数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

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数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c-+=++=-+=<∈=-+证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈⊂==---+=≤=>++=。

那么由罗尔定理可知存在使得但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。

因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。

当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩使得函数成立。

那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

微分中值定理的证明及其应用

微分中值定理的证明及其应用[摘要摘要] ] ] 微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论,,也是微分学的理论基础。

数学分析中基础。

数学分析中,,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。

本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造辅助函数的构造,,结合教学过程中出现的问题结合教学过程中出现的问题,,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。

微分中值定理在函数性态各方面的应用。

[关键词关键词] ] ] 中值定理中值定理中值定理辅助函数辅助函数根的存在性根的存在性待定系数法待定系数法数学分析中数学分析中,,一般在证明罗尔定理的基础上一般在证明罗尔定理的基础上,,通过构造辅助函数通过构造辅助函数,,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。

其关键是如何构造辅助函数结论得出拉格朗日定理的证明。

其关键是如何构造辅助函数,,一旦辅助函数构造出来辅助函数构造出来,,余下的问题便容易解决了。

余下的问题便容易解决了。

首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。

证明。

一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨若函数在闭区间上连续若函数在闭区间上连续,,其图形是一段连续的曲线弧。

当在区间两个端点的函数值相等两个端点的函数值相等((即)时,线段ab 平行于轴平行于轴,,其斜率为零。

若函数在内每一点都可导函数在内每一点都可导,,对应曲线弧上每一点都有切线对应曲线弧上每一点都有切线,,此时此时,,从图可以看出可以看出,,在曲线弧上在曲线弧上,,至少可以找到一点m,m,弧在此点的切线与线弧在此点的切线与线段ab 平行平行,,即切线的斜率为零。

若记m,m,则切线则切线mt 的斜率为的斜率为,,且。

且。

上述的几何直观进行归纳上述的几何直观进行归纳,,得到如下定理得到如下定理: :定理1:(1:(罗尔定理罗尔定理罗尔定理) )若函数满足下列三个条件若函数满足下列三个条件: :(1)(1)在闭区间上连续在闭区间上连续在闭区间上连续;(2);(2);(2)在开区间内可导在开区间内可导在开区间内可导;(3);(3);(3)。

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

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(3) 令 f ( x) = 2 arctan x + arcsin
2x ，注意到 x 2 − 1 > 0, ∀x > 1 ，所以 2 1+ x
由于 f ( x) 在 [1, +∞ ) 连续，所以 f ( x) ≡ f (1) = 2 +
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至多有限个点有 f ′( x ) = 0 之外，都有 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上严格单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。证设 a = x0 < x1 < " < xn −1 < xn = b ，其中 x1 , x2 ," , xn −1 是 f '( x) 全部的零点。则 f ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1," , n − 1) 上严格单调增加。从而，f ( x) 在 [a, b] 上严格单调增加。构造函数
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
的两倍。
5．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后答
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针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积

《数学分析》第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用（计划课时： 8时）§ 1中值定理（ 3时）一思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。

基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。

还是从导数的定义出发：00)()(limx x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即00)()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.二微分中值定理:1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ⇒≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=⇒'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点0x 的某右邻域)(0x + 上连续,在)(0x +内可导.若)0()(lim 00+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0 ,1sin )(2x x xx x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).Th3 (导数极限定理) 设函数)(x f 在点0x 的某邻域 )(0x 内连续, 在)(0x内可导. 若极限)(lim 0x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(00x f x f x x '='→ ( 证 )由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.3. Cauchy 中值定理:Th 4 设函数f 和g 在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, f '和g '在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点,ξ 使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )()()()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理的条件, ∍∈∃⇒ ),,( b a ξ-'=')()(ξξf F )()()()(a g b g a f b f --.0)(='ξg必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“f '和g '在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ⇒Cauchy 中值定理的几何意义.Ex [1]P 163 1—4；三中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(lnξξf ab'⋅=. 证在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .2. 证明恒等式: 原理.例3 证明: 对R ∈∀x , 有 2π=+arcctgx arctgx .例 4 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f gf 则 )()(x cf xg =.(证明0) (='fg. ) 例 5 设对R ∈∀ , h x ,有 2|)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).3. 证明不等式: 原理.例6 证明不等式: 0>h 时,h arctgh h h<<+21. 例7 证明不等式: 对n ∀，有nn n 1) 11 ln(11<+<+.4. 证明方程根的存在性:例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++23423在) 1 , 0 (内有实根.四单调函数（结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) ⇔在),(b a 内 0)(≥'x f ( 或0≤ ).例10 设13)(3+-=x x x f .试讨论函数)(x f 的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞. ⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(='x f ,得1,1=-=x x⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单Th6设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘) ⇔ⅰ> 对),,(b a x ∈∀ 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f3 可导函数严格单调的充分条件推论见P124例11 证明不等式 .0,1≠+>x x e xEx [1]P 124—125 1—7.§2 不定式的极限 ( 2时 )一.型: Th 1 (L 'Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 .cos cos 1lim2xxtg xx +→π例2 )1l n ()21(l i m2210x x e xx ++-→. 例3 xx ex-+→1l i m 0. ( 作代换x t = 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 xx x x s i n 1s i nlim20→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )二∞∞型: Th 2 (L 'Hospital 法则 ) ( 证略 )例5 ) 0 ( ,ln lim >+∞→ααxxx .例6 3lim x e xx +∞→.注: 关于x x e x ln ,,α当+∞→x 时的阶.例7 xxx x sin lim +∞→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )三. 其他待定型: ∞-∞∞∞⋅∞ , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的. 例8.ln lim 0x x x +→例9)(sec lim 2tgx x x -→π.例10xx x =→0lim .例11xx x ⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0.例12()21cos lim x x x →.例13nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim .例14设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0 ,0,0 ,)()(x x x x g x f 且 .3)0( ,0)0()0(=''='=g g g 求).0(f '解 200)(lim 0)(lim )0()(lim )0(x x g xx x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 23)0(21)0()(lim 212)(lim 0000=''='-'='=→→g x g x g x x g x x .Ex [1]P 132—133 1—5.§3 Taylor 公式 ( 3时 )一. 问题和任务:用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylor ( 1685—1731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式 )(x P n 及Maclaurin 多项式)例1 求函数24)(23+-=x x x f 在点20=x 的Taylor 多项式.三. Taylor 公式和误差估计:称 )()()(x P x f x R n n -=为余项. 称给出)(x R n 的定量或定性描述的式 )()()(x R x P x f n n +=为函数)(x f 的Taylor 公式.1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数f 满足条件:ⅰ> 在闭区间],[b a 上f 有直到n 阶连续导数; ⅱ> 在开区间),(b a 内f 有1+n 阶导数. 则对),,( ),,(b a b a x ∈∃∈∀ξ 使+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(21)1()()!1()(++-++n n a x n f ξ∑=+-=nk kk a x k a f 0)()(!)(1)1()()!1()(++-+n n a x n f ξ. 证 [1]P 138—139.称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()!1())(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a fx R θ ) 1 , 0(∈θ.0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ 10<<θ. 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数f 在点a 的某邻域 )(a 内具有1-n 阶导数, 且)()(a fn 存在, 则+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(2()n a x )(- , )(a x ∈.证设)()()(x P x f x R n n -=, na x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次,并注意到)()(a fn 存在, 就有=====--→→)()(lim )()(lim )1()1(00x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1())(()()(lim)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)()1()1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()nn a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano型余项为)()(nn x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).四. 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开:1. 直接展开:例2 求 xe xf =)(的Maclaurin 公式.解 ) 10 ( ,)!1(!!2!1112<<++++++=+θθn xn xx n e n x x x e . 例3 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.解 )()!12() 1 (!5!3sin 212153x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- , 10 ,)21(sin )!12()(122<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+θπθm x m x x R m m . 例4 求函数)1ln()(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 )!1() 1()0( ,)1()!1() 1()(1)(1)(--=+--=--n f x n x f n n nn n . )() 1(32)1l n (132n nn x nx x x x x +-+-+-=+-. 例5 把函数tgx x f =)(展开成含5x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式.2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=, ) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=.例7 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解 ) (!6!4!21c o s6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2c o s1(21c o s 665422x x x x x x +-+-=+=.例8 先把函数xx f +=11)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式.利用得到的展开式, 把函数x x g 531)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式. 解 ,)1(!)1(1)(++-=n n n x n f !)1()0()(n f n n -=. ); ()1(1)(32nn n x x x x x x f +-++-+-=13)2(511131)2(5131531)(-+=-+=+=x x x x g=⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +().)2(n x - 例9 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式，并与x sin 的相应展开式进行比较.解 ), (!!2!112n nxx n x x x e +++++= )(!)1(!2!112n n n xx n x x x e +-+-+-= ; ∴ ) ( )!12(!5!32121253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx . 而 ) ()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+-+-=m m m x m x x x x x . 五. Taylor 公式应用举例:1. 证明e 是无理数: 例10 证明e 是无理数.证把xe 展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 反设e 是有理数, 即p q p e ( =和q 为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.对qpn e n q n ⋅=>∀!! ,也是整数. 于是,-⋅=+q p n n e !1ξ整数 = 整数―整数 = 整数.但由,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 因而当 3>n 时，1+n e ξ不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值:例11 求e 精确到000001.0的近似值.解 10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 注意到,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 有 )!1(3) 1 (+≤n R n . 为使000001.0)!1(3<+n , 只要取9≥n . 现取9=n , 即得数e 的精确到000001.0的近似值为 718281.2!91!31!2111≈+++++≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限: 原理:例12 求极限 ) 0 ( ,2lim20>-+-→a x a a x x x . 解 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x aa xx+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4．证明不等式：原理.例13 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x+>1. Ex[1]P141 1—3.§4 函数的极值与最大（小）值（ 4时）一可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat 定理(取极值的必要条件).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点0x 连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极小值点;ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则0x 不是极值点.Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点0x 为函数)(x f 的驻点且)(0x f ''存在.则 ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极小值点.证法一 .)(lim )()(lim)(000000x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→当0)(0<''x f 时, 在点0x 的某空心邻域内0)(x x x f -')( ,0x f '⇒<与0x x -异号,…… 证法二用Taylor 公式展开到二阶, 带P eano 型余项. Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x fn .则ⅰ> n 为奇数时, 0x 不是极值点; ⅱ> n 为偶数时, 0x 是极值点. 且0)(0)(>x fn 对应极小; 0)(0)(<x f n 对应极大.例1 求函数32)52()(x x x f -=的极值.例2 求函数x x x f 432)(2+=的极值. 例3 求函数34)1()(-=x x x f 的极值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 它在0=x 处取极小值,但因 ,2,1,0)0()(==k f k .所以无法用Th 4对它作出判别.二函数的最大值与最小值:⑴设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点n x x x ,,,21 . 则 )(m a x ],[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ;m i n )(m i n ],[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f .⑵函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值:ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当0x 为极大值点时,0x 亦为最大值点; 当0x 为极小值点时, 0x 亦为最小值点.ⅲ> 若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值.⑶最值应用问题:例5 A 、B 两村距输电线(直线)分别为km 1 和km 5.1（如图）， CD 长.3km . 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BE AE +最小.解设x 如图，并设输电线总长为(x L.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=x x x EB AE x L015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令===+⋅+-+--+-='x x x x x x x L ,⇒1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+⇒x x解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ). 答： …… 三利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P 112—142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式:原理: 若f ↗, 则对βα<∀, 有不等式)()(βαf f ≤. 例5证明: 对任意实数a 和b , 成立不等式. 1 ||1||||1b b a a b a b a +++≤+++证取⇒>+='≥+= ,0)1(1)( ).0( ,1)(2x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++.2. 不等式原理: 设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)例6 证明: 21>x 时, 1)1ln(2->+arctgx x .例7 证明: 0>x 时, !3sin 3x x x ->.3. 利用极值证明不等式: 例8 证明: 0≠x 时, x e x+>1. Ex [1]P 146—147 1—9.§5 函数的凸性与拐点（ 2时）一．凸性的定义及判定：1．凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义见书P146凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)2．利用一阶导数判断曲线的凸向 Th1 (凸的等价描述) 见书P146例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)3．利用二阶导数判断曲线的凸向:Th2 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格上凸; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格下凸. 证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2210x x x +=, 把)(x f 在点 0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有,)(2)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ.其中1ξ和2ξ在1x 与2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有[]20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< , 即)(x f 严格上凸. 若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> , 即)(x f 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2210x x x +=,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有 ))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ, ))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒ ))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-，即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸.可类证0)(<''x f 的情况.例2 讨论函数x x f arctan )(=的凸性区间.例3 若函数)(x f 为定义在开区间),(b a 内的可导函数,则),(0b a x ∈为)(x f 的极值点的充要条件是0x 为)(x f 的稳定点，即.0)(0='x f4．凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.Th3 (拐点的必要条件) Th4注:. 例4 讨论曲线x x f arctan )(=的拐点.Jensen 不等式: 设在区间],[b a 上恒有0)(>''x f ( 或) 0<, 则对],[b a 上的任意n 个点 )1(n k x k ≤≤, 有Jensen 不等式:∑=≥n k k x f n 1)(1( 或⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=n k k x n f 11) ,且等号当且仅当n x x x === 21时成立.证令∑==nk k x n x 101, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-nk kx x10,0)( 即得所证.对具体的函数套用Jensen 不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xy x e e e+≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式na a a n11121+++ n a a a a a a nn n +++≤≤ 2121 . 证先证不等式na a a a a a nn n +++≤ 2121.取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有∑∑∑∑∏=====⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n nk k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln .由)(x f ↗↗ ⇒ na a a a a a n n n +++≤ 2121 .对+∈R na a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x . 解取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a 28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )Ex [1]P 153 1—5.§6 函数图象的描绘（ 2时）微分作图的步骤: ⑴确定定义域.⑵确定奇偶性、周期性.⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点. ⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点. ⑹确定渐近线.⑺适当补充一些点,如与坐标轴的交点. ⑻综合以上讨论作图. 例1 描绘函数3231)(+--=x x x x f 的图象. 例2 描绘函数222)(21)(σμσπ--=x ex f (其中0,>σμ为常数)的图象.Ex [1]P 155 (1)—(8).。

数学分析简明教程答案

第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。

解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。

数学分析22第六章微分中值定理及其应用-微分中值定理.DOC

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。

这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。

但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。

§1.微分中值定理[教学目的] 掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。

[教学要求] 深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。

[教学重点] 中值定理。

[教学难点] 定理的证明。

[教学难点] 系统讲解法。

一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB 。

如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧 AB 的函数是y=f(x)，x [a,b]的图像，点P 的横坐标为x 。

如点P 处有切线，则f(x)在点x 处可导，且切线的斜率为()f ；另一方面，弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a ，曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ()()()f b f a f b a。

撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值。

这样这个公式就把函数及其导数联系起来。

在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础。

鉴于(,)a b ，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理。

微分中值定理及其应用

微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。

微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。

本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。

文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。

这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。

接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。

本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。

通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。

文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。

《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。

通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。

二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。

这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。

罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。

拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。

柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。

这些定理在实际应用中具有广泛的价值。

数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nx x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220nx x x f x f x x x x c c n n k x px q x 。

那么由罗尔定理可知存在使得但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。

因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。

当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p使得函数成立。

那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n nx x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nn x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x 有三个实根,即存在实数使得函数成立。

微分中值定理的证明以及应用

微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-）显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明：设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解：令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明：在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明：设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。

数学分析(上册)答案-张勇杨光崇-第五章微分中值定理及其应用

思考与练习 5-11. 函数()x f 在点0x 取得极大(小)值的定义是什么?函数()x f 在区间I 上的最大(小)值的定义是什么?答：设函数)(x f 在区间I 内有定义,0x I ∈,若存在0(;)U x I δ⊂,对任意的0(,)x U x δ∈有()()()()()x f x f x f x f ≥≤00, 则称函数f在0x 点取得极小(大)值,称点0x 是函数f 的极小(大)值点,而函数值)(0x f 就称为函数f 的极小(大)值。

设函数)(x f 在区间I 内有定义,0x I ∈，若对任意I x ∈，有)()(0x f x f ≤))()((0x f x f ≥，则函数值)(0x f 就称为函数f 的最小(大)值。

2. 最大(小)值是否一定是极大(小)值?反之如何?答：最大(小)值不一定是极大(小)值，极大(小)值不一定是最大(小)值。

例如()2f x x =在闭区间[]0,1上能取到最大值()11f =，但()11f =不是函数()2f x x =在区间[]0,1中的极大值，01x =也不是函数()2f x x =的极大值点。

3. 若函数()x f 在闭区间[]b a ,的端点a 取得最大值,且()a f +'存在,则是否有()0='+a f ,为什么?答：若函数()x f 在闭区间[]b a ,的端点a 取得最大值,且()a f +'存在,但不一定有()0='+a f 。

例如，()2f x x =在闭区间[]0,1上能取到最大值()11f =，但()()()211111lim lim 2011x x f x f x f x x +++→→--'===≠--。

4. 稳定点一定是极值点吗?稳定点的几何意义是什么?极值点一定是稳定点吗?答：稳定点不一定是极值点。

函数在稳定点处对应的曲线上的点的切线平行于x 轴。

极值点不一定是稳定点。

5. 费马定理说明了稳定点和极值点的什么关系?答：费马定理说明了若点0x 是函数f 可导的极值点，则点0x 一定是函数f 的稳定点。

微分中值定理及其应用技术

第五章微分中值定理及其应用引言本章，我们将利用微分学理论进一步研究函数高一级的分析性质。

我们知道，函数是数学分析的研究对象，因此，刻划函数的各种分析性质、揭示函数的几何特征，是认识、了解函数的主要手段，特别是通过几何特征更能直观地认识、了解和研究函数。

到目前为止，我们已经了解了函数的连续性，已经掌握了用导数讨论函数的连续性和求曲线的切线，显然，这远远不能用来精确刻划函数，不能解决更复杂的函数的问题，如单调性、零点、渐进性等，因此，必须发展更高级的工具和理论，研究函数更高级的分析性质。

我们知道，导数是更高一级的分析性质，因此，我们自然期望用导数这一工具去分析、解决这些问题。

另外，进一步分析我们知道：导数只是反映函数在一点的局部特征，而我们往往要了解函数的整体性态，这也需要我们研究导函数的性质。

因此，我们期望用导数更进一步揭示函数的分析性质，以便更精确地刻划函数，这正是本章的目的。

本章的主要内容是微分中值定理，它不仅是研究函数性质的有力工具，更在后续课程中有着非常重要的作用，可以说，它是微分学的核心。

本章以研究导函数性质为主线，围绕微分中值定理及其应用展开讨论。

§1 微分中值定理一、 Fermat 定理先引入函数的极值概念。

设函数f （x ）在区间I 上有定义，0x I ∈。

定义 1.1 若存在0x 的邻域0(,)U x I δ⊂，使得对于任意的0(,)x U x δ∈，有0()()f x f x ≥，则称点0x 为f (x )在区间I 上的一个极大值点，称f （0x ）为相应的极大值。

类似，若存在0x 的邻域0(,)U x δ，使得对于任意的0(,)x U x δ∈，有0()()f x f x ≤，则称点0x 为f (x )在区间I 上的一个极小值点，称f （0x ）为相应的极小值。

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

注、从定义可知，极值是局部概念。

注、极值（点）不唯一。

第五章微分中值定理及其应用

第五章微分中值定理及其应用 18〖教学要求〗掌握微分中值定理与函数的泰勒公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用罗必达法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。

〖教学内容〗 §1 微分中值定理 §2 罗必达法则§3 插值多项式和泰勒公式 §4 函数的泰勒公式及其应用 §5 应用举例§6 函数方程的近似求解5-1拉格朗日定理和函数的单调性 4〖教学目的和要求〗理解罗尔定理与拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义,掌握它们的证明方法，了解它们在微分中值定理中的地位。

学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某些整体性质，如单调性，有界性等. 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。

〖教学重点〗罗尔定理与格朗日中值定理〖教学难点〗格朗日中值定理的证明〖教学过程〗 1.引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。

这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。

但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。

2.极值的概念定义1（极值）若函数f 在区间I 上有定义，0x I ∈。

若存在0x 的邻域0()U x ，使得对于任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≥，则称f 在点0x 取得极大值，称点0x 为极大值点。

微分中值定理的证明及其应1正文

微分燕美辰摘要:对微分中值定理的概念和一些相关基础知识进行了归纳, 以及一些相关定理的证明,同时介绍了它们在数学领域的应用,并给出了一些典型例题．关键词:罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒公式微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,不仅在理论上有着重要意义,而且在应用中也起着特殊的作用,因此学习研究微分中值定理是非常重要的．1.罗尔中值定理的证明及其应用1.1罗尔中值定理的证明定理1.1.1 （罗尔中值定理）若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续； ()ii f 在开区间(),a b 内可导； ()iii ()f a =()f b ,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()f ξ'=0.几何意义：()1在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等则至少存在一条水平切线.()2若()f a =()f b =0，可导的函数f 的任意两根之间必定会有其导函数的根.下面我们来介绍罗尔定理的证明.定理1.1.2 （费马定理）设函数f 在点0x 点某邻域内有定义,且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点,则必有()0f x '=0.证因为f 在[],a b 上连续,所以有最大值和最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况来讨论：()1若m M =,则f 在[],a b 上必为常数,从而结果显然成立.()2若m M <,则因()()f a f b =,使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(),a b 内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点.由条件()ii ,f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0f ξ'=.1.2罗尔中值定理的应用微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，其中罗尔定理是基础中的基础.由于罗尔定理应用比较广泛,所以它在解题中也常用到.例1 设f 为R 上的可导函数,证明：若方程()0f x '=没有实根,则方程()0f x =至多只有一个实根.证这可反证如下：倘若()0f x =有两个实根1x 和2x （设12x x <）,则函数f 在[]12,x x 上满足罗尔定理三个条件,从而存在()12,x x ξ∈,使()0f ξ'=，这与()0f x '≠的假设相矛盾,命题得证.2 拉格朗日中值定理的证明及其应用2.1 拉格朗日中值定理的证明定理2.1.1 （拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续; ()ii f 在开区间(),a b 内可导,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.注1 拉格朗日中值定理还有其他几种表示形式()()()()f b f a f b a ξ'-=-，;a b ξ<<()()()()()()()(),01;,0 1.f b f a f a b a b a f a h f a f a h h θθθθ'-=+--<<'+-=+<<注2 下面我们来介绍拉格朗日中值的几个推论.推论 1 若函数f 在区间I 上可导,且()0,f x x I '≡∈,则f 为I 上的一个常量函数.推论 2 若函数f 和g 均在区间I 上可导,且()(),,f x g x x I ''≡∈则在区间I 上()f x 与()g x 只相差某一个常数,即()()f x g x c =+ (c 为某一个常数).推论3 （导数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域()0U x 内连续,在()0U x内可导,且极限()0lim x x f x →'存在,则f 在点0x 可导,且()()00lim x x f x f x →''=.证明拉格朗日中值定理的方法多种多样,一般来说采用的是构造辅助函数法,除此之外还有利用弦倾角法，利用面积构造辅助函数法，利用区间套证明等等，在这里我们只详细介绍两种证明方法方法一：证设()()()()f b f a F x f x x b a-=-⋅- [],x a b ∈,由()f x 连续知()F x 在[],a b 上连续,由()f x 可导知()F x 在(),a b 内可导()()()()()()()()f b f a F a f a ab af b f a F b f b bb a-=---=--,经计算()()F a F b =,由罗尔中值定理,()(),0a b F ξξ'∃∈∍=,即()()()0f b f a f b aξ-'-=-.由此可知()()()f b f a f b aξ-'=-,结论成立.方法二：证分别用左右等式证明等式成立.()1任取()0x U x +∈ ,()f x 在[]0,x x 上满足拉格朗日定理条件,则存在()0,x x ξ∈,使得()()()00f x f x f x x ξ-'=-.由于0x x ξ<<,因此当0x x +→时,随之有0x ξ+→,对等式两边取极限,便得()()()()00000lim lim 0x x x x f x f x f f x x x ξ++→→-''==+-.()2同理可得()()000f x f x -''=-.因为()0lim x x f x k →'=存在,所以()()0000f x f x k ''+=-=,从而()()00f x f x k +-''==,即()0f x k '=.2.2拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在数学分析中应用非常广泛,如应用拉格朗日中值定理证明不等式,证明恒等式,利用拉格朗日中值定理求极限,描绘函数图象,解决最大小值等等,在此就不一一列举了.2.2.1应用拉格朗日中值定理证明不等式例1 ln ,b a b b ab a a --<<其中0a b <<. 证 ln ln ln b b a a =-,令()ln f x x =,则()1f x x'=,因为0a b <<,所以()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()ln ln f b f a b af b a b aξ--'==--,而()1f ξξ'=,于是1ln ln b ab aξ-=-,由0a b ξ<<<知111b aξ<<, 因而1ln ln 1b a b b a a-<<-, 故ln b a b b ab a a--<<. 2.2.2利用拉格朗日中值定理求极限例2 计算()()0tan 2tan 44limarctan 1arctan 12x x x x x ππ→⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--.解由拉格朗日中值定理可知：21tan 2tan sec 344x x x ππξ⎛⎫⎛⎫+--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中1ξ介于4x π-与24x π+之间,且当0x →时,14πξ→.()()221arctan 1arctan 1231x x x ξ+--=⋅+,其中2ξ 介于()1x +与()12x -之间且当0x →时,21ξ→,所以，原式210223sec lim 4131x x x ξξ→⋅==⋅+.2.2.3利用拉格朗日中值定理证明恒等式例3 求证()f x 在区间I 上恒等于常数的充分必要条件是()0f x '≡ x I ∈. 证必要性常值函数的导数恒等于零结论成立.充分性假设()0f x '≡ ()x I ∈,在区间I 中任取两点12,x x 根据拉格朗日中值定理,在12,x x 之间存在ξ,使得()()()120f x f x f ξ'-== 这说明()f x 在区间I 上恒等于常数.3 柯西中值定理的证明及其应用3.1 柯西中值定理的证明定理3.1.1 （柯西中值定理你）设函数f 和g 满足:()i 在[],a b 上连续； ()ii 在(),a b 内可导；()iii ()f x '和()g x '不同时为零； ()iv ()()g a g b ≠,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.利用罗尔定理来证明柯西中值定理的关键是构造辅助函数,下面我们就来介绍柯西中值定理的证明.证作辅助函数()()()()()()()()()()f b f a F x f x f a g x g a g b g a -=----. 易见F 在[],a b 上满足罗尔定理条件,故存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()()0f b f a F f g g b g a ξξξ-'''=-=-.故()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-, 所以,结论成立.3.2拉格朗日中值定理的应用柯西中值定理之所以重要, 是因为它在数学分析解题中有着广泛的应用, 下面就着重介绍柯西中值定理的应用, 以达到对其更深刻的认识和理解.3.2.1 求极限例1)lim 1n n→∞0x >.解由柯西中值定理得,111,01n nξξξ-=>，即111ln ,n x nξ=有)11ln nnx ξ=,故)1lim1lim ln,nn nn xξ→∞→∞=因1,n=故)lim1lnnn x→∞=.3.2.2 证明不等式例2试证若()f x,()g x都是可微函数,且当x a≥时,()()f xg x'≤,则当x a≥时,()()()()f x f ag x g a-≤-.证令()()G x g x xε=+,则()()0G x g xε''=+>,而()()()()()()f b f a fG x G a Gξξ'-='-,a xξ<<,()()()()G x g x f x f xεε''''=+≥+>,故()()()1f b f a fG x G a Gξξ'-=<'-,有()()()()()()()f x f a G x G ag x g a x aε-<-=-+-,由于ε为任意小正数,令0ε→,有()()()()f x f ag x g a-≤-.注综上我们可以看出罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理三者关系非常密,罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊形式,当罗尔定理中()()f a f b≠时即为拉格朗日中值定理，反之在拉格朗日中值定理中，当()()f a f b=时即为罗尔中值定理，在大多数学分析和数学教材中，拉格朗日中值定理一般是采用构造辅助函数使之满足罗尔定理的方法来证明，柯西中值定理与前两个中值定理有着相类似的几何意义，而柯西中值定理较前两者更具有一般性，现在只需把函数f和g写作以x为参量的参量方程，即()()()f x xg x g x=⎧⎪⎨=⎪⎩，我们便可得到拉格朗日中值定理.4 泰勒公式的证明及其应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数近似的表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具,而泰勒多项式则泰勒公式的基础.下面我们来介绍泰勒多项式.对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶导数，由这些导数构成一个n 次多项式()()()()()()()()()200000001!2!!nnn f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，()n T x 的各项系数()()()01,2,3!nf x k n k =⋅⋅⋅称为泰勒系数.4.1泰勒公式的证明定理4.1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()0n n f x T x x x ο=+-，即()()()()()()()()()()()2000000002!!nn n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-注 )1上式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式.)2()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式余项，形如()()0nx x ο-的余项称为佩亚诺型余项.)3所以上式也称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，记()()()()0nn f x T x x x ο=+-.定理4.1.2 泰勒公式在0x =时的特殊形式，()()()()()()()200002!!nnn f f f x f f x x x x n ο'''=+++⋅⋅⋅++.称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式.定理4.1.3 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导数，则对任意给定的x ，[]0,x a b ∈，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()()()()()()()()121000000002!!1!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+注 )1上式同样称为泰勒公式.)2它的余项为()()()()()()()()()11000,1!,01n n n n f R x f x T x x x n x x x ξξθθ++=-=-+=+-<<称为拉格朗日型余项. )3所以原式又称为带拉格朗日型余项的泰勒公式.定理4.1.4 当00x =时，得到泰勒公式()()()()()()()()()12100002!!1!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=+++⋅⋅⋅+++ 01θ<<称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.下面我们来介绍泰勒定理的证明证作辅助函数()()()()()()()()()()1,!n n n f t F t f x f t f t x t x t n G t x t +⎡⎤'=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=- 所以要证明的等式即为()()()()()1001!n f F x G x n ξ+=+或()()()()()1001!n F x f G x n ξ+=+.不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在[]0,x x 上连续，在()0,x x 内可导，且()()()()()()()1!10n nnf t F t x t n G t n x t +'=--'=-+-≠,又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得()()()()()()()()()()()10000,1!n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+'-==='-+其中()()0,,x x a b ξ∈⊂.4.2应用泰勒公式在高中数学中是一个十分重要的内容，在许多方面有着广泛的应用.下面给出在求极限方面的应用.4.2.1利用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理项的极限问题的计算十分简单的，因此，对于一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理式的极限问题. 例1 求极限21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.解由0=x 点泰勒公式得；222211111111log(1)22o o x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22111lim 22x x o x →∞⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 参考文献：[1] 华东师范大学数学系：数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001版。

微分中值定理的证明与应用

微分中值定理的证明与应用B09030124 孙吉斌一中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。

证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。

(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。

注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。

例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-<=2x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然⎪⎩⎪⎨⎧=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π使得)(n c f '=0。

微分中值定理的应用

1 引言微分中值定理是微分学基本定理，是构成微分学基础理论的重要内容，它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理是拉格郎日中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格郎日中值定理的推广.微分中值定理是沟通函数与其导数之间关系的桥梁，在数学分析中的地位是不容置疑的，然而大多数的学生在学习微分中值定理时忽视了它在解题中的应用，而微分中值定理的条件并不苛刻，应用起来非常方便，在解题中有广泛应用.针对这种情况，本文在前人研究的基础上，把微分中值定理在解题中的应用进行归纳整理，对微分中值定理在研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面的应用进行探讨，有助于学生更好地掌握微分中值定理的应用，加深对微分中值定理的理解. 以提高学生对微分中值定理的进一步认识和理解，达到学以致用的目的.然而大多数的学生在学习微分中值定理时学习了理论而忽视了它在解题中的应用.而微分中值定理的条件并不苛刻，应用起来非常方便，在解题中有广泛应用. 因此，针对这种情况，把微分中值定理在解题中的应用进行归纳整理，以提高学生对微分中值定理的进一步认识和理解，达到学以致用的目的，同时对微分中值定理内容的教学提供一定的指导.2文献综述2.1 国内研究现状近年来，国内许多学者对微分中值定理在解题中的应用进行了一定的研究. 文[1]从恒等式的证明、不等式的证明、方程及函数性质的讨论三个方面论述微分中值定理的应用；文[2]、文[6]从讨论方程根的存在性问题、讨论级数的敛散性、利用微分中值定理求极限等方面对微分中值定理在解题中的应用进行了研究；文[3]讨论函数零点的存在性、研究函数的单调性方面研究微分中值定理在解题中的应用；文[4]、文[12]从微分中值定理的内容，证明方法，应用方面进行了研究；文[5]从探究性教学研究方向出发，对微分中值定理在讨论函数性态、证明等式、证明不等式方面的应用做了一定探究；文[7]从利用微分中值定理证明相关的命题入手，研究微分中值定理在高等数学和初等数学方面的应用；文[8]主要从构造另类辅助函数入手，研究了微分中值定理的另类证明和应用；文[9]从一类特殊的命题—“含有的命题”的证明入手，介绍微分中值定理在这类问题中的应用.文[10]从研究函数性态方面入手研究微分中值定理在解题中的应用；文[11]、文[13]通过举例说明了微分中值定理在研究函数性态、证明等式方面的应用；文[14]从证明等式，方程根的存在性与个数问题等方面研究微分中值定理在解题中的应用.文[15]介绍了拉格朗日中值定理的内容及其证明方法，同时介绍了它的推广—柯西中值定理的证明方法和应用.2.2 国内外研究现状评价综合国内外研究现状可以看出，国内对微分中值定理在解题中应用的研究，仁者见仁，智者见智.其中，较大多数只对函数的性态或者方程的根或者不等式、等式的证明研究微分中值定理在解题中某方面的应用，研究比较分散，没有系统地归纳和研究.并且部分研究着重于研究微分中值定理在求极限、讨论级数敛散性方面的运用，这超出了我们目前学习的范围，不利于对微分中值定理的理解.2.3 提出问题针对上面出现的情况，把在解题中利用到微分中值定理的问题进行归纳和整理，并总结出一些相应的技巧，有利于学生加深对微分中值定理的理解，同时，也有助于学生更好掌握微分中值定理的应用.也使新知识在原有基础上得到巩固和内化，并能使学生灵活运用所学的知识，探索新的问题的解决途径，从而达到拓宽思路，提炼和升华思维，建构起自己的知识体系.3 微分中值定理微分中值定理是微分学基本定理，是构成微分学基础理论的重要内容，它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.定理1（罗尔定理）若函数)(x f 满足下列条件：（1）在闭区间],[b a 连续；（2）在开区间),(b a 可导；（3）)()(b f a f =，则在开区间),(b a 内至少有一点c ，使0)(='c f .定理2（拉格朗日中值定理）若函数)(x f 满足下列条件：（1）在闭区间],[b a 连续；（2）在开区间),(b a 可导，则在开区间),(b a 内至少有一点c ，使ab a f b fc f --=')()()( . 定理3（柯西中值定理）若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件：（1）在闭区间],[b a 连续；（2）在开区间),(b a 可导，且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ，使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 4 微分中值定理在解题中的应用4.1 研究函数的性态利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性，其方法是：若函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则有：如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单调增加；如果在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单调减少.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各值点的性质，便可以很方便地求出函数的极值.其方法为：确定函数的定义域，并求出)(x f '，然后求出定义域内的所有驻点，并找出)(x f 连续但)(x f '不存在的所有点，讨论驻点和不可导点左右两侧附近)(x f '的符号变化情况，从而确定函数的极值点，并求出相应的极大值和极小值.例1 设函数)(x f 在),0[+∞内连续，在),0(+∞内可导，且0)0(=f ，其导函数)(x f '在),0(+∞内严格单调增加. 求证：函数xx f x g )()(=在),0(+∞内严格单调增加[]1. 分析：根据题设可得)(x g 满足拉格朗日中值定理的条件，因此，要证明xx f x g )()(=在),0(+∞内严格单调增加，利用拉格朗日中值定理，只需要证明0)(>'x g 即可. 证明：由于xx f x g )()(=，有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='x x f x f x x x f x f x x g )()(1)()()(2 ① 由题设知)(x f 在),0(x 内满足拉格郎日中值定理，故),0(x ∈∃ζ，使得)(0)0()(ζf x f x f '=--又由于0)0(=f ，所以有)()(ζf x x f '=②将②带入①，得：[])()(1)(ζf x f x x g '-'='由于)(x f y '=在),0(x 内严格单调增加，故)()(ζf x f '>'于是0)(>'x g ，即x x f x g )()(=在),0(+∞内严格单调增加.例2 求函数x xy ln =的极值[]2.分析：利用拉格朗日中值定理，根据解此类题的步骤，可容易解题.解：函数的定义域为：),1()1,0(+∞ .而x x y 2ln 1ln -=',令0='y ，即0ln 1ln 2=-x x ，解得驻点e x =，由于该函数在定义域内没有导数不存在的点,且当e x <时，0<'y ；当e x >时，0>'y .所以，e x =是函数)(x f 的极小值点，其极小值为.)(e e f =4.2 讨论方程的根在我们所学过的方程中，除了二次方程根的问题容易讨论外，如果遇到复杂的方程，往往无从下手.对于存在性问题，我们一般通过分析题设条件，结合已学过的定理进行分析并解决.在讨论根的存在性问题时，罗尔定理为我们解决一些复杂的代数方程的根的存在性问题提供了一个很好的方法.并且罗尔定理的条件并不苛刻，给一个定义在闭区间],[b a 上的函数，只需要这个函数在这个区间连续，在开区间),(b a 内可导，再满足)()(b f a f =.通过构造函数来验证函数是否满足罗尔定理，若满足，则可用罗尔定理来解决函数根的存在问题.例3 证明方程01454=+-x x 在]1,0[内至少有一个根[]3.分析：通过观察可发现方程左端1454+-x x 是函数x x x x f +-=252)(的导数，而)(x f 在闭区间]1,0[内连续，在开区间)1,0(内可导，且)0()1(f f =，满足罗尔定理.因此，可通过构造函数运用罗尔定理解题.证明：构造函数x x x x f +-=252)(，显然，)(x f 在闭区间]1,0[内连续，在开区间)1,0(内可导，又由于0)0()1(==f f ，由罗尔定理可知，在0与1之间至少存在一点c ，使得0)(='c f ，而145)(4+-='x x x f ，即方程01454=+-x x 在]1,0[内至少有一个根.例4 不求函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个实根，并指出它们所在的区间.分析：根据题目已知条件，可知0)(='x f 是一个一元二次方程，最多有两个实根，而)(x f 在区间]2,1[和区间]3,2[上都满足罗尔定理，故方程0)(='x f 至少有两个实根，可利用罗尔定理解此题，需要注意的是此题与上例的不同之处在于，此题不需要构造函数.解：由题意可知，函数)(x f 在闭区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(上可导，且有)1()2(f f =，由罗尔定理可得，至少存在一点)2,1(1∈ζ，使得0)(1='ζf .同理，函数)(x f 在闭区间]3,2[上连续，在开区间)3,2(上可导，且有)2()3(f f =，由罗尔定理可得，至少存在一点)3,2(2∈ζ，使得0)(2='ζf ，故方程0)(='x f 至少有两个实根，因为0)(='x f 是一个一元二次方程，所以0)(='x f 最多有两个实根.因此，方程0)(='x f 有且仅有两个实根，分别在区间)2,1(和区间)3,2(中.4.3 证明等式证明等式是数学分析中常见的问题，而许多复杂等式的证明，根据等式两边式子的形式，可通过构造函数的方式，验证是否满足微分中值定理，如果满足，则可运用微分中值定理，以得到与待证等式相接近的式子，通过变形，整理，最后化为待证式子，在证明此类问题时，通常运用到的是柯西中值定理，关键在于要能构造出适当的函数.例5 证明：若函数)(x f 在],[b a 上可导)0(b a <<，则存在),(b a c ∈，使得ab c f c a f b f ln )()()('=-[]4. 分析：观察待证等式两边，可将待证等式变形为cc f a b a f b f 1)(ln )()('=-. 而a b a b ln ln ln -=，)(ln 1'=c c，故可构造函数x x g ln )(=，由题目已知条件可知，)(x f 和)(x g 满足柯西中值定理的条件，故可用柯西中值定理证明.证明：构造函数x x g ln )(=，由题意知，)(x f 在在],[b a 上可导，故)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导而x x g ln )(=，故)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且01)(≠='xx g ，满足柯西中值定理，因此),(b a c ∈∃，使得)()()()()()(c g c f a g b g a f b f ''=--，整理得cc f ab a f b f 1)(ln ln )()('=--，即ab c f c a f b f ln )()()('=-. 命题得证.例6 若函数)(x f 在],[21x x 中可导且021>x x ，证明存在),(21x x ∈ζ使得))](()([)()(211221x x f f x f x x f x -'-=-ζζ.分析：可构造函数x x g 1)(=，xx f x h )()(=，通过验证满足柯西中值定理，再进行解题.与例5不同之处在于，例6所需构造的函数较复杂，不易得出.因此，要解此类型的题，需要多做练习，总结规律，巧妙构造函数.证明：构造函数x x g 1)(=， xx f x h )()(=. 由于021>x x ，所以],[021x x ∉ ，从而)(x g ，)(x h 在],[21x x 上可微，且)(x g '，)(x h '不同时为零，)()(21x g x g ≠，因此，)(x g 、)(x h 满足柯西中值定理的条件，故),(21x x ∈∃ζ，使得)()()()()()(1212ζζg h x g x g x h x h ''=--，即221211221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f x x x x f x x f ，整理得)()()()(211221ζζf f x x x f x x f x '-=--，即))](()([)()(211221x x f f x f x x f x -'-=-ζζ.注意：若此题改为证明))](()([)()(121122x x f f x f x x f x -'-=-ζζ，则构造函数)()(x xf x g =，x x h =)(，再运用柯西中值定理进行求解；或者构造函数)()(x xf x F =，用拉格朗日中值定理进行求解.4.4 证明不等式不等式是数学中的重要内容，微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.对于部分不等式的证明可构造函数，运用微分中值定理判断出此函数的单调性，利用单调性证明不等式；除此之外，部分不等式的证明可构造函数后直接运用微分中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量取值范围的不同进行讨论，得到不等式.例7 求证0>x 时，2)1ln(2x x x ->+. 分析：可构造函数)2()1ln()(2x x x x f --+=，则可得)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，可运用微分中值定理判断其单调性，再利用单调性进行证明.证明：构造函数)2()1ln()(2x x x x f --+=，因为)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且xx x x x f +=+-+='1111)(2. 当0>x 时，01)(2>+='xx x f ，所以当0>x 时，)(x f 是单调增加的，故当0>x 时，0)0()(=>f x f ，即0)(>x f ，从而2)1ln(2x x x ->+ 例8 证明不等式a b a b -≤-sin sin .证明：构造函数x x f sin )(=，则)(x f 在区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且x x f cos )(='，由拉格朗日中值定理得，),(b a ∈∃ζ，使得)()()(ζf ab a f b f '=--，即ζcos sin sin =--ab a b ，整理得)(cos sin sin a b a b -=-ζ. 因为1cos ≤ζ，所以a b a b a b -≤-=-ζcos sin sin .不等式得证.例9 利用微分中值定理证明：x x xx <+<+)1ln(1，0>x . 证明：构造函数)1ln()(x x f +=，则)(x f 在),0[x 上连续，在),0(x 内可导，且xx f +='11)(，由拉格朗日中值定理得，),0(x ∈∃ζ，使得ζ+=--+1101ln )1ln(x x ，即ζ+=+1)1ln(x x ，因为x <<ζ0，所以x x x x <+<+ζ11，即.)1ln(1x x xx <+<+ 5 结论5.1 主要发现微分中值定理是微分学基本定理，微分中值定理是沟通函数与其导数之间关系的桥梁，在数学分析中的地位是不容置疑的，微分中值定理的条件并不苛刻，因此，可用它来解决数学分析中的许多问题.本文通过介绍微分中值定理在研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面的应用，有助于学生更好地掌握该定理的解题应用，加深对微分中值定理的理解.5.2 启示通过微分中值定理在数学分析中解题时的应用的归纳整理，给出微分中值定理在研究函数性态，讨论方程的根、证明等式、证明不等式中的应用，使学生更进一步理解微分中值定理，也使新知识在原有基础上得到巩固和内化，并能使学生灵活运用所学的知识，探索新的问题的解决途径，从而达到拓宽思路，提炼和升华思维，建构起自己的知识体系.5.3 局限性由于微分中值定理运用广泛，涉及到的解题运用问题也较多，限于本人的能力水平有限，文中未能一一列出，这是本文的不足. 且在文中提到的微分中值定理在研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面的应用问题时，多半要通过构造函数来解决，构造函数是解题的关键，而构造函数不是一个简单的过程，许多问题不能根据已知条件快速构造出函数，这是在运用微分中值定理解题时的一大难题，而本文并未提出解决这一难题的办法，是本文的又一不足之处.5.4 努力方向在今后的学习和研究中将不断地深入探讨微分中值定理在求解其他问题中的应用，并且研究解决在运用微分中值定理研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面问题时构造函数这一难题，以弥补本文的不足.参考文献[1] 郑凯平.例谈微分中值定理的应用[J].凯里学院学报，2008，21(6): 14～16.[2] 孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究，2009，28(10):61～63.[3] 周学勤.例谈微分中值定理的应用[J].湖北广播电视大学学报，2008，28（8）：129～130.[4] 陈传璋，欧阳光中，朱学炎等.数学分析（第三版上）[M].北京：高等教育出版社.2007：184～191.[5] 叶春辉.微分中值定理及其探究性学习教学研究[J]. 长江工程职业技术学院学报，2008，25(4)：65～69.[6] 王振林.浅谈微分中值定理的应用[J].太原科技，2001，22(4)：63.[7] 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