平面的投影及平面上的点

一、平面的表示法
1.几何元素表示法 2.迹线表示法
1.几何元素表示法
一个平面的空间位置可以由下列任一 组几何元素来确定:
(1) 不在同一直线上的三个点； (2) 一直线和直线外的一个点； (3) 相交两直线； (4) 平行两直线； (5) 任意平面图形。
平面的投影可以由其中一组几何元素的投影 来表示。
铅垂面--仅⊥H面的平面
p’
X
O
Z
p”
YWβpγ源自YHA. 水平投影p积聚为一倾斜线段，并反映β、γ角。
B. 正面投影p’和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。
铅垂面--仅⊥H面的平面
正垂面--仅⊥V面的平面
q’ γ
q’ X Q q’’
Z
α
O
q” p”
YW
q
p q γ
YH
A. 正面投影p’积聚为一倾斜线段，并反映α、γ角。
正平面--// V面的平面
Z
q’ X
q’
O
q ”
YW
Q
q’’
q
q YH
A. 正面投影q’反映平面P的实形； B. 水平投影q和侧面投影q”都积聚为直线， 分别∥OX轴和OZ轴。
侧平面--// W面的平面
Z V r‘ r’‘ W X O YW
r’
r”
R
r
r YH
A. 侧面投影r’’反映平面R的实形；
面投影反映实形。
X
b ’ a ’
c ’
作法：作abc // OX轴。
作△a’b’c’≌△ABC。
a b c
4. 圆的投影特性
（1）当圆∥投影面时，圆在该 投影面上的投影反映实形--圆, 另外两投影积聚为直线,长度等 于圆的直径。 X
圆平面为水平面
O’
O
（2）当圆⊥投影面时，它在该 面的投影积聚为倾斜于投影轴的 直线，长度等于圆的直径。另外 两个投影为椭圆。
YH
YH
H
投影面垂直面的投影特性：
（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线， 它与投影轴的夹角反映平面对另外两个投影面的
倾角。
（2）在另外两个投影面上的投影是小于原平面
的类似形。
例1 含直线AB (ab, a’b’) 作铅垂 面 (用平面图形表示)。 分析：铅垂面的水平投影为
斜交于X轴的直线，有积聚
不 在 同 一 直 线 上 的 三 点
b’
a’
c’ x a b b’ a’ c
一 直 线 和 直 线 外 的 一 个 点
b’
b’
a’
c’ x a b b’ a’ c
相 交 两 直 线
a’
c’ x a b c
用各组几何元
c’ 素所表示的同一
平 行 两 直 线
c’ x a b c
任 意 平 面 图 形
B. 水平投影p和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。
侧垂面--仅⊥W面的平面
r’
r’
X r’’ R O
Z
β
r” α
YW
p r γ
r
YH
A.侧面投影r’’ 积聚为一倾斜线段，并反映α、 β角。
B.水平投影r 和正面投影r’ 都是小于原平面的类似形。
投影面垂直面的投影特性
γ α YW β γ
β
α YW
B
P
∵直线L在P面上， ∴M点在平面P上。
A
M
L
C
在平面上取点的一般方法：含该点在平面上作
辅助直线，然后在所作直线上取点。
例6 已知点D在△ABC所决定的平面上，求作
其正面投影d’。
a’
A Ⅰ
D C
b
1’ d’
b’
c’
c
B
d
空间分析 a
1
作法1
D点一定在该平面的一条直线上。
例7 已知点D在△ABC所决定的平面内，求 作其正面投影d’。
a ’ X b ’
性。
本题铅垂面用三角形表示。
c ’
b
c
a
2. 投影面平行面
平行于某一投影面的平面。
• // H面的平面--水平面 • // V面的平面--正平面 •// W面的平面– 侧平面
水平面--// H面的平面
p’
Z
p ”
X
O
YW
p
YH
A. 水平投影p反映平面P的实形；
B. 正面投影p’和侧面投影p”都积聚为直 线，分别∥OX轴和OYW轴。
a X ’
c
3 1 2
a”(b” y) w
a
b
yH
可按已知点的两个投影求第三投影的方法作出△abc。
例10 已知一平面ABCD。(1)判别点K是否在平面上； (2)已知平面上点E的正面投影，求作其水平投影。
b’
f’ a’ X a f b k’
g’
c’ e’
d’
k
d
g
c
e
∵ K点不在直线FC上，∴ K点不在平面上。
X
O'
O
圆平面为正垂面
（3）当圆倾斜于投影面时，它的投影为圆的类似
形-- 椭圆。
圆的投影的作图方法
1）当圆∥投影面时
反映圆的实形
O'
X
O
长度=圆的直径
圆平面为正平面
2）当圆⊥投影面时（1）正垂圆的投影
正垂直径AB
正平直径DE 长轴和短轴
椭圆 投影椭圆的长、短轴是圆内一对 长轴: 正垂直径AB的投影 ab=AB
B. 水平面投影r和正面投影r’ 都积聚为直 线，分别∥OYH轴和OZ轴。
投影面平行面的投影特性
投影面平行面的投影特性：
（1）在所平行的投影面上的投影反映实形。
（2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线，
平行于相应的投影轴。
例3 含点A作△ABC// V面。 分 析: 正平面的水平投影
积聚为直线并∥OX轴，正
一、平面上的直线
1. 平面上的直线
2. 在平面上作正平线和水平线
1.平面上取直线
直线在平面上的几何条件：
(1) 通过平面上的两已知点。
B
M
P
A
N
C
直线MN在平面上
(2) 通过平面上的一点并平行于平面上的另一 直线。
E
M
D
N
F
P
直线MN在平面P上
结论 -- 要在平面上取直线，应先在平面上的已知 直线上取点，再过点作直线。
例5 在△ABC给定的平面上作一任意直线。
作法1: 在平面内的两
已知边上各取一点连成 直线。
X a ’ a
1 1’
b ’ 2’ c ’ c 2
作法2: 在平面内的一
已知边上取一点，再过
点作平面内另一直线的
b
平行线。
直线ⅠⅡ即为所求。
在平面上作正平线和水平线
e'
d'
e d
2.平面上取点
点在平面上的几何条件: 点在该平面的一已知直线上。
D
垂直面上圆的投影特性：
（1）在与圆平面垂直的投影面上，圆的投影是直线 段，长度等于圆的直径。 （2）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长 轴是圆平面上平行于这个投影面的直径的投影，短 轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。
4-7 平面上的点和直线
1.平面上取直线 2.平面上取点 3.投影面垂直面上的点和直线
b' a' B b"
A C b c a c"
a"
一般位置平面
与三个投影面都处于倾斜位置的平面。
s’
Z
s”
a’
X
b’
O
a
s
a ”
b Yw ”
b
YH
三个投影都是小于原平面的类似形。
一 般 位 置 平 面
各种位置平面的投影特性
1. 投影面垂直面
垂直于一个投影面而对另外两个投影 面倾斜的平面。 铅垂面--仅⊥H面的平面 正垂面--仅⊥V面的平面 侧垂面--仅⊥W面的平面
x a b c
平面的投影图。
平面对一个投影面的投影特性
△ABC倾斜于P面
投影为小于原平面的 类似形 △abc＜△ABC
△ABC⊥P面 投影积聚为一直线 abc
△ABC∥P面 投影反映实形 △abc≌△ABC
平面的投影
E F M
d a b
c
d
c b
d(a)
e
m
f
c(b)
a
(a)
(b)
(c)
一般位置面
铅垂直径CD
水平直径AB
铅垂面上圆的投影 长轴：铅垂直径CD 的投影 c’d’=D 短轴：水平直径AB的投影
(a) (b)
铅垂圆的投影作图
c’ a’ O' b’ a” d’ c” O”
D
b”
X
d”
a
β
c’(d’) O γ b
长轴：铅垂直径CD的投影 c’d’=c”d”=D 短轴：水平直径AB的投影 a’b’=Dcosβa”b”=Dc
相互垂直的直径的投影。 短轴: 正平直径DE的投影de=DEcosα
正垂圆的投影作图
e’ a’(b’) γ O' d’ α e”
O”
b” d” D a”
X
b
D
d
O
e
长轴: 正垂直径AB的投影 ab=a”b”=AB 短轴: 正平直径DE的投影 de=DEcosα d”e”=DEcos γ
a
（2）铅垂圆的投影
f
[例题] 过点E 作线 段AB、CD 的公垂线EF。