三角形面积即可.【详解】（1）由余弦定理得2222cos a c b ac B =+-， ∴2sin 2cos 2sin cos sin sin A ac B A BB c C==， ∴sin2sin B C =，2B C =或2B C π=-， 由2B C π=-得A B =，不符合条件，∴2C B =． （2）由（1sin sin sin 2sin cos 23B BC B B==， ∴23cos 3223B a ==⋅，解得1a =或3（舍）， ∴16123223ABC S ∆=⨯⨯= 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形时，若出现sin 2sin 2A B =的形式不可盲目认为A B =，可能还会出现22A B π+=这一种情况，需要注意.（2）已知三角形中的两边及其中一边的对角，求解三角形面积的方法：先通过已知角的余弦求解出第三边长度，然后利用面积公式即可完成求解.20.如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是6ECF π∠=,点,E F 在直径AB 上，且6ABC π∠=．（1）若13CE =，求AE 的长；（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积． 【答案】（1）1或3（2）43 【解析】【详解】试题分析：（1）在ACE ∆中,因13CE =，，3BAC π∠=，所以由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =-+，且13CE =，，所以213164AE AE =+-，解得1AE =或3AE =（2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用ACE α∠=表示出1312sin 2sin()cos 2sin(2)333ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++，再利用三角函数求最值得试题解析：（1）连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，6ABC π∠=，所以3BAC π∠=，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =-+，且13CE =， 所以213164AE AE =+-， 解得1AE =或3AE =，（2）因为2ACB π∠=，6ECF π∠=，所以ACE α∠=[0,]3π∈，所以362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭， 在ACF ∆中由正弦定理得：sin sin cos sin()2CF AC AC AC A CFA παα===∠- 所以23cos CF α=， 在ACE ∆中，由正弦定理得：sin sin sin()3CE AC ACA AEC πα==∠+ 所以23sin()3CE πα=+，若产生最大经济效益，则ECF △的面积最大，1312sin 2sin()cos 2sin(2)333ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++， 因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα≤+≤所以当=3πα时，取最大值为43，此时该地块产生的经济价值最大考点：①解三角形及正弦定理的应用②三角函数求最值21.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M N ， (点M 在点N 的左侧)，且3MN =.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，连接,AN BN ，求证：AN BN k k +定值．【答案】（1）22525()(2)24x y -+-= (2)见解析 【解析】试题分析：（1）由题意，得到圆C 的方程为2＋(y －2)2＝；（2）直线AB ：x ＝1＋ty ，联立圆O 方程，得到韦达定理，求得k AN ＋k BN 为定值． 试题解析：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋2＝，解得m ＝，所以圆C 的方程为2＋(y －2)2＝.(2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0. 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以则k AN ＋k BN ＝＋＝＋＝＝＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ∶40x y -+=和圆O ∶224x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C两条切线，切点分别为,M N .（1）若PM PN ⊥，求点P 坐标；（2）若圆O 上存在点,A B ，使得60APB ∠=︒，求点P 的横坐标的取值范围； （3）设线段MN中点为Q ，l 与x 轴的交点为T ，求线段TQ 长的最大值.【答案】（1）()2,2P -；（2）[]4,0-；（3）32【解析】 【分析】（1）先求出P 到圆心的距离为22，设(),4P x x +，解方程22(4)22x x ++=即得解；（2）设(),4P x x +，若圆O 上存在点,A B ，使得60APB ∠=︒，分析得到3090CPO ︒≤∠<︒，即222(4)4x x <++≤，解不等式得解；（3）设()00,4P x x +，可得MN 所在直线方程：()0044x x x y ++=，Q 点的轨迹为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据||||32TQ TC R +=求出最大值得解.【详解】（1）若PM PN ⊥，则四边形PMON 为正方形， 则P 到圆心的距离为222222+=， ∵P 在直线40x y -+=上，设(),4P x x + 故22||(4)22OP x x =++=，解得2x =-，故()2,2P -；（2）设(),4P x x +，若圆O 上存在点,A B ，使得60APB ∠=︒， 过P 作圆的切线PC ，PD ，∴60CPD ∠≥︒，∴30CPO ∠≥︒， 在直角三角形CPO ∆中，∵3090CPO ︒≤∠<︒， ∴1sin 12CPO ≤∠<，即1212OP≤<，∴24OP <≤， ∴222(4)4x x <++≤，解得40x -≤≤，∴点P 横坐标的取值范围为：[]4,0-；（3）设()00,4P x x +，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000044224x x x x x y +++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得()220040x x x x y y --++=，与224x y +=联立，可得MN 所在直线方程：()0044x x x y ++=， 联立()0022444x x x y x y ⎧++=⎨+=⎩，得()222000004848641200x x x x x x x ++----=，∴Q 的坐标为00220000228,4848x x x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭， 可得Q 点的轨迹为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,22C ⎛⎫-⎪⎝⎭，半径22R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）. 由题意可知()4,0T -，∴221152||4222TC ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴||||32TQ TC R +=∴线段TQ 的最大值为32【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆中的轨迹问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。
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江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B
13．2 14．30° 15 16 17．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩得：0
2
x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴；
（2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.
():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.
18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666
x πππ
-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6
x π
-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．
（2）102sin 613f παα⎛⎫
+
== ⎪⎝
⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
，故12cos 13α=； 512120
sin 22sin cos 21313169
ααα==⨯
⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I
∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点 ∴1
2
CF EI ∥
∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合
进而，直线EF 与GH 相交
方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点 ∴112
EB CD HC ∥∥
∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥
又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点 ∴11
2
FG BC ∥
∴∥EH FG ，EH FG ≠
∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交
（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥ ∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C
又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点 ∴//EF AC ∴11EF AC P
∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角
（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②
∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒ 20．（1）在CAM V 中，已知3
CAM π
∠=
，sin CMA ∠=
，2AC =，由正弦定理，得
sin sin CM AC CAM CMA
=∠∠
，解得sin
233sin AC CM CMA π
⋅=
==∠．
（2）因为12BMN ACB S S =
△△，所以111
sin 22622
BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯
BM BN ⋅=
在BMN ∆中，由余弦定理得，
()2
2222cos
2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π
⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭
，
即()2
2
21BM BN ⎛=+-⨯+
⎝
⎭
， ()
(2
2
194BM BN +=+=+，
故4BM BN +=+
21．（1）由题意知111
21222
OM AD BC =
==⨯=，
3
sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=
o ，
cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯==
o ，
1132622228
PMN S MN BN ∆+∴=
⋅=⨯⨯=
，即三角形铁皮PMN
的面积为68
+； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02
x π
<≤。
sin sin 1MN OM x CD x =+=+， cos cos 1BN OM x OA x =+=+，
()()()111
sin 1cos 1sin cos sin cos 1222
PMN S MN BN x x x x x x ∆∴=
⋅=+⋅+=+++
令sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝⎭
，由于02x π<≤，所以3444x πππ<+≤，
则有
sin 124x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭
，所以1t ≤≤， 且()
2
2
sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21
sin cos 2
t x x -=， 故()()22
211111211224
4PMN
t S t t t t ∆⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭， 而函数()2
114
y t =
+
在区间⎡⎣上单调递增，
故当t =
时，y
取最大值，即
)
2
max 1
14
y =
=
，
即剪下的铁皮三角形PMN
．
22．解：（Ⅰ）由题意可设圆M
的圆心为(,x
x
，
≥=
2
x=，
所以圆M
的面积最小值为．
（Ⅱ）由|
||
|OD
OC=，知l
OM⊥．
所以3
3
2
=
=
t
k
OM
，解得1
±
=
t．
当1
=
t时，圆心M)3
,1(到直线4
3
3
:+
-
=x
y
l的距离)1
3
(2-
=
d小于半径，符合题意；
当1
-
=
t时，圆心M)3
,1
(-
-到直线4
3
3
:+
-
=x
y
l的距离)1
3
(2+
=
d大于半径，不符合题意．
所以，所求圆M的方程为4
)3
(
)1
(2
2=
-
+
-y
x．
（Ⅲ）设)
,5(
y
P，)
,
(
1
1
y
x
G，)
,
(
2
2
y
x
H，又知)3
,1
(-
E，)3
,3(
F，
所以
GE
PE
k
x
y
y
k=
+
-
=
-
=
1
3
6
3
1
1
0，
FH
PF
k
x
y
y
k=
-
-
=
-
=
3
3
2
3
2
2
0．
因为
PF
PE
k
k=
3，所以
2
2
2
2
2
1
2
1
)3
(
)3
(
)1
(
)3
(
9
-
-
=
+
-
⨯
x
y
x
y
．
将2
1
2
1
)1
(
4
)3
(-
-
=
-x
y，2
2
2
2
)1
(
4
)3
(-
-
=
-x
y代入上式，
整理得0
20
)
(7
2
2
1
2
1
=
+
+
-x
x
x
x．①
设直线GH 的方程为b kx y +=，代入4)3()1(2
2=-+-y x ，
整理得032)2322()1(2
22=-+--++b b x k kb x k ．
所以22112322k k kb x x +---=+，2
221132k b
b x x +-=⋅．
代入①式，并整理得033710)327(2
2=+-+-+b k b k b ，
即0)35)(32(=-+-+k b k b ， 解得k b 23-=或k b 53-=．
当k b 23-=时，直线GH 的方程为3)2(+-=x k y ，过定点)3,2(； 当k b 53-=
时，直线GH 的方程为3)5(+-=x k y ，过定点)3,5(
第二种情况不合题意（G 、H 只可能在直径的异侧），舍去。