2-2常见离散型随机变量及其概率分布

(n + 1) p − kp (n + 1) p − k = = 1+ kq kq
当 k < ( n + 1) p 时 ,有 当 k > ( n + 1) p 时 ,有
P( X = k ) ≥ 1, P ( X = k − 1)
P ( X = k ) 单调增加 P ( X = k ) 单调减少
P( X = k ) < 1, P ( X = k − 1)
P (2 < X < 6) = P (3 ≤ X ≤ 5) = P ( X ≥ 3) − P ( X ≥ 6)
= 0.79392 − 0.19579 = 0.59813
情况2
p > 0.5
当二项分布中的概率 p 较大时 ( p > 0.5), 但可转化 为其对立事件的概率 若事件 A 出现的次数 X ~ B ( k , n, p ), 那么其对立事件
又
P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) = p 3 (1 − p ) 2
P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = L = p 3 (1 − p ) 2
= 1 − 0.35039 = 0.64961
二项分布的最可能成功次数
k0
使 P ( X = k ) 取最大值时的 k 称为二项分布的 二项分布的 最可能值 就是 n 次独立重复试验中事件 A 最可能出现的 次数，记为k0
k Cn p k (1 − p ) n − k P( X = k ) (n − k + 1) p = k −1 k −1 = n − k +1 P( X = k − 1) Cn p (1 − p ) kq
最可能值为2
例6 据报道，有10％的人对某药有肠道反应。 为了考察此药的质量，现随机选取5人服用此药， 试求：(1) 其中
k 个人
k = 0,1,L ,5 有反应的概率；
(2) 不多于2人有反应的概率；(3) 有人有反应的概率。 解 随机选取5人服药，各人间对药物的反应具有 独立性，且每人服药有反应的概率均为0.10，这就 相当于做5次独立无重复试验，即 p = 0.1, n = 5 的贝努利试验。故反应的人数 X ~ B ( k , 5, 0.1) 按二项分布的计算概率的方法可得（分布表如下表）：
例7 某批产品有80％的一等品，若进行重复 抽样试验，设共取出4个样品，求其中一等品数 X的最可能值 k0 ，并用二项分布公式验证这一结果。 若4个样品中没有或只有1个一等品，试说明此产品 的质量. 解 由题意可知，抽检4个样品，相当于做4重 贝努利试验，其中一等品的个数X ~ B ( k , 4, 0.8) 因为 (n + 1) p = 5 × 0.8 = 4 为整数，所以 X 的最 可能值为4和3
P { X = 0} = 0.012 P { X = 1} = 0.058
P { X = 4} = 0.218 P { X = 5} = 0.175 P { X = 6} = 0.109 P { X = 8} = 0.022 P { X = 9} = 0.007
P{ X = 10} = 0.002
P { X = 2} = 0.137
Ai = ｛第 i 例未治愈｝
i = 1,2,L,5
P( Ai ) = p
3 5
B = ｛治愈3例｝
故治疗5例就是做5次贝努利试验。治疗5例治愈3例的所有结果为 C ，如下：
A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 ,L
A 出现的次数 Y ~ B (k ′, n, q ), 其中
因此
q = 1 − p, k ′ = 0,1,L , n, k ′ + k = n,
P( X = k ) = P(Y = n − k ), P( X ≤ k ) = P(Y ≥ n − k ) P(k1 ≤ X ≤ k2 ) = P( n − k2 ≤ Y ≤ n − k1 )
P { X = 3} = 0.205
P { X = 7} = 0.055
P { X = k } < 0.001, 当 k ≥ 11 时
图示概率分布
2-2. 2泊松分布(稀有事件模型) 泊松分布( 泊松分布 稀有事件模型)
设随机变量所有可能取 的值为 0, 1, 2,L , 而取各个 值的概率为 λk e − λ P{ X = k } = , k = 0,1,2,L , k! 其中 λ > 0 是常数 .则称 X 服从参数为 λ 的泊松分 布, 记为 X ~ P (λ ).
所以
3 P ( B ) = C5 p 3 (1 − p ) 2
故用此药试治该病5例，治愈3例的概率为C53 p 3 (1 − p ) 2
二、二项分布(伯努利公式) 二项分布 在伯努利试验中，若事件 A 在一次试验中出现的概率为
p
则在 n重试验中
事件 A 恰好出现 k 次的概率为 k Pn ( k ) = Cn p k (1 − p ) n − k 如果上例的治愈率为0.7，那么治疗5例治愈3例的 概率就是
例如
X ~ B ( k , 20, 0.2) ⇒ ( n + 1) p = 21× 0.2 = 4.2 ⇒
最可能值为4；
X ~ B ( k , 4, 0.6) ⇒ ( n + 1) p = 6 × 0.6 = 3 ⇒
最可能值为3和2；
X ~ B(k ,17,3 19) ⇒ (n + 1) p = 18 × 3 19 = 2.84 ⇒
记住
p 较大时 ( p > 0.5),
X +Y = n
例5 已知 X ~ B ( k ,10, 0.7) 求 P ( X ≥ 7) 解 设 Y 为 X 所代表事件的对立事件，则 Y ~ B (k ′,10, 0.3) 其中 k ′ + k = 10 所以
P ( X ≥ 7) = P (Y ≤ 3) = 1 − P (Y ≥ 4)
若( n + 1) p 是整数，则
P( X = k ) = 1, P( X = k − 1)
这时
P ( X = k ) = P ( X = k − 1) 故最可能值 k0 是 ( n + 1) p 和 (n + 1) p − 1
若( n + 1) p 是非整数，则 最可能值 k0 = [(n + 1) p]
(2) 同(1)属伯努利试验
(3) 无放回抽球不是伯努利试验，抽取5次，可以看 成是一次抽取5个球，此时抽球的概率计算可参照古 典概型讨论。因此若记｛抽到白球3次｝，则
C C P( A) = = 0.360 5 C30
3 20
2 10
例4 设 X ~ B ( k , 20, 0.20)求 P ( X = 4), F (4), P (2 < X < 6) 解 直接用公式计算
P ( X = 4) = C 0.2 × 0.8
4 20 4
16
情况1
p < 0.5
用查表法计算更简便 P ( X = 4) = P ( X ≥ 4) − P ( X ≥ 5) = 0.58855 − 0.37035 = 0.2182
F (4) = P ( X ≤ 4) = 1 − P ( X ≥ 5) = 1 − 0.37035 = 0.62965
3 P5 (3) = C5 0.73 (1 − 0.7)3 = 0.3087
的分布律为： 若 X 的分布律为：
P{ X = k} = C p q
k n k n−k
, k = 0,1, 2,L n
则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布 记为 X ~ B (n , p ) 其中 q ＝ 1 － p
一、伯努利试验 试验结果具有对立性的 n 次独立重复试验 称为 n 重伯努利试验，简称伯努利试验。 伯努利试验的特点： (1) 对立性，每次试验的结果只能是对立事件 中的一个，要么出现 A ，要么出现 A (2) 独立性，每次试验的结果互不影响，且各 次试验中事件 A 出现的概率都相等.
例2 设某药治某病的治愈率为 p，现在用此药 试治该病5例，问治愈3例的概率是多少？ 解 假设 Ai = ｛第 i 例治愈｝，那么，假设
于是
B = A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 +L
3 又 C5 种事件 互相排斥，因此
P ( B ) = P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) +L
X 的概率分布如下表所示。
X =k
P( X = k )
0 0.0016
1 0.0256
2 0.1536
3 0.4096
4 0.4096
通过上表可以看出，随机变量 X = 3 和 X = 4 时，其概率最大，与前面的推断结果一致。由表 还可以看出，4个样品中没有或只有一个一等品 的概率为
P ( X ≤ 1) = 0.0016 + 0.0256 = 0.0272
两个基本性质
k (1) P ( X = k ) = Cn p k (1 − p ) n − k ≥ 0
(2)
k P ( X = k ) = ∑ Cn p k (1 − p ) n − k = ( p + 1 − p ) n = 1 ∑ k =0 k =0