数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

壹

第五章 微分中值定理及其应用

第一节 微分中值定理

331231.(1)30()[0,1];

(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c

-+=++=-+=<∈=-+证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数 值为零012023(,)[0,1],'()0.

'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈⊂==---+=≤=>++=。那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021

01011

0202()0

(,),(,),'()'()0,'()0

(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩

使得函数 成立。那么由罗尔定理可知存在使得即

001022

0000102),

(,),''(0)0,''()(1)0,

0,0,0.

2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即 显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

当时,设方程12341112122313341112131

11110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(n n x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x -=<<<=++=∈∈∈====+=有三个实根,即存在实数使得函数成立。那么利用罗尔定理可知存在

使得即有

1

12121

131321111222121321222

21212

2222212)0,

'()0

(,),(,)''()''()0,''()(1)0

.''()(1)0

212,n n n n nx p f x nx p x x x x x x f x f x f x n n x f x n n x n k x x ----⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩∈∈==⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩=+>= 于是就存在使得即

由于于是此时必有221111222121321220;(,),(,),,0(,,)n x x x x x x x x n x px q n p q =∈∈<++=但是由于可知必有

出现了矛盾。

因此当为奇数时,方程为正整数为实数至多有三个实根。

贰

112.()(1),,[0,1],(0,1).

1(0)(1)0,,(0,1)'()0,(1)(1)0,0,1m n m n m n f x x x m n x m n f f f m n ξξ

ξ

ξξξξξξξξ--=-∈∈=-==∈=---=≠-≠设为正整数,则存在使得

证明：容易知道于是作为多项式函数必有使得即 由于0,(1),1m n m n ξξξξ

-==-因此整理可得即有 成立,得证。

3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

(1)sin sin ,,(,);

()sin ,[,](,)sin sin '(),

sin sin max '()max cos 1,

sin sin .

x y x y x y f t t x y x y x y

f x y x y

f t t x y

x y x y ξξ-≤-∈-∞+∞=∈-=--≤==--≤-证明：由拉格朗日中值定理可知函数在区间上存在使得

于是

整理后即得2(2)tan ,(,),0;22

()tan ,[0,](0,)tan tan 0tan '(),

0tan 1

min '()min 1,cos tan .

x x x x f t t x x x x

f x x

x f t x t

x x g ππ

ξξ≤∈-

==∈-==-≥==≤等号成立当且仅当证明：由拉格朗日中值定理可知函数在区间上存在使得

于是

整理后即得 对于函数()tan ,(0)0,'()0,(,0)(0,);022

tan x x x g g x x x x x π

π

=-=>∈-≠<满足且有当即当时

必有成立。

叁

0(3)1,0;

0()[0,](0,)()(0)1

'(),'();01

'()1;

1.

0()[,0]x t x x x t e x x x f t e x x f x f e f f x x

e f e e x

e x x

f t e x ξξξξξξ>+≠>=∈--==--==>=>+<=∈证明：当时,由拉格朗日中值定理可知函数在区间上,存在使得即于是有

整理即得 当时,由拉格朗日中值定理可知函数在区间上,存在0(0,)(0)()1'(),'();01'()1;

1.1,0.x

x

x x x f f x e f f x x

e f e e x

e x e x x ξξξξ--==---==>=->+>+≠使得即于是有

整理即得 综上有(4)

ln ,0;()ln [,](,),()()

'(),

1ln ln ,1ln min x t y y x y y x

x y y x x

f t t x y x y f y f x f y x

y x

y x

t ξξξ

<<--<<<<=∈-=--=

-<证明：由拉格朗日中值定理可知函数在区间上有使得即有

于是有 ln 1

max ,

1ln ln 1,ln .

x t y y x y x

t y x y y x x

y x y y x

y x x

<<-<--<<---<<故有整理即得